CC BY
34
УДК 001.89:004.6; 004.93'1
П.П. Карташов, А.А. Львов ОЦЕНИВАНИЕ ОБЪЕМА ПАТОЛОГИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ МОЗГА ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ МАГНИТОРЕЗОНАНСНОЙ ТОМОГРАММЫ
Описана автоматическая технология оценки объема опухолевых областей и новообразований по томограммам мозга. Предлагается адаптивная обработка динамических окрестностей изображения по оценке локальной энтропии. Приводится двухкритериальный принцип оценки.
Магниторезонансная томограмма мозга, кросс-корреляция, автоматическая сегментация изображения, модель Маркова.
P.P. Kartashov, A.A. Lvov TUMOROUS OBJECTS VOLUME ASSESSMENTS FROM BRAIN MR IMAGES
The work is the research of new automated technique of tumor and neoplasm volume assessment on brain MRI. First, the authors propose adaptive processing of dynamic local surroundings by estimating of local entropy. Then they suggest adaptive treatment of dynamic surrounding of the image according to the estimation of local entropy. The first one estimates cross correlation, the second one is based on Max-dependency principle.
Magnetic-resonance cerebral tomogram, cross-correlation, automatic image segmentation, Markov’s model.
Введение
Задача клинического наблюдения изменений пораженных областей мозга является нетривиальной и требует точного количественного анализа. Процесс наблюдения служит для прогнозирования будущего состояния опухоли, оценки патологических изменений. Цель данной статьи - предложить полностью автоматический метод оценки объема различных опухолей в головном мозге человека.
На данный момент различные методы извлечения опухоли мозга из изображений магниторезонансных томограмм (МРТ) были предложены и протестированы. Некоторые исследования основаны на шаблоне атласа мозга и прямой классификации объектов на нем [2-4, 8]. Эти подходы являются хорошим решением для объемной визуализации частных структур и тканей. Однако необходимо отметить, что они не являются полностью универсальным решением и требуют фитинга между слоями. Некоторые работы разрешают частично проблему извлечения пораженных областей на основе теории нечетких множеств [3, 6] и нацелены на отыскание оптимального геометрического пути. Отдельно стоящая проблема
мониторинга роста опухоли и глиомы в 3Б представлена в таких работах как [10] и фокусируется на диффузионной модели трехмерного представления по атласу.
В работе проводится попытка построения вероятностной модели, основанной на предположении, что двухмерный дискретный измеренный сигнал МРТ является реализацией трехмерного источника. Задаваясь этим, введена мера взаимозависимости данных между слоями изображений, что реализуется в алгоритме независимого оценивания объема по проекциями (НООП). Конечной целью алгоритма является удовлетворение принципа максимума зависимости между всеми соседними слоями. В дополнение проведено сравнение методов предобработки, основанных на оценке локальной энтропии и оценки среднеквадратического отклонения.
1. Общая идея
Система «МРТ Исследования» разработана в качестве автоматизированного исследовательского и прикладного средства. В данной работе раскрывается базовая техника, применяемая в двумерном и трехмерном пространстве, т.е. результаты 2Б (обозначение 2-мерного представления изображений) обработки отражаются на псевдо-3Б (трехмерные) реконструкции и численном анализе в виде последовательности взаимодействий между модулями.
Рис. 1. Диаграмма последовательной обработки двумерных данных МРТ
Общая концепция функционирования системы представлена на диаграмме (рис. 1). Данный набор осуществляет адаптивную реконструкцию взаимосвязанных наборов данных. Здесь необходимо заметить, что реализованные алгоритмы пока не являются оптимальными, с точки зрения гарантии быстрого сведения к результату. Данную работу планируется осуществить в будущих исследованиях.
2.1. Адаптивная предобработка
Функция преобразования локальных контрастов может быть определена при использовании априорной недетерминированности яркостей локальных окрестностей. Имея это, возможно оценить гладкость локальных контрастов [1]. Требуемая равномерность распределения гистограммы и отсутствие артефактов и шумов могут быть достигнуты после устранения шумов и первичной обработки изображения.
