Особенности вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонических импульсов силы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОСОБЕННОСТИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРА

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ СИЛЫ

Гетманова Елена Евгеньевна

канд. ф.-мат. наук, доцент кафедры физики, преподаватель OOO

«Дистанционный репетитор», Москва

E-mail: elge@mail.ru

FORCED VIBRATION OF OSCILLATOR UNDER THE ACTION OF HARMONICS FORCE IMPULSES

Getmanova Elena

candidate of Phys.-Math. Science, Associate Prof. of Physics Deartment,

Educator of Company "DistTutor", Moscow

АННОТАЦИЯ

В докладе аналитически и численно изучены особенности вынужденных колебаний гармонического осциллятора с различными начальными условиями под действием периодических гармонических импульсов силы. На сайте http://osciltheory.ucoz.com/ помещена Flash анимация рассмотренных колебаний.

ABSTRACT

Features of the forced oscillations of an pendulum with different initial conditions under action of periodic harmonics impulses of force have been considered. Animation of oscillations is shown on the site http://osciltheory.ucoz.com/.

Ключевые слова: Вынужденные периодические колебания, компьютерное Flash моделирование, периодические гармонические импульсы силы

Keywords: the forced periodic oscillations, Flash modeling, the periodic harmonics impulses of force.

В работе представлено исследование поведения осциллятора с различными начальными условиями под действием внешних периодических гармонических импульсов силы. Исследование проводилось аналитически (методом припасовывания [2, c. 62]), и численно. Метод припасовывания применялся для решения нелинейных задач [2, c. 62]. В работе данный метод используется при

изучении поведения линейной системы под действием внешних периодических импульсов силы. Анимация, описанных в статье колебательных процессов, представлена на сайте http://osciltheory.ucoz.com/.

Рассмотрим осцилляторы (пружинные маятники), совершающие гармонические колебания под действием периодических импульсов силы меняющейся в интервалах 0<t <T, по закону F(t) = F0 sin{at) (о-частота внешних периодических импульсов силы, T - время действия импульса силы, AT - временной интервал между двумя последовательными силовыми воздействиями) по закону (рис. 1) (p - номер временного интервала действия импульса силы, q - номер временного интервала, где сила не действует).

Рисунок 1. Периодические импульсы силы и осциллятор с различными

начальными условиями

Сопротивление среды не учитывается, собственная частота колебаний осцилляторов равна а0. Отрицательное, положительное или нулевое начальные смещения х(0) = Ах, означают, что пружина сжата, растянута или не деформирована, соответственно. Отрицательное, положительное или нулевое значение начальной скорости у(0) = , означает, что она направлена противоположно, совпадает с направлением действия силы или равна нулю (рис. 1). Исследование проводилось для

ж

_ 2ж + 2жп _ж + 2жп _ 2_

+ 2жп

, T =

3ж 2

+ 2жп

п = 0,1,2,...,

о

о

о

о

Ж +2 + 2 дг = 2ж + 2Ш1 , дг = ^ + дг = 2 + дг = Т + ^ , n = 0,1,2,.... со а а а

При рассмотренных значениях Т и ДТ, и соотношении частот и

С

— = ——,С = 1,± 1 - нечетноечисло, к = 2,4,6,..., 5 = 1,2,3,... к

1 ( 2s ± 11 ( 45 ± 11 ( 6s ± 11

—0=—— —0=1—-——,—0=1—-——,—0=1—g——,..., s = 1,2,3,... возможны

периодические колебания с периодами Т = Т + дТ,

Т, = 2(т + дТ) Т = 4(т + дТ),Т = 8(т + дТ),Т = к(Т + дТ), Т = к(Т + дТ) Т = 2к(т + дТ)

, Т = 4к (т + дТ ) ,а также колебания с нарастающей амплитудой.

С

При соотношении частот и — =—— С = 1, ks ± 1, к = 3,5,7,..., s = 1,2,3,...

к

1 ( 3s ± 1 1 ( 5s ± 1 1 ( 7s ± 1 1

— = £®,®° =1—3—=1—^——,—о =1—~—С,..., s = 1,2,3,... возможны

периодические колебания с периодами Т = Т + дТ,

т, = 2(т + дт ) т = 4(т + дт ), т = к (т + дт ) т = 2к (т + дт ), т = 4к (т + дт ) ,а также колебания с нарастающей амплитудой.

Например, при Т = —, дТ = ,—0 = —, амплитуда колебаний нарастает

а а 6

(http://osciltheory.ucoz.com/, «Гармонические импульсы 3»).

Зависимость смещения от времени в q интервалах (свободные колебания) имеет вид

xq (t )

■ ( \ г* qv3f0— 1 / \

--г—2-л 81п(а0t)+ ат+ --г—-- cos(—0t).

