Отображение Хаусдорфа: 1-липшицевость и изометричность Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

3

Математика

УДК 514

ОТОБРАЖЕНИЕ ХАУСДОРФА: 1-ЛИПШИЦЕВОСТЬ И ИЗОМЕТРИЧНОСТЬ

И. А. Михайлов1

Исследуются свойства отображения Хаусдорфа, сопоставляющего каждому метрическому пространству семейство его непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств, наделенное метрикой Хаусдорфа. Показано, что это отображение является липшицевым с константой 1. Приводится несколько классов примеров пространств, расстояние между которыми сохраняется при отображении Хаусдорфа. Вычислено расстояние Громова-Хаус-дорфа между произвольным связным метрическим пространством конечного диаметра и симплексом с большим диаметром. Приводятся свойства, которые могут помочь в ответе на вопрос, является ли отображение Хаусдорфа изометричным.

Ключевые слова: расстояние Хаусдорфа, пространство Громова-Хаусдорфа, отображение Хаусдорфа.

The properties of the Hausdorff mapping H taking each compact metric space to the space of its nonempty closed subspaces endowed with the Hausdorff metric are studied. It is shown that this mapping is nonexpanding (Lipschitz mapping with the constant 1). Several examples of classes of metric spaces the distances between which are preserved by the mapping H are presented. The distance between any connected metric space with a finite diameter and any simplex with the greater diameter is calculated. Some properties of the Hausdorff mapping are discussed, which may help to understand whether the mapping H is isometric or not.

Key words: Hausdorff distance, Gromov-Hausdorff space, Hausdorff mapping.

1. Введение. Будем обозначать через H(X) пространство всех непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств метрического пространства X, наделенное метрикой Хаусдорфа. Через M обозначим пространство всех метрических компактов (рассматриваемых с точностью до изометрии) с метрикой Громова-Хаусдорфа. Нахождение расстояния Громова-Хаусдорфа между произвольными метрическими компактами является сложной с вычислительной точки зрения задачей, так как использование известных на данный момент формул в общем случае требует рассмотрения большого числа вариантов (см., например, предложение 2). Поэтому особый интерес представляют изометрич-ные вложения пространства M в себя. Такие изометрии могут предоставить более удобный способ вычисления расстояния Громова-Хаусдорфа между метрическими компактами, если заменить их на изометричные образы, расстояние между которыми считается проще. Однако при поиске таких отображений возникает множество препятствий, связанных со свойствами пространства Громова-Хаусдорфа. Так, существует гипотеза, высказанная С. Илиадисом, что не бывает биективных изо-метрий пространства Громова-Хаусдорфа на себя, кроме тождественной. Тем не менее небиективные изометрии могут существовать [1]. Отображение Хаусдорфа H : M — M,X — H(X), возможно, является такой изометрией.

Цель работы — доказать, что отображение H является 1-липшицевым, и привести примеры пространств, расстояния между которыми сохраняются под действием отображения Хаусдорфа. В частности, показано, что отображение H сохраняет расстояние между произвольным континуумом и симплексом с большим диаметром (см. следствие 6). Этот факт следует из представляющей отдельный интерес формулы для расстояния Громова-Хаусдорфа между связным метрическим пространством конечного диаметра и симплексом большего диаметра (см. предложение 15). В доказательстве используется связность пространства всех компактных подмножеств связного пространства (см. предложение 13).

2. Основные определения и предварительные результаты. Пусть A — произвольное множество. Через #A будем обозначать мощность множества A.

Пусть Z — произвольное метрическое пространство. Расстояние между его точками x и y обозначим через |xy |. Через diam Z будем обозначать диаметр Z. Если X, Y С Z — непустые подмно-

1 Михайлов Иван Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

жества, то положим |XY| = inf{ |xy| : x € X, у € Y}. Если X = {x} — одноточечное множество, то для простоты будем писать |xY| = |Yx| вместо |{x}Y| = |Y{x}|.

Для непустых X, Y С Z положим

|XY|z = max{ sup |xY|, sup |yX|}.

x€X y€V

Данная величина называется расстоянием Хаусдорфа между X и Y. Семейство всех непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств Z обозначим H(Z) и назовем пространством Хаусдорфа. Хорошо известно [2], что пространство H(Z), наделенное расстоянием Хаусдорфа, является метрическим.

