CC BY
40
ОТ УСЛОВНОЙ К ТОЧНОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СЕЧЕНИЙ
В.И. МАЙОРОВ, д-р технических наук ПК. КУЗЬМИН, магистр
Российский Университет Дружбы Народов, Москва
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; (495)955-09-39; kuzminpk@mail.ru
Статья посвящена совершенствованию метода расчета трещиностойкости железобетонных сечений при изгибе на основе деформационной модели. Предложена формула момента образования трещин, которую можно считать точной, в силу ее адекватности эксперименту. Учет влияния армирования на момент образования трещин будет способствовать технико-экономической эффективности и долговечности железобетонной конструкций, расчетные предельные состояния которых обусловлены ограничениями по образованию и раскрытию трещин.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: трещиностойкость, фибровое сечение, приведенное расстояние.
Расчет момента образования трещин Мтр построен на постулатах классической теории железобетона: гипотезе плоских сечений, законе Гука и методе приведения площади растянутой арматуры к бетону. В общем случае формула определения величины МТ может быть представлена в виде:
Мт = + Щри , (1)
где - момент сопротивления неармированного сечения по растянутой зоне, Жц„ - момент сопротивления приведенной к бетону площади растянутой арматуры относительно центра тяжести сжатой зоны, Яри - предел прочности бетона при растяжении от изгиба. Точность расчета зависит от выбора расчетной модели и ее адекватности действительным законам распределения напряжений в рабочем сечении.
В случае линейной модели:
Жь = 0,166Ьh2; (2) = А^„ ■ г ; (3) А,,„ = и- п ■ bh ; (4)
2 = (1 -0,3£-8Ъ); (5) Rpи = ври ■ Еь ; (6)
в формулах (2) - (6): относительная высота сжатой зоны x , £ = x / h = 0,5, b, h - размеры сечения, As п - приведенная к бетону площадь арматуры, Z - плечо равнодействующих внутренних сил в нормальном сечении, ц = As / bh - коэффициент армирования, n = Ea / Eb - коэффициент приведения, Ea, Eb - модули упругости арматуры и бетона, Sa = a/h - относительная величина защитного слоя бетона (a), spu - предельная растяжимость бетона при изгибе.
С учетом (2) - (6):
MT =
0,166 + ц-n • (1 - 0,33£-8а )-
• bh2 • Rpu. (7)
В практических расчетах величины Мт принята упругопластическая модель, предложенная В.И. Мурашевым [4]: упругая эпюра напряжений в сжатой зоне и пластическая в растянутой. Соответственно, упругий момент сопротивления бетонного сечения и модуль упругости условно заменены на упругопла-стические:
= 0,292ЬИ2; (8) Е'е = ХрЕе . (9)
В формуле (9) Хр - коэффициент упругопластичности, равный отношению упругой части деформации еу к полной ев, условно принят 0,5, независимо от величины пластической деформации.
Переход от упругой к упругопластической модели не имеет экспериментального обоснования. Расчетная модель и ее основные параметры условны. На ряду с ^Ьпл , Е'в и Хр , условно предельная растяжимость бетона при изгибе
ери заменена предельной деформацией при осевом растяжении гр. Соответственно, расчетное сопротивление бетона растяжению при изгибе Яри заменено на прочность при осевом растяжении Яр. Пренебрегается влиянием арматуры на предельную растяжимость бетона и момент образования трещин.
Вопреки ожиданиям, применение упругопластической модели не привело к увеличению расчетного момента МТ в сравнении с упругой. Расхождение составляет более 15%, в том числе и с экспериментом.
Известна критика формулы Мурашева [5]. Между тем сам автор не считал ее точной. Для того чтобы она стала точной, необходимо перейти от условной к экспериментально обоснованной расчетной модели и ее параметрам.
На рис. 1 представлены эпюры распределения деформаций, построенные по показаниям тензодатчиков, наклеенных цепочкой по высоте сечения (Тв) и на поверхности (Тн), в зоне чистого изгиба бетонной балки (рис. 2). Линейная зависимость деформаций от расстояния до нейтральной оси очевидна, как и справедливость гипотезы плоских сечений. Считать при этом распределение напряжений равномерным по всей высоте растянутой зоны при предельной деформации бетона при разрыве, равной 6 - 10 микрон нужно воображение.
