CC BY
53
ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ
«и»
ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКОВ В ТРУБЕ ДРЕЙФА
Мозговой Юрий Дмитриевич,
профессор, доцент, д.т.н., Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики", Москва, Россия, y.mozgovoy@hse.ru
Хриткин Сергей Анатольевич,
доцент, к.т.н., Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики", Москва, Россия, s.khritkin@hse.ru
В линейном приближении проводится численное моделирование и анализ особенностей взаимодействия встречных электронных потоков в трубе дрейфа с учетом коэффициентов редукции плазменных колебаний и электронного взаимодействия между потоками. В рамках гидродинамического подхода в режиме слабого сигнала развита волновая методика теории связанных волн пространственного заряда для встречных электронных потоков. Записаны уравнения связанных плазменных волн электронных потоков и получено дисперсионное уравнение непрерывного четырехволнового двулучевого взаимодействия, которое справедливо в широкой полосе частот для различных значений параметров убывания кулоновских сил с расстоянием и коэффициентов электронного взаимодействия между потоками. В одномодовом приближении в каждом из взаимодействующих потоков распространяются быстрая (БВ) и медленная (МВ) волны пространственного заряда (электронные или плазменные волны пучков). Получены решения дисперсионного уравнения в режимах трех и четырехволновой связей волн пространственного заряда. Исследованы особенности режимов взаимодействия типа ЛОВ-усилителя, направленного ответвителя (НО) с периодической или апериодической связью волн в случае взаимодействия встречных широких и узких электронных потоков в трубе дрейфа. Взаимодействие встречных электронных потоков перспективно для усиления и генерации микроволн в режиме электронной моды. Если быстрая волна широкого встречного потока находится в синхронизме с медленной волной прямого широкого потока, то получаем аналог режима ЛОВ усилителя. При длине полной перекачки энергии волн возникает эффективная обратная связь с усилением, а при токах пучка, превышающих пусковые значения, совершается переход к режиму генерации. При ограниченной интенсивности потоков частицы движутся с постоянной скоростью, задаваемой ускоряющими потенциалами. В двулу-чевых устройствах на электронных потоках усиление сигнала определяется взаимодействием пучков, имеющих различные скорости, при этом часть кинетической энергии одного потока превращается в энергию возрастающей волны второго потока. Синхронизм быстрой и медленной волн встречных электронных потоков приводит к усилению полей или к абсолютной неустойчивости плазменных волн - генерации колебаний. Взаимодействие встречных электронных потоков позволяет реализовать четырехволновое взаимодействие, объединяющее механизмы периодической связи волн с усилением (типа ЛОВ-усилителя) и перекачкой мощности между волнами пространственного заряда без участия электродинамических систем.
Для цитирования:
Мозговой Ю.Д., Хриткин С.А. Особенности взаимодействия встречных электронных потоков в трубе дрейфа // T-Comm:
Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №6. - С. 64-69.
For citation:
Mozgovoi Yu.D., Khritkin S.A. Features of interaction of counter-propagating electron beams in the drift tube. T-Comm. 2015. Vol 9. No.6,
рр. 64-69. (in Russian).
T-Comm Том 9. #6-2015
Ключевые слова: встречные электронные потоки, труба дрейфа, метод связанных волн, непрерывное взаимодействие, быстрая и медленная волны пространственного заряда, обратная связь, ЛОВ-усилитель, дисперсионные характеристики.
Введение
В последнее время заметно возрос интерес к физике состояний вещества в экстремальных условиях в связи с расширением фундаментальных технических и астрофизических проблем в современной науке, а также с возможностью разработки мощных приборов и устройств в области более высоких частот, включая тера-герцовый диапазон. Эти экстремальные состояния вещества определяют работу термоядерных реакторов (инерционный УТС), плазменных и сверхмощных СВЧ устройств, физических установок на попутных и встречных потоках заряженных частиц, источников рентгеновского и аннигиляционного гамма-излучения. Новейшие открытия в астрофизике последних лет свидетельствуют о новых экстремальных состояниях вещества. Физика высоких плотностей энергии вещества, как правило, находящегося в экстремальном плазмен-но-ионизованном состоянии, является сегодня обширным разделом современной науки и техники [1-6].