В рамках работы исследовано, что типичное МРТ изображение после предобработки имеет нормальную гистограмму интенсивности, а также распределение вероятностей, и следовательно, может быть представлено в виде гауссова смешивания, что, в свою очередь, позволяет выделить 3-4 класса по интенсивности монохромного изображения. Предлагается следующая классификация: здоровые регионы (серое вещество мозга, белое вещество мозга), патологические гиподенсивные очаги (увеличение интенсивности), гиперденсивные (снижение интенсивности), нормальные регионы, совпадающие по интенсивности, а иногда и по локализации с патологическими (такие как желудочек, извилины), нормальные регионы, совпадающие по интенсивности с патологическими, но не входящие в этот класс по локализации (такие как кость).
Обозначим Щ,у) локальный контраст элемента изображения (/',у). Локальная энтропия изображения в скользящей окрестности 5 и размерности (п, т) пикселей может быть определена из классического представления энтропии:
Значение Щ, у) следует интерпретировать как вероятность яркости (/', у)-го локального элемента. В таком подходе выражение (1) для локальной энтропии не совпадает с общепринятым определением стохастической энтропии. В соответствии с (1), локальная окрестность должна рассматриваться как сложная система, составленная из множества элементарных подсистем - частей окрестности. Учитывая это, воспользуемся понятием гистограммы изображения для вычисления вероятностей Р(/', у) в (1):
п ■ т
где И(Щ, у)) - гистограмма элемента со значением яркости Щ, у).
На основе вычисленных энтропий, применим нелинейное экспоненциальное преобразование локальных контрастов:
где 8шах, вш;п - максимальное и минимальное значения энтропии скользящей окрестности; £ - нелинейный параметр контрастного усиления/снижения.
Экспоненциальное преобразование имеет адаптивный характер, т.к. берет в расчет распределение локального окна исходного изображения. Однако, необходимо повторить, что метод достигает лучшей эффективности при нормальном распределении гистограммы и сигнала, очищенного от шумов. Чтобы очистить входной источник, могут быть предложены несколько шагов на стадии предобработки «сырых» данных, например устраняющих частные виды артефактов, но в рамках данной статьи эти подходы не детализированы.
2. Метод
£ [P(i, ./)1оё2 р(и у)] 8 = у---------------------------
(1)
1о§2(пт)
В целях улучшения качества обработки, возможно внедрить критерий, основанный на кросс-корреляции
£ К1™ & Л - К™ )(1е(, ]) - ^)]
Я О',7) ®а,7) = /£[(т т 2 {. т 2 ,
[((., 7) - Тгои- ) (1ге.* (Л 7) - ) ]
где 1гок, 1ге!1 обозначают исходное и результирующее изображения соответственно; 1гок, 1ге!1 -их среднее. Введя пороговое значение Я, критерий может быть выражен следующим образом:
Ят < Я для каждого слоя в наблюдении. (3)
В соответствии с данным выражением, этап предобработки заканчивается, когда корреляция не превышает пороговое значение. Этот итеративный процесс сопровождается подстройкой 8Шт и аш;п в (2) в направлении Ят ^ 1.
Так как разработанная автоматическая сегментация МРТ мозга включает оператор Лапласа и предложенный Андрюсом [11] метод корреляционных коэффициентов лапласиана, в дальнейшем можно провести исследования возможности применения подобного подхода к МРТ мозга. Данный подход осуществляет поиск в частотной области согласно теореме Парсеваля, но преобразованный произведением спектра О.ГО№ на квадрат частоты:
я;=-
| | (®2 +®2 )1 Я™ К +®у )|2 ^Х^ у
В действительности, данная метрика может быть включена как дополнительное усовершенствование в оценивании при обработке и сегментации.