Пусть X и Y — метрические пространства. Тройку (X',Y',Z), состоящую из метрического пространства Z и двух его подмножеств X' и Y', изометричных соответственно X и Y, назовем реализацией пары (X, Y). Расстоянием Громова-Хаусдорфа don (X, Y) между X и Y назовем точную нижнюю грань таких чисел r, для которых существует реализация (X', Y',Z) пары (X, Y), такая, что |X'Y'|z ^ r. Функция don, ограниченная на множество M всех компактных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, является метрикой [2].

Предложение 1 [2]. Для любых метрических пространств X и Y имеем

1) Y) ^ | maxjdiamX, diam Y};

2) если X — одноточечное, то doH{X,Y) = | diam Y.

Для непосредственного вычисления расстояния Громова-Хаусдорфа, оказывается, удобно использовать технику соответствий.

Пусть X и Y — непустые множества. Отношением между X и Y называется каждое подмножество декартова произведения X x Y. Множество всех непустых отношений между X и Y обозначим P(X, Y). Каждое отношение а € P(X, Y) будем рассматривать как многозначное отображение, которое может иметь область определения, меньшую, чем X. Тогда по аналогии с отображениями для любого x € X и любого A С X определены их образы a(x) и а(А), а для любого y € Y и любого B С Y — их прообразы а-1(у) и а-1(В) соответственно. Отношение R € P(X, Y) называется соответствием, если ограничения на R канонических проекций пх : (x, у) ^ x и пу : (x, у) ^ у сюръективны. Множество всех соответствий между X и Y обозначим R(X, Y).

Пусть X и Y — метрические пространства. Искажением dis а отношения а € P(X, Y) называется величина dis а = sup j ||xx'| — |уу'|| : (x,y), (x',y') € а j.

Предложение 2 [2]. Для любых метрических пространств X и Y имеем

dGH(X,Y) = iinf {dis Я : R € K(X,Y)}.

Метрическое пространство M называется симплексом, если все его ненулевые расстояния равны. Заметим, что симплекс компактен тогда и только тогда, когда конечен. Симплекс, состоящий из n точек, расположенных на расстоянии t, обозначим tAn. Если t = 1, то для краткости пространство tAn обозначим An.

Предложение 3 [3]. Для любых натуральных p, q и действительных t, s > 0 имеем

— в|, если р = д;

2dGH(¿Ар, вДд) = ^ шах{£, в — ¿}, если р > д;

^шах{в,£ — в}, если р < д.

Предложение 4 [3]. Пусть М — конечное метрическое пространство, п = #М. Тогда для любых чисел т € М, т > п, и ¿> 0 имеет место равенство

2dGH (¿Дт, М) = шах{£, diam М — ¿}.

Для любого метрического пространства М положим

е(М) = т£{|жу| : ж, у € М,ж = у}.

Предложение 5 [3]. Если М — конечное метрическое пространство, п = #М, то

2dGн (¿Дп, М) = шах{£ — е(М), diaш М — ¿}.

3. Основные результаты. Хорошо известно [2], что если X — метрический компакт, то пространство Н(Х) тоже компактно и совпадает с пространством всех компактных подмножеств X.

Рассмотрим отображение Хаусдорфа Н: М ^ М, сопоставляющее каждому метрическому компакту его пространство Хаусдорфа.

Пусть X, У € М — неизометричные метрические компакты. Пусть X, У изометрично вложены в метрическое пространство 2. В силу компактности пространства У для каждой точки х € X существует точка у' € У, такая, что |хУ| = |ху'|. Обозначим у' через 7(х), тем самым определив отображение 7: X ^ У. Пусть А С X — произвольное замкнутое подмножество, тогда 7(А) € Н(У), где В — замыкание В С 2. Докажем несколько предложений, описывающих свойства компакта

ЧЩ-

Предложение 6. Для любых A € H(X) и a € A имеем |a7(A)| = |a7(a)|.