Двулучевое взаимодействие потоков заряженных частиц перспективно для усиления и генерации микроволн в режиме электронной моды. Использование встречных пучков позволяет рассмотреть процессы при продольном взаимодействии электронных волн с внутренней обратной связью по потоку. В гидродинамическом приближении рассматривается взаимодействие двух сплошных встречных потоков заряженных частиц в трубе дрейфа. В одномодовом приближении в каждом из взаимодействующих потоков распространяются быстрые и медленные волны пространственного заряда. В зависимости от параметра плазменной частоты и значений коэффициента редукции меняются фазовые скорости волн. В приближении слабой связи между волнами разделяют четыре вида парной связи - апериодическая и периодическая связи волн без усиления и апериодическая и периодическая связи с усилением. Продольные распределения полей зависят от граничных условий на входе и выходе [7-9].
В линейном приближении развиты методы теории связанных волн пространственного заряда для встречных потоков с учетом коэффициента редукции. Записаны уравнения связанных волн и получено решение дисперсионного уравнения в режимах трех и четырех-волновой связей волн. Исследуется двулучевое усиление с обратной связью (типа ЛОВ - усилитель), а также двулучевая генерация (типа ЛОВ - генератор) в системе встречных электронных потоков в трубе дрейфа. Если быстрая волна широкого встречного потока находится в синхронизме с медленной волной прямого узкого потока, то получаем аналог режима ЛОВ усилителя [9-11].
При длине полной перекачки энергии волн возникает эффективная обратная связь с усилением, а при больших токах пучка совершается переход к режиму генерации (к аналогу ЛОВ генератора). Будем считать, что в области дрейфа потоки хорошо перемешаны и реализуется продольное взаимодействие частиц, При ограниченной интенсивности потоков частицы движут-
ся с постоянной скоростью, задаваемой ускоряющими потенциалами. В двулучевых устройствах на попутных или встречных потоках усиление сигнала определяется взаимодействием пучков, имеющих различные скорости, при этом часть кинетической энергии одного потока превращается в энергию возрастающей волны второго потока.
В случае взаимодействия двух встречных потоков условия синхронизма зависят от коэффициента электронного взаимодействия и коэффициента редукции. Если быстрая волна широкого встречного потока находится в синхронизме с медленной волной прямого узкого потока, то получаем аналог режима ЛОВ усилителя. Взаимодействие встречных потоков позволяет реализовать 4-х волновое взаимодействие, объединяющее механизмы периодической связи волн с усилением (типа ЛОВ-усилителя). Минимальные пусковые токи в режиме ЛОВ - типа достигаются при условии синхронизма волн и выборе длины области взаимодействия. По мере приближения тока пучка к пусковому значению область усиливаемых частот сужается, а усиление заметно возрастает. Синхронизм быстрой и медленной волн пространственного заряда для попутных электронных потоков приводит к конвективной неустойчивости - усилению полей. 8 случае взаимодействия электронных волн для встречных потоков возможно возникновение абсолютной неустойчивости - усилению или генерации колебаний [12-14].
Основные уравнения связанных волн
в электронных потоках
На рис. 1 показана схематическая модель, отображающая взаимодействие встречных электронных потоков. Как видно из рисунка в области взаимодействия потоки распространяются со скоростями, направленными навстречу друг друг/. Взаимодействие встречных потоков позволяет реализовать многоволновое взаимодействие, объединяющее механизмы периодической связи волн с усилением (типа ЛОВ-усилитель), а также периодической и апериодической связей волн без усиления.
Т РвЫХ 1 Рвх
к 4 * V Щ
1 1111 ■ III ВШвсС
1
Рис. 1. Схема взаимодействия встречных электронных потоков в трубе дрейфа
Предполагается, что характер взаимодействия зависит от выбора величины параметра связи (коэффициента электронного взаимодействия М) между потоками. Коэффициент взаимодействия 0<А/<1 широко применяется в теории мощных СВЧ приборов с продольным взаимодействием (пролетных клистронов и мощных
ЛБВ на резонансных замедляющих системах). Значения коэффициента связи М между потоками могут регулироваться экраном с различными значениями размеров отверстий. В случае использования параметра плазменной частоты бесконечно широкого потока для каждого из пучков предполагается, что взаимодействуют два «широких» электронных потока. Под «узким» электронным потоком понимается поток с ограниченными поперечными размерами (цилиндрические или плоские потоки) с использованием редуцированной (уменьшенной) плазменной частоты ш^^со,,/^?» Я -коэффициент редукции.
