Оценивание коллекторских свойств слоистых систем при нестационарной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

Е. Р. Бадертдинова

ОЦЕНИВАНИЕ КОЛЛЕКТОРСКИХ СВОЙСТВ СЛОИСТЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Предлагается вычислительный алгоритм на основе методов регуляризации для оценки фильтрационных параметров слоистого пласта по результатам нестационарных гидродинамических исследований вертикальных скважин.

Большинство эксплуатируемых нефтяных месторождений по своей структуре являются многопластовыми. На таких месторождениях в настоящее время применяется совместная разработка нескольких пропластков единой системой эксплуатационных скважин. Гидродинамические исследования многопластовых объектов имеют важное практическое значение, так как являются основным источником информации о фильтрационных параметрах пласта. Они позволяют судить о доле участия каждого из пропластков в общей добычи нефти по месторождению и об их текущей и конечной нефтеотдачах.

При изучении вопроса о течении жидкости к эксплуатационным скважинам в многопластовой системе приходится учитывать возможные ее перетоки из одного пропластка в другой. Обычно хорошо проницаемые пропластки перемеживаются со слабо проницаемыми. Если отношение коэффициентов проницаемостей двух соседних пропластков мало, то применима схема Мятиева-Гиринского [1]. По этой схеме пласт в вертикальном разрезе состоит из нескольких пропластков (слоев), где хорошо проницаемые слои чередуются со слабо проницаемыми. В хорошо проницаемых пластах пренебрегают вертикальной составляющей скорости фильтрации и течение полагают горизонтальным (вдоль пропластка), а в слабо проницаемых пластах пренебрегают горизонтальной составляющей скорости и течение полагают перпендикулярным к направлению напластования.

В данной работе рассматривается задача об определении коэффициента гидропроводности слоистого пласта, насыщенного однородной слабо сжимаемой жидкостью. Она принадлежит к классу обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики и является некорректно поставленной и нелинейной.

При постановке обратной задачи будем предполагать известной постановку прямой задачи. По схеме Мятиева-Гиринского задача об определении полей давлений р1 = р1 (х,у1), р2 = р2(х,у), ..., рп = рп (х,у) в пласте с непроницаемыми кровлей и

подошвой, разделенном слабо проницаемыми перемычками при одновременно раздельной эксплуатации, сводится к решению системы дифференциальных уравнений в

т

многосвязной области Б с границей ЭО = Г + ^ Г/ , где Г/ - окружности радиуса гс

I =1

р Н 1 эр1 + Ц1р1 + р1 - р 2) = 0;

эг

р Н 3 Эр2 + ^2 р 2 + «1 (р 2 - р1 ) + «2 (р 2 - р 3 ) = 0;

эг

р Н2п-1 эр^ + Цпрп + «п-1 (рп -рп-1 ) = 0

с начальными и граничными условиями

| С 2* -1 ^п^ = Як! ,

Фк

Эт

0, р*

Г/

Г

0,

(2)

рк (х,у ,0) = фк, к = 1,2..п, I = 1,2,...,т,

где Ц/р/ °-С(/ У (°21 -1дгаб р1 ), I = 1,2,...,П , О21 -1, н2/ -1 - коэффициент

гидропроводности и толщина хорошо проницаемых пропластков; ц = а2|/Н2|,

I = 1,2,..., П -1, О2/, Н 2/ - коэффициент гидропроводности и толщина слабо проницаемых

перемычек, р * - коэффициент упругоемкости.

При постановке граничных условий на скважинах необходимо учитывать, что закачка и отбор жидкости производятся только из хорошо проницаемых пропластков. В слабо проницаемых пропластках поверхность скважин непроницаема.

В операторной форме задача (1)-(2) запишется в виде

р *Эр + 1р = 0, 0 < 1 < Т;

^ эг

Мр = 0 (г), Мр = 0, р| Г = р 0, р|г =0 = р.

Здесь р = (р1,р2 рп ),

(3)

(4)

L =

L1 + ©1^

Н1 Н1

(01Е 1~2 + (О1Е + (О2Е (02Е

Н3 Н3 Н 3

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

Цп -1 + ©п -2е + ©п -1Е Цп -1 + ©п -2е + ©п -1Е

Н

2п -3

Ю,

п -1

Н 2п -3 Цп + ©п -1Е

Н

2п -1

Н

2п -1

М = {тк1 }, М = {пк/ } - матрицы ^ X да с элементами

Э , Э

т

к/

|О 2к-1 —

_ _ , п к/

Эп к/ Эт

; 0 ={7к/(г)} - матрица дебитов.

