CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 1.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-312-327
Отражение и прохождение цилиндрической звуковой волны через упругую пластину с неоднородным покрытием1
Л. А. Толоконников, Т. Ш. Нгуен
Толконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Нгуен Тхи Шанг — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматривается задача об отражении и прохождении гармонической цилиндрической звуковой волны через однородную изотропную упругую пластину с непрерывно-неоднородным по толщине упругим покрытием. Полагается, что пластина помещена в безграничную идеальную жидкость, законы неоднородности материала покрытия описываются непрерывными функциями.
Аналитическое решение поставленной задачи получено на основе известного решения задачи о прохождения плоских звуковых волн через пластину с непрерывно-неоднородным покрытием и с использованием интегрального представления цилиндрической волны в виде разложения по плоским волнам.
Нахождение поля смещений в неоднородном слое сведено к решению краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Представлены результаты численных расчетов частотных характеристик отраженного и прошедшего акустических полей. Показано сильное отличие частотных зависимостей для разных законов неоднородности материала покрытия.
Ключевые слова: отражение и прохождение звука, цилиндрическая звуковая волна, однородная упругая пластина, неоднородное покрытие.
Библиография: 30 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, Т. Ш. Нгуен. Отражение и прохождение цилиндрической звуковой волны через упругую пластину с неоднородным покрытием // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 1, с. 312-327.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/ project/18-11-00199/
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-312-327
Reflection and transmission of cylindrical sound wave through an elastic plate with an inhomogeneous coating2
L. A. Tolokonnikov, T. S. Nguyen
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical sciences, Tula State
University (Tula).
e-mail: [email protected]
Nguyen Thi Sang — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Abstract
In paper the problem of harmonic cylindrical sound waves reflection and transmission through a homogeneous isotropic elastic plate with a continuously inhomogeneous in thickness elastic coating is considered. It is believed that the plate is placed in an infinite ideal fluid, the laws of heterogeneity of the coating material are described by continuous functions.
An analytical solution of the posed problem is obtained on the basis of the known solution of the problem about the passage of plane sound waves through plate with a continuously inhomogeneous coating and using integral representation of a cylindrical wave in the form of an expansion on flat waves.
Finding the displacement field in an inhomogeneous layer is reduced to solving boundary-value problem for a system of ordinary differential equations of the second order.
The results of numerical calculations of frequency characteristics are presented for reflected and transmitted acoustic fields. Shown strong difference of frequency dependencies for different laws of inhomogeneity coating material.
Keywords: reflection and transmission of sound, cylindrical sound wave, homogeneous elastic plate, inhomogeneous coating.
Bibliography: 30 titles. For citation:
L. A. Tolokonnikov, T. S. Nguyen, 2022, "Reflection and transmission of cylindrical sound wave through an elastic plate with an inhomogeneous coating ", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 312-327.
1. Введение
Отражение и прохождение звука через плоскую однородную изотропную упругую пластину исследовалось во многих работах (см., например, [1, 2]). Прохождение звука через однородный изотропный термоупругий плоский слой исследовалось в [3, 4]. Отражение звука однородными анизотропными упругими пластинами рассматривалось в [5, 6].
Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны неоднородным упругим плоским слоем решена для изотропного слоя [7], для трансверсально-изотропного слоя [8, 9], для слоя с анизотропией общего вида [10]. В [11] изучалось прохождение звука через неоднородный
2Supported by the Russian Science Foundation grant No. 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-ll-00199/
анизотропный плоский слой, граничащий с вязкими жидкостями. Прохождение плоской звуковой волны через непрерывно-неоднородный и дискретно-неоднородный термоупругие плоские слои, граничащие с невязкими теплопроводными жидкостями, рассматривалось в [12, 13]. Отражение и прохождение плоской звуковой через панели из функционально-градиентных материалов изучено в [14]. В [15] рассматривается задача о прохождении плоской звуковой полны через плоский слой композита конечной толщины. Предполагается, что композит состоит из взаимно чередующихся слоев упругого и вязкоупругого изотропных материалов.
В [16] решена обратная задача об определении линейных законов неоднородности плоского упругого слоя, имеющего наименьшее отражение при заданном угле падения плоской звуковой волны. Задача определения вида зависимостей плотности и модулей упругости трансверсально-изотропного неоднородного упругого слоя по коэффициенту прохождения плоской звуковой волны решена в [17].
