Отрицательное тепловое сопротивление в одномерном установившемся течении совершенного невязкого газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 4

Физическая механика

153

УДК 532.542.86.(088.8)

Б. И. Басок, В. В. Гоцуленко

Институт технической теплофизики НАН Украины

Отрицательное тепловое сопротивление в одномерном установившемся течении совершенного невязкого газа

Найдено аналитическое выражение для теплового сопротивления, возникающего при политропном подводе теплоты к движущемуся совершенному невязкому газу. Полученное соотношение учитывает изменение внутренней энергии газа и при определенных условиях имеет области «отрицательного» сопротивления. Это приводит к потере устойчивости стационарного течения газа и самовозбуждению термоакустических автоколебаний.

Ключевые слова: «отрицательное» сопротивление, термоакустические автоколебания, условие самовозбуждения, идеальный газ.

1. Введение

Процесс подвода тепла вносит особый вид сопротивления: при подогреве движущегося, даже невязкого, газа полное давление падает. Данное сопротивление, по-видимому, впервые было определено в [1] и названо тепловым. В этой же монографии тепловое сопротивление было объяснено с точки зрения термодинамики.

В монографии [2] академиком Б. В. Раушенбахом было получено выражение для теплового сопротивления в идеальной жидкости как разность полных давлений в сечениях до (1-1) и после (2-2) зоны теплоподвода (рис. 1). Полученное выражение было положительным и, таким образом, не могло приводить к неустойчивости стационарного режима при постоянном теплоподводе. Было сделано заключение: «Если теплоподвод будет колебаться около нуля, то на поток будет действовать то положительное, то отрицательное тепловое сопротивление. Если при этом увеличению скорости течения будет соответствовать уменьшение сопротивления, то система будет раскачиваться» (см. [2, с. 80]).

Рис. 1. Схема установки для определения теплового сопротивления

Однако во многих случаях потеря устойчивости стационарного течения и самовозбуждение автоколебаний имеет место и при постоянной мощности подвода теплоты [3,4].

В рассматриваемой в [2] идеализированной схеме не предполагается наличие каких-либо гидравлических потерь (газ невязкий). Поэтому при постоянном теплоподводе и положительном тепловом сопротивлении стационарное течение газа является абсолютно устойчивым.

Для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы с увеличением скорости течения тепловое сопротивление уменьшалось, а с ее уменьшением, наоборот, увеличивалось. Этот эффект в теории нелинейных колебаний называется «отрицательным» сопротивлением и является одним из наиболее известных механизмов возбуждения автоколебаний [7].

2. Определение теплового сопротивления при политропном подводе теплоты к невязкому совершенному газу

Рассмотрим установившееся одномерное течение идеального газа в горизонтальном цилиндрическом канале, на определенном участке которого к нему подводится теплота. При этом подвод теплоты к газу предполагается политропным с показателем политропы n, а движение газа создается нагнетателем, расположенном на входе в канал (рис. 1). Для определения теплового сопротивления воспользуемся уравнением энергии в форме первого начала термодинамики. Рассмотрим произвольные сечения канала 1-1 до и 2-2 после зоны подвода теплоты. Тогда согласно уравнению энергии

2 2 p1 w2 р2 w2 л, /-л

q + — + + Щ = — + + U2 + AhT, (1)

Pi 2 р2 2

где q - удельный тепловой поток, pk - давление, pk - плотность, Wk - скорость и Uk -внутренняя энергия единицы массы газа в сечении канала с номером к = (1;2), Ahx -потери энергии из-за теплового сопротивления. При политропном подводе теплоты

n — k

q = сп (T2 — Ti), сп = cv--,

n — 1

где сп - удельная теплоемкость газа при политропном подводе теплоты, cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, k = cp/cv - показатель адиабаты, ср - удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, Т - температура газа. Также, воспользовавшись уравнением состояния р = pRT и уравнением Майера ср — cv = R, где R - газовая постоянная, получаются следующие соотношения:

'Р1 — ^ = R (Т2 — Tl) , R (Т2 — Тг) = cv (k — 1) (Т2 — Ti) . р2 Pi

Замечание. Отметим, что в приведенных выше выражениях рассматривались средние, на интервале температур от Т\ до Т2, массовые теплоемкости. Однако зависимость теплоемкости от температуры, в сравнительно небольших интервалах ее изменения, достаточно слабая [8]. Например, в [9] для воздуха приведено, что в интервале температур от 0 С до 1000 С справедлива формула cv = 0, 68287723 + 0, 00009349 Т. Поэтому мы в дальнейшем для упрощения выкладок будем приближенно полагать с?; ^ const.