у— 0 2 ш— (а0 - — )j ^ 2 ш— (а0 -а

'(— - — ) ' 2ш—0—^

находится в состоянии покоя в соответствующем q интервале (рис. 2а.

При начальных условияхv0 =——л, Дх =--, 0—^, осциллятор

2ш(—0 -— ) 2Ш—(—0 - — )

^0 =

Р0а

ш(а>1 -а2)'

ах = -

л/310 а

ша0{а>1 -а2)

Я = 2 ).

Зависимость смещения от времени в р интервалах (вынужденные колебания)

х (I)= Я

0

(р+1) V

а 2 2 V 0 220 (а0-а „

Ах+-

( р

V

22 2ша I а -а

V Ч 0 и

С08( а ^ t)+

1 б1п| а 11

(р-1)Тр))

22

ш( -

При начальных условиях =

(р +1)^0

СО

ах = -

(р - ^

со

2ш(аI - а2)' 2ш а0(а£ - а2)

осциллятор

совершает колебания с частотой вынуждающей силы в соответствующем

ринтервале (рис. 2б, = /21° а ах = -

ш(аI - а 2)'

л/310 а

ша0(а2 - а2)

, р = 3 ).

Рисунок 2. Осциллятор неподвижен в я = 2, совершает колебания с частотой вынуждающей силы в р = 3

В случае периодических колебаний, существуют начальные условия, при которых маятник совершает колебания с частотой внешней силы в заданных р или находится в состоянии покоя в заданных я интервалах. Сдвиг фаз между колебаниями в соседних р ( я ) интервалах, при указанных начальных условиях,

4ж

2п

равен Ар = а0 (Т + АТ).При Т = —,АТ = —, а0=аа, период колебаний

со

со

Тр = 2(Т + аТ) =. При начальных условиях = —/1 а ах = 0 колебания

а шцо 0 - а )

выполняются с частотой внешней силы в р = 1,3,5,... интервалах (рис. 3а), при

уо =--т~г~—г\, ах =--—- в р = 2,4,6,...интервалах (рис. 3б). Сдвиг

2ш(а0 - а ) 2ш а0(а0 - а )

фаз между колебания осцилляторов, с приведенными выше начальными условиями, равен Ар = а 0 (Т + АТ).

Рисунок 3. Колебания с частотой внешней силы в р = 1,3,5,... и р = 2,4,6,...

т-т 3К а со

При начальных условиях =---г—^—гл, ах =--г-\--г осциллятор

2ш(а0 - а ) 2ш а0(а0 - а )

неподвижен в я = 1,3,5,... интервалах (рис. 4а), при нулевых начальных условиях

— в я = 2,4,6,... интервалах (рис. 4б).

Рисунок 4. Осциллятор неподвижен в я = 1,3,5,. .. и я = 2,4,6,. ..

При Т = —,аТ = — ,а0= — , период колебаний Т = 6(Т + аТ) =

л

—

12л

— — 6 — Существуют начальные фазы (начальные условия), при которых осциллятор совершает колебания с частотой вынуждающей силы в р

интервалах. Например, при

Р—

У0 = Г~2 п' т—0 -— )

Ах = 0 колебания выполняются с

частотой внешней силы в р = 1,7,13,... интервалах (рис. 5а), при

V) = -

(з + ^I, Ах = 1'о0— + ^) — в р = 2,8,14'... интервалах (рис. 5б), 2т(— 0 -— ) 2т— (—0 -— )

Рисунок 5. Колебания с частотой внешней силы в р = 1,7,13,... и р = 2,8,14,.

При у0 =--

2

ах = ■

д = 1,7,13,... (рис. 6а), при д = 2,8,14,... интервалах (рис. 6б).

(—2 -—2) ' 2т—{—I - —2)

F0—(з + УЗ)

осциллятор неподвижен в

Ах = ^(3 + 73) ^

2т(— 2 - —2)' 2т—0(—2 - —2)

в

Рисунок 6. Осциллятор неподвижен в я = 1,7,13,...и я = 2,8,14,.

При Т = —, аТ = —, а0 = а, период равен ТР = 6(Т + аТ) = —. а а 6 а

Существуют начальные условия, при которых осциллятор совершает

колебания с частотой вынуждающей силы в р интервалах. В частности, при

10а г(а0 - а 2)'

^ =—ГТ—Г\, Ах = 0 в р = 1,7,13,... интервалах колебания выполняются с

~ ~ , П \ К0 а . К0 а 73

частотой внешней силы (рис. 7а), при = —-¡—^—гл, ах =----г — в

ш(а 0 - а ) ш а Да 0 - а )

р = 2,8,14,... интервалах (рис. 7б).

*(0

а)

б) ^

Рисунок 7. Колебания с частотой внешней силы в р = 1,7,13,... и р = 2,8,14,.

