ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ СРЕДСТВ ВЫВЕДЕНИЯ ПО НЕОДНОРОДНЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МЕАА ОБ СОММИШСЛАОМ Iss. 3 (143). 2018

A. А. Ардашов

кандидат технических наук, старший научный сотрудник

B. Н. Арсеньев

доктор технических наук, профессор

C. Б. Силантьев

кандидат технических наук, доцент

М. А. Зайцев

ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ СРЕДСТВ ВЫВЕДЕНИЯ ПО НЕОДНОРОДНЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ

Рассматривается задача оценивания характеристик точности систем управления перспективных средств выведения по результатам испытаний опытных образцов в различных условиях. Получено более точное решение задачи приведения результатов испытаний к единым условиям, что позволило повысить качество оценивания характеристик системы управления.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: средства выведения, система управления, характеристики точности, опытные образцы, условия испытаний, неоднородная статистическая информация.

Введение

Заключительным этапом процесса создания систем управления (СУ) перспективных средств выведения (СВ) являются натурные испытания опытных образцов. В процессе их проведения ведутся доработки СУ, корректируются алгоритмы управления, могут изменяться граничные условия, полезные нагрузки и т. д. [1—8]. Вследствие этих причин получаемые данные о характеристиках СУ являются неоднородными [9—13]. Одним из путей устранения неоднородности является приведение результатов испытаний отдельных образцов к некоторым заранее заданным условиям испытаний [2, 8—10]. Качество оценок характеристик СУ, получаемых по объединенной таким образом выборке, существенно зависит от точности используемых операторов приведения. Целью работы является повышение точности определения операторов приведения по сравнению с известными методами решения этой задачи [8—10].

Постановка задачи

Пусть точность СУ характеризуется п — мер-

л

нымвектором АХ случайных вариаций фазовых координат СУ относительно расчетного значения в конечной точке траектории движения СВ. Значок «А» используется для отличия случайной величины от детерминированной.

Полагается [4], что распределение вектора АХ является многомерным нормальным N(МАХ , КАХ) с математическим ожиданием МАХ

и ковариационной матрицей КАХ . Величины М^Х и Кх определяют область рассеивания фазовых координат СУ относительно расчетной точки и называются точностными характеристиками (характеристиками точности) СУ. Они зависят от условий испытаний опытных образцов, которые, как уже отмечалось выше, могут отличаться граничными значениями, полезными нагрузками, значениями параметров СУ и т. д.

Пусть в некоторых первых условиях испытано il опытных образцов, а во вторых, отличных от первых, /2. Результаты испытаний представлены соответственно множествами АХ! j, у = 1,

__Л Л

и АХ 2у, У = 1, /2, значений векторов АХ1 и АХ2 вариаций фазовых координат СУ в конечных точках траекторий движения испытуемых образцов СВ.

Необходимо получить оценки М12 и К12 математического ожидания М^Х и ковариационной матрицы КАХ , характеризующих точность

СУ в первых условиях, по результатам испытаний опытных образцовв первых и вторых условиях испытаний.

Определение оператора приведения

Полагается, что в первых и вторых условиях

ЛЛ

испытаний векторы АХ1 и АХ2 связаны линейной зависимостью:

Л Л

АХ1 = Р12АХ 2, (1)

где Р12 — матрица размерности пхп, которая в дальнейшем называется оператором приведения результатов испытаний опытных образцов в условиях 2 к условиям 1.

В силу (1) матрица Р12 должна удовлетворять двум уравнениям

(2)

м л = р12м л ;

АХ1 АХ2

К

АХ1

Р12К

АХ 2

РТ Р12.

(3)

К

5м =

М Л - РпМ Л

АХ1 АХ 2

М л

АХ1

100%

5 * =

К Л А Х1 -р12К л Р1Т2 А Х2

К Л А Х1

100%.

Можно показать [4], что система уравнений (2), (3) приводится к виду

Ц1 = Qц 2;

QQT = I,

где

= П-1/2!

Ц/=°

Т

бТ М

А X/

Q = Р12Б2Б 2

(4)

(5)

1/2.

Оценки параметров М Л , М Л , К Л и

АХ1 АХ2 АХ1

могут быть получены путем многократных

АХ2

статистических испытаний модели СУ. Поскольку число испытаний может быть сколь угодно большим, то оценки обозначаются также как сами параметры.

Задача определения оператора приведения Р12 сводится к совместному решению линейного векторного уравнения (2) и нелинейного матричного уравнения (3). В качестве показателей точности полученного решения используются величины

Бг-БгБг- = К Л ; Бг- и Бг- — ортогональная и диа-

А X/

гональная матрицы, состоящие из собственных векторов и собственных значений матрицы К Л соответственно; /= 1, 2.

