Научная статья на тему 'Особливості викладання вищої математики для майбутніх екологів'

Особливості викладання вищої математики для майбутніх екологів Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
149
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
екологія / вища математика / прикладні задачі / математичні моделі / ecology / higher mathematics / applied problems / mathematical models

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — А. Д. Кузик

Підготовка фахівців за напрямом "Екологія" потребує формування у студентів не тільки системи екологічних знань, вмінь та навичок, але і належного підґрунтя – природничих та математичних знань. Це спонукає до належного вивчення вищої математики, викладання якої потрібно здійснювати не тільки на високому науково-методичному рівні, але із застосуванням математичних задач і прикладів прикладного характеру. Проаналізовано підходи до вибору прикладних екологічних задач і прикладів, наведено деякі приклади, що дасть змогу розвинути мотивацію до вивчення математики та її застосування у майбутній професійній діяльності під час моделювання екологічних явищ і процесів.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Some Features of Higher Mathematics Teaching for Future Ecologists

Training specialists in Ecology requires providing students with not only the system of environmental knowledge and skills, but also the proper basis – natural and mathematical knowledge. This leads to a proper study of higher mathematics. Higher mathematics teaching should be carried out not only at a high scientific and methodological level, but using mathematical problems and applied examples. This paper examines approaches to the choice of applied ecological problems and examples, describes some examples that will help develop the motivation to study mathematics and its application in their future careers for modeling environmental phenomena and processes.

Текст научной работы на тему «Особливості викладання вищої математики для майбутніх екологів»

6. ОСВ1ТЯНСЬК1 ПРОБЛЕМИ ВИЩО1 ШКОЛИ

УДК378:51-76 Доц. А.Д. Кузик, д-р с.-г. наук -Львiвський ДУ БЖД

ОСОБЛИВОСТ1 ВИКЛАДАННЯ ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ ДЛЯ МАЙБУТН1Х ЕКОЛОГ1В

Пiдготовка фахiвцiв за напрямом "Екологiя" потребуе формування у студенпв не тiльки системи екологiчних знань, вмiнь та навичок, але i надежного пiдrрунтя - при-родничих та математичних знань. Це спонукае до надежного вивчення вищо! математики, викладання яко! потрiбно здшснювати не тшьки на високому науково-методичному рiвнi, але iз застосуванням математичних задач i прикладiв прикладного характеру. Проаналiзовано пiдходи до вибору прикладних екологiчних задач i прикладiв, наведено деяю приклади, що дасть змогу розвинути мотивацiю до вивчення математики та й зас-тосування у майбутнш професшнш дiядьностi пiд час моделювання екодогiчних явищ i процеив.

Ключовi слова: екологш, вища математика, прикладш задачi, математичнi модедi.

Постановка проблеми. Еколопя - це галузь д1яльност1 людини, яка потребуе в1д фахшцш вагомих знань з р1зних галузей з метою ощнювання не-безпеки для населения, захисту довкшля в1д негативних вплив1в 1 створення безпечних умов життед1яльност1 людини. Фах1вець-еколог повинен володгги глибокими теоретичними знаннями, необхвдними вмшнями 1 навичками, для формування яких процес шдготовки майбутшх еколопв повинен передбачати розвиток вм1ння ставити 1 розв'язувати р1зномаштш задач! У зв'язку з цим при-дшяють значну увагу змкту навчального матер1алу, особливо в контекста ста-лого розвитку людства [1]. Вища математика як загальнонаукова дисциплша посщае чшьне мкце серед шших природничих 1 техшчних дисциплш У вищш школ1 актуальним е компетеитнiсний шдхвд [2]. У [3] наголошують на актуальной формування компетентносп з хшп для еколопв, на потреб1 формування математичних компетенцш студенпв 1 викладачш, а також на необхвдносп перегляду навчальних програм з нормативних дисциплш, до яких належить вища математика. Але, зазвичай, викладання вищо! математики здшснюеться не зав-жди з урахуванням напряму шдготовки фах1вщв та обмежуеться шюстращею теоретичного матер1алу задачами 1 прикладами, як1 мають теоретичне значення або застосовуються у ф1зищ чи мехашщ. Це не сприяе розвитку мотивацп у студентав-еколопв до вивчення математики, оскшьки вони не розглядають ре-альних ириклад1в застосування математики в екологи. Аналопчна проблема ви-никае 1 в процес вивчення спещальних дисциплш. Викладач1 зосереджують увагу на еколопчних явищах 1 процесах, уникаючи складних математичних задач, обмежуючись постановкою та не розв'язуючи таю задач! Оскшьки вивчення вищо1 математики передуе спещальним дисциплшам, завдання розвитку мотивацп майбутшх фах1вщв до застосування математики в екологп повинш ре-агоовувати 1 викладач1 математики.