Ряд работ посвящен исследованию отражения и прохождения звуковых волн на однородных изотропных упругих пластинах с неоднородными покрытиями. Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны упругим однородным плоским слоем с неоднородным по толщине покрытием решена в [18]. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами проведено в [19]. Прямая и обратная задачи о прохождении плоской звуковой волны через однородную термоупругую пластину с непрерывно-неоднородным покрытием решены в [20]. В [21 - 23] исследовано влияние непрерывно-неоднородного покрытия однородной упругой пластины на отражение и прохождение плоской звуковой волны при расположении покрытия на разных поверхностях пластины и разных законах неоднородности механических параметров материала покрытия. В [21] полагалось, что пластина граничит с идеальными жидкостями, а в [22, 23] — с вязкими жидкостями Задача определения толщины и вида зависимостей материальных параметров неоднородного изотропного покрытия конечной однородной упругой пластины со сферической полостью, обеспечивающих требуемые характеристики отражения звука, решена в [24]. В [25] получено решение задачи об отражении и преломлении плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным трансверсально-изотропным покрытием.
В работах, упомянутых выше, первичное поле возмущений представлялось в виде падающей плоской волны. Однако, как правило, приходиться учитывать конечную удаленность источника от рассеивателя. Криволинейность фронта падающей волны оказывает существенное влияние на отражение и прохождение звука через плоский слой, а с математической точки зрения задача в этом случае становится значительно сложнее.
В [26, 27] построено решение задачи о прохождении сферической звуковой волны через однородную изотропную упругую пластину.
В настоящей работе рассматривается задача об отражении и прохождении цилиндрической звуковой волны через однородную упругую пластину с неоднородным по толщине упругим покрытием.
2. Постановка задачи
Рассмотрим бесконечную однородную изотропную упругую пластину толщиной Н, материал которой характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ро- Пластина имеет покрытие в виде неоднородного по толщине изотропного упругого слоя толщиной к. Полагаем, что модули упругости А и р материала неоднородного слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты а плотность р — непрерывной функцией координаты А = А(^), р = р(г), р = р(х). При этом декартова система прямоугольных координат х, у, г выбрана таким образом, что ось х лежит в плоскости, разделяющей однородный слой и неоднородное покрытие, а ось г направлена вниз по нормали к поверхности пластины (рис.
1). Пластина с покрытием помещена между двумя полупространствами, заполненными идеальными ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ, КОТОрые ИМеЮТ ПЛОТНОСТИ р\, р? И СКОРОСТИ ЗВука С\, С?
соответственно.
г V СЬР1
) к(г), р(г)
X
> ^0>Ц(ЬР0 (
2 С2:Р2
Рис. 1: Геометрия задачи
Пусть из полупространства г < —к на пластину с покрытием падает монохроматическая симметричная цилиндрическая звуковая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси у. Без ограничения общности полагаем, что положение источника определяется координатами
х = хо = 0; —те < У < те; г = — го.
Потенциал скорости падающей волны имеет вид
фо = А Но(к1Я) ехр (—Ш), (2.1)
Где а — амплитуда волны; к\ = ш/с\ — волновое число в полупространстве г < —к; ш — круговая частота; Но(х) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода пулевого порядка; К = \г — Го|; г и го — векторы, соединяющие начало координат с точкой наблюдения М (х, 0, и с точкой Мо (0, 0, — го), определяющей положение источника, соответственно; К = [х2 + (г + гд)2]1/2; t — время. В дальнейшем временной множитель ехр(—шЬ) будем опускать.
Определим отраженную и прошедшую через пластину с покрытием звуковые волны, а также найдем поля смещений в однородной пластине и неоднородном слое.
3. Математическая модель задачи
Ввиду осевой симметрии задачи и свойств упругого материала покрытия, рассматриваемая задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты у.