2.2. Автоматическая сегментация патологий на 2D МРТ
Согласно диаграмме на рис. 1, следующим этапом следует автоматическая сегментация. Ядро этого процесса построено на основе принципа связанности объектов. Здесь используется вероятностный подход для поиска степени принадлежности элемента изображения к объекту [2] в следующем порядке:
• пиксель - к множеству пикселей-соседей;
• множество пикселей - к ближайшему элементарному объекту;
• элементарный объект - к другому элементарному объекту;
• множество элементарных объектов - к составному объекту.
В системе реализованы различные параметрические инструменты выполнения поиска, такие как направление поиска, количество рассматриваемых соседей - /, матрица связанностей 8СОп в прямоугольной области (а, Ь), маски Лапласа.
Было определено, что удачный набор масок Лапласа, принцип 8-связанности и некоторые характерные визуальные шаблоны (как кость, глаза), набор порогов интенсивности могут устранить непатологические объекты из рассмотрения с ожидаемой точностью до 97%.
Для окна 1(к1, к2; т1, т2) изображения МРТ можно формализовать подход классификации объектов и извлечения опухолевых областей следующим образом:
, \ , , / о\ (1 объект"
{I(к^ к2; Щ, т2) < °) и(/ (к^ к2; т^ т2) < О) (к^ к2; ml, т2) < N / = 1 0 ^"фон" .
< О, < О - оператор наложения маски Лапласиана и оператор 8-связанности соответственно; < N0 - оператор сопоставления с паттерном при использовании нормальных (непатологических) шаблонов (о - индекс паттерна в общем наборе сегментации изображения).
зо
ад
ад
ад
В исследовании был осуществлен анализ применимости вероятностного подхода для автоматической сегментации изображений. Предположим, соседствующие элементы изображения являются взаимосвязанными состояниями системы, взаимосвязь которых определяется из вероятностей перехода из существующего состояния в последующее. Таким образом, модель томограммы может быть описана цепью Маркова, в общем виде, а свойство перехода из состояния . в состояние 7 за п временных шагов определяется как
рп) = Р (Хп = 7IX, =').
На рис. 2 показан пример проверки применимости модели Маркова для типичной томограммы. Видно, что вероятности показывают высокую взаимосвязанность в данных между соседними состояниями, что облегчает задачу описания состояния переходов системы.
Рис. 2. Слева направо: оригинал томограммы (Т1 взвешенное), изображение вероятностей переходов из состояния i в состояние /+1, изображение вероятностей переходов из состояния i в состояние /+3. (Белый цвет означает, что вероятность перехода равна 1 (max), при этом усиление контрастности в сторону светло-серого от контрастного темного означает снижение вероятности перехода)
2.3. Количественный анализ объема
Результаты сегментаций и разметки двумерных изображений МРТ служат для вычисления объема патологических объектов в рамках исследования. Финальная цель данной статьи - предоставить законченное решение для оценивания объема, при этом достигая хорошей точности и приемлемой производительности предлагаемых алгоритмов. Целевой объем может быть вычислен при использовании следующего выражения:
(5^е[АуЕ^ £ 2 5^'JS] + 5^['JS])
уУе[ АуЕ ] =__________г'е(1,фУ)_________________________________________^ (4)
где А, Е, 5 - индексы плоскостей (проекций) сканирования - аксиальный, фронтальный и сагиттальный соответственно; т - шаг сканирования между слоями (резолюция МРТ); 5. - площадь (относительная единица, показывающая отношение патологической области к общей области мозга или головы) .-го слоя. Это выражение было названо независимой оценкой объема по проекциям.
Введем параметр и - качество оценивания объема. Этот критерий также определяет статистическую ошибку оценивания косвенно, т.к. является аналогом ошибки наблюдений по зависимым данным или от единственного источника. Можно доказать данное предположение, рассматривая осуществление количественного анализа от единого физического объ-
екта, но в разных срезах томограммы, т. е. проводится измерение от единственного источника сигнала.