Метою роботи е аналiз окремих прикладних задач, ят стоять перед еко-логами i потребують застосування математичних знань, з метою !х впроваджен-ня у навчальну дисциплiну " Вища математика".

Викладення основного матерiалу. Навчальна дисциплiна "Вища математика" включае в себе основнi роздши: "Лiнiйна алгебра", "Аналiтична ге-ометрш", "Диференцiальне та iнтегральне числення функцп однiеí змiнноí", "Диференцiальне та жегральне числення функцп багатьох змiнних", " Комплекса числа та функцií комплексно!' змiнноí", "Звичайнi диференцiальнi рiв-няння", "Ряди", "Теория ймовiрностей" та "Математична статистика". Наслiдком вивчення вищо1 математики у процес шдготовки майбутнiх еколопв мае стати успiшне застосування математичних знань у низщ загальноосвiтнiх та спещаль-них дисциплiн: "Фiзика", "Бюлопя", "Хiмiя з основами бiогеохiмií", "Загальна екологiя", "1нженерна екологiя", "Гiдрологiя", "Моделювання i прогнозування стану довкiлля", "Мошторинг довкiлля", "Нормування антропогенного наванта-ження на довкiлля", "Екологiчна експертиза", "Аналггична хiмiя та методи ана-лiзу параметрiв навколишнього середовища", "Метеорологiя i клiматологiя" та iн. Особливо насиченою математичним апаратом е навчальна дисциплша " Моделювання i прогнозування стану довкшля". Але спрямовувати майбутнього еколога на усшшне застосування математичних методав потрiбно саме на занят-тях з вищо1 математики. Наведемо деят задачi екологiчного спрямування, яю доцiльно наводити як приклади у вщповвдних роздiлах вищо1 математики.

Пвд час вивчення роздiлу "Лiнiйна алгебра" основну увагу студентш зо-середжують на алгебрi матриць, визначниках матриць i системах лiнiйних ал-гебра1'чних рiвнянь. Окрiм засвоення теоретичного матерiалу щодо типiв матриць i дiй над ними, актуальним е наведення прикладiв застосування матриць для опису еколопчних процесiв. Значного поширення набули матрицi для ство-рення популяцiйних моделей. Система Леслi [4] у матричному виглядi описуе складну популяцiю у виглядi добутку матриц переходу (розмiру (к+1)х (к+1)) на вектор-стовпчик (розмiру (к+1)х1) чисельностi особин рiзних вiкових класiв

/о /1 /2

Ро о 0 с Р1 о

ч о о о

/к-1 /к 1 (по л

о о п о о П2

Рк-1 о

V пк.

(1)

де: п - чисельнiсть /-го вкового класу, р1 - виживанiсть або ймовiрнiсть переходу особини /-го класу в (/+1)-ий, / - середня плодючiсть особин /-го класу або очжувана кiлькiсть новонароджених особиною /-го класу за одиницю часу. У зв'язку з цим доцшьно розв'язати задачу (навести приклад):

Задача 1. Нехай популящя розподшена на три вiковi класи: молодих особин - 12, середнього вжу - 3 i старих - 1. Плодовитiсть молодих особин дорiв-нюе о, середнього вжу - 6 i старих - 9. Ймовiрнiсть доживання молодих особин до середнього вжу становить 1/3, а особин середнього вжу до староста - 1/2. Знайти чисельнкть кожного з вшових клаав популяцií пiсля переходу до нас-тупного вiкового класу.

