CC BY
22
намику потребительского спроса и выпуска ВВП в различных ситуациях. Исследованы сценарии регулирования доходов населения за счет корректировки социальных трансфертов в направлении снижения неравенства доходов и введе-
ния прогрессивного налогообложения, которые продемонстрировали выход на траекторию роста потребительского спроса и ВВП, поддержание которой впоследствии должно быть обеспечено инвестиционными вложениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сценарные условия для формирования вариантов прогноза социально-экономического развития в 2013-2015 годах [Электронный ресурс] // Информационно-аналитические материалы Министерства экономического развития РФ, 2012. -Режим доступа: http://www.economy.gov.ru/minec/activity/ sections/macro/prognoz/doc20120511_003 (Дата обращения 01.09.2012)
2. Кудряшов, К.А. Личное потребление как фактор экономического роста [Текст] / К.А. Кудряшов // Актуальные проблемы экономики и права. -2011. -№ 2. -С. 31-34.
3. Российская Федерация. Документ по отдельным вопросам [Электронный ресурс] // Информационно-аналитические материалы Международного Валютного Фонда. -Вашингтон, округ Колумбия, 2012. -Режим доступа: http://www.imf.Org/external/russian/pubs/f1:/scr/2012/ cr12218r.pdf (Дата обращения 01.09.2012).
4. Шевяков, А.Ю. Неравенство доходов как фактор экономической и демографической динамики: Монография [Текст] / А.Ю. Шевяков. -М.: ИСЭПН РАН,
2010. - 43 с.
5. Ильясов, Б.Г. Методология системного моделирования и управления макроэкономической системой на неравновесных режимах [Текст] / Б.Г. Ильясов, Е.А. Макарова, Т. А. Карташева, Р.Р. Валитов // Управление большими системами: тр. Междунар. науч.-практ. мультиконф. Теория активных систем. -М.: ИПУ РАН,
2011. -С. 71-74.
6. Ильясов, Б.Г. Динамическая модель формирования доходов и расходов населения с учетом корректировки налоговых ставок и трансфертных платежей [Текст] / Б.Г. Ильясов, Е.А. Макарова, Р.Р. Валитов // Системный анализ в проектировании и управлении: Сб. науч. тр. XIV Междунар. науч.-практич. конф. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. -С. 121-129.
УДК 62-192: 519.254
В.Е. Гвоздев, М.А. Абдрафиков ОЦЕНИВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИй
характеристик надежности радиоэлектронных
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УЗЛОВ СИСТЕМ КОММУТАЦИИ
по данным подконтрольной эксплуатации
Для ведомственных сетей связи специального назначения характерны высокие требования к надежности входящего в их состав оборудования, в значительной степени зависящей от надежности радиоэлектронных функциональных узлов систем коммутации. Последнее обусловлено тем, что системы коммутации используются не только в транзитных и транзитно-оконечных, но и в оконечных станциях сети связи. Надежное функционирование систем коммутации - один из критических факторов успеха обеспечения эффективной надежности ведомственных сетей связи.
Среди ключевых факторов эффективного управления надежностью технических изделий
отметим обработку данных об отказах на разных стадиях жизненного цикла изделия, в особенности на этапе эксплуатации. Оценка фактически достигнутого уровня надежности производится экспериментальными методами - по результатам определительных испытаний, либо по результатам подконтрольной эксплуатации.
Развитые технологии производства систем коммутации, с одной стороны, и ограниченное число выпускаемых изделий для ведомственных сетей связи, с другой стороны, часто не позволяют получать значительное число данных об отказах. Последствием этого является то, что использование традиционных методов математической
статистики для оценивания характеристик надежности данного класса изделий встречает серьезные затруднения.
Относительно понятия «малая выборка» необходимо отметить, что в известной литературе [1-3 и др.] сделана попытка формирования количественной характеристики этого понятия. По нашему мнению, количественные границы этого понятия определяются условиями исследования и зависят от двух факторов: от требований к качеству результатов обработки выборочных данных и от применяемого статистического аппарата.