Ранее, экспериментальными измерениями было показано, что прямое вычисление объема из набора данных 2Б изображений не может удовлетворять по точности при дистанции между слоями, превышающим 5-7 мм. При этом ошибка растет экспоненциально при линейном увеличении дистанции. Имея этот факт, нами был разработан и протестирован итеративный метод, который получает на вход пару метрик, определяющих качество объемного анализа.
Введем критерий, подобный (3), но оценивающий кросс-корреляцию двух соседних слоев изображения томограммы, между которыми планируется вычисление объема. В целях улучшения оценивания, мы можем отбросить (не включать в рассмотрение) непатологические элементы изображения и, тем самым, исключить вносимые искажения объектами, не являющимися областями интереса. Данное решение также позволяет получить преимущество в производительности.
~ ~ £[й (., 7) - М+Д 7) - Ъ]
Я = ~ (., 7) ® ~+1 (., 7) = 7 ~ ~ ~ . (5)
[(Ь (., 7) - Ь )2( 1к+Д 7) - 1к+1)2 ]
В (5) 1к, 1к+1 означают к-й и (к+1)-й слои патологического объекта соответственно и
!к, !к+1 - их средние. Вводя пороговое значение, получаем условие для ф-й пары слоев из се-
рии Ф:
Яф< Я, фе [1; Ф-1]. (6)
Этот процесс не предполагает подстройку 8ш;п и аш;п. При неудовлетворении условия
создается новый слой между к-м и (к+1)-м.
В работе мы используем эвристическое априорное знание о взаимозависимости между слоями изображений, т.к. изображение есть результат свертки непрерывного сигнала. Сканируемое изображение - это результат отображения одномерного сигнала в пространстве. Мера взаимозависимости пропорциональна расстоянию между слоями изображений. Дополнительно, возможно доказать, что условная вероятность Р(х, у) двух изображений, как и апостериорная Р(к | р), имеет нормальное статистическое распределение даже при ненормальном распространении единичного источника или, более точно, является моделью гауссова смешивания.
Основываясь на этом, был разработан и внедрен второй оценщик в алгоритм - взаимная информация двух смежных слоев. Как было отмечено выше, предлагается оценивать только по патологическим (либо подозрительным) областям изображения. Обозначим взаимную информацию через М1
М1 = £ (р( х у ) 1о§2(Р( х у)) - Р( х) 1оБ2 (Р( х)) - Р(У ) 1о§2(Р(У ))). (7)
£
где £ в сумме означает уровень квантования изображения; Р(х), Р(у) - вероятности, что пиксель изображения имеет значение х и у; Р(х, у) - двойная гистограмма двух изображений и представляет собой вероятность пикселя (., 7), имеющего значения х в к-м слое и тот же пиксель, имеющий значение у в (к+1)-м изображении. Вероятность определяется как:
Р(х У) = Р(~ (Л 7) = х 1 ~к+1(i, 7) = У) . (8)
Искомое условие может быть записано как
М ф< М1г4 фе [1; Ф-1],
где М1г4 - предопределенное (гарантированное) пороговое значение; ф - индекс пары смежных слоев и Ф - общее число слоев.
Очевидно, что выбор Мї^ подчинен нелинейной закономерности. Параметр зависит от размерности оцениваемых слоев, дистанции между слоями и должен быть получен из ло-гарифмически-экспоненциального выражения. Более того, можно показать (согласуется с экспериментальными результатами также), что:
MJref <х exp
n•m• т K • log m max
12O
1OO
BO
6O
4O
2O
t I A *A и m ш Л________I .i >
126 151 176 2O1 226 251
Рис. 3. Типичная гистограмма 2-го порядка двух смежных слоев МР изображений. Пунктирная линия изображает нормальное распределение
т-n m
min min
O
Таким образом, мы подошли к принципу максимума зависимости, который может быть разложен в двухкритериальный подход
max MIф (Ik, Ik+1 | Г /1 e" патология")
and RS ^ 1(Г/1 e"патология"), Уфе [1;Ф-1].