Г

Обратная коэффициентная задача состоит в нахождении О = (о 1,О2,...,О2п-1). Исходными данными для нее являются заданные дебиты Ц ^ (), забойные давления

0

рк/(г )=рк(г |Г. и значения функций давления на границе области фильтрации. Эта

(5)

обратная задача порождает некоторый неявно заданный нелинейный оператор

*

Ла = Р ,

где с = (с 1, С2С2П _1), р * = {Р* } - матрица забойных давлений,

Т

Ркі = | Р* (), к = 1,2.......п , I = 1,2...т .

о

Обычно матрица Р известна неточно:

Р _ Ря

£ Я , где

норма в

евклидовом пространстве ^пт, 8 - погрешность измерений. Решение операторного уравнения (5) с приближенной правой частью осуществляется на основе минимизации сглаживающего функционала А.Н. Тихонова [2]

2

М а (а ) =

2п _1

где

Ла _Ря|| + аО(с),

2п _1 2

□(с )= ^ (с/ _ а° ) , а = а (Я) - параметр регуляризации, согласующийся с

С0 - приближенные значения коэффициентов

/ =1

погрешностью измерений. гидропроводности.

Последовательные приближения Оп строятся следующим образом: в окрестности Оп при фиксированном значении параметра регуляризации а = ап нелинейный оператор Ао представляется в виде

Ао = Аоп + АО (оп )(о - оп)+ о ( о - с где А'О (оп )(о - Оп ) - дифференциал Фреше в точке Оп . Функционал М ап (о) = Аоп + АО (оп )(о - оп) - Р§ + ап О(о)

является квадратичным и его экстремаль находится из уравнения Эйлера.

Явное выражение дифференциала Фреше можно получить методами теории возмущений [3]. Предположим, что известно приближение О = (с~1 , С~2 ,..., <~2п -1)

коэффициента гидропроводности О, т.е. О = О + 8о и р =(р1, р2,-", Рп ) - решение краевой задачи

),

Ь * ~~ = 0,0 < Ї £ Т ;

Мір = 0 ( ),Мр = 0, р[ = 0 = р, р|г = ро .

л

Здесь I- и М - операторы, которые получаются из 1_ и М заменой а на С.

(6)

Краевую задачу (3),(4) будем называть невозмущенной. Обозначим

Р* () = Рк ()|г -Рк! () = рк ()|г давления на забое і - ой скважины в к- ом пласте и

г і Ігі

определим от решений задач (3)-(4) и (6)-(7) функционалы

Т Т

Ікі (Р ) = 1Р* ( №, Ікі (р )= I р* ( >/Ґ ,к = 1,2...п,1 = 1,2....т .

0 0

Установим связь между изменением коэффициента гидропроводности Яа = а _ р и изменениями функционалов

Яці = Ікі (Р)_Ікі (Лк = 1,2......п,і = 1,2....т .

Рассмотрим вектор-функции = (р |/ ,р 2/ р^ )/ = 1,2,...,п,/ = 1,2,...,т ,

которые являются решениями краевых задач

_Р*^ + 1-р' = 0, (8)

Мір/ = Е/,Мо/ = 0,С г = р0,р/ і Т = 0 , (9)

Г

где Бу - матрица п X т, у которой элемент, стоящий на пересечении I - ой строки и ] -го столбца, равен единице, а остальные элементы равны нулю. Краевые задачи (8)-(9) будем называть сопряженными.

Определим скалярное произведение функций а=а(х,у), Ь=Ь(х,у) и вектор-

функций Г=( ^ ,..., ^), Я=( 91, Я2, ... , Яп) как (а, Ь) = | а (х , у Ь (х, у )СхСу ,

О

^д) = ^1(^1,Я1) + ^^,д2) + ... + Ьп (^ Яп )■

где ({■, , д / ) = | f/g/ бхбу , 1п/ - весовые коэффициенты.

О

Имеют место равенства

р* ^(р, р у) + (8 Цр , р /■) + р, р /■) - (цр /, р) = 0, (10)

О О / \ / О О / \ / О / О

р ^{р , ру ) + , ру ) - \/р) , ^ = 0. (11)

Вычитая из равенства (10) равенство (11) и, учитывая

X 1О2/-р = X 1 <°2/-р , / ,/ = ^ У = ^ ,

к =1Гк ^п к =1Гк ^п

получим

Р*^(р -ОУ + У +Х 1О/ 8<1 ^" +Х 1 Р'п]8<2п-1 +

^ к =1Гк 6 п к =1Гк 6п

+ р* (Г)-р* (Г ) = 0,/ = 1,2,...,п, у = 1,2,..., т. (12)

Применяя к (12) первую формулу Грина [4], интегрируя от 0 до Т и используя (6), получим

-^габр/ ,дгаб~ ^ + Х%\1рк -Рк +1-Й/ )-(Рк +1 -Рк -Рк +1/ Ь =

/ =10 к =1 о

= -(//■ (р)-1// (р))/ = 1,2 п, / = 1,2 т . (13)

Равенства (13) устанавливают связь между изменением коэффициента гидропроводности и изменениями забойных давлений.