В литературе [4-6 и др.] уделено значительное внимание вопросам исследования надежности технических изделий, в т. ч. при малом числе исходных данных. К ним можно отнести: ускоренные испытания; специально разработанный аппарат статистической обработки малого числа данных; использование экспертных оценок, теорию нечетких множеств и др. По своей природе эти методы анализа надежности нацелены на получение осредненных значений характеристик надежности объектов.
Для особо ответственных систем, включая радиоэлектронные функциональные узлы систем коммутации, используемые при построении ведомственных сетей связи специального назначения, целесообразно оценивать граничные значения характеристик надежности, т. е. оценивать надежность не «в среднем», а «в худшем случае». Подходы, ориентированные на оценивание граничных значений характеристик надежности при малом числе данных об отказах, в т. ч. когда тип закона распределения наработки до отказа заранее неизвестен, по нашему мнению, не получили достаточного развития.
Относительная вероятность отказа
50
45 40
35 30 25 20 15 10 5 0
1 ----N-5
\
\ --Л/= 10
\
\ -N=15
\ ---N=50
ч
^ ч
В статье рассматривается метод оценки граничных значений характеристик надежности радиоэлектронных функциональных узлов систем коммутации, ориентированный на обработку малого числа данных об отказах, в т. ч. когда тип закона распределения наработки до отказа заранее неизвестен. Особое внимание уделено вычислительной процедуре, позволяющей применять данный метод в инженерной практике.
Особенности оценивания надежности радиоэлектронных функциональных узлов на основе граничных характеристик
Математической основой анализа граничных значений характеристик надежности является аппарат порядковых статистик: раздел, посвященный крайним порядковым статистикам.
В ходе исследований получены количественные характеристики, определяющие различие оценок значений показателей надежности, получаемых известными методами анализа надежности [7], по отношению к оценкам граничных значений характеристик надежности, получаемых методами, основанными на использовании крайних порядковых статистик (рис. 1). Под относительной вероятностью отказа понимается отношение вероятности отказа, определяемой по экстремальным статистикам, к вероятности отказа, определяемой традиционным способом.
Результаты исследования позволяют сделать вывод о том, что оценивание надежности на основе закона распределения наработки до отказа дает заниженную оценку граничных значений характеристик надежности на начальных этапах эксплуатации, причем смещение тем больше, чем больше объем выборочных данных. Оценки гра-
Относительная вероятность отказа
46 41
36 31 26 21 16 11
----N=5 - -Л/=10 -N=15 ---N=50
\
\
\
Ч
Ч
-- \
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 X
Рис. 1. Результаты представлены для показательного (слева) и нормального (справа) законов распределений
N - объем выборочных данных
ничных значений характеристик надежности тем быстрее сходятся к оценкам, получаемым традиционным способом, чем более ассиметричным является закон распределения наработки до отказа. Установлено, что наиболее сильное различие наблюдается при малых значениях наработки до отказа. Из этого следует, что оценивание надежности на основе граничных характеристик наиболее целесообразно для изделий ответственного назначения, для которых важно обеспечить требуемые значения характеристик надежности в любой момент гарантийного срока эксплуатации.
Большинство работ, посвященных исследованиям экстремальных статистик, относится к асимптотической теории крайних порядковых статистик (объем выборки N ^ ж), закон распределения случайной величины при этом, как правило, предполагается известным. При решении практических задач часто без достаточных обоснований в качестве закона распределения наработки до отказа принимается показательный закон распределения, что неявно соответствует предположению о случайности причин отказов. При обработке реальных данных об отказах изделий такое предположение приводит к ошибочным оценкам значений характеристик надежности и, как следствие, понижает эффективность мероприятий, связанных с управлением надежностью на разных стадиях жизненного цикла изделия. Кроме того, на практике приходится иметь дело с выборками малого объема: для функциональных узлов систем коммутации число отказов изделий часто не превышает двух-трех десятков.