Распространение звуковых волн в полупространствах ^ < —кшх>Нв случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [2|
Аф, + к?ф, = 0, з = 1, 2, (3.1)
где Ф1 и Ф2 — потенциалы скорости отраженной от пластины и прошедшей через нее волн; к? = ш/с? — волновое число в полупространстве г > Н {] = 2)-, ф = фо + ф1 — потенциал
скорости полного акустического поля в полупространстве г < —к . При этом скорость частиц жидкости V] и акустическое давление pj в верхнем и нижнем полупространствах определяются по формулам
VI = grad (ф0 + ^1), У2 = grad Ф2, Р1 = гр1^(фо + ^1), Р2 = гр2шф2.
Распространение малых возмущений в упругой однородной изотропной пластине в случае гармонического движения описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [2]
ДФ + к^Ф = 0, ДФ + к2 Ф = 0, (3.2)
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; кг = ш/с1 и кт = ш/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; С1 = л/(Ао + Ро)/ро и ст = л/ро/ро — скорости продольных и поперечных волн соответственно. При этом вектор смещения частиц упругого однородного слоя ио = gradФ + rotФ (divФ = 0).
Так как рассматриваемая задача является двумерной, то Ф = Ф(х,г)еу, где еу — единичный вектор оси у. Тогда векторное уравнение относительно Ф сведется к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(х,х).
Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [28], которые при отсутствии массовых сил для установившегося режима движения имеют вид
дахх дахг 2 / \ доХг . дохх 2 / \ /о о\
+ = —^р(г)и*, + = —^р(г)щ, (3.3)
где их и их — компоненты вектора смещения и частиц неоднородного слоя, о^ — компоненты тензора напряжений в неоднородном слое.
Решения дифференциальных уравнений (3.1) - (3.3) должны удовлетворять граничным условиям.
Граничные условия на поверхностях, соприкасающихся с жидкостями, заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений
2 = —к : —шщ = у^, ахх = —ахг = 0, (3.4)
г = Н : —гши°о = у2х, = —р2, = 0. (3.5)
На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения
2 = 0 : их = и°х, иг = и°о, охх = , ахг = а°хх. (3.6)
В (3.5) и (3.6) и® и и<о — компоненты вектора смещения ио частиц однородной пластины; а— компоненты тензора напряжений в однородной пластине.
4. Аналитическое решение задачи
Найдем решение задачи (3.1) - (3.6), воспользовавшись решением задачи о прохождения плоских звуковых волн через пластину с непрерывно-неоднородным покрытием, полученным
в [18].
Приведем некоторые элементы решения задачи для случая плоской падающей волны и отметим их индексом pi (plane). Согласно [18] потенциал скорости падающей плоской волны выражается формулой
Фо pi = Л exp{i[klxx + klz (z + h)}}, (4.1)
а потенциалы скорости отраженной от пластины и прошедшей через нее волн, потенциалы смещения в однородной пластине и компоненты вектора смещения в неоднородном покрытии выражаются формулами
Ф1 р1 = А1 ехр{1[к1Хх — ки(г + к)]}, ф?Р1 = А2 ехр{1[к?хх + к?г(г — Н)]},
ФР1 = В1 ехр[1(к1Х х + ки г)} + В2 ехр[г(к1Хх — ки г)},
ФР1 = С1 ехр[г(ктхх + ктгг)} + С2 ехр[г(ктхх — ктгг)}, (4.2)
И1(г) ехр(гк1Хх), И2(г) ехр(гк1Хх),
где Ао — амплитуда падающей плоской волны; к1х = к1 8т во, к1г = ^/Щ —Щ^ = к1 сов во — проекции волнового вектора к1 в полупространстве г < —к на оси координат х и г соответственно; во — угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту плоской волны с осью X] к2Х, к2г — проекции волнового вектора прошедшей волны к2 на оси координат х и Х]к2х = л/Щ—Щ^] к1г = ^Щ — к2х, ктх = л/к"2 — к2х. При этом согласно закону Снеллиуса [1]
к2х — кгх — ктх — к1Х.
В выражения для коэффициентов А^ В^ С^ (] = 1, 2) входят величины 112(—к), и1(0) и ^2(0)- Функции ип(г) (п = 1, 2) являются решением краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
ЛИ" + ВИ' + Си = 0, (4.3)
с краевыми условиями
(ЛИ' + Еи) = G, (ЛИ' + Еи)_о = 0 (4.4)
где И = (111, и2)т] Л = (Атп), В = (Втп), С = (Стп), Е = (Етп), Е = (Ртп) — матрицы второго порядка; G = (Ст)2х1 (т, п = 1, 2).