Розв'язyвaння зaдaчi зводиться до зaписy вiдповiдниx мaтpиць тa ïx мно-

ження:

г О 6 9л

ОО

О I О 2

4

V 1 У

33 4

V 2 У

J

Резyльтaт до6утку мaтpиць покaзye, що внaслiдок пеpеxодy до шступно-го вiкового клaсy до склaдy популяцй' входитиме 33 особини молодого вжу, 4 -сеpеднього i 2 стapi особини. 3a допомогою мaIpиць тa дiй ид ними описують пpоцеси випaдкового генетичного сxpещення [4]. Роздш "Aнaлiтичнa геомет-piя" вивчae геометpичнi об'eкти, ят описуються мaтемaтичними piвняннями. Пpямa, зaдaнa лiнiйним piвнянням, нaпpиклaд,

y = кх + b, (2)

описye лiнiйнy зaлежнiсть величини у ввд величини х, у якiй к i b - коефiцieнти. У пpиpодi чaсто тpaпляються пpоцеси, ят e близькими до лiнiйниx. Для ïx мо-делювaння зaстосовyють пpямi pегpесiï. Лiнiйнi зaлежностi допомaгaють с^ос-тити piзномaнiтнi екологiчнi дослiдження. Нaпpиклaд, у [5] встaновлено, що плошд повеpxнi листя деpев i чaгapникiв у, визнaчення яко!' e скгадним зaвдaн-ням, може визнaчaтися зa лiнiйними pозмipaми, зокpемa, добутком довжини листта нa нaйбiльшy шиpинy (змшш x), тa описyeться piвнянням (2). коефь цieнти якого визнaчено для вiдповiдноï pослини. Для бpyслини боpодaвчaтоï к = О,62245, b = О,ООО96, кpyшини лaмкоï к = О,7О475, b = -О,15993, чеpемxи зви-чaйноï к = О,66762, b = О,О8198 i т.п.

У випaдкy лiнiйноï зaлежностi величини z вiд двоx змiнниx х тa y отpи-мyeмо piвняння площини

z = ax + by + c (3)

з коефiцieнтaми a, b i c. Пpиклaдом тaкого piвняння може бути зглежнкть дов-жиною колоскш озимоï пшеницi z, см, вiд юлькосп колоскiв x i кiлькостi зеpен у, якa описyeться piвнянням множинноï pегpесiï (3) з коефiцieнтaми a = 1,597, b = О,431 i c = 18,466 [6]. Aнaлогiчнi ^иктади можнa нaвести i для нел^шн^ pегpесiйниx зглежностей, ят описуються piвняннями 2-го поpядкy.

Роздш " Дифеpенцiaльне тa iнтегpaльне числення однieï змiнноï" тaкож ефективно iлюстpyeться piзномaнiтними пpиклaдaми, пов'язaними з екологieю. Шд чaс вивчення гpaниць послiдовностей тa фyнкцiй доц1льно нaводити пpик-лaди piзномaнiтниx вимipювaнь. Нaпpиклaд, pезyльтaти вимipювaння зpостy людини, змiнa якого вiдбyвaeться до певного вiкy, можнa ввaжaти зpостaючою послiдовнiстю, якa мae вiдповiднy гpaницю. Гpaницею послiдовностi знaчень концентpaцiï pозчинy, e остaточнa концентpaцiя, ята встaновлюeться внaслiдок дифyзiï вiдповiдноï кшькосп pечовини у водi пpотягом тpивaлого пеpiодy. Пос-лiдовностями тa функщями, якi мaють гpaницi, описуються й кшьккш покaзни-ки бiоценозiв, ят зaзнaли негaтивного впливу тa ввдновлюються у пpоцесi сук-цесiй. Нaпpиклaд, кiлькiсть вид1в pослин, якi з'являються нa згapишax, дiлян-кax, ят зaзнaли pозливiв xiмiчниx pечовин, ïx ^ое^т^ вкpиття тa iн. Геомет-

б. Oсвiтянськi nрoблеми вищoï ш^ли 365

ричними прогрес1ями можна записати зростання чисельност1 популяцш за не-обмежених ресурс1в. Цдкавим прикладом е послщовнкть чисел Ф1боначч1, як мають широке застосування в бюлоги та медициш, описуючи сшвв1дношення м1ж метричними параметрами будови тша тварин, людей [6] та рослин, зокрема розташуванням луски на шишках сосни, будов1 суцвитя соняшника, мушл1 мо-люскш та ш [7].

Особливе значення в динам1чних еколопчних процесах мае поняття швидкосп 1х перебку. Якщо процес описуеться функщею, що залежить вщ часу, то швидккть цього процесу визначають похщною функцл. Пщ час вивчення диференщального числення можна розглянути задачу [8], яка зводиться до зна-ходження похвдно! та И екстремуму:

Задача 2. Чисельнкть популяцп бактерш описуеться функщею

1000ег

Р(1) =-;-, (4)

1 + 0,1(е' -1)

де 1 - час, год. Знайти швидккть зростання бактерш. У який момент часу ця швидккть е максимальною?

