Отражение продольной бегущей волны от надреза в стержне Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2008, 16

М. А. Ильгамов, А. Г. Хакимов

Институт механики УНЦ РАН, 450054, г. Уфа, пр. Октября, 71, e-mail: hakimov@anrb.ru

Отражение продольной бегущей волны от надреза в стержне

Получена 01.10.2008, опубликована 14.10.2008

Исследуется отражение от поперечного надреза и прохождение продольной волны, распространяющейся по бесконечному стержню. Получена зависимость отраженной волны от параметров надреза. Постановка обратной задачи позволяет определить координату надреза и параметр, содержащий его глубину и длину, по данным падающей и отраженной волн в месте наблюдения.

Ключевые слова: бесконечный стержень, надрез, продольная бегущая волна, отраженная волна, проходящая волна, диагностика.

ВВЕДЕНИЕ

В протяженных объектах типа трубопроводных систем не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и приборного диагностирования. Но и при доступности визуального осмотра не во всех случаях представляется возможным определение целостности конструкции. Здесь предлагается методика диагностирования стержней с помощью замеров параметров продольных бегущих волн. В случае стержней конечной длины для определения наличия его дефектов может быть использовано изменение спектра собственных изгибных или продольных колебаний [1-6]. В [2] дается решение задачи определения переменной площади поперечного сечения от продольной координаты по известной зависимости перемещения свободного конца стержня от частоты возмущающей силы. В статьях [3, 4] исследуются обратные задачи теории трещин в твердых телах. Решению обратных задач о продольных бегущих волнах в стержнях конечной длины посвящены работы [5, 6].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается установившийся процесс отражения от надреза и прохождения продольной бегущей волны, распространяющейся по бесконечному стержню площадью поперечного сечения F. В точке с координатой xc стержень имеет надрез длиной l и площадью поперечного сечения f (рис. 1). Предполагается, что поперечный размер стержня и длина надреза l значительно меньше длины волны X. Не учитывается пространственное напряженно-деформированное состояние в зоне надреза. Оно считается одноосным. В такой постановке определяются отраженная и проходящая

волны по известным параметрам надреза и его координате (прямая задача). Определение координат надреза и его размеров по отраженной волне в точке наблюдения представляет собой обратную задачу.

O

xc

x

F

f

l

Рис. 1

Движение элемента стержня описывается волновым уравнением

д2u 2 д2u 2 E

^= " " = “’ (1) dt dx р

где u — продольные перемещения элементов стержня, a — скорость звука в стержне, E, р — модуль упругости и плотность материала стержня, x — продольная координата, t — время. Продольные перемещения, возбуждаемые источником, находящимся на расстоянии x = -да, задаются в виде бегущей волны в сторону возрастания координаты x.

тт ■ í \ t т- 2na „ ч

u = U sin (t-ax), a =—, L =-------------, (2)

a t

где U, rn — амплитуда и частота продольной бегущей волны, а — волновое число. Решение уравнения (1) для области распространения отраженной волны имеет вид:

= A c°s(t + ax) + B1 sin(t + ax), -да< x < xc, 0 < t <да; (3)

а для области распространения проходящей волны записывается:

u2 = A2c°s(t-ax) + B2 sin(t-ax), xc < x < да, 0 < t <да. (4)

Граничные условия в точке x = xc [6]:

d(U + u1) du2 TT mL du2 ...

x = xc, —^= —-, u2 = U + u +-----------------------------------------------------------, (5)

dx dx n dx

где

nlF

m =

Lf

2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА Из условий (5) получаем

. _ maL ґ

A =-D------

п

maL . _ _

-----sin 2axc - 2 cos 2axc

V п

B,= D

maL

п

maL

cos2axc + 2sin2axc

у 1Г ) (6)

A = -20*^, B2 = 40, D =-^-.