В [29] получено приближенное аналитическое решение краевой задачи (4.3), (4.4) в виде
4 те
ип(г) = £Сги1п(г), и1п(г) = + к/2)а (п = 1, 2). (4.5)
1=1 «=о
Коэффициенты С1 (I = 1, 2, 3, 4) определяются из системы четырех линейных алгебраических уравнений
4
I "С тт^
^ Сг (ли1' + ЕИг) = Б,
1=1 г=_Н
4
V С1 (ЛИ£ + ЕИг) =0,
^— \ / х=о
1=1
где И (г) = (и11, и12)Т.
Коэффициенты Цп^ (п = 1, 2; I = 1, 2, 3, 4) разложений (4.5) вычисляются по формулам и?о) = 5и, о) = 5*, Ц*1 = 5з1, 1) = §41,
2 К-1 £ £
д=1 к=о
и%3+2) = —[(8 + 1)(8 + 2)А^]_1 £ + 1 — — к)А\>+1) + вУк>]и$а+1_к) +
(8 = 0, 1,...),
где 5ц — символ Кронекера;
4? = 4? = 4? =0; 4? = ^ +2^); < = (к + 1)^ к+1); В1$ = < = к) + ^к)); =(к + 1)(А<к+1) +2^к+1));
^11) = -кШк) + 2^к)) + "V к); С12) = + 1)^к+1);
= гк1х (к + 1)А(к+1); С(к) = —к\хр(к) + ^2р(к).
Используя интегральное представление функции До (х) [30], запишем цилиндрическую волну (3.1) в виде
те
Фо (х,г)= I ШЫ, (4.6)
—те
где
фо(() = А — е^(х—х0) е^ , щ = (4.7)
ттщ V
При |£| > к величина щ становится мнимой. Выбор знак а корня — £2 из условия 1тщ ^ 0 обеспечивает ограниченность поля падающей волны при ^ те. Таким образом, VI = Vк2 — С2 ПРИ — < i < к\ и щ = г^/— к2 при |£| > к\.
Произведение экспонент в подынтегральном выражении (4.7) представляет собой плоскую волну, направление распространения которой задается горизонтальной £ и вертикальной щ компонентами волнового вектора к1.
При г > — го формула (4.7) принимает вид (с учетом того, что Хо = 0)
0о(6 = , 1(0 = е^. (4.8)
В дальнейшем величины, зависящие от £ будем обозначать знаком «тильда».
Сравнивая формулы (4.8) и (4.1) замечаем, что подынтегральное выражение в (4.6), определяемое (4.8), аналогично по форме выражению плоской волны (4.1). При этом £ соответствует к1х, а I(£) — Аоёгк1гСледовательно, при рассеянии первичного поля возмущений, определяемого потенциалом фо(0: потенциалы отраженной ф1 и прошедшей 02 волн, потенциалы смещения Ф, Ф и компоненты вектора смещения йх, йг в покрытии определяется формулами, аналогичными (4.2), в которых следует сделать указанные выше замены.
В результате будем иметь
■01 = ехр{г[{ж — щ(г + Л.)]}, 02 = ^2 ехр{г[{ж + — Я)]}, (4.9)
Ф = В1 ехр[г({ж + щг)} + В2 ехр[г({ж — щг)}, (4.10)
ф = (71 ехр[г({ж + и]т г)\ + (72 ехр[г({ж — и]т г)\, (4.11)
их = и1(г, £)ехр(г^ж),йг = и2(г, £)ехр(г{ж), (4.12)
где
¿1 = I(0е—гг]1Н + ~~и 2 (—Л, £); (4.13)
Щ
А2 =--
Ч
(Ё1ёц — В2ёИ) + £ ( С1Ф1Г + С2ё2т)] ; (4.14)
2
В, = [ё13й1 (0, О + № (0, О ; С3 = 7иЙ1 (0, О + 72,^2 (0, О (з = 1, 2);
П2 = у к2 — е; VI = — е; ^ — ^М—ё;
ёи = ег^н; ё-21 = е_г^н; ё^ = е^н; ё^ = е_г^н;
¡Зц = &2Тё1; Р21 = цт Г21ё1; ¡12 = &1<ё1; ¡22 = — Цт пгё1;
1и = — ш й2^2; 121 = £.92^2; 112 = т ^2; 122 = —91^2;
—4г /лоё3 41 ^
™1 = —-——; = •
Г^2 + Ы1 91Я2 — 92Я1
9] = (—1У 4§ 1ЩЦТ — (ёи + §д_у ё-21) ё]т; ^ = 4 ё^2 + (ё7_з ёи — §9_з ё21) ё^; ^ = 4цо8зГЦЦт + (Ь+(_1)з ё2т — в7+(_1)з )^Г; Г] = 4№(283 + (—1У(§6+(_1у ё2т + в7+(_1)} ё1т) ёц;
2 2 2 2 ^^ Р2
51 = ( Ао + 2цо)кг— 2 [Хо£ , ё2 = 2[хо£г]т; ё3 = 2£ — кт; §4 =-;
2
$4+] = 8з( «4 VI — 81) — 2£ VI (Ы — ( — 1У$ 2); = Ь( «4 VI + 81) — 2£ Щ( ^ — ( — 1У§2),
и = 1, 2).
