Отражение волны конечной амплитуды от фронта искривленной ударной волны Текст научной статьи по специальности «Математика»

28

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2010. № 1

Отражение волны конечной амплитуды от фронта искривленной

ударной волны

Е. С. Гришечкин, Ф. В. Шугаева

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected]

Статья поступила 20.04.2009, подписана в печать 22.10.2009

Рассмотрено падение волны конечной амплитуды на фронт нестационарной ударной волны произвольной формы со стороны сжатого газа. Получено в аналитическом виде соотношение, связывающее параметры отраженной волны с параметрами падающей волны, кривизной и интенсивностью ударной волны.

Ключевые слова: нестационарная искривленная ударная волна, кривизна ударной волны, волна сжатия, волна разрежения, уравнения Эйлера.

УДК: 533.6.011.72. PACS: 51.20.+d.

Введение

Взаимодействие ударной волны с малыми возмущениями исследовалось рядом авторов [1, 2]. Взаимодействие плоских ударных волн между собой, а также слабых ударных волн с волнами разрежения и сжатия рассмотрено в книге [3].

Ниже анализируется задача о взаимодействии искривленной нестационарной ударной волны с волной конечной амплитуды, падающей на фронт ударной волны со стороны сжатого газа. Сама волна распространяется по однородному покоящемуся газу. Используются лагранжевы переменные.

1. Характеристики уравнений Эйлера

Течение идеального газа описывается системой уравнений Эйлера, которая в лагранжевых переменных имеет следующий вид:

Здесь с — скорость звука, пт есть проекция внешней единичной нормали к фронту волны. Контравариантные компоненты равны ga3 = £3 =0. Величина §33 = ^ ■

Предполагаем, что диссипация отсутствует: §7 = 0, где я — энтропия. В этом случае

др _ 1 др

Умножим уравнение непрерывности на с. Система принимает вид

Е + 1 ЁЕ. „I + 1 а«в Ф дх'1 _о

дг Рс дтс / диа ди$ '

J_ dp dW , Jc~di + lh;ni + cg диади/з

Составим линейную комбинацию уравнений системы, умножив первое уравнение на вектор и добавив к полученной сумме уравнение непрерывности:

дУ1 1 ¡и др дх1

--1—о!11—т-= 0,

dt рё ди> дик '

jkdV'1 дх-, ' dui duk '

1 dp p dt

i= 1,2,3; /=1,2,3; ¿=1,2,3.

плотность, p эйлеровы координаты частицы, gik

Здесь V1 — компоненты скорости, р давление, х1

контравариантные компоненты метрического тензора.

Функции х1 = XI, V1, р, р зависят от времени I и лагранжевых переменных и1, и2, и3 = тс, где иа, а = 1,2, — координаты вдоль фронта волны, тс — момент времени, в который фронт волны пересекает рассматриваемую частицу. Ковариантные компоненты метрического тензора таковы:

ёав :

дхт дхп

диа

дхт дх,

а = 1,2; /3=1,2.

am

^ = спт = 0, диа

I,

dvl 1 dp dvl 1 др

— — + сп

dt рс dt

— -f-Ln1 +

дтс рс дтt 1 ,„адр_ дх}

" ав иУ ил / , ав dXi _

-J ■ + ■ диа ди0 - u-

Полученная линейная комбинация уравнений газодинамики будет содержать только внутренние производные по отношению к гиперповерхности в четырехмерном

пространстве и1, и2, тс, ^ лишь в том случае, если /г = пг. При этом имеем

авдУ1 дх-, =Q

8V1 1 dp dVl 1 др dt рс at дтс рс дтс диа ди°

Вводя оператор = Jj + , получим

dVl 1 dp

П; —— Н---т— + Cg

a6dv^dxL =

диа ди8 '

(1)

dt.\.. рс dt.

Рассмотрим дифференцирование вдоль луча в про тивоположном направлении

d _ д д dt_ dt дтс'

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

29

Произведя замену щ —щ, тс — тс, получим аналогичное уравнение

dp _ ßdV[ а*

1 dt_ рс ё ÖUQ duß

(2)

Для получения полной характеристической системы необходимо добавить к двум последним уравнениям выражение для проекции ускорения на плоскость, касательную к фронту, и выражение для изменения единичной нормали [3]:

3Vl dxi _ 1 dp dnl dt Зи° ~ p 3u°' dt

de 3xl du" duß1

Щ

dVl

1 dts P2C2 dts 1 dp2

1 dP2=_fx_zG_

dVi

1 dp2

dVq

= (l + —

dts P2C2 dts V c2

C2 J \ 1 drc P2C2 drc

2c2(l-e)GH,

dVj 1 dp2

Щ

dt с P2C2 drc

-2c2(l-e)GH,

dvi

dl P2C2 dl

1 dp2

dVl

dl P2C2 dl J _

Ki=-

K9 =

\_dpA

2c2 dl )

(7+ \){M2 - 1) (l+Ai2(l-2^7fe))

(1+уш)2 0+^0+2^))'

_8(M4- 1)_

(7+ 1 )M (l + y/fJk) (l + ЛГ2 (l+2Ä)) '

— — а = 1,2.

(3)

Уравнения (1)-(3) образуют полную характеристическую систему уравнений Эйлера.