А X/

В общем случае точного решения системы уравнений (2), (3) (и соответствующей системы уравнений (4), (5)) может не существовать. Это может иметь место, когда реальная зависимость

ЛЛ

между векторами АХ1 и АХ2 отличается от линейной (1). В связи с этим предлагается следующий метод приближенного решения системы уравнений (2), (3).

Из (4) видно, что существует бесчисленное множество матриц Q, удовлетворяющих этому уравнению.

Пусть Q0 любая матрица, той же размерности, что и Q. Тогда общее решение уравнения (4) можно найти, минимизируя функционал J = «Г [^0 — Q) ^0 — Q) т] при условии = QЦ2, где & [•] — функция определения следа матрицы.

Решение этой задача, полученное методом неопределенных множителей Лагранжа, имеет вид

Q = Qo

I

1

л

т

Ц2 Ц2

Ц 2Ц2

1

Т

Ц2 Ц2

Ц1Ц2.

(6)

Легко проверить, что при любой матрице Q0 выполняется уравнение (4). В частном случае можно взять в качестве Q0 единичную матрицу I.

Матрица (6) подставляется в уравнение (5). Очевидно, что в общем случае она не обращает это уравнение в тождество. Однако, путем поочередного изменения элементов матрицы Q0 с небольшим шагом (0.001^0.01) в сторону

и

МЕАА ОБ СОММИШСАТЮМ ЕдШРМЕКТТ. Iss. 3 (143). 2018

уменьшения величины 5К можно получить достаточно точное с точки зрения показателей 5^ и 5К решение поставленной задачи.

При этом любая полученная таким образом матрица Q обеспечивает строгое выполнение условия (4), а соответствующая ей матрица

Р12 = З^^-1^ (7)

является решением уравнения (2).

Оценивание характеристик точности СУ

Результаты испытаний опытных образцов во вторых условиях, приведенные к первым условиям испытаний, Р^ЛХ2j, у = 1,¿2, и результаты испытаний опытных образцов в первых условиях ЛХ^, у = 1,¿1, рассматриваются как выборка из одной генеральной совокупности с законом распределения N(М^ , ). Тогда оценки Ml2 и Kl2математического ожидания М^ и ковариационной матрицы КЛ^1 , характеризующие точность СУ в первых условиях испытаний и учитывающие результаты испытаний в первых и вторых условиях, определяются по формулам

1 ( i1 ¿2 ^ М12 =—|ЕЛх1 ■ + Pl2 ЕЛХ 2 у

У=1

11 + ¿2 V у=1

1

и + и

¿1МЖ, + ¿2P12M^ ЛХ 2

(8)

K12 =

¿1 + ¿2 - 2

+Р

12

х|£[ЛХи - мЛХХ, ДЛХи - МЛХХ, Е |ЛХ 2 у - М ЛХ 2 ^(лХ 2 У - М лХХ 2 ' Г

у=lV ^

ри (9)

1

1

где МлХ, = 7 ЕЛХ1у; МЛХ2 = - ЕЛХ2у.

11 у=1 ¿2 у=1

Можно показать, что дисперсии элементов оценок М12 и К12 меньше дисперсий соответствующих элементов оценок, полученных только по результатам испытаний опытных образ-цовв первых условиях.

Пример

В качестве исследуемого объекта рассматривается ракета-носитель (РН), предназначенная для выведения космических аппаратов (КА) на две различные орбиты. Условия пусков РН отличаются координатами точки выведения. Трех-

Л

мерный вектор Л X состоит из отклонений фазовых координат РН от расчетных значений в конечных точках траекторий выведения. Отклонения измеряются в метрах.

Априорные оценки характеристик точности СУ РН и другие исходные данные заимствованы из [10]:

млХ, =[25 6 37Г; млХ2 =[24 8 12Г;

КЛХ1

КЛХ 2

' 814081 561 1403298"

561 1497 1031

1403298 1031 2428612

776354 548556 547578"

548556 388292 387339

547578 387339 387377

Соответствующий этим данным оператор приведения, полученный по формуле (7), имеет вид

Р,

12

1.22 0.23 -0.51 0.38 -0.83 0.30 0.62 -0.65 2.27

Величины, характеризующие точность данного решения, 5^ = 0, а 5К = 0.04 %. Для сравнения оператор приведения, найденный путем решения уравнения (3) (в соответствии с [8]), дает 5^ = 43 % и 5К = 0, а в соответствии с [9] — 5^ = 18 % и 5К = 0.06 %.