Кроме того, указанные замены к1Х на £ и Ао на 1(£,)следует произвести и в элементах матриц В С Е, Е, О краевой задачи (4.3), (4.4) для нахождения ип(г, £) (п = 1, 2) из преобразованного выражения (4.5). Получим
4 те
ип(г, 0 = Е^ (*, О, и1п (г, 0 = к/2)а (п = 1, 2), (4.15)
1=1 «=о
где
иГ = 51г; й12(о) = 52!; й11(1) = 5я; и2(1) = 5*;
2 К-1 £ £
д=1 к=о
й^+2) = —[(8 + 1)(8 + 2)А^]_1 £ Е«* + 1 — Ща — к)А%+1) + в£Щ'+1_к) + С(к)й1^_к)}
(8 = 0,1,...);
В1к) —В1к); В22 —В®; В™ = В^ = Шк) +^к)); С<к = 2 (А(к) + ¿к)) + и2р(к); С[2 = г£,(к + 1)^(к+1);
С21 = г((к + 1)* к+1); С2к = —Ц2^к) +^2Р{ к). Коэффициенты С[ (I = 1, 2, 3, 4) определяются из системы уравнений
4
^ Сг (Ай1' + Ёй^ = Б, 1=1 г=_Н
4
У^сЛАй* +Ри1) =0,
—' V / х=о
1=1
Е =
где Ûl(z, 0 = Ф\, Щ)т;
• 0 А • ) ; F = ( .J11 , ^ + fl2 ) ; 5 = (0; -2ipiWJfâe—*")т;
г С А г ш2рх/щ J1 \г£А + f21 Ы )
hj = Ы2£ - Ы + h(7ji + 7,2)];
f2j = Sl(&1 + ^j2) + S2(7i1 - lj2) 0' = l, 2).
Чтобы обеспечить ограниченность поля прошедшей волны при z ^ те, выбор знака корня V2 = л/^2 — С2 осуществим из условия Im^2 ^ 0, то есть
Ш = л/^2 — £2 ПРИ —■к2 < С < к2, m = гд/С2 — к| ПРИ |£| > к2. Величины î]i = — £2, г?т = л/к^—^ определяются по формулам
Ш = \!Щ — С2 ПРИ < Î <ки Ш = ^ ^Д2 — Щ при |£| > кг, Vt = \/к? — С2 при —кт < £ < кт, г/т = гл/{2 — к2 при |£| > кт.
При рассеянии цилиндрической волны пластиной с покрытием искомые потенциалы фj (j = 1, 2), Ф, Ф и компоненты вектора смещения ux,uz в неоднородном покрытии определяется путем интегрирования
ф3 (х, Z) = ф3(О (j = 1, 2),
(4.16)
œ œ
Ф(х, z)= J Ф(0 dC, Ф(х, z)= J Ф(0 dC,
— œ
œ
— œ
œ
ux (х, z)= j ux(i)di, uz (х, z) = y uz(£) d£.
—œ —œ
Таким образом, получили аналитическое решение поставленной задачи.