n {maL ) + 4n2

Перейдя к безразмерным переменным

„ 2nx „ 2nxc

% =-----, 4 =----- , r = at,

L L

и учитывая aL = 2п, падающую, отраженную и проходящую волны представим в виде

u = Usin{r-£), mU

u, =

1 m2 +

u =

U

2 m2 +

1 [(-m sin 2 jc + cos 2jc ) cos ( + j) + (mcos2jc + sin 2 jc ) sin ( + jj),

1 [-m cos (z-jj + sin (r-j)~^, jc <j<œ, 0 < r<œ.

u,

Отраженную и проходящую волны можно представить также в виде

= kxü sin (т + £-ф0), -ю<£<£с, 0 <r<t»,

m sin 2^c - cos 2^c

tg% 2 j. + •

mcos2jc + sin 2 j

u

= k2Usin(r-j-^), tg^ = m, jc <j<œ, 0< r<œ,

где коэффициенты отражения k и прохождения k2 равны

k.=^m=, k = 1

(7)

yjm2 +1 y¡m2 +1

Угол сдвига фаз р между падающей и отраженной волной определяется по формуле

Р = Р0 - 2£. (8)

При £ = 0 уравнение движения элемента стержня записывается как

u1 = кр sin (т-р0), 0 <т<да.

Угол сдвига фаз между падающей и проходящей волной равен щ = arctgm. (9)

Анализ формул (7)-(9) показывает, что коэффициенты отражения к1 и прохождения к2, а также угол сдвига фаз щ между падающей и проходящей волной зависят только

от параметра т. Угол сдвига фаз р между падающей и отраженной волнами зависит как от параметра т, так и от положения надреза £с и координаты £ места проведения замеров. При т ^ 0 коэффициенты к1 ^ 0 , к2 ^ 1,

- cos2£c п

tgp= • 2£ c = tg 12£ - -г]’ р = 2£ - -2.

sin2£c ^ 2 ] 2

Суммарные перемещения V элемента стержня в точке наблюдения (£=0) определяются по формуле

V = u + u1 = UsinT + mU Г(-msin2£c + cos2£c)cost + (mcos2£c + sin2£c)sinт],

m +1

0 < t<^ или

V = CU sin (t-£), 0 < t<^,

C ¡2m2 (l + cos2£c) + 2msin2£c +1 t ^ m-{msin2£c -cos2£c) (10)

V 1+m2 ’ g m2 (+cos2£c) + m sin2£c +1’

где С — амплитуды суммарных относительных перемещений, ё — угол сдвига фаз в суммарной волне.

и i/u и i/u

Рис. 2. Зависимость относительного перемещения элемента стержня при £=0, £ = 2п/3 в отраженной волне от безразмерного времени т

Рис. 3 Зависимость относительного перемещения элемента стержня при £ =0, £ = 2п в отраженной волне от безразмерного времени т

На рис. 2, 3 приводятся зависимости относительного перемещения элемента стержня при £=0 в отраженной волне от безразмерного времени т. Видно, что отраженные волны зависят от величины и положения надреза в стержне. Чем больше т, тем больше величина сигнала в отраженной волне. С увеличением параметра т также увеличивается угол сдвига фаз в отраженной волне. С изменением расположения

надреза £ также существенно изменяется угол сдвига фаз в отраженной волне. Для

координат £ = 1 и £ = 5 кривые идентичны.

Зависимость коэффициента отражения к1 от параметра т приводится на рис. 4.

Видна линейная зависимость коэффициента отражения от параметра т для его малых значений.

Зависимость угла сдвига фаз в отраженной волне от параметра т для различных значений £ приводится на рис. 5. С ростом параметра т происходит увеличение угла сдвига фаз.

Рис. 4. Зависимость коэффициента отражения к1 от параметра т

<Р

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

: %с =4п3

- у У % =2п3

:/ % =п 5с

; "

0

0.3

0.6

05ш/П

Рис. 5. Зависимость угла сдвига фаз в отраженной волне от т

Рис. 6. Зависимость угла сдвига фаз в отраженной волне от £

Зависимость угла сдвига фаз в отраженной волне от параметра £ для различных

значений т дается рис. 6. Видна периодическая зависимость угла сдвига фаз в отраженной волне от положения надреза.