Существующие методы анализа порядковых статистик основаны на известном выражении дифференциальной функции распределения т-й (т = 1; N) порядковой статистики [8, 9 и др.]: N!
(х. .) =-:-[^(х)1т-1х
^ (т(т - 1)!(N-т/ ^ "
(1)
(m -1)!(N-т)! i[1 - F (x)f-т f (x),
где N - объем выборочных данных; ^(х), Дх) - соответственно интегральная функция и плотность распределения генеральной совокупности.
Классические методы математической статистики, основанные на построении эмпирических функций распределения случайных величин, выдвижении и проверке гипотез о типе закона распределения, по своей сути ориентированы на обработку больших массивов исходных данных. Их использование для обработки выборок
ограниченного объема не позволяет эффективно использовать информацию о законе распределения непрерывной случайной величины, содержащуюся в выборочных данных и границах интервала возможных значений случайной величины. В результате этого использование классических методов математической статистики не позволяет получить по выборкам ограниченного объема точных и однозначных решений при оценивании закона распределения случайной величины F(x) в формуле (1).
В литературе [2, 5] описаны формальные подходы к оцениванию законов распределения непрерывной случайной величины, позволяющие исключить этап выдвижения и проверки гипотез о типе закона распределения. Упомянем две известные модели, относящиеся к методам параметрической статистики и позволяющие оценивать закон распределения наработки до отказа в условиях ограниченного числа данных об отказах.
1. В качестве первой модели выступает известная унифицированная параметрическая модель, в основу получения которой положен принцип максимизации энтропии [10, 11 и др.]:
f (x) = exp ^IH^J .
Параметры модели HJ находятся в результате решения следующей системы нелинейных уравнений:
N k
Х f \ I xi
if т \ I
x exp^ I HjxJ J dx = , k = 0,1,2,..., m,
где xj, ..., xN - наработки до отказа изделия.
Свойства данной модели, а также ссылки на литературные источники, в которых описаны результаты исследования этой модели, приведены в [5]. В упомянутой работе обосновано, что при малом числе исходных данных целесообразно оценивать только два первых момента (т = 2), при этом, несмотря на систематическую погрешность аппроксимации, оценки законов распределения оказываются в статистическом смысле устойчивыми. Там же обосновывается необходимость учета границ физически возможных значений случайной величины.
2. В качестве второй модели предлагается использовать закон распределения Эрланга. Потоки Эрланга являются частным случаем потоков Пальма и подробно описаны в известной работе Е.С. Вентцель [2]. Предпосылкой использования
закона распределения Эрланга при оценивании граничных значений характеристик надежности функциональных узлов систем коммутации является то, что промежутки времени между отказами данных объектов представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные величины, что обусловлено существующими методиками проведения определительных испытаний и инструкциями подконтрольной эксплуатации. Данная модель более гибкая по сравнению с первой, за счет чего обеспечивается более высокая точность оценивания закона распределения наработки до отказа, однако при малом числе исходных данных она обеспечивает меньшую устойчивость получаемых оценок.
При оценивании значений характеристик надежности по выборочным данным левая граница физически возможных значений случайной величины априорно известна, поскольку время наработки до отказа изделия не может быть меньше нуля. В ходе проводившихся исследований, результаты которых приведены в [12], были определены условия применимости каждой из упомянутых моделей. В случае, когда тип закона распределения наработки до отказа заранее неизвестен, для данных об отказах объемом выборки N < 10 целесообразнее использовать первую модель, а при N > 10 - вторую модель. Это позволяет добиться меньшей систематической погрешности оценивания законов распределений крайних порядковых статистик и обеспечить их статистическую устойчивость.
Метод оценивания граничных значений характеристик надежности при априорно неизвестном типе закона распределения наработки до отказа сводится к следующей последовательности действий.