Поскольку реальные пуски РН не проводились, то необходимые статистические данные были получены путем испытаний модели СУ, приведенной в [10]. В первых условиях испытаний проведено 6 модельных пусков, результаты которых

ЛХ11 = [-1276-56-2290]Г;

ЛХ12 = [26-24 51] Г;

ЛХ13 = [1427 36 2456]Г;

ЛХ14 = [-729 11-1332]Г;

ЛХ15 = [684 17 1184]Г;

ЛХ16 = [54 39 189]Г,

а во вторых — 8 пусков с результатами: ДХ21 = [-1257-933-910] т; ДХ22 = [32 10 29] т; ДХ23 = [1388 999 974]т; ДХ24 = [-730-521-540] т; ДХ25 = [667 482 471]т; ДХ26 = [70 88 81]т; ДХ27 = [-446-308-316]т; ДХ28 = [429 258 289]т. По этим данным рассчитаны оценки

т тТж - Г1П о

МÄX, =[31 4 43Г ; Мх2 =[19

9 9]

мате-

матических ожиданий M^j

и M

ÄX 2

соответ-

ственно.

Тогда оценки M12 и K12 характеристик точности выведения РН в первых условиях пусков, учитывающие результаты пусков РН в первых и вторых условиях, в соответствии с формулами (8), (9) примут вид:

M12 = [26 3

K12 =

42

810956 6662 1419402

34]T;

6662 1419402' 820 12178 12178 2486901

Очевидно, что дисперсии элементов оценок Ml2 и ^2, учитывающих результаты 14 пусков РН в первых и вторых условиях, будут меньше дисперсий соответствующих элементов оценок Л!д£ и 1СдХ , полученных только по результатам 6 пусков РН в первых условиях.

Заключение

Приведение разнородных опытных данных к единым условиям испытаний позволяет повысить качество оценок характеристик точности СУ. Результат решения этой задачи существенно зависит от ошибок определения оператора приведения. Предложенный в данной статье подход, как показали многочисленные исследования, во всех случаях обеспечивает нулевую ошибку 5^ и, как правило, малое значение ошибки 5К. Он может быть использован при решении ряда смежных задач. Так результаты испытаний опытных образцовв первых условиях, наоборот, могут быть пересчитаны на вторые. Или же, в более общем случае, все испытания в первых и вторых условиях могут быть использованы для повышения качества оценивания характеристик точности СУ в некоторых, отличных от первых двух, третьих условиях испытаний. Возможны и другие, достаточно очевидные постановки задач, связанных с обработкой неоднородной статистической информации.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Поляков А. П. и др. Справочник по эксплуатации космических средств / Под ред. А. П. Полякова. — 2-е изд. перер. и доп. — СПб.: ВКА им. А. Ф. Можайского. — 2006. — 758 с.

2. Миронов В. И. Эффективность, надежность и испытания систем управления: учеб. пособие. — МО СССР, 1981. — 200 с.

3. Элементы теории испытаний и контроля технических систем / Под ред. Р. М. Юсупова. — Л.: Энергия, 1978. — 192 с.

4. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. — М.: Наука, 1976. — 415 с.

5. Буренок В. М., Найденов В. М. Испытательная база: выход из кризиса // Воздушно-космическая оборона. — 2009. — № 1 (44). — С. 18-25.

6. Шаракшанэ А. С., Халецкий А. К., Морозов И. А. Оценка характеристик сложных автоматизированных систем. — М.: Машиностроение, 1993. — 272 с.

7. Кринецкий Е. И., Александровская Л. Н., Шаронов А. В., Голубков А. С. Летные испытания ракет и космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1979. — 464 с.

8. Миронов В. И. Задача приведения вариаций фазовых координат нелинейных динамических систем к заданным условиям испытаний // Изв. АН СССР Техн. кибернетика. — 1970. — № 3. — С. 31-38.

9. Арсеньев В. Н. Определение характеристик точности системы по результатам ее испытаний в различных условиях испытаний // Изв. АН РФ. Техн. кибернетика. — 1992. № 2. — С. 118-121.

10. Арсеньев В. Н. Оценивание характеристик точности системы управления ракеты-носителя по результатам пусков в различных условиях // Изв. вузов. Приборостроение. — 2015. № 1. — С. 27-32.

11. Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 704 с.

12. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов, 9-е издание. М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 576 с.

13. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Физматлит, 2002. — 496 с.