(4.17)
(4.18)
5. Численные исследования
На основе полученного аналитического решения задачи были проведены численные расче-
ты зависимостей
от волнового размера пластины к\Н при расположении источника в точке Мо с координатами (х = 0, -г = — -го) Точки наблюдения М\ и М2 в отраженном и прошедшем акустических полях имели координаты (х = 0, г = —50 Н) и (х = 0, г = 50 Н) соответственно. При этом исследовался случай, когда жидкости по обе стороны тела являются одинаковыми (к1 = к^ р\ = р2)- Полагалось, что амплитуда падающей волны А = 1, а отношение толщины покрытия к к толщине однородной пластины Н, равно 0,2. Рассматривалась алюминиевая пластина толщиной Н = 0,1м (ро = 2, 7 ■ 103 кг/м3, Ао = 5, 3 ■ 1010 Н/м2, ро = 2, 6 ■ 1010 Н/м2) с покрытием на основе поливинилбутираля, находящаяся в воде (Р1 = Р2 = 103 кг/м3, С1 = С2 = 1485 м/с). Расчеты проводились как для однородного покрытия с плотностью р = 1, 07 ■ 103 кг/м3 и модулями упругости А = 3, 9 ■ 109 Н/м2, р = 9, 8 ■ 108 2
по толщине слоя по закону
р = рf(z), А = А f(z), р = р ¡(г).
Рассматривались следующие линейные и квадратичные законы неоднородности:
'г\2
Ш = аг (-| + 0, б) (аг = 1), /2(г) = а2 Ц) + 0, 5
(а2 = 1, 2).
Множитель а^ {] = 1, 2) выбран так, чтобы среднее значение функции fj (г) по толщине слоя было равно единице.
Несобственные интегралы (4.16) (4.18) являются сходящимися. Они мшут быть оценены только численно.
При вычислении интегралов (4.16) (когда кг = к2) интервал интегрирования разбивался на участки (с учетом того, что кг < кг <кт)
(-<х, -кт), (-кт, -кг), (-кг, -кг), (-кг, кг), (кг, кг), (кг, кт), (кт, +гс>).
от волнового размера пластины
На рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости кгН при г® = 10Н. Сплошной и штриховой линиями обозначены зависимости для линейного и квадратичного законов неоднородности соответственно. Пунктирной линией обозначена зависимость для однородного покрытия. Расчеты показывают сильное отличие частотных ха-
рактеристик для разных законов неоднородности материала покрытия.
Фг А
для линеиного закона неоднородности
На рис. 4 приведены частотные характеристики при разном удалении источника от пластины. Кривые 1, 2, 3 соответствуют случаям, когда = 5Н; 10Я;
100Н. При изменении расстояния от источника до пластины наблюдается существенное изменение частотной зависимости, что проявляется в изменении уровней и сдвиге резонансных частот.
0.2
0.1
/л X \ \ _Л
1- V_____
0 10 2 -\- 0 30 ъ
Рис. 3: Зависимость
от волнового размера пластины к\Н при го = ЮН
0.2
0.1
Г ^ ^ \\ г
■У /
10
20
30
Ц Н
Рис. 4: Зависимость родности при
от волнового размера пластины к\Н для линейного закона неодно-
6. Заключение
В настоящей работе получено аналитическое решение задачи об отражении и прохождении звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником, через однородную упругую пластину с покрытием, выполненным из функционально-градиентного материала. При этом упругие свойства покрытия непрерывно изменяются по его толщине.
С помощью неоднородных покрытий можно изменять характер отражения и прохождения звука путем выбора соответствующих законов неоднородности для механических параметров покрытия пластины. Полученное решение задачи позволяет выявить закономерности изменения характеристик отраженных и преломленных акустических полей, а также упругого поля в пластине для покрытия из материалов с разными видами неоднородности и при различных
значениях волнового размера пластины.
Актуальность таких задач обусловлена потребностью промышленности в конструировании новых композитных материалов с высокими звукоизолирующими свойствами. Развитие методов ультразвуковой дефектоскопии невозможно без теоретического исследования волновых процессов, а именно процессов отражения, преломления, трансформации волн в упругих структурах разной конфигурации, в том числе в пластинах. Необходимость решения подобных волновых задач возникает в гидро- и сейсмоакустике, в физической акустике, в медицинской диагностике.