В рамках гидродинамического приближения и метода связанных волн проводилось теоретическое исследование продольного непрерывного взаимодействия двулучевых встречных электронных потоков в трубе дрейфа. В линейном приближении методами теории связанных волн исследуются дисперсионные характеристики при непрерывном взаимодействии встречных электронных потоков. Общее уравнение продольных связанных волн пространственного заряда, распространяющихся во встречных электронных потоках, имеет следующий вид [7-9]
(О
й
—+1-
(¡1 у„,
-1М\ — 2ПУ
V,,
где для встречного потока уО2<0, Уе1Л - кинетический потенциал, J\2=j<,>-\.■lSn\2, 8П|2 - площадь потока, - постоянная распространения,
Рр1,2 =7
к,.
волновое сопротивление потока.
В методе связанных волн в теорию вводятся амплитуды нормальных волн плазменных колебаний в широком потоке. Они даются соотношениями [7]
ар1.2± ~ ~ I [ .2 ^ 2п1>1 )]
^ V "1.2
Кинетический потенциал электронных потоков и токи пучков .7,2 выражаются через амплитуды нормальных волн
■4,2
2
+ а
Р1,.
р\.2- )■
А — + / сЬ
й —+( (к
С-
1Л1
/
со X
V 1 %
где С\2 - коэффициенты двухволновой связи волн [7-9].
В случае узкого потока происходит замена плазменной частоты бесконечно широкого потока о^ на редуцированную (уменьшенную) плазменную частоту ®ч
В одномодовом приближении уравнения связанных волн для встречных электронных потоков имеют вид
* л.)
•ч I*
•Ч2±
|М 0,2 + "
'42
-Г-Щи 0 Мсп -Мс12
0 1- Мсп -Мсп
Мс2] -л&2] -У-Ф^ 0
Мс2] -Мс21 0 ~У~'ФЧ2
7
у ¿пО -
Уравнения связанных волн плазменных колебаний в первом (или втором) потоке, находящемся под воздействием кулоновского поля другого потока, имеют вид [7-9]
Для получения характеристического уравнения связанной системы общее решение ищется в виде:
«V* (*) = «,2±(0)ехр (уг),
Для нахождения комплексного коэффициента распространения у предполагаемые решения подставляются в систему уравнений для встречных электронных потоков, после чего находится детерминант системы, который приравнивается нулю
= о
Полученное характеристическое уравнение непрерывного четырехволнового двулучевого взаимодействия справедливо в широкой полосе частот для различных значений параметров убывания кулоновских сил с расстоянием и коэффициентов связи между потоками. В одномодовом приближении в каждом из взаимодействующих потоков распространяются быстрая и медленная волны пространственного заряда (электронные или плазменные волны пучков).
Исследование особенностей взаимодействия
для встречных потоков в трубе дрейфа
Использование встречных пучков позволяет рассмотреть процессы усиления и генерации микроволн при продольном взаимодействии с внутренней обратной связью по потоку. Двулучевое усиление с обратной связью (типа ЛОВ - усилитель), а также двулучевая генерация (типа ЛОВ - генератор) отмечаются в системе встречных пучков.
На рис. 2. приведены решения дисперсионного уравнения и показаны дисперсионные зависимости медленных и быстрых волн пространственного заряда широких встречных потоков заряженных частиц при отсутствии связи между потоками (А^О) - в координатах коэффициента замедления от нормированной длины волны (с/уф=Л)^)) - (рис. 2а) и нормированной частоты от волнового числа (©/соо=/(Мь)) - (рис. 26).
Из анализа дисперсионных зависимостей коэффициента замедления от нормированной длины волны на рис. 2а следует, что пересечение двух быстрых волн пространственного заряда каждого из электронных потоков приводит к комплексным решениям коэффициента распространения электронных волн у. Увеличение значений коэффициента электронного взаимодействии М приводит к быстрому увеличению коэффициента нарастания о и расширению области комплексных реше-
тил
ний в полосе частот. Однако, так как нет связи с медленными волнами потоков (волнами с запасенной отрицательной энергией), то полученные решения соответствуют режиму направленного ответвителя с апериодической связью электронных волн без усиления.
В случае движения двух встречных электронных потоков условия синхронизма зависят от коэффициента редукции и выполняются при взаимодействии широких и узких потоков. Если быстрая волна широкого встречного потока находится в синхронизме с медленной волной прямого широкого потока, то получаем аналог режима ЛОВ усилителя. При длине полной перекачки энергии волн возникает эффективная обратная связь с усилением, а при токах пучка, превышающих пусковые значения, совершается переход к режиму генерации (к аналогу ЛОВ генератора).
С/У'ф
4.0 2.1) 0.0 -2.0 -4.0 -6.0
-0. Я-0.2-0 I 0.0 0.1 0.2 0.3 Щ
а)
б)
|1л1 Н
-0.3-0.2-П I 0.0 О I 0.2 (I 3 Но
б)
Рис. 3. Дисперсионные зависимости взаимодействия двух широких встречных электронных потоков (и(Л = 50 кВ, и02 = 70 кВ (встречный); ю^ = 0,2) в координатах: а) с/\>ф =ДЯАо) и о) ш/ш,) =Лк!кь) при изменении коэффициента взаимодействия пучков: М]2=М2\ = 0 (пунктирные линии), 0.5 (штриховые линии), 1.0 (сплошные линии)
Взаимодействие узкого попутного и широкого встречного потоков позволяет реализовать четырех-волновое взаимодействие, объединяющее механизмы периодической связи с усилением (типа ЛОВ), а также периодической и апериодической связей волн без усиления (рис. 4). Характер этих связей зависит от выбора величины параметра взаимодействия. С увеличением этого параметра низкочастотная граница области комплексного решения смещается в сторону меньших частот и переходит в комплексное решение на нулевой частоте.
Рис. 2. Дисперсионные зависимости медленных и быстрых волн пространственного заряда встречных потоков заряженных частиц в координатах с/^=/{АЛо) - (а) и ш/тп=Цк/ка) - (б); М= О
Связь быстрых волн пространственного заряда встречных потоков характеризуется монотонным изменением энергии вдоль области взаимодействия без усиления (апериодическая связь волн - АС). Взаимодействие медленной волны прямого потока с быстрой обратной волной встречного потока характеризуется периодической связью с усилением (двулучевой усилитель типа ЛОВ). При условии полной перекачки энергии между волнами реализуется режим двулучевого генератора (типа ЛОВ - генератора).
Из рис. Ъа следует, что при взаимодействии быстрых волн попутного и встречного потоков реализуется режим направленного ответвителя с апериодической перекачкой мощности без усиления. Синхронизм медленной волны попутного потока и быстрой волны встречного пучка приводит к периодической перекачке мощности. Так как осуществляется периодическая связь волн пучков заряженных частиц - связь медленной волны попутного потока с быстрой волной встречного потока, то это соответствует режиму связи волн с усилением - режиму ЛОВ. На рис. 36 приведены дисперсионные зависимости комплексной частоты от волнового числа. В соответствии с правилами Стэррока полученные дисперсионные характеристики соответствуют абсолютной двухпучковой неустойчивости попутного и встречного потоков заряженных частиц [12].
еЫщ
4.0
2Л 0.0 •2.0 -4.0 ■60 -8.0
а)
г--—
—- =7 / \
/' \
к\ \ р4^ V
М
2.0 6 0 1,0 10.0 12.0
А / \
' Ч
<ГИг""* ¡1 Ик ! *, /'11 гт-1 1
1 ! \ « г. ! 1 \ / /,!! £
11ш о
0.04 0.03 0.02 0.01
-о.: -0 1 о.о о.1 о;и,
б)
Рис, 4. Дисперсионные зависимости взаимодействия узкого попутного и широкого встречного электронных потоков
(¡Уо1 = 50 кВ, К, = 0.5, ит = 70 кВ; Шр].; = 0.2) в координатах: а) с/Уф = /1УХ1_1у, б) ы/щ =Лк/кп) при изменении коэффициента взаимодействия пучков: М= 1.-0.25, 2. - 0.5, 3. - 0.75
Заключение
В линейном приближении проводится численное моделирование взаимодействия встречных электронных потоков в трубе дрейфа с учетом коэффициентов редукции плазменных колебаний и электронного взаимодействия между потоками. В гидродинамическом приближении развиты метод связанных волн и метод дисперсионного уравнения при взаимодействии волн пространственного заряда в двулучевых электронных потоках. Записаны уравнения связанных волн и получено решение дисперсионного уравнения в режиме че-тырехволновой связи волн. Исследованы особенности
режимов взаимодействия с усилением или генерацией волн пространственного заряда при различных значениях коэффициента связи потоков и режимов взаимодействия типа ЛОВ-усилителя, направленного ответви-теля с периодической или апериодической связью волн в случае взаимодействия встречных широких и цилиндрических электронных потоков в трубе дрейфа. Синхронизм быстрой и медленной волн встречных электронных потоков приводит к усилению полей или к абсолютной неустойчивости - генерации колебаний.
Литература
1. Cassidy D.B., Mills Jr. А.Р. The production of molecular positronium //Nature. 2007. V. 449. № 7159. P. 195.
2. Фортов B.E. Физика высоких плотностей энергии. -М.: Физматлит, 2013. - 711 с.
3. Канавец В.И. Электронно-позитронное вещество: от позитрония до сверхжидкости и шаровой молнии. - М.: Педагогическое общество России, 2009, - 224 с.
4. Liu W. et al. Two-stream Smith-Purcell free-electron laser //Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2007. - Vo!. 570. №1. - Pp. 171-175.
5. Liu W. et al. Enhancements of Terahertz Radiation from a Grating Waveguide by Two-Stream Instability // IEEE Transac-
tions on Plasma Science. 2008. - Vol. 36. - №3. -Pp. 748-756.
6. Bishofberger K., Svimonishvili Т., Faeh/ R. J., Cartsten В. E. Structure-less Generation of Sub-millimeter Radiation. //10th IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC-2009), Pp. 275-276
7. Louisell W. Coupled mode and parametric electronics. 1960. - 268 p.
8. Бугаев СЛ., Канавец В.И., Кошелев В.И., Черепенин В.А. Релятивистские многоволновые С8Ч-генераторы. - Новосибирск: Наука, 1991. - 296 с.
9. Канавец В.И., Мозговой Ю.Д., Слепков А.И. Излучение мощных электронных потоков в резонансных замедляющих системах. - М.: МГУ, 1993. - 208 с.
10. Канавец В.И., Мозговой Ю.Д., Слепков А.И., Хриткин С.А. Четырехволновое взаимодействие потока и поля в резонансном периодическом волноводе // Радиотехника и электроника, 1997. - Т. 42. №3. - С. 341-347.
11. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. - М.: Сов. Радио, 1973. - 400 с.
12. Александров А.Ф., Рухадзе А.А. Лекции по электродинамике плазмоподобных сред. Неравновесные среды. - М.: МГУ, 2002. - 335 с.
13. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 560 с.
14. Трубецков Д.И., Храмов А. Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. В 2 т. Т.1, - м,: Физматлит, 2003. - 496 с.
T-Comm Том 9. #6-2015
ELECTRONICS. RADIO ENGINEERING
FEATURES OF INTERACTION OF COUNTER-PROPAGATING ELECTRON BEAMS
IN THE DRIFT TUBE
Yury Mozgovoi, Sergei Khritkin, Moscow, Russia
Abstract
In the linear approximation is carried out numerical simulation and analysis of the features of the interaction of colliding electron beams in a drift tube with the reduction ratio of plasma oscillations and electronic interaction between threads. In the hydrodynamic approach in the weak signal wave technique developed theories related to space-charge waves colliding electron beams. Write an equation relating the plasma waves and electron beams obtained dispersion equation continuous four-two-beam interaction, which is valid over a wide bandwidth for different values of the parameters of decreasing Coulomb forces with distance, and the coefficients of the electronic interaction between threads. In the single-mode approximation in each of the interacting flows spread fast and slow space-charge wave (electronic or plasma wave beams). It was obtained solution of the dispersion equation in three modes and four-wave communications space-charge waves. The features of the modes of interaction such as BWO-amplifier, directional coupler with a periodic or aperiodic wave coupling in the case of interaction of colliding wide and narrow electron beams in the drift tube. The interaction of colliding electron beams is promising for the amplification and generation of microwaves in the electorn-mode regime. If the fast wave wide counter-flow is in synchronism with the slow wave of direct broad stream, then we obtain an analogue of the BWT amplifier. With a length of total energy waves appears effective feedback gain, and at beam currents exceeding the starting value, a transition to the regime of generation. When low-intensity flow the particles move at a constant speed given by accelerating potential. In the two-beam devices for electronic amplification of the signal streams is determined by the interaction of beams having different speeds, wherein one portion of the kinetic energy flux is converted into energy of the second wave of increasing flux. Synchronicity is the fast and slow waves colliding electron flow leads to increased margins or to absolute instability of plasma waves - generation of oscillations. The interaction of colliding electron beams allows for four-wave mixing, combining mechanisms for the periodic wave coupling with increasing (BWT-type amplifier) and the pumping power between the space-charge waves without elec-trodynamic systems.
Keywords: counter-propagating electron beams, drift tube, the method of coupled waves, continuous interaction, feedback, BWO amplifier and oscillator, dispersion characteristics.
References
1. Cassidy, D.B. and Mills Jr., A.P. (2007), "The production of molecular positronium", Nature, vol. 449, no. 7159, pp. 195-197.
2. Fortov, V.E. (2013), Fizika vysokih plotnostej jenergii [High energy density physics], Fizmatlit, Moscow. [in Russian]
3. Kanavets, V.I. (2009), Jelektronno-pozitronnoe veshhestvo: ot pozitronija do sverhzhidkosti i sharovoj molnii [Electron-Positron Substance: From Positron to Superliquid and Ball Lightning], Pedagogicheskoe Obshchestvo Rossii, Moscow. [in Russian]
4. Liu, W, Liang, Z., Yang, Z, Li, D. and Imasaki K. (2007), "Two-stream Smith-Purcell free-electron laser", Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 570, no. 1, pp. 171-175.
5. Liu, W., Liang, Z., Yang, Z, Li, D, Imasaki K., Shi, Z, Lan, F, Park, G.-S. and Liu S. (2008), "Enhancements of Terahertz Radiation from a Grating Waveguide by Two-Stream Instability", IEEE Transactions on Plasma Science, vol. 36, no. 3, pp. 748-756.6. Bishofberger, K., Svimonishvili, T., Faehl, R. J. and Carlsten, B. E. (2009), "Structure-less Generation of Sub-millimeter Radiation", Proceedings of the 10th IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC-2009), Rome, Italy, 28-30 april, pp. 275-276.
7. Louisell, W. (1960), Coupled mode and parametric electronics, Wiley, New York, NY.
8. Bugaev, S.P., Kanavets, V.I., Koshelev, V.I. and Cherepenin V.A. (1991), Reljativistskie mnogovolnovye SVCh-generatory [Relativistic Multiwave Microwave Generators], Nauka, Novosibirsk. [in Russian]
9. Kanavets, V.I., Mozgovoi, Yu.D. and Slepkov, A.I. (1993), Izluchenie moshhnyh jelektronnyh potokov v rezonansnyh zamedljajush-hih sistemah [Radiation of High-Power Electron Currents in Resonant Slow-Wave Structures], Mosk. Gos. Univ., Moscow [in Russian]
10. Kanavets, V.I., Mozgovoi, Y.D., Slepkov, A.I. and Khritkin, S.A. (1997), "Four-Wave Interaction Brtween the Flow and the Field in a Resonsnt Periodic Waveguide", Journal of Communications Technology and Electronics, vol. 42, no. 3. pp. 314-320. [in Russian]
11. Vainshtein, L.A. and Solntsev, V.A. (1973), Lekcii po sverhvysokochastotnoj jelektronike [Lectures on microwave electronics], Sov. Radio, Moscow. [in Russian]
12. Aleksandrov, A.F. and Rukhadze, A.A. (2002), Lekcii po jelektrodinamike plazmopodobnyh sred. Neravnovesnye sredy [Lectures on the Electrodynamics of Plasmalike Media: Nonequilibrium Media], Mosk. Gos. Univ., Moscow. [in Russian]
13. Rabinovich, M.I. and Trubetskov, D.I. (1984), Vvedenie v teoriju kolebanij i voln [Introduction to the theory of waves and vibrations], Nauka, Moscow. [in Russian]
14. Trubetskov, D.I. and Khramov, A.E. (2003), Lekcii po SVCh jelektronike dlja fizikov [Lectures on Microwave Electronics for Physicists], Fizmatlit, Moscow. [in Russian]
Information about authors:
Yury Mozgovoi, Moscow Institute of Electronics and Mathematics, National Research University Higher School of Economics, professor, y.mozgovoy@hse.ru; Sergei Khritkin, Moscow Institute of Electronics and Mathematics, National Research University Higher School of Economics, associate professor, s.khritkin@hse.ru.
T-Comm Vol.9. #6-201 5