Бшьшкть завдань у роздш "1нтегральне числення" стосуеться знахо-дження площ криволшшних фкур, довжин кривих, об'ем1в та площ поверхонь тш обертання. Ц приклади доцшьно формулювати як задачу що потребують визначення площ забруднення, екосистем, поверхонь листя дерев; довжин р1-чок, берегових лшш водойм; об'ем1в крон дерев та чагарнитв, водойм, пород-них в1двал1в та ш.

У процес вивчення диференщального та штегрального числення фун-кцш багатьох змшних як приклад доцшьно застосовувати р1зномаштш функцц, як1 описують еколопчш явища 1 процеси. Прикладами функцш багатьох змшних можуть бути мшроклшатичш показники (температура пов1тря в кожнш точщ аудиторп, вщносна вологкть пов1тря), концентращя речовини, пилу, ос-в1тленкть, напруженкть електромагштного поля та ш. Актуальними прикладами функцш багатьох змшних можуть бути р1зномаштш еколопчш залежносп, зокрема щшьнкть популяцп за умов необмеженого зростання

N = N (N0,1 ) = Noeгt, (5)

де: Мз - початкова щшьнкть популяцп, г - швидккть зростання популяцп, а трьох змшних - щшьнкть популяцп в умовах обмеженого зростання

К

N = N (N0, К,1 )= к М-, (6)

1 + е-г' N0

де К - емнкть середовища для максимально!' щшьносп популяцш або максимальна допустима щшьнкть [9].

Роздш "Комплексш числа 1 функцц комплексно!' зм1нноГ можна про-шюструвати прикладами застосування комплексних чисел в електротехшщ для опису змшного струму, а також у задачах аеро- та пдродинамши, як1 мають важливе значення для досл1джень явищ в атмосфер1 1 у водоймах.

Найбшьш насиченим еколопчними прикладами е роздш "Звичайш дифе-ренщальш ршняння". На лекщях 1 практичних заняттях доцшьно встановити

тип i розв'язати диференцiальнi рiвняння, якi стосуються моделювання динамь ки екосистем. Ркняння Мальтуса [Ю], яке описуе чисельнкть популяцií за ввд-сутносп обмежень i надлишку íжi,

йМ ЛГ гп\

-= гМ, (7)

йг

де: N - чисельнкть популяцц в момент часу г; г - швидккть росту популяцп, е рiвнянням з ввдокремлюваними змiнними. До цього рiвняння можна задати по-чаткову умову N (о) = Мо, де Мо - початкова чисельнiсть популяцп. Ршняння Ферхюльста або логiстичне рiвняння [9], яке описуе динамiку популяцп за об-меженостi запасiв 1ш,

йМ = гМ Г , (8)

йг \ К )

де К - максимальна кшьккть особин, яка здатна жити в даному середовищi, е рiвнянням Бернуллi. Розв'язування цих рiвнянь дасть змогу студентам самос-тiйно отримати вiдповiднi формули динамiки популяцiй. За необхщносп можна навести приклади й шших диференцiальних рiвнянь та !х систем, визначити тип i розв'язати за наявносп вiдповiдного методу.

Роздш "Ряди" можна проiлюструвати геометричною прогрескю, яка описуе динамiку чисельностi популяцп за ввдсутносп обмежень зростання. Та-кий числовий ряд е розбiжним. Збiжним е ряд, який описуе динамку популяцп в умовах обмежень. Його границею е максимально можлива чисельнкть популяцц. Важливими прикладами в екологп е часовi ряди, ят описують температуру пов^я, його вiдносну вологiсть та iншi абiотичнi показники, якi змiнюють-ся у зв'язку з добовими та рiчними циклами. Такi ряди е розбiжними i можуть бути змодельоваш за допомогою рядiв Фур'е. Степеневi ряди описують аналi-тичну функцда i застосовуються для наближеного розв'язування диференщаль-них рiвнянь, зокрема таких, що описують екологiчнi явища.

Оскшьки екологiчнi дослiдження у бiльшостi випадюв базуються на методах теорп ймовiрностей i математично!' статистики, тому розгляд прикладних задач пiд час вивчення вiдповiдних роздiлiв вищо1 математики потребуе бiльш детального висвiтлення в окремш статтi.

Висновки. Викладання вищо1 математики для студентiв екологiчних спещальностей потребуе розвитку 1х мотивацií до навчання, що досягаеться на-веденням рiзноманiтних прикладiв з екологií та розв'язуванням прикладних ма-тематичних задач.