На основе решения прямой задачи можно рассмотреть обратную задачу об определении законов неоднородности материала покрывающего слоя, позволяющих получить требуемые звукоотражающие свойства пластины в заданных диапазонах частот.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
2. Шендеров Е. А. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
3. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145 - 153.
4. Ларин Н.В. Анализ резонансного рассеяния звука термоупругой пластиной // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 109 - 123.
5. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акустический журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85 - 92.
6. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акустический журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122 - 129.
7. Приходько В. Ю., Тютекин В. В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212 - 218.
8. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Прохождение звуковых волн через трансверсаль-но-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 4. С. 740 - 744.
9. Ринкевич А. Б., Смирнов А. И. Распространение упругих волн в неоднородной трансвер-сально-изотропной пластине // Дефектоскопия. 2000. № 8. С. 78 - 83.
10. Толоконников Л. А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179 - 184.
11. Толоконников Л. А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1029 - 1035.
12. Ларин И. В., Толоконников Л. А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006.Т. 70. Вып. 4. С. 650 - 659.
13. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 108 - 116.
14. Huang С., Nutt S. An analytical study of sound transmission through unbounded panels of functionally graded materials // J. of Sound and Vibration. 2011. Vol. 330. No. 6. P. 1153 — 1165.
15. Шамаев А. С., Шумилова В. В. Прохождение плоской звуковой волны через слоистый композит с компонентами из упругого и вязкоупругого материалов // Акустический журн. 2015. Т. 61. Вып. 1. С. 10 - 20.
16. Ларин Н.В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акустический журнал. 2015. Т. 61. № 5. С. 552 - 558.
17. Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 246 - 257.
18. Толоконников Л. А., Юдачев В. В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219 - 226.
19. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480 - 488.
20. Ларин Н. В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216 - 234.
21. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. О влиянии неоднородного покрытия упругой пластины на отражение и прохождение звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 6. С. 362 - 372.
22. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 2. С. 289 - 302.
23. Нгуен Т. Ш. Об отражении и прохождении плоской звуковой волны через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2021. Вып. 5. С. 404 - 414.
24. Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 7. С. 83 - 92.
25. Толоконников Л. А., Толоконников С. Л. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным анизотропным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 423 - 437.
26. Piquette J. С. Spherical-wave scattering by a finite-thickness solid plate of infinite lateral extent, with some implications for panel measurements //J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 83. No. 4. P. 1284 - 1294.
27. Шушкевич Г. Ч., Киселева H. И. Экранирование звукового поля плоским упругим слоем и тонкой незамкнутой сферической оболочкой // Информатика, 2014. № 2. С. 36 - 47.
28. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
29. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. Определение поля смещений неоднородного покрытия упругой пластины при прохождении через нее плоской звуковой волны // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. Вып. 1. С. 310 - 321.
30. Фелсен Л., Маркувиц М. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Мир, 1978. 557 с. REFERENCES
1. Brekhovskikh, L.M. 1973, "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].
2. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p., fin Russian].
3. Larin, N.V. 2015, "The transmission of sound through a uniform thermoelastic plane layer", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 145 - 153, fin Russian].
4. Larin, N. V. 2017, "Analysis of the resonance sound scattering by a thermoelastic plate", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 4, pp. 109 - 123, fin Russian].
5. Lonkevitch, M.P. 1971, "Transmission of sound through a finite-thickness layer of a transver-sal-isotropic materia", Akust. Zhurnal, vol. 17, no. 1, pp. 85 - 92, fin Russian].
6. Shenderov, E.L. 1984, "Sound propagation through transversallv-isotropic plate", Akust. Zhurnal, vol. 30, no. 1, pp. 122 - 129, fin Russian].
7. Prikhod'ko, V. Yu. к Tvutekin, V. V. 1986, "Calculation of reflection coefficient of sound waves from solid layered media", Akust. Zhurnal, vol. 32, no. 2, pp. 212 - 218, fin Russian].
8. Skobel'tsvn, S.A. к Tolokonnikov, L.A. 1990, "Transmission of sound waves through a transversely isotropic inhomogeneous plane layer", Akust. Zhurnal, vol. 36, no. 4, pp. 740 -744, fin Russian].