В результате, если оценки (4) и (6) для двух слоев МРТ не удовлетворяют (5) и (8) соответственно, система отклоняет оценивание объема между данной парой и пытается создать новый слой между этими двумя, используя однородный квадратичный B-сплайн для реконструкции кривой в пространстве:
Si = [t2 t 1]
(N - і Г S-11
- 2 - 2 0 Si
_ 1 1 0_ I +
t є [0,1].
На данном этапе восстановления используется поиск ближайших соседей для двух точек (одна точка из одного слоя), соответствующих единственной кривой. Тогда возможно провести вычисление нового значения для точки Si как интерполированного значения дискретной кривой. Метод опосредованно воссоздает недостающие данные для возможной 3D реконструкции.
Итоговый комплексный алгоритм НООП для количественного анализа патологических областей представлен следующим образом в виде псевдокода:
1. (Пере)инициализировать пороги сегментации, шаблоны для извлечения локализации пораженных (подозрительных) областей (G, N°, Scon)
2. (Пере)инициализировать smin и amm.
3. Выполнить предобработку по (1) для всех слоев изображений в наблюдении
4. if (условие (3) достигнуто) Остановить препроцессинг Else GoTo Шаг 2
5. Выполнить сегментацию изображения
6. Инициализировать R, MIref, v;
7. While k < Ф do
8. Вычислить коэффициент(ы) R по (5)
9. Вычислить MI по (7)
10. if (Rk < R & MIk < MIref)
11. Зафиксировать слои k и k+1
12. Else Вставить новый слой между k-м и (k+1)-M; Ф = Ф +1;
Установить xk k+1 = Tk+1 k+2 = Tk k+1 / 2 ; GoTo Шаг 7
13. End Else
14. k=k+1
15. End While
16. Вычислить НООП V^, V^-, Vb- независимо;
17. If (mod(VoAb] - Vol-)< v and mod(V;Ab] - V£j)< v and modfVjj - ¥£-)< v) ^
18. GoTo Шаг 20;
19. Else GoTo Шаг 1;
20. Результаты независимого оценивания объема VAbj, VFj, V^-. Усреднение.
Ошибка оценивания в данной модели зависит от шага сканирования между слоями, выбора критерия v и может быть определена только экспериментально. Сходимость процесса достигается минимизацией расхождения в вычислениях между каждой проекцией, т.е.
d<v, We [A 0 F 0 S].
3. Экспериментальные результаты
Данная секция представляет важные результаты исследований выполнения отдельных частей алгоритма. Результирующие изображения показаны в виде единого примера последовательной обработки. Экспериментальный набор данных включал данные МРТ головы 8 человек с обнаруженными патологиями. Моделирование предложенных алгоритмов было выполнено в исследовательском программном комплексе МРТ Исследования. При тестировании были использованы два различных формата данных (8 и 12 бит на пиксель) и с разрешениями 256x256 и 512x512. Рис. 6 иллюстрирует пример обработки и концепцию предложенного метода.
Помимо общего подхода, было начато исследование применимости адаптивного преобразования. В таблице представлены основные результаты сравнения двух методик (оценки по локальной энтропии с нелинейной адаптацией и оценки локального среднеквадратического отклонения). Оба основаны на вероятностной модели и реализованы в виде нелинейного преобразования. Очевидно, что оба подхода дают робастное улучшение изображений МРТ, соблюдая информативность (плотность информации) динамического локального окна. В течение тестирования было обнаружено, что оценивание локальной энтропии лучше соответствует экспертной сегментации и является более точным при наличии шумов и артефактов. Более того, предложенный инструмент дает больше параметрических настроек для более мягкой подстройки.
Следующий шаг нацелен на доказательство состоятельности алгоритма и его сведение к завершению. Рис. 4 а и б отображают общие значимые результаты тестирования и доказательство статистической зависимости между слоями изображений. Как показано, корреляция убывает линейно при увеличении шага сканирования, но взаимная информация не столь предсказуема из-за логарифмического распределения и двусмысленности ограничения «патологическая область». Так, например, 3-е наблюдение было выбрано таким образом, что пораженные области между 1-м и 4-м (1-е и 5-е) изображениями не подходили пространственно, но сопряжены по гистограмме интенсивности, остальные слои - связаны слабо друг с другом. Этот факт может быть обнаружен как низкий уровень взаимной информации между слоями и ее деградации на 3-м и 4-м шаге между изображениями. Таким образом, эффект мнимой зависимости в данных может быть обнаружен.
Результаты доказывают, что парное оценивание улучшает процесс и не является результатом повторения одного из другого. Например, первое наблюдение (аксиальное Т2-взвешенное МР изображение) имеет восходящий тренд взаимной информации, при этом кросс-корреляция
убывающая и следовательно, не может удовлетворять предложенному алгоритму по порогу R . Как результат, если 1-й слой был бы ближе к 3-му, алгоритм отвергнет вычисление объема между этими слоями и вставит новый слой между ними. Обратная ситуация может быть рассмотрена в третьем наблюдении, где кросс-корреляция между 1-м и 2-м слоями равна 0,97, но взаимная информация не может удовлетворить пороговому условию, принимая во внимания шаг сканирования (5 мм) и хорошее разрешение изображений (512x512).
Сравнение оценщика локальной энтропии (первый компонент), с оценщиком СКО (второй)
МР изображение Корреляция Rj Стандартное отклонение (вероятность) Расхождение в оценке площади, %
Чистый (аксиальный 0,99968 0,0231 12,4
Т2 512x512) 0,99972 0,0219 7,0
Шумовой (аксиальный 0,99973 0,0248 37,1
Т2 512x512) 0,99982 0,0248 25,8
Чистый (коронарный 0,99996 0,0275 25,6
Т2 512x512) 0,99976 0,0278 57,0
Шумовой (коронарный 0,99985 0,0299 38,5
Т2 512x512) 0,99995 0,0298 32,1
б
а
Рис. 4. Зависимость корреляции (а) и взаимной информации (б) от дистанции сканирования (растет пропорционально шагу сканирования)
На данный момент, по причине ограниченности набора данных, нельзя гарантировать, что точность оценивания объема высока. В моделировании использовались фиксированные пороги Я = 0,92 л М1ге/ = 3,1. Дополнительно нужно отметить, что реализация В-сплайнов пока не является хорошо спроектированной в системе и ограничена наличием единственного искомого объекта в слое.
Рис. 5. Пример реализации контрастного усиления МРТ Т2 (изображения слева направо: необработанное, оценка СКО, оценка энтропии)
а б в г
Рис. 6. Пример последовательной обработки МРТ Т2-взвешенных изображений (патологии обозначены темным цветом со светлыми границами): а - исходное необработанное изображение; б - опухолевая область (15,94% от площади головы), извлечение без адаптивной предобработки (к = 4, Scon ^ default); в - опухолевая область (14,56% от площади головы)
с применением адаптивного преобразования контрастов (amin = 0,2); г - то же, что и (в), но для изображения следующего слоя. Результаты: R% = 0,9945 , MIф = 3,16
Заключение
Исследование базируется на принципе связанности и зависимости данных, будучи реализацией одного источника - так называемый принцип максимума зависимости. Разработана и промоделирована нелинейная адаптивная трансформация локальных контрастов изображения МРТ. Разработан двухкритериальный подход, оценивающий зависимость данных по слоям изображений, который в дальнейшем нашел применение в системе независимого оценивания объема опухолевых областей по проекциям томографии. В дальнейшем планируется оптимизация реализованных техник и проведение более обширных экспериментов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Peng H. Feature selection based on mutual information: criteria of max-dependency, max-relevance and min-redundancy / H. Peng, F. Long, C. Ding // IEEE Transactions on Pattern analysis and machine intelligence. Aug. 2005. Vol. 27. № 8. P. 1226-1238.