Шаг 1. По выборочным данным {х^ рассчитывается выборочное среднее:
А 1 N
М [ х] = —У х. N1=1 '
Шаг 2. Рассчитывается эмпирическая оценка среднеквадратического отклонения:
а п 7
IУI х -М [ х] ].
х ^ - ]
Шаг 3. Исходные выборочные данные преобразуются по следующей формуле:
х( н ) =■
Шаг 4. Определяется плотность распределения нормированных исходных выборочных данных /(х(н'). В качестве оценки плотности /(х(н)), в зависимости от объема выборочных данных, используется одна из упомянутых выше моделей (при объеме выборки N < 10 используется Модель 1, при N > 10 - Модель 2).
Шаг 5. Определяется плотность распределения нормированной минимальной порядковой статистики (х^), соответствующая выражению (1) при т = 1:
ФN (ХН)) = N
1 -1 / (х( н) )ёх
/ (х( Н)).
Шаг 6. Осуществляется переход к масштабу стх, которому соответствуют исходные выборочные данные:
ФN (Хш1п) = ФN I х1
Д н)
ст.
ст.
Далее, поскольку плотность распределения случайной величины является ее исчерпывающей характеристикой, крайние значения всех интересующих характеристик надежности оцениваются без каких-либо затруднений.
Вычислительная процедура оценивания граничных значений
характеристик надежности
Практическое использование приведенного в предыдущем разделе метода оценивания граничных значений характеристик надежности изделий в значительной степени ограничивается сложностью вычислительной процедуры, необходимой для проведения расчетов по выражению (1). Первые два начальных момента для минимальной порядковой статистики выражаются следу-
да
ющими формулами: М [ хт1п ] = | х • фN (хт1п ;
да 0
V2[хт1П] = |х2 • фN(хтп)йх:. Данные выражения не
0
могут быть вычислены аналитически, а использование численных методов при объеме выборки N > 15 осложняется вычислительными погрешностями. Вычислительная сложность приведенных соотношений отмечена в [8].
С целью упрощения вычислительной процедуры нами разработан метод, основу которого составляют установленные в ходе исследований зависимости математических ожиданий и средних квадратических отклонений минимальной поряд-
Рис. 2. Фрагмент зависимостей ст(н) [ хт[п] от коэффициента вариации q[x], соответствующих минимальной порядковой статистике
ковой статистики от математического ожидания и среднего квадратического отклонения, соответствующих закону распределения случайной величины Щх).
Фрагмент полученных зависимостей значений нормированного среднего квадратического отклонения минимальной порядковой статистики ст(н) [xmin ] от коэффициента вариации выборочных данных д[х] при разных объемах выборки N и различных законах распределения Щ(х) представлен на рис. 2. Фрагмент зависимостей нормированного математического ожидания минимальной порядковой статистики М(н-1 [xmin] от нормированного математического ожидания М(н' [xmin], при разных объемах выборки N и различных за-
Рис. 3. Фрагмент зависимостей М{н'[хт[п] от М(н) [х], соответствующих минимальной порядковой статистике
конах распределения Щ(х) представлен на рис. 3. Под нормированным математическим ожида-
м (н) [ х] = М[х],
нием понимается величина
ст.
под нормированным математическим ожиданием минимальной порядковой статистики - величина М(н-1 [xmin] = М[Xmln ], а под нормиро-
СТ[ хтт]
ванным средним квадратическим отклонением минимальной порядковой статистики - величина
ст
(н)
[хтт]=
СТ[ хтш]
М [ х]
Алгоритм оценивания граничных значений характеристик надежности на основе полученных зависимостей сводится к следующей схеме:
д[Х] =
„ М[х] , М[х]
С
- а[хт,1 = о(й)[х,1 ■ М[х]
М
I
По полученным значениям М [ х^ ] и ст[ х^ ], с помощью упомянутых выше моделей 1 и 2 можно оценить закон распределения минимального элемента выборки, что позволяет рассчитать характеристики надежности в «худшем случае».