3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Из соотношений (7)-(9) следует, что по известным коэффициентам отражения к1 и прохождения к2 можно определить параметр т:

т = . к , т = ^1 г к . (11)

,/Т-кТ к2

Параметр т также определяется по углу сдвига фаз у между падающей и проходящей волнами:

т = \%щ. (12)

Положение надреза £ определяется по формуле £ 1 _ 1+т% (£+р)

£ = 2 8 т - ,(2£+р) . (13)

Но данная функция многозначная, поэтому можно рекомендовать замеры угла сдвига

фаз р между падающей и отраженной волнами для двух значений £. Например, при

£ = 0

£ 1 1 + т18Ро

£ = - агй^ 0

2 т -18 Ро

и £ = £1 £ = 1агс181+т‘8 (2£+р).

' 2 т -18 (2£,+Р).

Выражение (10) для амплитуды суммарных относительных перемещений может быть представлено в виде

2т2 (1 + сов2£) - С2 (1+т2) + 2т%\п2£с +1 = 0, а из условия V (г1 ) = 0 имеем

б1пг1 +—[(-т (п2£с + сов2£ )еовг1 + (тсов2£ + вт2£ )б1пг1 ] = 0.

Если значение амплитуды суммарных относительных перемещений С и величину т1 (т1 =5) определить в точке £ = 0 по показаниям прибора, то получим систему уравнений для определения параметра т и положения надреза £

2т2 (1 + сов2£ ) - С2 (1+т2) + 2т?лп2£с +1 = 0,

б1пг1 +—т— Г (-т вт2£ + сов2£ )собг1 + (тсо$2£с + вт2£ )в1пг11 = 0.

т + ^ с с с с

Решение этой системы уравнений громоздкое, поэтому здесь не приводится. Если параметр т определить из (11) или (12), то координата надреза £ определяется по формуле

£ = <

Изменение параметра т и координаты надреза £ от амплитуды С суммарных перемещений при £ = 0 приводится на рис. 7а и 7Ь для различных значений угла сдвига фаз в суммарной волне. А на рис. 7с и 7ё даются зависимости этих же функций от угла сдвига фаз при £ = 0 для различных значений амплитуды суммарных перемещений. С ростом амплитуды суммарных перемещений при одном и том же значении угла сдвига фаз в суммарной волне происходит увеличение параметра т (рис. 7а) и увеличение координаты надреза £ (рис. 7Ь). Таким образом, по замеренным значениям амплитуды С суммарных перемещений и угла сдвига фаз можно определить параметр т и координату надреза £.

т

(С2 - 2) + С2 -1 + 4 т2С2 (4 - С2) + 2С2 (3 - С2)-

(1-С2 )2

т

Ст +і)

Рис. 7.

a) зависимость параметра т от амплитуды С суммарных перемещений при £ = 0;

b) зависимость координаты надреза £ от амплитуды С суммарных при £ = 0;

c) зависимость параметра т от угла сдвига фаз в суммарной волне при £ = 0;

ё) зависимость координаты надреза £ от угла сдвига фаз в суммарной волне при £ = 0

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ отраженных и суммарных волн позволяет сделать вывод о том, что

амплитуда и угол сдвига фаз зависят от величины и положения надреза на стержне.

Следует отметить, чем больше параметр т, тем больше угол сдвига фаз в

отраженной волне при одном и том же £ .

Получена линейная зависимость коэффициента отражения от величины надреза.

Данная методика может быть применена для разработки прибора для диагностики

длинных стержневых систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2003, 5.

2. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007, 224 с.

3. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. О реконструкции плоских трещин в анизотропном упругом теле // ПММ, 2005, №3, с. 552-561.

4. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах // Изв. Вузов Сев.-Кавк. Рег.: Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды», 2004, с. 74-80.

5. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне //Дефектоскопия, 2005, №9, с. 44-56.

6. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги. Труды института механики УНЦ РАН, Уфа: «Гилем», 2007, вып. 5, с. 201-211.