2. Отражение волны конечной амплитуды от фронта ударной волны

Перейдем к течению за ударной волной. Введем т5 — момент времени, в который фронт ударной волны пересекает рассматриваемую частицу. Соотношение между т5 и тс таково: dтs = ^dтc, где е = й — скорость распространения ударной волны, индексы «1» и «2» относятся к состоянию перед и за волной соответственно. Далее предполагаем, что в рассматриваемый момент времени фронт приходящей волны возмущения совпадает с фронтом ударной волны. Уравнения (1) и (2) запишутся в следующем виде:

2Н = gaf3baß, baß — тензор кривизны ударной волны, Я — средняя кривизна фронта ударной волны, оператор = Jj + . Мы учли значение скорости за волной

1/2г = (1 - e)Gnl, а также производную нормали вдоль фронта [4]

= -gaxbaaсг = 1,2; X = 1,2.

dua 6 duх Принимая во внимание соотношения на ударной волне для совершенного газа, а также вводя физические величины вместо производных по rs, найдем окончательно:

/1 = 2 + (7 - 1)М2, /2 = 27М2 -7+1.

Здесь М — число Маха ударной волны, 7 = Ср/Си — отношение удельных теплоемкостей, ось / направлена вдоль внешней нормали к фронту волны. Комбинации

д1к + _±_ ЁЕЛ (пд1к 1 др2\

1 31 Р2С2 31 ) \ 31 Р2С2 31 ) _ относятся к падающей = сп1^ и отраженной

{¿Ж = волне соответственно. Физический смысл

коэффициентов К\, К2 таков. Величина К\ есть коэффициент отражения возмущения от фронта плоской ударной волны. Величина К2 определяет амплитуду возмущения, распространяющегося по сжатому газу от фронта ударной волны единичной кривизны при отсутствии возмущения, приходящего к ударной волне. Коэффициенты К\ < О и К2 > 0 стремятся к нулю при М —>• 1. Зависимость этих коэффициентов от числа Маха (7= 1.4; 7=5/3) показана на рисунке.

Зависимость коэффициентов К\, К2 от числа Маха.

Кривые 1, 2 - К2, 3, 4 - Ки 1, 3 - 7= 1.4, 2, 4 -7 = 5/3

Как известно, в случае плоской ударной волны (Я = 0) падающая на нее волна разрежения отражается в виде волны сжатия и наоборот. За плоской ударной волной существуют падающее и отраженное возмущения, исключая тривиальный случай, когда течение за этой волной однородно. Рассмотрим особенности, возникающие при Нф 0. При

Я = К\ (гцЩ- + /(Я2С1) отраженное возму-

щение отсутствует. В случае сходящейся ударной волны (Я > 0) при Н > -Кх (п^ + ^ + /(К2с0 волна разрежения отражается в виде волны разрежения. В случае расходящейся ударной волны (Я < 0) при

Я < —К\ + ^ ^г) I{К2с\) волна сжатия отра-

жается в виде волны сжатия. В остальных случаях процесс взаимодействия качественно тот же самый, что и для плоской ударной волны. Пользуясь соотношением (4), получаем в линейном случае (амплитуды возмущений и кривизна ударной волны малы) выражение для инварианта Римана г_ в окрестности рассматриваемой точки

г_ ^и\и2^ + тс^ = +

15 ВМУ. Физика. Астрономия. № 1

30

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2010. № 1

плитуды при взаимодействии между ударной волной и падающей на нее волной разрежения или сжатия. Выполнен анализ эффектов, возникающих за счет кривизны ударной волны: отсутствие отраженной волны при определенных значениях кривизны, изменение типа отражения.

Список литературы

1. McKenzie J.F., Westpfal К.О. //Phys. Fl. 1968. 11. P. 2350.

2. Shugaev F. V., Shtemenko L.S. Propagation and reflection of shock waves. Singapore; New Jersey; London; Hong Kong, 1998.

3. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М., 1978.

4. Thomas Т. Y. Concepts from tensor analysis and differential geometry. N.Y., 1966.

The reflection of a wave of finite amplitude from a curvilinear unsteady shock wave E. S. Grishechkin, F. V. Shugaev"

Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: a [email protected].

The reflection of a wave of finite amplitude from a curvilinear unsteady shock wave has been analyzed. A formula has been obtained in closed form. The reflection coefficient depends on the curvature of the shock, too.

Keywords: unsteady curvilinear shock wave, shock curvature, compression wave, rarefaction wave, Euler equations. PACS: 51.20.+d. Received 20 April 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2010).

Сведения об авторах

1. Гришечкин Евгений Сергеевич — аспирант.

2. Шугаев Федор Васильевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-28-16, e-mail: [email protected].

+ 4

{A + B)[M'-\)y/hk s

AM2 (7 +1)2 (7+1) (M2 -

(i + VKIE)

Ci(t + TC)H,

r^ = m vj

Г dp2

p2C2

г— Vf)

f dp2_ p2c2'

Величина t + тс предполагается малой. При М = 1 инвариант г^ не зависит от времени, т. е. отраженная волна отсутствует, как и следовало ожидать.

Заключение

Таким образом, получено аналитическое соотношение для параметров отраженной волны конечной ам-