Приведенная вычислительная процедура оценивания плотности распределения минимальной порядковой статистики хт1п исключает необходимость оценивания исходного закона распределения Щ(х). Полученные в ходе проводившихся исследований номограммы позволяют по первым
двум статистическим моментам исходного закона распределения, расчет которых производится по выборочным данным, без трудоемких и сложных вычислений получить оценки законов распределения крайних статистик.
Пример использования предлагаемой вычислительной процедуры оценивания граничных значений характеристик надежности
По результатам подконтрольной эксплуатации радиоэлектронных функциональных узлов
систем коммутации зарегистрировано 13 отказов, по выборочным данным получены следующие оценки значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения наработки до отказа: М[х] = 24 500 ч, Стх = 18 600 ч.
Шаг 1. Рассчитывается коэффициент вариации ^[х] и нормированное математическое ожидание М(н} [х] :
д[х] =
СТ
18600
М [х] 24500
= 0,759:
М (н) [ = ММ = 24500 = 1,317.
Ст х 18600
Шаг 2. По рис. 2 определяется значение нормированного среднего квадратического отклонения минимальной порядковой статистики СТ(н) [х_т1п ], соответствующее полученному д[х]. В силу того, что построенные номограммы не содержат линий, соответствующих объему выборки N = 13, использовалась линейная интерполяция:
Ст
(н )|
х^] = 0,096 + (0,128 - 0,096)
15 -13
= 0,109.
15 -10
Ш а г 3. По рис. 3 определяется значение нормированного математического ожидания минимальной порядковой статистики М1 н) [х^п]:
М(н) [хтп] = 1,550 + (1,579 - 1,550)Ц-10 = 1,567.
Шаг 4. Для полученного значения нормированного среднего квадратического отклонения минимальной порядковой статистики осуществляется переход к масштабу исходных выборочных данных:
Ст[хтп] = Ст(н)[хтп] • М[х] = 0,109 • 24500 = 2670.
Ш а г 5. По известным значениям нормированного математического ожидания М1 н) [ хт1п] и среднего квадратического отклонения ст[хтп] ми-
нимальной порядковой статистики определяется ее математическое ожидание:
М[х^] = М(н)[хтп] ^Ст[х^] = 1,567 • 2670 = 4180.
Шаг 6. Поскольку объем выборки N > 10, при оценивании законов распределения граничных значений характеристик надежности целесообразнее использовать закон распределения Эрланга. На рис. 4 приведены соответствующие исходным данным оценки закона распределения минимальной порядковой статистики, построенные по найденным значениям М [х^п] и ст^.
В итоге проведенных исследований получены следующие результаты:
На основе использования аппарата порядковых статистик предложен метод, позволяющий оценивать граничные значения характеристик надежности радиоэлектронных функциональных узлов систем коммутации, отличающийся от известных тем, что его использование позволяет полностью формализовать процедуру оценивания граничных значений характеристик надежности, в т. ч. при малом числе исходных данных, а также в случае, когда тип закона распределения наработки до отказа заранее неизвестен. Определены границы применимости предлагаемого метода. Установлено, что в случае, когда тип закона распределения наработки до отказа заранее неизвестен, для данных об отказах объемом выборки N < 10 целесообразнее использовать унифицированную параметрическую модель, а при N > 10 -модель, в основе которой лежат потоки событий Эрланга.