Различия в эпюрах деформаций «а» и «б» (рис. 1) свидетельствует о наличии на поверхности бетона местных концентраторов напряжений, вызванной преимущественно физико-химической усадкой при твердении цементного камня. Кривая осциллограммы датчика Тн_1 носит ступенчатый характер, отражая процесс образования и раскрытия трещины, характерный для анизотропных материалов, каким является бетон.
В своем развитии трещина проходит через три стадии равновесного состояния, преодолевая сопротивление разрыву на границах разных уровней масштабов составляющих бетона, от микроскопического (блок - кристаллы це ментного камня), до милископического (элементы структуры цементно- пес-
£ 4 в 8--* * Е 4 8
сг — О 1 сгР сг=0.5(Тр (Т=() 9 (Т
<т—О 1 а, о"=0.5сгР сг=0.9о"р
Рис. 1. Эпюры распределения деформаций в нормальном сечении разрушения (а) и в
смежном сечении
Рис. 2. Осциллограмма записей датчиков деформаций (Тн), прогибов (Пр) и реакций
опор(Ои)
чаной матрицы). Начальная стадия - после разрыва сплошности структуры на микроскопическом уровне деформации емр = (6-10)-10-5. Ширина раскрытия микротрещин амт = 2,5-10-3 мм. (первая ступень кривой Тн-1, рис. 2) находится за пределами разрешающей способности глаза.
Стадия устойчивого равновесного состояния - после прорыва трещины в межзерновое пространство фибрового сечения растянутой зоны. При достижении средней деформации ери = (18-22)-10-5 трещина становится видимой при ширине раскрытия ат = 0,02 - 0,05 мм (вторая ступень).
С появлением видимой трещины устойчивое равновесное состояние и линейная зависимость деформаций «е» и прогибов «/» от напряжения (рис. 3) сохраняется вплоть до разрушения. Способность сечения с трещиной воспринимать до 30% разрушающей нагрузки свидетельствует, что сокращение площади рабочего сечения компенсируется, в том числе, повышением сопротивлением разрыву в вершине трещины в изменившихся условиях работы материала.
Стадия разрушения при потере равновесного состояния структуры бетона в целом. Трещина, прорываясь за пределы межзернового пространства цементно-
г-10
Рис. 3. Диаграммы прогибов и фибровых деформаций в центральном сечении
песчаной матрицы фибрового сечения, превращается в магистральную трещину разрушения, в зависимости от прочности бетона,- в обход или по крупному заполнителю (рис. 4).
Рис. 4. Общий вид трещины на разных стадиях развития а) в момент появления трещины, аТ = 0,005; в) при разрушении, аТ = 0,3 мм
Общая величина предельной деформации при разрушении равна £ри,пр = 30-10-5, в три раза превышает предельную растяжимость бетона при осевом растяжении ерпр = 10-10"5 и в полтора раза ее линейную расчетную составляющую, равную ери = 20-10"5.
Область нелинейности ограничена фибровым сечением. Высота пластической зоны hnл, если принять закон изменения коэффициента Хр, за пределом пропорциональности диаграммы «а - £» линейным, равна [2]:
hm = ^ ■ h . (10)
Введение коэффициента X в теорию железобетона несомненная заслуга В.И. Мурашева (впервые функция X предложена А.А.Ильюшиным). Анализ соотношения линейной и нелинейной составляющей осциллограмм и графиков деформаций, прогибов и напряжений (рис. 2,3) показывает, что значение Хр может изменяться в пределах от 0.75 до 0.85 (13%), в зависимости от прочности бетона и времени нарастания разрушающего напряжения. Соответственно, высота пластической зоны hпл изменяется в пределах (0,12-0,07)к , не выходя за границы высоты защитного слоя бетона или фибрового сечения. Очевидно, что при определении момента сопротивления сечения по бетону растянутой зоны нелинейностью диаграммы «а - £» пренебрегать нельзя. Исследование параметра Хр позволяет перейти от упругой или пластической эпюры распределения напряжений по высоте растянутой зоны к деформационной упруго- пластической, рассмотренной в [2].