9. Rinkevich, A.B. к Smirnov, A.N. 2000, "Propagation of elastic waves in a non-uniform transversely isotropic plate", Defektoskopiya, no. 8, pp. 78 - 83, fin Russian].
10. Tolokonnikov, L. A. 1999, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an anisotropic inhomogeneous layer", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 40, no. 5, pp. 936 - 941.
11. Tolokonnikov, L.A. 1998, "The transmission of sound through an inhomogeneous anisotropic layer adjoining viscous liquids", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 62, no. 6, pp. 953 -958.
12. Larin, N.V. к Tolokonnikov, L.A. 2006, "The transmission of a plane acoustic wave through a non-uniform thermoelastic layer", J. Appl. Math. Mech., vol. 70, no. 4, pp. 590 - 598.
13. Tolokonnikov, L. А. к Larin, N.V. 2017, "Sound propagation through a discretely inhomogeneous thermoelastic plane layer adjacent to heat-conducting liquids", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 58, no. 1, pp. 95 - 102.
14. Huang С. к Nutt S. 2011, "An analytical study of sound transmission through unbounded panels of functionally graded materials", J. of Sound and Vibration, vol. 330, no. 6, pp. 1153 - 1165.
15. Shamaev A.S. k Shumilova V. V. 2015, "Passage of a plane acoustic wave through a layered composite with components of elastic and viscoelastic materials", Acoustical Physics, vol. 61, no. 1, pp. 8 - 18.
16. Larin, N.V., Skobel'tsvn, S.A. k Tolokonnikov, L. A. 2015, "Determination of the inhomoge-neitv laws for an elastic layer with preset sound-reflecting properties", Acoustical Physics, vol. 61, no. 5, pp. 504 - 510.
17. Skobel'tsvn, S.A. 2016, "Determining the parameters of anisotropic elastic layer on the sound transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 7-2, pp. 246 - 257, fin Russian].
18. Tolokonnikov, L.A. k Yudachev, V. V. 2015, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an elastic planar layer with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 219 - 226, fin Russian].
19. Larin, N.V., Skobel'tsvn, S.A. k Tolokonnikov, L. A. 2016, "Modeling the inhomogeneous coating of an elastic plate with optimum sound-reflecting properties", J. Appl. Math. Mech., vol. 80, no. 4, pp. 339 - 344.
20. Larin, N.V. 2016, "Determination of the inhomogeneitv laws for coating of the thermoelastic plate to obtain minimum sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 11-2, pp. 216 - 234, fin Russian].
21. Tolokonnikov, L.A. k Nguyen, T.S. 2018, "About the influence of an non-uniform covering of the elastic plate on sound reflection and transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 6, pp. 362 - 372, fin Russian].
22. Tolokonnikov, L. A. k Nguyen, T. S. 2019, "The transmission of sound through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquids Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 311 — 324, fin Russian].
23. Nguyen, T. S. 2021, "About reflection and transmission of a plane sound wave through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquids", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 5, pp. 404 - 414, fin Russian].
24. Skobel'tsvn, S.A. 2017, "Tstimation of the coating properties of a finite plate with a cavity providing the given parameters of the sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 7, pp. 83 - 92, fin Russian].
25. Tolokonnikov, L.A. k Tolokonnikov, L.A. 2021, "Reflection and reflaction of a plane sound wave in an elastic plate with an inhomogeneous anisotropic coating Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 423 - 437, fin Russian].
26. Piquette J. C. 1988, "Spherical-wave scattering by a finite-thickness solid plate of infinite lateral extent, with some implications for panel measurements J. Acoust. Soc. Am., vol. 83, No. 4, pp. 1284 - 1294.
27. Shushkevich G. Ch. k Kiselvova N. N. 2014, "Sound field shielding by flat elastic layer and thin unclosed spherical shell", Informatika, no. 2, pp. 36 - 47, fin Russian].
28. Nowacki, W.1973, "Teoria sprezystosci", PWN, Warszawa.
29. Tolokonnikov, L. A. k Nguyen, T. S. 2020, "Determination of the displacement field in an inhomogeneous coating of an elastic plate when passing through her plane sound wave Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 310 — 321, fin Russian].
30. Felsen L.B., Marcuvitz N. 1973, "Radiation and scattering of waves", Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.
Получено 18.02.2022 г. Принято в печать 27.02.2022 г.