На основе установленных в ходе исследований зависимостей параметров законов распределений крайних порядковых статистик от параме-
Рис. 4. Интегральная функция (слева) и плотность распределения (справа) минимальной порядковой статистики
тров закона распределения случайной величины разработана вычислительная процедура оценивания законов распределения крайних значений характеристик надежности, отличающаяся от известных тем, что для ее использования требуется знание лишь первых двух начальных моментов и объема выборочных данных; исключена необходимость оценивания исходного закона распределения наработки до отказа. Это позволяет упростить вычисления и разработать формаль-
ную процедуру оценивания граничных значений характеристик надежности, в т. ч. по малому числу исходных данных, а также в условиях отсутствия априорной информации о типе закона распределения наработки до отказа. Формализация процедуры оценивания граничных значений характеристик надежности делает возможным ее реализацию в виде прикладного программного продукта.
Работа проведена в рамках гранта РФФИ 10-08-00359-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаскаров, Д.В. О прогнозировании надежности высоконадежных изделий [Текст] / Д.В. Гаскаров, С.А. Колосов, В.И. Попеначенко // Электронная техника. Управление качеством и стандартизация. -1970. -Вып. 3. -С. 13-21.
2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. -2-е изд. -М.: Высш. школа, 2000. -480 с.
3. Гаскаров, Д.В. Малая выборка [Текст] / Д.В. Гаскаров, В.И. Шаповалов. -М.: Статистика, 1978. -248 с.
4. Калюжный, И.Н. Исследование и разработка ускоренных методов оценки надежности радиоэлектронной аппаратуры, сокращающих объем и продолжительность испытаний [Текст] / И.Н. Калюжный, Е.Ю. Мешков // Сибирский научный вестник. -2000. -Вып. 4. -С. 214-216.
5. Гузаиров, М.Б. Статистическое исследование территориальных систем: Монография [Текст] / М.Б. Гузаиров, В.Е. Гвоздев, Б.Г. Ильясов [и др.]. -М.: Машиностроение, 2008. -187 с.
6. Уткин, Л.В. Нетрадиционные методы оцен-
ки надежности информационных систем [Текст] / Л.В. Уткин, И.Б. Шубинский. -СПб.: Любавич, 2000. -173 с.
7. Дружинин, Г.В. Надежность автоматизированных систем [Текст] / Г.В. Дружинин. -3-е изд., пере-раб. и доп. -М.: Энергия, 1977. -536 с.
8. Гумбель, Э. Статистика экстремальных значений [Текст] / Э. Гумбель. -М.: Мир, 1965. -450 с.
9. Дэйвид, Г. Порядковые статистики [Текст] / Г. Дэйвид; Пер. с англ. В.А. Егоровой, В.Б. Невзоровой. -М.: Наука, 1979. -336 с.
10. Трайбус, М. Термостатика и термодинамика [Текст] / М.М. Трайбус. -М.: Энергия, 1970. -504 с.
11. Кузин, Л.Т. Основы кибернетики [Текст] / Л.Т. Кузин. -М.: Энергия, 1973. -Т. 1. -503 с.
12. Гвоздев, В.Е. Анализ надежности технических систем на основе математико-статистического моделирования [Текст] / В.Е. Гвоздев, Г.И. Таназлы, А.Ю. Хасанов, М.А. Абдрафиков // Управление, вычислительная техника и информатика. -Уфа: Изд-во Уфимского авиационного технического ун-та, 2011. -Т. 15. -№ 2 (42).
УДК 519.6
И.Я. Шейнман, Н.Н. Шабров, В.А. Киев, А.Ю. Снегирёв, А.С. Цой
МАСШТАБИРУЕМОСТЬ ОТКРЫТОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОжАРОВ
Полевое моделирование динамики пожара -важная практически, мультифизичная и ресурсоемкая задача. Численное моделирование возможного пожара на стадии проектирования объекта позволяет выполнить многовариантный анализ и, как следствие, извлечь существенные экономические преимущества при обеспечении требуемого уровня безопасности. Наиболее информативной
технологией моделирования турбулентного горения при пожаре является применение метода крупных вихрей [1]. Такой подход требует длительных вычислений случайных нестационарных пульсаций всех характеристик потока с высоким пространственным разрешением. При последовательной программной реализации численных методов или малом числе используемых ядер в