Лiтература

1. Боголюбов В.М. Обгрунтування змюту навчально-методичних матерiалiв для пiдготовки еколопв з компетендiями в контекстi сталого розвитку / В.М. Боголюбов // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте '2о13 : матер. Междунар. науч.-практ. Интернет-конф., 2о-3о дек. 2о13 г. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.sworld.com. ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/dec-2013.

2. Гулай О.1. Компетентнiсний пiдхiд як основа ново! парадигми освiти / О.1. Гулай // Вiсник Надiональноl академ11 Державно! прикордонно! служби Укрални : зб. наук. праць. - 2оо9. - № 2. - С. 41-51.

3. Заблоцька О.С. Реалiзацiя KOMneTeHTHicHoro пiдходу у вггчизнянш освт / О.С. Заблоць-ка // Вюник Житомирського державного технолопчного университету. - Сер.: Економчш науки. - Житомир : Вид-во ЖДТУ. - 2009. - С. 58-63.

4. Уильямсон М. Анализ биологических популяций / М. Уильямсон. - М. : Изд-во "Мир", 1975. - 271 с.

5. Ермолова Л.С. Зависимость площади поверхности листьев от их линейных размеров у деревьев и кустарников нижних ярусов леса / Л.С. Ермолова, Я.И. Гульбе, Т.А. Гульбе, А.Я. Гульбе // "Лес-2010" : матер. XI Междунар. науч.-техн. конф., Брянск, 1 мая - 1 июня 2010 г. - 2010. [Электронный ресурс]. - Доступный с http://science-bsea.bgita.ru/2010/les_2010/ ermolova_sav.htm.

6. Суббота А.Г. "Золотое сечение" (Sectio aurea) в медицине / А.Г. Суббота. - СПб. : Изд-во Воен.-мед. акад., 1994. - 143 с.

7. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко. -М.-Ижевск : Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003. - 184 с.

8. Гроссман С. Математика для биологов / С. Гроссман, Дж. Тернер. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1983. - 383 с.

9. Уиттикер Р. Сообщества и экосистемы / Р. Уиттикер. - М. : Изд-во "Прогресс", 1980. -

327 с.

10. Алексеев В.В. Физическое и математическое моделирование экосистем / В.В. Алексеев, И.И. Крышев, Т.Г. Сазыкина. - СПб. : Гидрометиздат, 1992. - 367 с.

Кузык А.Д. Особенности преподавания высшей математики для будущих экологов

Подготовка специалистов по направлению "Экология" требует формирования у студентов не только системы экологических знаний, умений и навыков, но и надлежащего основания - естественных и математических знаний. Это побуждает к надаежа-щему изучению высшей математики, преподавание которой должно осуществляться не только на высоком научно-методическом уровне, но с применением математических задач и примеров прикладного характера. Проанализированы подходы к выбору прикладных экологических задач и примеров, приведены примеры, что позволит развить мотивацию к изучению математики и ее применение в будущей профессиональной деятельности при моделировании экологических явлений и процессов.

Ключевые слова: экология, высшая математика, прикладные задачи, математические модели.

Kuzyk A.D. Some Features of Higher Mathematics Teaching for Future Ecologists

Training specialists in Ecology requires providing students with not only the system of environmental knowledge and skills, but also the proper basis - natural and mathematical knowledge. This leads to a proper study of higher mathematics. Higher mathematics teaching should be carried out not only at a high scientific and methodological level, but using mathematical problems and applied examples. This paper examines approaches to the choice of applied ecological problems and examples, describes some examples that will help develop the motivation to study mathematics and its application in their future careers for modeling environmental phenomena and processes.

Key words: ecology, higher mathematics, applied problems, mathematical models.

УДК 351.83 Доц. О.Б. Горностай, канд. техн. наук - Львiвський ДУ БЖД Д1ЯЛЬН1СТЬ М1ЖНАРОДНИХ ОРГАН1ЗАЦ1Й З ОХОРОНИ ПРАЦ1

Дослщжено важливу роль ]шжнародного сшвробггництва з метою забезпечення надежного рiвня охорони пращ в Укра!ш. Показано, що один з принщишв державно! политики, а саме мiжнародне сшвробггниптв у сферi охорони пращ, мае важливе значения. Для встановлення високого рiвня охорони пращ необхщно звертати увагу на по-зитивш та негативш сторони дiяльностi европейських мiжнародних оргашзащш з охо-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.