С учетом данных соотношений и равенства U2 — U\ = cv (Т2 — Т\) из (1) следует, что

AhT = n (k^n) * № — Ti) + . (2)

Далее, используя уравнение политропы р\/р\ = р2/рП, уравнение состояния и уравнение неразрывности sip\W\ = s2p2w2, где Sk - площадь сечения канала с номером к = (1;2), получается следующее выражение для разности удельных кинетических энергий газа в рассматриваемых сечениях канала:

w2 — wl w"2 Л / si\ 2 / Ъ \ ^

=$ (1—rn ю i

Поэтому окончательно потери энергии из-за теплового сопротивления определяются следующим соотношением:

ЛЛТ = п (к-П) ^ - И> + * (1 -'3'

Следовательно, потери давления, т.е. собственно тепловое сопротивление: Лр = определяется выражением

ЛТ = „„ * И-*> + ^ (1 - , '4'

Таким образом, выполнение неравенства

dhT dW2

< 0

(5)

является необходимым условием для потери устойчивости стационарного течения газа и са-мовозбужения термоакустических автоколебаний. При выполнении обратного неравенства стационарный режим является абсолютно устойчивым или возможно «жесткое» возбуждение автоколебаний [7].

Для возможности вычисления производной дИ,т/ди:2 и анализа неравенства (5) необходимо конкретизировать структуру теплоподвода. Будем предполагать, что стенки канала (рис. 1) теплоизолированы так, что теплообмен с внешней средой отсутствует. Также считаем, что подвод теплоты к газу осуществляется с постоянной мощностью "Ш, например конвективно от спирали электронагревателя. Из условия теплового баланса при стационарном течении газа получается следующее уравнение:

W = cnm (Т2 - Ti),

(6)

где m = pws - массовый расход газа. Согласно уравнению неразрывности ml = m2, где mfc = pkWkSk, k = (1; 2). Поэтому, предполагая, что р1 = const и T1 = const, приходим к следующему алгоритму для определения зависимости hp = hp ). Рассматривая температуру Т2 как варьируемый параметр, определяются выражения для зависимостей hp = hp (Т2) и w2 = w2 (Т2), из которых, исключая Т2, получается необходимое выражение для hp (w2).

Действительно, учитывая, что Wi = ^^W2, выражение для hp (Т2) следует из соотношения (4). Зависимость W2 (Т2) определяется из уравнения теплового баланса (6):

W2 =

m2 P2S2''

m2 =

W

сп № - Ti)'

Р2 = Pi

(i)

1

n-1

(7)

Из соотношений (7) следует, что

W2

n - 1 W n - k piS2Ci

(I)

1

1 — n

1

dw2

W2

T2 -T\ dT2 T2 -Ti

1n

(1 -1) -1

Поэтому, полагая

7n,k = sgn

nk

(I - n)

где sgn - стандартная знаковая функция, и учитывая, что Т\ < Т2, из (8) следует, что имеет место равенство

дтл2

sgn

дТ2

7n,k.

Элементарно проверяется, что

7n,k

{ -

1, если Т1/Т2 < n < k,

-1, если n е (-то; Т1/Т2) U (k; +то).

(9)

Далее, учитывая, что

dhT dhT/dT2

dw2 dw2/дТ2'

согласно (9), неравенство (5) эквивалентно следующему неравенству:

dhp

7n,k

дТ2

< 0.

1

1

Но

дЛ,т 1 4/п (х>

дТ2 Т1 (1х

х— Т1

—а <*> = <Чг5п;)(* -1)+П-1'

()

2 _2_

— X 1-п

(х - 1>2

'10'

где Со = Р1С.„ Т1, С1 = .

Таким образом, условие неустойчивости стационарного течения идеального газа в рассматриваемой задаче 'рис. 1' окончательно запишется в форме следующего неравенства:

< о. '11'

ах

Соответственно при выполнении обратного неравенства стационарное течение будет устойчивым. Подчеркнем еще раз, что полученные выводы справедливы лишь при пренебрежении вязкостью газа, так как в противном случае в потоке возникает вязкостное сопротивление, которое при определенных условиях также может порождать отрицательное сопротивление, и, таким образом, являться отдельным механизмом неустойчивости [3,10].

Отметим, что при фиксированных значениях параметров потока газа до зоны тепло-подвода и показателя политропы п возможны различные случаи характера устойчивости стационарного течения. Возможно, что неравенство '11' выполняется всюду или же всюду выполняется обратное неравенство. Также может случиться, что уравнение А/п (х>/г!х = 0 имеет действительные корни. В последнем случае возникают области устойчивости и неустойчивости стационарного течения. Например, при изобарном подводе теплоты в канале неизменного сечения с постоянной мощностью теплового потока W справедливо следующее утверждение:

С1 / 1+х \ 4/0 (х> С1 2 ^ пи 7°,к = -1, /0 =к1 ^^ > 0 1.