Доказательство. По определению 7 для любого y € Y верно, что |ay| ^ |aY(a)1, поэтому

для любой точки а £ А имеем |a7(A)| = inf \ау\ = |а7(а)|, так как 7(а) € j(A). Предложение

yej{A)

доказано. _

Предложение 7. Для каждого А £ *Н{Х) имеем = sup|a7(a)|.

aeA

Доказательство. Пусть y € 7(A). Рассмотрим два случая.

1. Если y € 7(A), то существует a € A, такое, что y = 7(a). Но |yA| = inf |ya|, значит,

aeA

|yA| ^ ^(a)^

2. Если y € dY(A), то существует последовательность {anточек из A, таких, что 7(an) — y при n — то. Так как в метрическом компакте любая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, то без ограничения общности можно считать, что an — a € A. В силу определения Y имеем ^7(a) ^ |ay|. Предположим, что ^(a) < |ay|, тогда 6 := |ay| — |a7(a)| > 0. Существует номер к > 0, такой, что |aafc| < | и |y7(afc)| < §• Из неравенства треугольника для aj(a)a,k получаем

6 6 2

|flfc7(a)| ^ \aj(a)\+\aak\ < |a7(a)|+- = \ау\ - 6 + - = \ау\ - <

< |ay| — |aafc| — |y7(afc)| ^ |afc7(afc)|,

что противоречит определению 7(a&). Значит, |ay| = |a^(a)| и, следовательно, |yA| ^ |aY(a)|.

Итак, для любой точки у £ ^f(A) существует точка а £ А, такая, что \уА\ ^ |a7(a)|, откуда sup \уА\ ^ sup|a7(a)|. Значит, в силу предложения 6

|А7(А)\z = maxj sup \уА\, sup|a^{a)\> = sup107(a)|,

что и требовалось. | | | |

Следствие 1. Для каждого A £ T-L(X) имеем ^ sup|a;7(:r)|

хеХ

Предложение 8. Для любых А £ %{Х) и В £ %{У) справедливо неравенство \AB\z ^ |А7(у1)

Доказательство. Для каждого а € А верно |аВ| = И |ау| ^ inf |ау| = 1а7(а)|. Значит,

уев уеУ

z'

sup |aB| ^ sup|a7(a)| = |A7(A)|Z,

aeA aeA

поэтому

\AB\z = max { sup \aB\, sup |6A|} ^ \Ay(A)\z,

aeA beB

что и требовалось. | | | |

Следствие 2. Для любого A £ TL(X) имеем | AH(Y) | = | Ar)(A)\z.

Теорема 1. Пусть X и Y — метрические компакты, погруженные в метрическое пространство Z, тогда

|H(X )H(Y )|h(z )= |XY |Z .

Доказательство. Заметим, что из следствия 1 вытекает, что

sup |Ay(A)L^ supр7(ж)|= sup |xY

AeH(X) xeX xeX

Принимая во внимание следствие 2, получим

sup |AH(Y)|< sup |xY|.

AeH(X) xeX

С другой стороны, для любого ж € X выполняется |ж7(ж) |=|{ж}{7(x)}|Z = |{ж}7({ж}) |Z. Значит,

sup |xY| = sup|ж7(ж)|^ sup |Ay(A)L = sup |AH(Y)|.

xeX xeX AeH(X) AeH(X)

Таким образом, sup |AH(Y)|= sup |жУ|. Аналогично получаем, что sup |BH(X)|=sup |yX|.

AeH(X) xeX BeH(Y) veY

Но тогда

|H(X)H(Y)| (7)=maJ sup |AH(Y)|, sup |BH(X)|) =max{ sup |жГ|, sup |yX|}= |XY|z.

H( ) ^ AeH(X) BeH(Y) J xeX yeY

Теорема доказана.

Теорема 2. Для любых метрических компактов X и Y верно неравенство

dGH (H(X), H(Y)) < dGH(X, Y).

Доказательство. Согласно теореме 1, если (X, Y, Z) — реализация пары |X, Y), такая, что |XY|z < g, то (H(X), H(Y), H(Z)) — реализации пары (H(X), H(Y)), такая, что |H(X)H(Y) |H(Z)<

g. В силу определения расстояния Громова-Хаусдорфа dGH(H(X), H(Y)) ^ dGH(X, Y), что и требовалось.