В основу деформационной расчетной модели принята гипотеза плоских сечений, применительно к распределению деформаций, а распределение напряжений в соответствии с линейной составляющей общей деформации, равной Хрг - по закону Гука (рис. 5).
Критерием предельного состояния является достижение фибровых деформаций растянутой зоны предельного значения при растяжении от изгиба.
Общая формула упруго-пластического момента сопротивления сечения по растянутой зоне имеет вид:
Куп = Ьк2 ■ V ■ (1 - 4) ■ [1 - 0.334 - 0(1 - 4)], (11)
где в - коэффициент, определяющий расстояние от поверхности до центра тяжести эпюры растянутой зоны; V - коэффициент полноты эпюры,
р = (1 - хр + 0,33А2)/^), (12) V = 1 - 0,5Ар , (13)
X т SU Nc ]
XVNp
\J
Xp*£pu.np |
£pu np
О.ЗХс
£(h-xo)
Рис. 5. Схема построения расчетной модели при среднем значении Хр = 0,8, у = 0,6, @ = 0,34 упруго-пластический момент сопротивления равен
Wв.yn = 0^2 . (14)
В отличие от сжатия, графики диаграмм работы при осевом растяжении и растяжении при изгибе не имеют нисходящей ветви.
Несмотря на вековую историю исследований, единое мнение о влиянии армирования на предельную растяжимость бетона отсутствует. В действующих нормах этим влиянием пренебрегается.
На рис. 6 помещены результаты исследований разных авторов эффективности армирования, выраженные в виде коэффициента Кга, равного отношению предельной растяжимости армированного бетона еря к неармированному ер в зависимости от расстояния до арматуры, приведенного к ее диаметру г^ = а с1.
Кг,!
АВТОРЫ : 1 .— Ком си дер -2.- Бах и Пробст 3.- Менаже и Мерсье Л.- Кпейнлогель .5.— Лосье и Ферри <5Гениев I—И _ I—И _ и Лол ет А.Ф. Т.- Баришанский М.С. 3.- Иванов-Дятлов И.Р. ЭМурашев В.И. 1 О.- Майоров В.И.
Г— dL
Рис 6. График зависимости Кга от приведенного расстояния
Кривая (I) выражает эмпирический закон изменения Кгл от приведенного расстояния га, кривая (II) его аналитическая аппроксимация формулой:
K
Rd
\
1
П • Г
(15)
d
где пк - коэффициент отношения предельных деформаций растяжения при изгибе к осевой, пк = 3 [3]. Формула (15) снимает противоречия выводов разных авторов, найдя им место в области распределения значений параметра Кга с ростом приведенного расстояния га.
Главный вывод анализа состоит в том, что влияние арматуры ограничено значением га < 5, за пределом которого оно отсутствует. Большой разброс результатов опытов объясняется условиями твердения, хранения и методикой испытания. Можно считать установленной зависимость предельной растяжимости
n
k
от среды хранения (сухая, влажная), диаметра арматуры и равномерности ее распределения по ширине рабочего сечения.
В опытах Баха предельная растяжимость бетона в растянутой зоне менялась от 12,5^ 10-5 при отсутствии арматуры, до 14Д-10-5 при армировании одиночным стержнем, и до 26,7-10-5 при армировании тремя стержнями d = 10 мм, распределенными по ширине сечения.
Если принять во внимание, что величина защитного слоя a изменяется в пределах от 1 см. (плиты) до 3 см, а сортамент диаметров рабочей арматуры от 6 до 30 мм, то в подавляющих случаях приведенное расстояние rd не выходит за границу rd п5, также как и значение радиуса, приведенной к бетону площади арматуры
rdsn = . (16)
Не учет фактора армирования становится экономически неоправданным при проектировании конструкции массового применения таких, как жесткие покрытия дорого и аэродромов.
Положительное влияние арматуры на трещиностойкость железобетонных сечений начинает проявляться с начала образования микроразрывов сплошности бетона. Пересекая полость разрыва, арматурный стержень становится поперечной связью. В силу высокой осевой жесткости арматура воспринимает на себя значительную часть усилий, препятствуя раскрытию берегов трещины и перераспределению напряжений в ее вершину. Внутреннее поле напряжений и сам материал становятся статистически более однородными.