2. Soltanian-Zadeh H. Optimal linear transformation for MRI feature extraction / H. Solta-nian-Zadeh, J. Windham, D. Peck // IEEE Transactions on Medical Imagining. Dec. 1996. Vol. 15. № 6. P. 749-767.
3. Zhou Y. Atlas-based fuzzy connectedness segmentation and intensity nonuniformity correction applied to brain MRI / Y. Zhou, J. Bai // IEEE Transactions on Medical Imagining. Oct. 2005. Vol. 24. № 10. P. 122-129.
4. Dawant B.M. Brain atlas deformation in the presence of small and large space-occupying tumors / B.M. Dawant, S.L. Hartmann, S. Pan, S. Gadamsetty // Comput. Aided Surg. 2002. Vol. 7. № 1.P. 1-10.
5. Dash L. Adaptive contrast enhancement and de-enhancement / L. Dash, B.N. Chatterji // Pattern Recognition. 1992. Vol. 24. № 4. P. 28-47.
6. Segmenting Medical Images with Fuzzy Models: an Update In: R. Yager, D. Dubois and H. Prade / J.C. Bezdek, L.O. Hall, M. Clark et al. // Fuzzy Set Methods in Information Engineering: A Guided Tour of Applications. John Wiley and Sons, 1996. Р. 112-120.
7. Zhang Y. Segmentation of brain MR images through a Hidden Markov random field model and the expectation maximization algorithm / Y. Zhang, M. Brady, S. Smith // IEEE Trans. Med Image. Jan 2001. Vol. 20 (01). P. 45-57.
8. An accurate and efficient Bayesian method for automatic segmentation of brain / J.L. Marroquin, B.C. Venuri, S. Botello et al. // MRI IEEE Trans. Med Image. Aug 2002. Vol. 21(08). P. 934-945.
9. Torralba A. Contextual Priming for Object Detection / A. Torralba // International Journal of Computer Vision. 2003. № 53(2). P. 169-191.
10. Tracqui P. Modeling three-dimensional growth of brain tumours from time series of scans / P. Tracqui, M. Mendjeli // Math. Models Meth. Appl. Sci. Jun. 1999. Vol. 19. № 4. P. 581-598.
11. Andrews H. Computer techniques in image processing / H. Andrews. NY: Academic Press, 1970. 180 р.
12. Hivarinein A. Independent component analysis / A. Hivarinein, J. Karhunen, E. Oja. John Wiley & Sons, 2001. 126 р.
13. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2 т. / У. Прэтт; пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 1. 310 с.
14. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2 т. / У. Прэтт; пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 2. 478 с.
15. Карташов П.П. Идентификация объектов на изображениях магнитно-резонансных томограмм мозга / П. П. Карташов, А. А. Львов // Математические методы в технике и технологиях: материалы 20-й Междунар. науч. конф.: в 8 т. Ярославль: ЯГТУ, 2007. Т. 7. С. 122-125.
Карташов Петр Петрович - Kartashov Pyotr Petrovich -
аспирант кафедры Post-graduate student
«Техническая кибернетика и информатика» of the Department of «Technical Cybernetics Саратовского государственного and Computer Engineering»
технического университета of Saratov State Technical University
Львов Алексей Арленович - L’vov Aleksey Arlenovich -
доктор технических наук, профессор кафедры Doctor of Technical Sciences, Professor «Техническая кибернетика и информатика» of the Department of «Technical Cybernetics Саратовского государственного and Computer Engineering»
технического университета of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 02.06.09, принята к опубликованию 17.07.09