Поэтому подвод теплоты в установке 'рис. 1' при постоянном давлении приводит к абсолютной неустойчивости стационарного течения невязкого газа. При подводе теплоты к газу с показателем политропы п = 2 стационарное течение, наоборот, является абсолютно устойчивым. Действительно, в этом случае

72, = -1, /2 М = -2 (к - 1> С° - 1) + (2^2 ¡¿^. ^ < 0 V- > 1.

Геометрия канала существенно влияет на характер устойчивости течения. Выше было показано, что изобарный теплоподвод в канале постоянного сечения приводит к абсолютной неустойчивости стационарного течения. Однако если канал является диффузорным, то это восстанавливает устойчивость. Действительно, полагая а = 82/81, получим

„ , . С° а2 - х2 <И° (х> 2С° х2 - а2 ,,

/о (х> = тт-2, —г^ = ~гъ--3 Vx > 1.

к2 (х - 1>2' Ах к2 (х - 1>3

Поэтому при а < 1 выполняется неравенство: > 0 Vx > 1, а при а > 1 справедливо

противоположное неравенство: < 0.

Диффузорный канал, наоборот, является потенциально неустойчивым элементом при движении в нем вязкого газа, т.к. при снижении его расхода образуются вихревые потери, приводящие к образованию «отрицательного» вязкостного сопротивления [13]. Таким образом, геометрия канала диаметрально противоположно влияет на характер зависимости от скорости течения теплового и вязкостного сопротивлений.

3. Вывод

Используя уравнение энергии, в форме первого закона термодинамики для потока, получено выражение для теплового сопротивления в политропном процессе. Определены условия, при которых в движущемся идеальном газе возникает отрицательное тепловое сопротивление. При конвективном подводе теплоты, в отсутствие иных диссипативных факторов, например, таких как вязкость, отрицательное тепловое сопротивление является единственным механизмом потери устойчивости стационарного течения газа и самовозбуждения термоакустических автоколебаний. Определен характер влияния геометрии канала на устойчивость течения идеального газа при теплоподводе с постоянной мощностью теплового потока.

Отрицательное тепловое сопротивление является местным гидравлическим сопротивлением области теплоподвода, а вязкостное сопротивление является распределенным по длине канала, в котором движется нагретая среда, составляют ранее неизвестные механизмы феномена Рийке [3-6] и вибрационного горения [10,11]. Следует отметить, что одним из основных механизмов вибрационного горения является запаздывание сгорания [2], введенное Л. Крокко. Однако данный механизм не возбуждает «поющего» пламени Хиггинса в вертикальном канале при естественном движении среды [12].

Литература

1. Абрамович Н. Г. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1969. — 824 с.

2. Раушенбах Б. В. Вибрационное горение. — М.: Физматтиз, 1961. — 500 с.

3. Gotsulenko V. V. Special Modes of the Pijke Phenomenon // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. — 2005. — V. 78, N 2. — P. 375-379.

4. Басок Б. И., Гоцуленко В. В. Теория феномена Рийке в системе с сосредоточенными параметрами // Акустический вестник. —2010. — Т. 13, № 3. — C. 3-8.

5. Басок Б. И., Гоцуленко В. В. Автоколебания в распределенной модели трубы Рийке // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2011. — Т. XIV, № 4(48). — C. 3-13.

6. Басок Б. И., Давыденко Б. В., Гоцуленко В. В. Автоколебания в трубе Рийке при расположении электронагревателя непосредственно на ее входе // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2013. — Т. XVI, № 2(54). — C. 50-61.

7. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. — М. : ЛИБРОКОМ, 2010. — 552 с.

8. Варграфтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. — М. : Наука, 1972. — 720 с.

9. Рабинович О. С. Сборник задач по технической термодинамике. — М. : Машиностроение, 1793. — 344 с.

10. Гоцуленко В. В. Математическое моделирование снижения амплитуд колебаний вибрационного горения в крупных промышленных агрегатах // Математическое моделирование. — 2005. — Т. 17, № 11. — С. 16-24.

11. Gotsulenko V. V. On the problem of control of relaxation oscillations of a «singing» flame // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. — 2007. — V. 80, № 3. — P. 563-569.

12. Basok B. I., Gotsulenko V. V., Gotsulenko V. N. Control vibration combustion and thermoacoustic oscillations in potentially unstable elements heat and power equipment // XIV Minsk International Heat and Mass Transfer Forum. — 2012. — V. 5. — P. 22-30.

13. Боднер В. А. Об автоматической стабилизации потенциально неустойчивых систем // Изв. АН СССР. — 1958. — № 3. — С. 145-148.

Поступила в 'редакцию 03.05.2014.