Положение теоретической кривой на нижней границе распределения опытных значений Krd позволяет ее использовать в расчетах. При этом наибольшее приближение имеют опыты на осевое растяжение Лосье и Фери, Баха, Бари-
шанского. Запредельно максимальное расхождение (sp У 50 -10 5) имеет место
в опытах Консидера при испытании железобетонных балок на изгиб.
Неравномерность характера распределения напряжений может быть учтена, приведя коэффициент армирования ц к площади эпюры бетона растянутой зоны:
A_= »
bh(1 - 4)v (1 - 4)v Перейдя от условных к обоснованным расчетным параметрам (11,15,16) общее выражение величины момента при появлении трещин (7) имеет вид:
ц-n - KRd (1 - 0,334 - Sa)'
МпР = ,, „ ^ = . (17)
МТ =
0,199 + -
• ЬН2 • Rvu • А . (18)
(1 - 4) •у ри р
Для конструктивных бетонов класса В 15 и выше коэффициент Хр может быть принят 0,8; при этом значении расхождение от среднего момента сопротивления сечения (14) не превысит 5%.
Приняв в качестве расчетных
ЖЬуП = 2ЬН2, Ар = 0,8, 4 = 0,5, у = 0,6, Яри = • Хр • Еъ = 1.6 • Яр , преобразуем (18) в
Мт =[0,199 + 3,3 • ^ п • KR • (0,83 - 8а )]• ЬН2 ЛМр . (19)
Экспериментальная проверка достоверности (19) проведена на образцах железобетонных балочных плит, размером 5 х 15 х 90 см, коэффициент армирования ц и относительное расстояние г^ соответственно изменялись в пределах, ц - от 0,03 до 0,01; г^ - от 1 до 3.* Методически опыты отличались от опытов
Баришанского напряженным состоянием: у Баришанского - осевое растяжение; в нашем случае - растяжение при изгибе.
500 450 |400 1 350 £ 300 ^ 250 200 150
-Z_» о — • о о о ~~ - « -A IV О -В II о
_ _ •
г
Г ti = a/d
1 1,5 2 2,5 3
Рис 6. Зависимость момента трещинообразования МТ от относительного расстояния rd: «----» - по Мурашову, «--------» - по формуле (19)
На рис. 6 приведены опытные и расчетные значения МТ. Близкое совпадение расчетных значений с опытом дает основание считать формулу (19) точной. Расхождение формулы Мурашева с опытом было известно. Автор [4] считал его допустимым в отсутствии экспериментально обоснованных расчетных параметров. Статья устраняет этот недостаток.
Расчет МТ по формуле (19) не только повышает точность, но и экономическую целесообразность армирования, поскольку позволяет повысить ресурсы использования арматуры при проектировании железобетонных конструкций, к которым предъявляются требования трещиностойкости.
• Исследования выполнены аспирантами О. Паниным, В. Моисеевым, Ю. Середой. «Чем выше уровень развития науки, тем менее она расточительна».
Л и т е р а т у р а
1. Ильюшин А.А. Пластичность, ОГИЗ ГИТТЛ, 1949.
2. Майоров В.И. Расчет граничных значений относительной высоты сжатой зоны и процента армирования по деформационной модели//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - № 3. - 2008.
3. Майоров В.И. Экспериментальная основа и элементы теории прочности бетона// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - №1. - 2005.
4. Мурашев В.И. Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железобетона. - М; Машстройиздат, 1950.
5. Немировский Я.М. Пересмотр некоторых положений теории раскрытия трещин в железобетоне. Бетон и железобетон. - № 3 1970.
6. Столяров В.И. Введение в теорию железобетона. М.1941.
FROM RELATIVE TO EXACT MODEL OF CALCULATION CRACK RESISTANCE OF REINFORCED CONCRETE SECTION.
V.I. Maiorov, P.K. Kuzmin
The article is about the improving the method of calculating crack resistance of ferroconcrete sections in the bending on the base of deformation model. It is offered a formula of the moment of appearing cracks, which can be considered exact for its adequacy to the experiment. With due regard for influence of reinforcing at the moment of appearing cracks will improve technical-economical effectiveness and durability of ferro-concrete constructions, calculating limited conditions of which are depended on limitation for appearing and enlarging cracks.
KEY WORDS: crack resistance, ferroconcrete, deformation model, reinforcing.