Аналогично можно определить начальные условия, при которых маятник будет неподвижен в любых заданных я интервалах. Например, при

= —

10а

ах = -

К а л/3

2ш(а2 - а2)' 2ш а0(а2 - а2)

в я = 1,7,13,... интервалах осциллятор

неподвижен (рис. 8а). При = 0, ах = -

(рис. 8б).

К а л/3

ш а 0(а 2 - а 2)

в я = 2,8,14,... интервалах

хт

х(£)

НЧ^ННг-М^

И4 К^^лН-Н^

б) - ?

Рисунок 8. Осциллятор неподвижен в д = 1,7,13,. .. и д = 2,8,14,. ..

л _ 5л 5—

При Т = —, аТ =——0 = — ,период колебаний равен Тр = 12(Т + аТ) =

— 2— 3

42л

—

При

—

=

2т—

3F„— с

9-—гг, ах =-7—0-гг, осциллятор неподвижен в в

2 -2' °.....'-2 - —

), 2т— (—2 - —2)

(3 + У3 )р0—

д = 1,13,25,... интервалах (рис. 9а). При у0 =

д = 2,14,26,... интервалах (рис. 9б).

2т—

(3 + У3 )F0—

ах = к ; ,,

2 "2) 2т—[—1 -—2)

в

Рисунок 9. Осциллятор неподвижен в д = 1,13,25,. .. и д = 2,14,26,...

При У0 =

F„—

о = 1 , Ах = 0 колебания выполняются с частотой внешней

силы

т(—2 - —2)' в р = 1,13,25,... интервалах

(рис. 10а),

При

V«=-М3к; А=

0 2т—2 - —2)' 2т—(—1 -—2)

+ ^3 ^ ах = (1 + У3^ V, — в р = 2,14,26,... интервалах (рис. 10б).

Можно определить начальные условия, при которых маятник будет неподвижен в любом наперед заданном # интервале или двигаться под действием внешней силы в р. интервале.

Рисунок 10. Колебания с частотой внешней силы в р = 1,13,25,... и р = 2,14,26,...

Явление нелинейных волн может быть феноменологически описано как вынужденные колебания совокупности несвязанных линейных осцилляторов, с модулированной начальной фазой, т. е. с начальными условиями, которые задают колебания с частотой вынуждающей силы в последовательных р. интервалах и состояние покоя в последовательных # интервалах.

На рис. 11 представлен профиль волны, составленной из осцилляторов с

/ т Л цгг Л — \

заданными начальными условиями,( Т = —, лТ = — ,— =- ) в моменты времени

— — 6

г = 0 (рис. 11а), г = т + ЛТ, (рис.11б), г = 2(Т + аТ), (рис. 11в). Темные кружки соответствуют осцилляторам, траектория колебаний которых показана на рис. 5, светлые — на рис. 6. На рис. 12 представлен профиль волны, составленной из осцилляторов с заданными начальными условиями

2 тс 8 тс со

(Т =—, лТ = ——0 = —), в моменты времени г = 0, (рис.12а), г = т + АТ, — — 6

(рис. 12б), г = 2(Т + лТ), (рис. 12в). Темные кружки соответствуют

осцилляторам, траектория колебаний которых показана на рис. 7, светлые — на рис. 8.

Рисунок 11. Профиль волны, составленной из осцилляторов

Рисунок 12. Профиль волны, составленной из осцилляторов

На рис. 13 представлен профиль волны, составленной из осцилляторов, с

л 5л 5—ч

заданными начальными условиями (Т = —, аТ = —= —) в моменты времени

— 2—3

г = 0, (рис. 13а), г = Т + аТ, (рис. 13б), г = 2(Т + аТ), (рис. 13в), Темные кружки соответствуют осцилляторам, траектория колебаний которых показана на рис. 9, светлые — на рис. 10.

Э^ОО^ООоз

Рисунок 13. профиль волны, составленной из осцилляторов

Анимация колебаний приведена на сайте http://osciltheory.ucoz.com/. Проведенное исследование показало, что при действии гармонических периодических импульсов на линейный осциллятор, при определенных соотношениях между временными интервала и частотами, возможен как режим нарастания амплитуды, так и периодических колебаний. Существуют начальные условия (начальная фаза), при которых осциллятор будет неподвижен в интервале между силовыми воздействиями или совершать колебания с частотой внешней силы в интервале действия силы. Явление нелинейных волн может быть феноменологически описано как вынужденные колебания совокупности несвязанных линейных осцилляторов, с модулированной начальной фазой.

Следует отметить, что вынужденные колебания линейных осцилляторов под действием внешних периодических импульсов постоянной или линейной нарастающих силы, также имеют или периодический характер, или амплитуда колебаний нарастает [1, а 3] (http://osciltheory.ucoz.com/).

Список литературы:

1. Гетманова Е.Е. Колебания гармонического осциллятора под действием импульсов силы // Сборник научных трудов «SWorld». —т. 11, 2013.

2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний, M.: Наука,

1991, — 255 а