Следствие 3. Отображение H непрерывно.

Предложение 9. Для любого метрического компакта X имеем

1) diamX = diamH(X);

2) e(X)= H(X)).

Доказательство. Для любых A, B € H(X) в силу их компактности существуют точки a € A и b € B, такие, что

|AB |h(x) = |ab| =|{a}{b}|^(X) •

Поэтому

diam H(X) = sup |AB|h(x) = sup |ab| = diamX.

A,BeH(X) a,beX

Заменив diam на e, а sup на inf, получим второе утверждение. Следствие 4. Отображение H является 1-липшицевым.

Доказательство. В силу теоремы 2 отображение H является липшицевым с константой C ^ 1. Пусть X = {ж} — одноточечное, а Y — произвольное метрические пространства. Заметим, что Н({ж}) = {ж} и в силу предложения 9 имеем diam H(Y) = diam Y. Поэтому согласно предложению 1

dGH У) =\ diam Y = dGH (п (М) ,ЩУ)\

Итак, С ^ 1, значит, С = 1, что и требовалось.

4. Примеры. Построим несколько классов примеров пространств, таких, что расстояния Громова-Хаусдорфа между их элементами сохраняются при отображении Хаусдорфа.

Предложение 10. Отображение Н сохраняет расстояние между симплексами.

Доказательство. Заметим, что Н(£Др) = ¿Д2р-1. Поэтому согласно формуле, указанной в предложении 3, и в силу предложения 9 отображение Н сохраняет расстояние Громова-Хаусдорфа между произвольными конечными симплексами.

Предложение 11. Пусть М — конечное метрическое пространство, т = #М, п ^ т, и £ > 0, тогда

dGH(¿Дп,М) = dGH (Н(£Дп), Н(М)).

Доказательство. В силу предложения 9 имеем e(M) = e(H(M)) и diamX = diamH(X). Теперь требуемое следует из предложений 4 и 5.

Семейство всех компактных подмножеств X обозначим K(X). Для того чтобы построить следующий класс примеров, воспользуемся тем, что отображение H сохраняет связность. Хотя этот факт и следует из работы [4], в которой доказано, что пространство K(X) линейно связно, когда X — континуум (связный метрический компакт), мы все же приведем доказательство этого факта, тем более что мы не будем пользоваться компактностью X. В доказательстве мы прибегнем к следующей оценке расстояния Хаусдорфа.

Предложение 12. Пусть X = {ж1, ...,жп} и Y = {yi,...,yfc} — конечные подмножества метрического пространства Z, тогда для любой перестановки а имеем

|XY\z < max |жгУст(^')|.

1<i<n 1<j<k

Доказательство. Для каждого ж^ верно |ж^Y| < |ж^yCT(7)|, поэтому sup |ж^Y| < max |ж^yCT(7) |.

1<i<n ^<п

1<j<k

Аналогично sup |yCT(7)X| < max |жгyCT(7)|. Значит, |XY|z < max |жгyCT(7)|, что и требовалось.

1<j<k 1<i<n 1<i<n

1<7<k 1<j<k

Предложение 13. Если X — связное метрическое пространство, то пространство K(X) тоже связно.

Доказательство. Если X — связное метрическое пространство, то для любого n ^ 1 метрические пространства (Xn,dn), где dn(ж, ж') = max d^, ж^, тоже связны. Пусть проекция nn: Xn ^

1<i<n

n

K(X) определена как пп(ж) = 1J {xi}. Очевидно, что nn(Xn) — это семейство подмножеств X

i=1

мощности не больше n. Согласно предложению 12 пп является 1-липшицевым, а следовательно, непрерывным. Поэтому nn(Xn) связно как образ связного множества при непрерывном отображении. Значит, и U nn(Xn) связно, так как nn(Xn) П nk(Xk) = nk(Xk) = 0 для любого k < n. Но

n

конечные пространства всюду плотны в K(X), следовательно, K(X) = (J nn(Xn) тоже связно как

n

замыкание связного пространства. Предложение доказано.

Следствие 5. Если X — континуум, то пространство H(X) = K(X) связно, т.е. отображение H сохраняет связность.