Заменяя в (13) Рк на Рк и, полагая

А// = Х ! (^2/-1дгабР /, дгабр )я + / =10

+ ХтрМ^Рк - Рк +1-Рк./ )-(Рк +1 - Рк - рк +1/ ^- / = 1>2>->п - /' = 1-2.т ■

к=1 н2к 0

получим представление дифференциала Фреше

А а(<р )(^ - )

А11 2 А ■■ А 1т

А 21 2 2 А ■■ А 2 т

А п 1 Ап 2 . . А пт

Для получения численного решения прямой и сопряженных задач используется метод конечных разностей; при этом возникают трудности, связанные с аппроксимацией граничных условий на внутренних контурах Г/ . Контур скважины Г/ является границей

пласта, на которой должны быть заданы соответствующие граничные условия. Учитывая размеры этой границы, скважины часто рассматривают как точечные источники или стоки. Метод учета скважин в численных моделях фильтрации основан на допущении того, что вблизи скважины течение описывается аналитическим решением, граничные условия для которого определяются из численного решения задачи для пласта [5].

Расчеты на модельных задачах показали, что скорость сходимости итерационного процесса зависит от выбора начальных приближений коэффициентов гидропроводностей слабо проницаемых пропластков и мало зависит от начальных приближений коэффициентов гидропроводностей хорошо проницаемых пропластков. Практически выбор начального приближения коэффициента гидропроводности осуществляется следующим образом. При различных значениях коэффициентов гидропроводностей слабо проницаемых пропластков делается 5-6 итераций, затем в качестве приближенных значений коэффициентов гидропроводностей слабо проницаемых пропластков берутся такие значения, при которых невязка по забойным давлениям убывает наиболее быстро. Параметр регуляризации выбирался по критерию невязки [2]. Погрешности измерений Ц// (), Р// (?) на практике составляют 1-3%. При внесении этих погрешностей в исходные

данные максимальная погрешность определения коэффициента гидропроводности в зонах однородностей составила 5%.

Далее предложенный вычислительный алгоритм применяется для интерпретации результатов гидродинамических исследований, полученных со скважины №1182

Ромашкинского месторождения [6, 7]. Методы определения фильтрационных параметров пласта по кривым восстановления давления широко используются на практике. Они основаны на изучении неустановившихся процессов перераспределения давления после пуска или остановки скважины [6, 7].

Скважина №1182 вскрывает пласт с непроницаемыми кровлей и подошвой, разделенный слабо проницаемой перемычкой. Результаты измерений представлены в таблице. В качестве исходной информации используются графики убывания дебитов в зависимости от времени (рис.1), кривая изменения забойного давления после остановки скважины (рис. 2). При оценивании коллекторских свойств многослойных пластов графоаналитическими методами принимается, что при незначительных различиях в глубине залегания изменение забойного давления во времени будет одинаковым для всех пластов [6, 7].

Рис. 1 - Кривые изменения продолжающегося притока в первом (◊) и втором (А) пропластках

На рис.2 представлены результаты расчетов: кривая О соответствует наблюдаемым изменениям забойного давления; кривая 0- вычисленным изменениям забойного давления по первому пропластку; кривая А- вычисленным изменениям забойного давления по второму пропластку.

Значения коэффициентов гидропроводностей, полученные графоаналитическими методами, для хорошо проницаемых пропластков составили соответственно 0,245 и

0,365 мкм -м/мПа-с [6, 7]. Предложенным вычислительным алгоритмом, эти оценки

2

составили 0,301 и 0,444 мкм -м/мПа-с.

Рис. 2 - Кривые изменения забойных давлений

Литература

1. Басниев, К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993, - 416 с.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

3. Хайруллин М.Х. О решении обратных задач фильтрации многослойных пластов методом регуляризации // ДАН РАН. 1996. Т. 347, С. 103-105

4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

5. АзизХ., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982.

6. Блинов А.Ф., ДияшевР.Н. Исследование совместно эксплуатируемых пластов. М.: Недра, 1971.

7. Глоговский М.М., Дияшев Р.Н. Определение параметров при совместной эксплуатации пластов по кривым изменения дебита // Тр. МИНХ и ГП. Вып. 91 М.: Недра, 1968. С. 305-316.

© Е. Р. Бадертдинова - канд. техн. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ.