CC BY
186
ФИЗИКА ГОРНЫХ ПОРОД И ПРОЦЕССОВ
$ Р.Г. Петроченков, 2000
УДК 622.83 ......
Р.Г. Петроченков
ОТНОШЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО И ГОРИЗОНТАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЙ В ОДНОРОДНОМ МАССИВЕ ГОРНЫХ ПОРОД С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Р
ассмотрим однородный массив горных пород (участок осадочного чехла земной коры), находящийся под действием механических напряжений, вызываемых полем тяжести Земли, и температурных напряжений, вызываемых повышением температуры пород в земной коре с глубиной. При этом будем считать, что в рассматриваемом массиве горных пород по мере накопления осадков, уплотнении (уменьшении пористости), литификации, перекристаллизации пород и др. подобных процессов в породном массиве возрастало сначала давление, а затем и температура.
Поведение твердых тел (горных пород) в сложнонапряженных состояниях описывается обобщенным законом Гука [1, 2 и др.]. Учитывая, что поперечные (для земной коры горизонтальные) напряжения в однородном массиве пород равны во всех направлениях, а относительные поперечные деформации равны нулю, обобщенный закон Гука может быть представлен в следующем виде:
Epm = Tpm/E - 2V'Tsm/E; (1)
Esm = dsm/E - V' Usm/E - V' <Jpm/E = 0, (2)
где Epm, ssm - относительные механические линейные деформации по вертикальной оси и поперечным к этой оси направлениям; opm, ат - механические напряжения по площадкам перпендикулярным вертикали и в поперечных к ней направлениях; E, V - статический модуль Юнга и коэффициент Пуассона твердой изотропной горной породы.
Индексы pm и sm здесь и далее относится к вертикальным и поперечным (горизонтальным) составляющим механических напряжений и относительных линейных деформаций в однородном массиве горных пород.
Как указывалось выше при продольном сжатии твердых тел в условиях отсутствия поперечных деформаций, что имеет место в условно однородном массиве пород, ssm = 0. Тогда на основании выражения (2) коэффициент бокового распора k6p, характеризующий при этих условиях отношение бокового (горизон-тального) напряжения к вертикальному, выразится
kôp = OsjGpm = V/(1 - V). (3)
Решая совместно выражения (1) и (3), получим формулу для расчета вертикальных относительных деформаций в однородном массиве горных пород
Ерш = орт(1 + у)(1 - 2у)/Е(1 - V) = =трт(1 + v)/3(1 - v)K = стрш/м, (4) где К, М - статические модули объемной и продольной упругости твердой изотропной горной породы.
При этом трт/Ерт = М, который всегда больше Е.
Как указывалось выше, механические напряжения в массиве горных пород обусловлены весом вышележащих пород. Они имеют вертикальную (индекс рт) и горизонтальную (индекс т) составляющие. Вертикальная составляющая механических напряжений (Ррт = трт) іа аеоаеіа ^аеаааіеу Їїбїа Н, как известно, см. например [3], определяется следующим выражением
Ррт = трт = упд '§H, (5)
где у„д - средняя объемная масса вышележащих пород; g -ускорение свободного падения (силы тяжести).
Изменением силы тяжести в земной коре с глубиной можно пренебречь.
Используя выражение (3) и (5), получим формулу для расчета горизонтальных (поперечных) механических напряжений в массиве горных пород
Р*т = &эт = VI - V)\ygН. (6)
После дифференцирования выражений (5) и (6) при постоянных по глубине объемной массе и коэффициенте бокового распора, получим формулы для расчета приращений вертикальных и горизонтальных (поперечных) механических напряжений в массиве горных пород с глубиной. Эти формулы имеют вид:
$Ррт $трт Уg '(ІН; (7)
dPSm = $Тят = Ы(1 - V)\y■g Ш, (8)
где у - “текущая” объемная масса пород; $Ррт, $Рт - изменение вертикальной и горизонтальной составляющих механических напряжений в массиве горных пород с глубиной; $Н - текущее изменение глубины залегания пород.
Осадочный чехол по всей вероятности образовывался при температуре приближенно равной среднегодовой температуре на поверхности Земли. Если считать, что современное распределение температуры в осадочным чехле земной коры в основном установилось после образования осадочной толщи, то повышение температуры пород с глубиной должно приводить к повышению горизонтальных температурных напряжений в породах земной коры.
Температуру Т на глубине Н от слоя около поверхности Земли со среднегодовой температурой Т0 можно оценить через средний геоградиент температуры для вышележащих пород ($ТУН)сред и глубину Н следующим образом
Т = ^ШН)Сред Н + То, (9)
где То - среднегодовая температура на поверхности Земли.
Температурные линейные относительные деформации при увеличении температуры породы на (Т - Т0) градусов в
случае ее свободного расширения st выразятся следующей формулой
St = - a„UH-(T - То), (10)
где алин - коэффициент линейного температурного расширения породы.
Обратный знак для температурных относительных деформаций породы принят, исходя из того, что механические деформации породы, обусловленные горным давлением, приняты со знаком плюс.
Естественно, что в случае свободного температурного расширения st во все стороны одинаково. Однако в массиве пород (случай полупространства) в вертикальном направлении температурные относительные деформации будут несколько больше st из-за возникающих в породе горизонтальных температурных напряжений, а в поперечном направлении из-за защемления (отсутствие возможности температурного расширения пород) равны нулю
S = 0. (11)
Запишем обобщенный закон Гука с учетом знаков для нашего случая в следующем виде
аЛин <Т - То) = <rJE - v-Us/E - v-Upt/E. (12)
Так как upt = 0 (по вертикальной оси происходит свободное температурное расширение пород), то боковые (горизонтальные) температурные напряжения в массиве пород обусловленные повышением температуры породы на (Т -То) на основании выражения (12) составят
U = аЛин <Т - To)E/(1 - v) = K■а(1 - 2v)(T - То)/(1 - v),
(13)
где а - коэффициент объемного температурного расширения породы.
Величина температурной вертикальной относительной деформации, обусловленная повышением температуры породы и, как следствие, возникающими поперечными температурными напряжениями, на основании уравнения (10) с учетом выражения (13) составит
Spt = - алин<Т- То) -2v Ust/E = - алин(Т- То)(1 + v)/(1 - v).
(14)
Теперь вышеизложенное представим для температурных напряжений и относительных деформаций в дифференциальной форме. После дифференцирования уравнения (9), получим
dT = (dT/dH)dH, (15)
где (dT/dH) - “текущий” по глубине геоградиент температуры.
Тогда приращение горизонтальных температурных напряжений в однородном массиве пород при постоянстве физических свойств пород на основании выражения (13) с учетом уравнения (15) выразится
dust = [K ■ а(1 - 2v)/(1 - v)](dT/dH)dH. (16)
Приращение вертикальных температурных относительных деформаций в породном массиве на основании выражения (14), после его дифференцирования, и с учетом выражения (15) определится следующим образом
dsp, = - алин[( 1 + v)/( 1 - v)](dT/dH)dH. ( 17)
Используя принцип суперпозиции, приращение суммарных горизонтальных механических и температурных напряжений в породном массиве на основании выражений (8) и(16)составит
dus(mt) = dPsm + dust = {[у/(1 - у)]у% + [Ка(1 - 2у)/(1 -
- у)]^ШН)}ЙН. (18)
Индекс т1 здесь и далее относится как к механическим, так и к температурным напряжениям и относительным деформациям одновременно.
Таким образом, при принятых допущениях, приращение вертикальных механических напряжений в породном массиве является функцией силы тяжести и объемной массы пород. В тоже время эффективные горизонтальные напряжения в породном массиве, являющиеся суммой механических и температурных напряжений, являются функцией не только объемной массы пород, но и геоградиента температуры, а также упругих свойств пород.
Известно, что экспериментально полученные значения горизонтальных напряжений могут быть меньше, равны или больше экспериментально полученных вертикальных механических напряжений в породном массиве, например, см. работу [4]. Одной из причин этого явления может быть тот факт, что горизонтальные напряжения имеют как механическую, так и температурную составляющие. Рассмотрим это явление более подробно. Отношение приращения горизонтальных (поперечных) напряжений в породном массиве (равных сумме горизонтальных механических и температурных напряжений) к приращению вертикального механического напряжения в породном массиве можно выразить на основании уравнений (18) и (7) следующим образом
das(mt/dPSm = А = {[у/(1 - у)] + [К ■ а/у%][(1 - 2у)/(1 -
-у)]^ШИ)}. (19)
В случае, когда отношение da^s(mt)/dPsm = А = 1, как не трудно убедиться, анализируя выражение (19), изотропная порода находится во всестороннем равномерном напряженном состоянии. Г еоградиент температуры, обеспечивающий такое состояние породы, может быть получен из уравнения
(19). При А = 1 он равен
^Т^И) = у%/К ■ а. (20)
Легко также убедиться, что при выполнимости условия
(20), из выражений (4), после его дифференцирования, и выражения (17) можно получить
£pm + dSpt 0. (21)
Поэтому геотермический градиент, определяемый выражением (20), который обеспечивает равенство суммарных механических и температурных продольных и поперечных напряжений, а также отсутствие эффективных продольных относительных деформаций породы, см. выражение (21), можно назвать стандартным или нормальным геотермическим градиентом. Он равен ^ТйН)норм = у %/К ■ а Естественно, что этот геотермический градиент обеспечивает наиболее благоприятные условия для устойчивого состояния пород в массиве. Это обусловлено тем, что в среднем не происходит изменения межатомных расстояний в породе как в вертикальном, так и поперечном направлениях при возрастании давления вышележащих пород и их температуры с глубиной. Порода как бы находится в состоянии “теплового отпора” к внешнему механическому давлению.
В других случаях, когда геотермические градиенты не равны нормальному геотермическому градиенту, а соответственно в породном массиве имеет место неоднородное напряженное состояние, в нем могут более интенсивно протекать диффузионные и другие процессы. Эти процессы, носящие как конструктивный (консолидация и упрочнение),
так и деструктивный характер (разрушение и разупрочнение), приводят к изменению структуры пород и породного массива в целом. При этом может происходить залечивание и возникновение микро и макро дефектов, пластические деформации в породе, возникновение анизотропии пород и т.п.
В действительности по экспериментальным данным [4], А может достигать значений до 2 - 3 раз и выше, что не может быть объяснено только наличием боковых температурных напряжений. На основании выражения (19), после его преобразования, получим формулу для расчета величин геотермических ступеней обеспечивающих конкретное экспериментальное значение А
^ИМТ) = (К-а/у%){(1 - 2у)/[А - (А + 1)у]}. (22)
Расчеты по формуле (22) показывают, что большие значения А = (2 - 3) согласно рассмотренной концепции возможны только в зонах молодого вулканизма, где значения величины геотермической ступени должны составлять порядка 10 м на один градус. Таким образом, рассмотрение эффектов, когда горизонтальные напряжения больше вертикальных (т.е., когда А большие единицы), должно быть связано с рассмотрением планетарных движений земной коры и других моделей, в частности, связанных с тектоникой плит. Не маловажную роль при этом могут иметь горизонтальные температурные градиенты в земной коре, например, в зонах поднятий земной коры и на границе океан -суша. Большие значения горизонтальных температурных напряжений могут стать причиной землетрясений. Из той же работы [4] следует, что значения А при глубинах от 1,5 км до 3 км, как правило, меньше единицы. Это может быть объяснено тем, что роль температурного фактора на этих глубинах уменьшается. Действительно, если принять для этих глубин А = 2/3, а коэффициент Пуассона у = 1/4, то соответствующее этим условиям значение термической ступени будет
^ИМТ) = 2К ■ а/у%.
Для того чтобы прояснить физический смысл выражения (20), преобразуем его к виду
К■ а^Т = у% Ш. (23)
Из термодинамики [5, с. 30 - 36] известно, что К■ а = ^РМТ),. Смысл величины (¿РУТ)у заключается в том, что она характеризует повышение давления в теле, если его объем остается постоянным, при повышении температуры тела на один градус. Т.е. в известной степени величина К а характеризует ту долю кинетической энергии, которая идет на повышение внешнего давления при постоянном его объеме. При этом пропорционально этой же самой величине повышается внутреннее кинетическое (тепловое) давление Рпоо. Как известно из термодинамики [5, с. 74 - 78], Ршоо = К ■ а Т. В среднем для горных пород внутреннее кинетическое (тепловое) давление составляет порядка 2500 атм. Как видим, внутреннее кинетическое давление по своим значениям много больше, чем внешнее давление, которое при нормальных условиях равно одной атмосфере. Работа внутреннего кинетического давления против сил межмолекуляр-ного притяжения при расширении тел объясняет отличие их теплоемкости при постоянном давлении и объеме. В основном именно им совершается работа при изменении удельного объема тела при постоянном давлении на величину пропорциональную а. Величина у % ■dH, с одной стороны, ха-
рактеризует повышение вертикального механического давления, с другой стороны, есть мера потенциальной энергии при подъеме против сил тяжести удельного объема породы с объемной массой у на высоту $Н.
Если выражение (23) выполняется в какой то области земной коры, то должна наблюдаться пространственная взаимосвязь между изотермами и изобарами в однородном массиве горных пород. Возможна такая взаимосвязь и для слоистых массивов, в том числе и с различным направлением слоев пород в пространстве. Если в земной коре будут выделены зоны, где выполняется выражение (23), то в любой точке этой зоны можно предсказывать давление в породном массиве по измерению температуры пород, или температуры пород по данным о давлении. В некоторой степени отклонение геотермического градиента от нормального должно свидетельствовать о степени неустойчивости породного массива. При развитии геотермических исследований данное явление может быть использовано при наблюдении за состоянием массивов пород.
Реальные массивы горных пород имеют неоднородный состав, структуру, а также неоднородное распределение различного рода дефектов, например, систем трещин и микротрещин. Кроме того породы могут быть водоносными. Более того, в водоносных породах может происходить фильтрация подземных вод, в том числе и термальных, которые могут вызвать существенное отклонение геотермического градиента от его нормального значения. Все это требует дополнительных экспериментальных и теоретических исследований, так как эта сложная проблема не может быть рассмотрена в рамках одной статьи.
Величина обратная геоградиенту температуры ($Н/$Т) носит название геотермической ступени и характеризует, на каком расстоянии в земной коре по глубине температура повысится на один градус. Для определения величины нормальной геотермической ступени на основании выражения
(23) имеем
($Н/$Т)НОрМ = К ■ а/у%. (24)
Как известно среднее значение величины геотермической ступени ($НУТ)сред для земной коры приближенно равно 33 м на градус Кельвина (Цельсия) [3, 6, 7\. Сопоставим среднее значение величины геотермической ступени ($НУТ)сред для земной коры с расчетным ее значением по формуле (23), используя при этом средние значения свойств пород для осадочного чехла земной коры. Если принять для пород осадочного чехла в среднем следующие значения их физических свойств: К = 3,333-104МПа; а = 2,5-10-5 “К4; у = 2500 кг/м3, а значение ускорения свободного падения принять округленно g = 10 м/сек2, то по формуле (24) получим:
($Н/$Т) норм = [(3,333-104 МПа)(2,5-10'5 <Кч)\/[(2500 кг/м3) (10 м/сек2)] = 33 м/0К.
Откуда можно сделать вывод, что в среднем породы земной коры находятся в состоянии равномерного объемного сжатия при постоянстве средних расстояний между атомами независимо от давления и температуры, существующих на любой глубине в массиве пород. Отсюда складывается впечатление, что породы земной коры при выполнимости для нее выражения
(24) находятся в среднем в состоянии “теплового отпора” (равенство механических и температурных напряжений в породе разных по знаку). При этом можно не принимать в расчет физическую причину повышения температуры горных пород с глубиной (выделение радиоактивного тепла и других источни-
ков энергии в породах и др. явлений). Влияние внутренних источников тепла в земной коре, миграция термальных вод, опускание или подъем отдельных участков земной коры, выдавливание вышележащих пластов, например, соляными куполами [8, с. 121 -125] и т.п. искажает температурное поле Земли. Соответственно оно вызывает локальные отклонения значений геотермических градиентов и ступеней, относительно нормальных, в ту или другую сторону.
Конкретное сопоставление многочисленных экспериментальных значений геотермических ступеней с расчетными значениями (¿ИУТ) норм по формуле (24) в настоящее время затруднено вследствие отсутствия данных по физическим свойствам горных пород, полученных на образцах взятых из мест определения геотермических ступеней. Кроме того, экспериментальные исследования по определению физических свойств пород необходимо проводить при состоянии и термодинамических условиях соответствующих условиям не нарушенного массива пород в тех же местах, где были определены значения геотермических ступеней. За не имением достоверных экспериментальных данных приведем результаты по измерению геотермических ступеней взятых в основном из работы [6, с. 184 - 185], где они приведены с указанием названий пород и района определения значений геотермических ступеней, см. таблицу 1. Это дает возможность найти в справочной литературе усредненные значения объемной массы, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и объемного температурного расширения, названных твердых горных пород и тем самым провести предварительное ориентировочное сравнение расчетных и экспериментальных значений геотермических ступеней.
На основании результатов приведенных в табл. 1 можно сделать следующие предварительные выводы. Не смотря на не точное соответствие свойств пород, приведенных в табл. 1, свойствам пород в местах определения экспериментальных значений геотермических ступеней, в общем, соответствие расчетных и экспериментальных значений геотермических ступеней следует признать удовлетворительным. Молодые осадочные породы, обладая низкими значениями модуля объемной упругости и коэффициента объемного температурного расширения пород, имеют и низкие значения геотермических ступеней. В то время как изверженные и метаморфические породы, имея большие значения модуля объемной упругости и коэффициента объемного температурного расширения пород, обладают и большими значениями геотермических ступеней. Этим же объясняется и более низкие значения геотермических ступеней у эффузивных пород (андезит, базальт) по сравнению с интрузивными (гранит, габбро), у которых модули объемной упругости немного больше, но зато коэффициенты объемного температурного расширения существенно выше, чем у эффузивных пород. Наличие более широкого диапазона у экспериментальных значений геотермических ступеней по сравнению с расчетными значениями, объясняется тем, что в расчетах не учитывалась обводненность пород, которая увеличивает значения геотермических ступеней иногда и до двух раз [8].
Интересно рассмотреть изменчивость значений нормальных геотермического градиента и ступени на больших глубинах. Если геотермический градиент в среднем для земной коры равен 33 м/0К, то толщина земной коры Икорср (температуру плавления пород в среднем примем 1200 градусов Цельсия [7, с. 17]), составит Вкорср = (33 м/К) (1200 К) = 40 км. Такая оценка толщины Земной коры для континентальной ее
Таблица 1
ОРИЕНТИРОВОЧНОЕ СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ПО ФОРМУЛЕ (24)
И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ГЕОТЕРМИЧЕСКИХ СТУПЕНЕЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ГОРНЫХ ПОРОД
Горная порода У кг/м3 Е 104 МПа V К 104 МПа
Андезит 2600 8,1 0,25 5,4
Базальт 2800 12 0,24 7,69
Гранит 2650 7,5 0,25 5,0
Г аббро 2850 9,9 0,29 7,86
Кварцит 2600 9,5 0,15 4,52
Мрамор 2680 6,2 0,29 4,92
Песчаник 2200 4,0 0,21 2,3
Ангидрит 2890 5,2 0,33 3,94
Мел 1850 3,17 0,26 2,2
Мергель 2500 3,9 0,28 2,65
Известняк мягкий 2000 3,29 0,22 1,78
Известняк крепкий 2500 7,74 0,2 4,3
Доломит 2860 7,25 0,25 4,83
Аргиллит 2690 5,0 0,27 3,63
Алевролит 2620 5,35 0,24 3,43
Каменная соль 2250 2,71 0,28 2,05
части с учетом корней гор является заниженной почти в два раза. Это свидетельствует о том, что с глубиной величина геотермического градиента должна уменьшаться, а геотермической ступени возрастать. Данные факты легко объяснить изменением вещественного состава пород [7\. Если пренебречь изменением состава пород, то значения К с увеличением давления возрастают, а с повышением температуры падают, значения а с увеличением давления уменьшаются, а с повышением температуры возрастают. Значения у с глубиной, как правило, возрастает, причем в основном из-за изменения вещественного состава пород и уменьшения их пористости. Значение g с глубиной до 100 км можно считать постоянным. В совокупности комплекс величин К■ а/у g должен уменьшаться с глубиной, а соответственно у^К■ а увеличиваться, что приведет к лучшему соответствию при расчете толщины земной коры при усреднении комплекса свойств пород от 300 градусов Цельсия до температуры их плавления.
Считают, что для геотермического градиента на больших глубинах существуют нижняя и верхняя границы [7, с. 22]. Нижняя граница определяется адиабатическим градиентом температуры [7, с. 22 - 28], который определяется с учетом принятых знаков следующей формулой
($ШН)ад = (аТ/с р-y)yg = (аTg)/cp, (25)
где ср - удельная теплоемкость на единицу массы при постоянном давлении.
Адиабатический градиент температуры в мантии Земли оценивается в 0,5 град/км [7, с. 23].
Известно по сейсмическим данным, что мантия Земли является твердым телом. Поэтому температура в ней с глубиной не может идти выше температуры плавления (верхняя граница). При достижении высоких температур в земной коре с глубиной значения величин геотермической ступени будут возрастать. Возможно, что при достижении температуры равной температуре плавления пород дальнейшее повышение температуры будет происходить по так называемой кривой плавления, см. [7, с. 28 - 33].
Ил,
10-5 0
1.5
1.6 2, 2,'
3.3
2.9
3,
4,
2.4
2.9
1.9 3,2 3,С 2,і 2,7 10,
Для определения точных выражений для определения кривой, соответствующей температуре плавления, в настоящее время не хватает экспериментальных данных. Поэтому температура плавления может быть определена лишь приближенно на основании использования той или иной гипотезы о плавлении твердых тел [7, с. 32]. По Линдеману температура плавления определяется следующей формулой Тпл * (Аст -Аср/к)(К/у), (26)
где Аст - структурный коэффициент; Аср - средняя атомная масса; k - постоянная Больцмана.
Формула (26) дает возможность оценить изменение температуры по кривой плавления до больших глубин. При этом градиент температуры в мантии составит порядка 1,5 градуса на км, что представляется несколько заниженной величиной.
На больших глубинах с увеличением температуры возрастает пластичность горных пород и соответственно гидростатичность напряжений в горных породах достигается автоматически. Но величина нормальной геотермической ступени сохраняет свое значение в том смысле, что при ее выполнимости (выражение (22)) давление вышележащих пород будет восприниматься напряжениями вызванными повышением температуры, следовательно, средние расстояния между атомами в породе не изменяются и соответственно объем тела останется постоянным. Такое положение дел свидетельствует о том, что плавление пород не может происходить при выполнении для земной коры выражения (22), не смотря на повышение температуры пород с глубиной. Поэтому для достижения температуры плавления пород фактор температуры с глубиной должен превышать фактор давления.
Согласно уравнению Клапейрона - Клаузиуса температура плавления твердых тел зависит от давления следующим образом [5, с. 267 - 271]
^ТШ^Р) = Т ■Лгоа/Хоа, (27)
где Хоа - удельная теплота плавления на единицу объема; Луоа - изменение объема твердых тел при плавлении в долях единицы.
Удельную теплоту плавления на единицу объема твердых тел, учитывая, что температура тел при плавлении остается постоянной, можно объяснить тем, что совершается работа против внутреннего давления межмолекулярных сил, равному по величине, но обратному по знаку внутреннему кинетическому давлению. Которое изменяется от внутреннего давления в твердом теле (Ршоо.оа = Кда 'ада Т) до аналогичного в жидкости (Раюо.тёа = Каш -атеа Т). Так как порода на некоторой глубине при нормальной геотермической ступени находится под механическим давлением Ррш = у„д % И = К■ аТ, то при плавлении тел совершается работа и против этого внешнего давления. Таким образом, удельная теплота плавления твердых тел на единицу объема на некоторой глубине с давлением Ррш приближенно выразится
Хоа.р * [(Раюд.да + Раюд.аей)/2 + Ра^*ЛуоаТ = [(Коа ‘ада +
+Каеа ■ асеей)/2') + Кда ‘ада] * Луоа Т. (28)
Откуда из выражений (27) и (28) для имеем ^Т^Р) * 1/[(3/2)Кда ■ ада + (Каеа ■ ОиШ (29)
Можно предложить, учитывая, что при плавлении твердых тел теплоемкость почти не изменяется, а при уменьшении модуля объемной упругости при плавлении коэффициент объемного температурного расширения расплава пород возрастает, следующее приближенное равенство
Кда ■ ада ~ Кс
хеа
Тогда выражение (28) примет вид (dTie/dP) и H2Koa-«6а- (30)
Теперь, учитывая, что dP = dupm = yg dH, для величины термического градиента и ступени соответствующих изменению температуры плавления с глубиной имеем:
(dTo/dU) и yg/2K6a■ а6а; (31)
(dH/dTie) и 2Koa■ ада/y-g- (32)
Подставляя в уравнение (32) те же значения свойств породы (нормальные условия), получим для величины термической ступени, соответствующей изменению температуры плавления, оценку (dH/dTm) и 66 м/градус. С учетом изменения свойств пород от давления и температуры оценка (dH/dTie) будет значительно выше.
Из данных сейсмологии следует, что на больших глубинах имеется минимум скоростей упругих волн. Проанализируем факт уменьшения скоростей упругих волн вблизи границы мантии и Земной коры. Следуя выводам Магницкого [7, с. 14 - 16], обозначим через vp скорость продольных сейсмических волн, которая является функцией глубины H, а следовательно, давления P и температуры T. Таким образом, можно написать
dvp/dH = (¿V/cp)dp/dH + (¿Vp/cT)(dT/dH). (33)
Следовательно, учитывая выражение (7), получим dvp/dH = (dv/cp)yg + (¿Vp/cT)(dT/dH). (34)
Так как всегда dvp/cT< 0, то vp может иметь минимум на некоторой глубине.
Условием минимума будет (dT/dH)iei = - [(dvp/dp)/(dvp/dT)\ yg- (35)
Так как в земной коре и непосредственно под корой по данным сейсмологии не обнаружено четко выраженных минимумов, хотя в некоторых случаях условия и близки к экстремальным [7], то по формуле (35) можно получить для соответствующих глубин максимальные значения геоградиентов температуры. Рассчитанные по ним температуры будут также максимальными температурами в земной коре, совместимыми с сейсмологическими данными. Используя оценку Берча [9] для (dvp/op) e (dvp/cT), при расчете по формуле (35) получим максимальный геоградиент температуры на глубине 18 - 20 км в 15 °К/км. Это соответствует величине геотермической ступени - 66,66 м/градус. Такая оценка величины термической ступени соответствует ее оценке по формуле (32).
В работе [10] показано, что для твердых тел значение (dE/dT) пропорционально а, а в работе [11], что выполняется следующее приближенное выражение
(dE/dT)/(E - а) и const,
Согласно работе [12] для широкого класса твердых тел справедливо
dE/dT »- 18E -ал. (36)
Принимая коэффициент Пуассона пород постоянным, учитывая, что E = 3K(1 - 2v), переходим от уравнения (36) к следующему выражению
(dK/dT)v = - 6K - а. (37)
Порядок величин dE/dT и (dK/dT)v, полученных по выражениям (36), (37) и экспериментально, приближенно совпадают для всех металлов, простых ионных кристаллов и даже для некоторых горных пород. С другой стороны в той
Таблица 2
Cu Ag Au Al Fe Mg Si NaCl KCl
(dK/dP)T 5,60 6,18 6,43 5,20 6,50 3,60 4,25 6,04 4,80
же работе [12] для оценки изменения модуля объемной упругости от давления при постоянной температуре рекомендуется выражение
(dK/dP)x « 6. (38)
Экспериментальные значения изменения модуля объемной упругости от всестороннего давления (dKdP)T для некоторых элементов и галоидов при нормальной температуре приведены в таблице 2.
Отличия в значениях (dK/dP)T объясняются тем, что этот параметр весьма чувствителен к обработке искусственных материалов при их изготовлении или к происхождению для естественных горных пород, а точнее к внутренним микроскопическим напряжениям разных знаков в отдельных зернах поликристаллических тел, а также в различных направлениях.
На основании выражений (37) и (38) имеем
(dK/dT)/(dK/dP) ~ - K■ а. (39)
Как известно, динамический модуль продольной упругости твердой изотропной горной породы определяется через скорость продольных волн следующим образом
M = y(vpf, (40)
то при постоянном значении объемной массы, после дифференцирования выражения (40), получим
dM = 2 у vp dvp. (41)
При постоянстве коэффициента Пуассона имеем dM/dK = M/K. (42)
Тогда на основании уравнений (35) и (40) - (42), получим
(¿V/cp)/(cV/cT) « (dM/dP)/(dM/dT). (43)
Bä0äieä ööaäiäiee (35), (39) e (43) töeäiäeö e neääö^üäiö äüöa®äie£> для определения ääiöäöie^äneie nööïäíë для этих условий
(dH/dT)™ « K ■ а/yg. (44)
Как видим, такая оценка значений геотермической ступени, соответствующая минимуму скоростей упругих волн на больших глубинах, совпадает с оценкой значений нормальной геотермической ступени по выражению (24), что не может быть случайным. При этом не достигается температура плавления горных пород на рассматриваемых глубинах в земной коре, и породы находятся в состоянии “теплового отпора” к внешнему давлению.
Горизонтальные механические и температурные напряжения могут оказывать существенное влияние на горные работы, как в условиях открытой, так и подземной разработки месторождений полезных ископаемых. Особенно тщательное изучение влияния изменений механических и температурных напряжений на условия устойчивости, например, бортов карьеров, требуется при ведении открытой
разработки месторождений полезных ископаемых глубокими карьерами, так как с течением времени происходит значительные изменения рельефа поверхности и существенное изменение температурного поля в окрестностях открытых горных выработок.
Например, если дно карьера находится на глубине 400 м, то породы формирующие дно карьера могут охладиться на 12 градусов Кельвина при значении геотермической ступени 33 м/°К. Если периметр дна карьера на глубине 400 м составляет 5 км, то после охлаждения пород формирующих дно карьера на 12 градусов Кельвина при коэффициенте линейного расширения пород равном 1- 10-5 °К-1, общее сужение периметра дна карьера составит (12 °К)(5000000 мм)(1- 10-5 °К-1) = 600 мм.
Так как массив пород находится в защемленном состоянии, то если породы в массиве не выдержат растягивающих напряжений, вызванных охлаждением пород, то в массиве пород по дну карьера может, например, образоваться 600 трещин шириной 1 мм. Наличие этих трещин приведет к тому, что массив пород по периметру дна карьера будет разбит на отдельности по своему периметру. При этом средний размер отдельностей пород по дну карьера составит 12 м. При ширине трещин (микротрещин) около 0,1 мм ширина отдельностей пород составит около 1,2 м. Как видим из этого приближенного, но наглядного примера, что при расчете устойчивости бортов глубоких карьеров необходимо учитывать возможное разупрочнение пород из-за изменения их температуры.
Изменение граничных условий напряженного состояния твердых горных пород, обусловленным ведением горных работ, а также изменение температуры пород (как правило понижение), могут вызвать возникновение микро и макро дефектов в горных породах на уровне зерен минеральных составляющих горных пород. Это может приводить к последующему разупрочнению и в отдельных случаях разрушению пород, которое, в свою очередь, может приводить к катастрофическим последствиям (для подземных работ горные удары и выбросы). Вопросами устойчивости горных выработок занимается механика горных пород. Однако она практически не уделяет внимание влиянию температурных напряжений и деформаций на процессы разупрочнения пород, хотя, как мы убедились из данной статьи, температурные напряжения во многих случаях могут быть соизмеримы с механическими напряжениями, вызываемые весом вышележащих пород.
Что касается определения усредненных по зернам значений внутренних механических и температурных напряжений в отдельных минеральных составляющих пород при изменении для них граничных условий, то эти вопросы рассмотрены в работах [13 - 16 и др.]. Если напряжения в минеральных составляющих известны, то для твердых пород, подчиняющихся закону Гука, имеется возможность получения критериев для определения начала разрушения отдельных минеральных составляющих пород и разрушения пород в целом с применением тех или иных теорий прочности к минеральным составляющим [17].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела, т. 1. - М.: Наука. 1975, - 832 с.
2. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. - М.: Недра. 1978, -389 с.
3. Бончковский В.Ф. Внутреннее строение Земли. - М.: Изд-во АН СССР. 1953, -175 с.
4. Ромашов А.Н., Цыганов С.С. О природе тектонических напряжений в земной коре. Горный журнал. № 7 - 8. 1996, с. 40 -45.
5. Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа. 1976, - 447 с.
6. Талобр Ж. Механика горных пород. -М.: ГН-ТИЛ по горному делу. 1960, с. 184 -185.
7. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. - М.: Недра. 1965, - 379 с.
8. Череменский Г.А. Геотермия. - М.: Недра. Л. 1972, - 271 с.
9. Birch F. Interpretation of the seismik structure of the crust in the light of
experimental studies of wave velocities in rocks. Contrib. Geoph. Honor. B. Gutenberg, N.-Y., London, Paris, Los Angeles, 1958.
10. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Физматгиз. 1963.
11. Лившиц Б.Г., Крапошин В.С., Ли-нецкий Я.Л. Физические свойства металлов и сплавов. - М.: Металлургия. 1980, с. 288 -303.
12. Петроченков Р.Г. Косвенные методы определения тепловых свойств горных пород. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. - М.: МГИ. 1970, - 157 с.
13. Петроченков Р.Г., Ржевская С.В. Зависимость прочностных свойств горных пород от их состава и температуры. - В сб.: Интенсификация и контроль горного производства физико - техническими методами. - М.: МГИ, 1985, с. 112 - 119.
14. Ржевская С.В. Петроченков Р.Г. Изменение прочностных свойств пород в куске при выемке их из массива. - В сб.: Исследование физических свойств горных по-
род и процессов горного производства. - М.: МГИ, 1984, с. 125-131.
15. Петроченков Р.Г. К вопросу учета неоднородности напряжений и деформаций по составляющим массива горных пород для решения задач управления состояния массива. -В сб.: Управление свойствами и состоянием массива горных пород. - М.: МГИ. 1979, с. 33 - 38.
16. Чирков А.С., Петроченков Р.Г. Внутренние напряжения в составляющих пород в массиве вокруг скважины и образце. Сб.: Охрана природы, совершенствование техники и технологии на карьерах. -М.: МГГУ. 1994, с. 31 - 38.
17. Петроченков Р.Г. Обоснование необходимости учета главных напряжений в составляющих гетерогенных материалов при разработке их теорий прочности. Горный информационно-аналитический бюллетень. Выпуск 1, -М.: МГГУ. 1997, с. 159 -170.
• V ^
Петроченков Ринальд Галактионович - доцент, кандидат технических наук, кафед-^ ра «Техно, іоі ия, механизация и орі анизация оікрі.і тых і орных рабої», Московский і осу-трсівенний і орный универсиїеі
/