Теперь вспомним следующее очевидное свойство связных метрических пространств.

n

Предложение 14. Если X = У Xi — связное метрическое пространство и n ^ 2, то для

i=1

любого i < n существует номер j = i, такой, что |XiXj| = 0.

Предложение 15. Пусть X — связное метрическое пространство конечного диаметра, тогда для любого t ^ diamX и любого натурального р имеем dcH(tAp, X) = ^t.

Доказательство. Пусть 1, 2,... , p — точки пространства tAp, а 5 > 0 — произвольное число. Тогда существует такое соответствие R € R(tAp, X), что dis R < 2dGH(tAp,X) + 5. Положим Xi = R(i). Предположим, что существуют такие номера i и j, что Xi П Xj = 0. Так как diamX < t, то для любых точек ж € R(i) и ж' € R(j) имеет место 0 < t — |жж'| < t, поэтому dis R ^ t. Если же для любых номеров i,i' верно, что Xi П Xi' = 0, то в силу предложения 14 существует такой номер j, что |XiXj| = 0. Значит, для любого действительного числа 5' > 0 можно найти точки Xi € Xi и ж7- € Xj, такие, что ^ж7-1 < 5'. Так же как и раньше, dis R ^ t — 5', но 5' выбирается произвольно, следовательно, снова dis R ^ t. В итоге получаем, что 2dGH(tAp,X) ^ t — 5. В силу произвольности выбора 5 имеем dGH(tAp,X) ^ \t. Из предложения 1 вытекает, что dGH(tAp,X) < 7}t, следовательно, dcH(tAp, X) = \t, что и требовалось.

Следствие 6. Пусть X — континуум, тогда для любого действительного t, такого, что t ^ diam X, и любого натурального p имеем

dGH (tAp,X) = dGH (H(tAp), H(X)).

5. Дополнительные свойства отображения Хаусдорфа. Приведем рассуждения, которые могут помочь в доказательстве (или нахождении контрпримера) изометричности H.

Заметим следующий очевидный факт.

Предложение 16. Предположим, что отображение Хаусдорфа сохраняет расстояние между элементами некоторого всюду плотного подмножества M. Тогда отображение H изометрично.

Следствие 7. Если ограничение отображения H на множество конечных метрических пространств изометрично, то отображение Хаусдорфа изометрично на всем пространстве M.

Конечное метрическое пространство называется пространством общего положения, если все его ненулевые расстояния различны, а все неравенства треугольника - строгие.

Следствие 8. Если отображение Хаусдорфа сохраняет расстояние между пространствами общего положения, то отображение H — изометрия.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, a также профессору А. О. Иванову за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ivanov A., Tuzhilin A. Local structure of Gromov-Hausdorff space near finite metric spaces in general position // ArXiv e-prints. 2016.

2. Бураго Д.Ю, Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

3. Ivanov A., Tuzhilin A. Geometry of compact metric space in terms of Gromov-Hausdorff distances to regular simplexes // ArXiv e-prints. 2016.

4. Borsuk K., Mazurkiewicz S. Sur l'hyperespace d'un continu // Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie. 1931. 24. 149-152.

Поступила в редакцию 22.12.2017

УДК 517.5

УСИЛЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО УЛЬЯНОВА ДЛЯ ПОЛНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ СО СМЕШАННОЙ МЕТРИКОЙ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

Для функций одной переменной известно неравенство Ульянова о связи между модулями непрерывности в разных метриках. В работе рассматриваются функции двух переменных. Доказано усиленное неравенство Ульянова о связи между полными модулями гладкости положительного порядка в разных смешанных метриках.

Ключевые слова: неравенство, полный модуль гладкости, смешанная метрика.

For functions of one variable Ul'yanov inequality about the connection between modulus of continuity in different metrics is well known. In this paper functions of two variables are analyzed. Sharp Ul'yanov inequality for function's full modulus of smoothness of positive order in the different mixed metrics is proved.

Key words: inequality, full modulus of smoothness, mixed metric.

1. Обозначения. Введем следующие обозначения:

LPlP2, 1 < Pi < то, i = 1,2, — множество измеримых функций f (xi,x2) двух переменных, 2п-периодических по каждому переменному и таких, что

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: [email protected].