Особенности выбора прикладных задач по высшей математике для студентов электроэнергетического факультета Текст научной статьи по специальности «Математика»



ОСОБЕННОСТИ ВЫБОРА ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

Кабина Ирина Викторовна, Золотых Наталья Владимировна, Нестеренко Дина Ивановна, ФГБОУ ВО "Волгоградский государственный аграрный университет", г. Волгоград

E-mail: kadina. irina. 78@mail. ru

Аннотация. Существуют особые задачи прикладного характера, которые необходимо рассмотреть со студентами-электриками. Применений • комплексных чисел в теории переменного тока, при векторном анализе в механике, в аэро- и гидродинамике.

Ключевые слова: комплексные числа, векторная диаграмма,

действующее значение переменного тока, комплексный ток.

При планировании развития, проектировании и управлении режимами электроэнергетических систем (ЭЭС) необходимо решать круг технических и технико-экономических задач, которые имеют аналитический и расчетный характер. Задачи электроэнергетики достаточно сложны, что обусловлено: а) сложностью ЭЭС; б) высокой скоростью и взаимосвязью процессов, протекающих в различных элементах системы в нормальных и аварийных режимах; в) обеспечением надежной работы при различных авариях. Как следствие, решаемые задачи электроэнергетики являются многофункциональными, зависящими от многих параметров, громоздкими, требующими сложных и объемных расчетов. По этой причине электроэнергетика является одной из отраслей народного хозяйства, где нашло широкое применение знание различных разделов высшей математики.

Комплексные числа - один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника». Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив

35

о

УНИКАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ XXI ВЕКА

графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

Синусоидальный ток * = im sin(® t + ц/) (рис. 1) можно рассматривать как

мнимую часть комплекснозначной функции / „ е 'с<0 '+ w } , т.е. ' = 1т(/)

Поэтому его представляют проекцией вращающегося вектора 1 т е ,(а ,+ w ^ на мнимую ось j в момент времени t = 0 (рис. 2).

о

у ^ gJivi+v)

cot +ф

X

Рис. 1

Рис. 2

О

Именно таким образом получают так называемую векторную диаграмму, представляющую собой изображение на комплексной плоскости синусоидально изменяющихся во времени векторов одной и той же частоты, построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга.

Рис. 3

Рассмотрим практическую задачу.

Дан колебательный контур (рис. 3), для которого известны ЭДС е = и\sin(cot) В, сопротивления R1 = ЗОм, R2 = 20м, индуктивность L = 0,00955 Ей,

частота о =314с ' . Определить комплекс действующего значения ЭДС, тока и напряжения на элементах цепи.

36

о

о

УНИКАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ XXI ВЕКА

По второму закону Кирхгофа,

di

(Ri + R2)i+L— = e . Тогда уравнение

dt

в

uRl +uR2 +ul = <? . Следовательно, комплексах будет иметь вид:

(Rl + R2)l+ jLal = Е , Откуда /=-

—-------, где / - комплексное сопротивление,

RI + R2 + jLco

равное Z-R\ + R2 + jLco-3 + 2 + j ■ 0,00955 • 314 « 5 + 3j

Найдем модуль и аргумент комплексного числа Z: \ z | = з/52 +32 =л/34~ 5,82 _

3 О уо 1 0

argZ =arctg-«31 . Окончательно имеем: z = 5,82e_-Hi . Тогда комплексы

действующего значения ЭДС, действующего значения тока и комплексы напряжений на элементах пени равны соответственно:

о

^ , ,, 'Т_Е _ 99,7

£ = 997 В; -z“ _/310

л/2 Л 5,82е

— 17,13е J31 А:

о

• • _ уо 1 0 • • _ уо 1 0

URX = IR1 = 51,39е В; U R2 =IR 2 = 34,26е В;

UL = jLcoI = у - 0,00955 - 314 - 17,13е— J3^° =51,37е^59° В. Векторная диаграмма изображена на рис. 4.

Рис. 4

При изучении темы «Дифференциальные уравнения», следует рассмотреть уравнения математической физики, применимые при исследовании ряда физических явлений.

37

о

УНИКАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ XXI ВЕКА

При составлении обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с физическим содержанием чаще всего применяется метод дифференциалов, когда приближенные отношения между малыми отношениями величин заменяются отношениями их дифференциалов, или используется физический смысл производной как скорости протекания процесса.

Применение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка для анализа линейной стационарной цепи. Целью анализа линейной стационарной цепи (ЛСЦ) является нахождение уравнения, называемого основным соотношением ЛСЦ, которое связывает выходное напряжение

ивых (/) с входным напряжением uex(t).

Для произвольной ЛСЦ основное соотношение будет выражаться линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка, причем порядок дифференциального уравнения равен количеству индуктивностей и конденсаторов в цепи.

При нахождении решения данного дифференциального уравнения вначале необходимо решить соответствующее линейное однородное уравнение. Нуль в правой части уравнения означает, что входное напряжение на некотором

интервале времени t > А равно нулю.

Таким образом, с момента t = /q (отключения источника входного

напряжения) происходит релаксация накопленной энергии, которая проявляется в виде затухающего колебания, возникающего в цепи. Это колебание в виде зависимости ueblx(t) называется собственной реакцией цепи.

Рассмотрим практическую задачу. Решить задачу Коши

d u(t) _ 2^ du(t) _ = q ^ и(0)=0 , где g - коэффициент затухания, cdq -

>2г

dt2 ' dt

резонансная частота.

Составим характеристическое уравнение s2 - 2ys - coq2 =0 и определим

, • Г2 2

его корни ^12=-у ± J-^coq - у

38

о

Таким образом, общее решение можно записать в виде:

и

(0 = Cle

-yt

cos

-

y2t

+ sin

-

+

cos| yfcoо - у - sin^<»o _ Г2t

-\

+ C2e-r*

Исходя из начального условия и положив Um = 2С\ , получим, что

Л

и

J

f I-------

С2 = ~С\ . Следовательно, u(t)=Ume~r sin - ylt

V ,

При у < 0 колебания являются нарастающими по амплитуде; в случае у > 0 на выходе генератора будет экспоненциально затухающее колебание, при

= 0 - гармоническое колебание u{t) = Umsin{o)Qt)

У — \j - 1 ajjiviun и чс^лис imjj icucin и с чу J ~ ^ т amyu/Q

q Аналогичным образом, можно подобрать конкретные практические задачи 9

по каждому разделу математики.

Литература:

1. Андреева, И.М. Комплексные числа и их применение в электротехнике / И.М. Андреева, Н.Д. Василевич, Л.А. Хвощинская. - Ми.: БГАТУ, 2002. - 30с.

2. Быстров, Ю.А. Электронные цепи и микросхмотематика: учебник / Ю.А. Быстров, И.Г. Мироненко. - М.: Высш. Шк., 2004. - 384с.

3. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Том 1-3: учебник / В.И. Смирнов - С. -Пет.: БХВ-Петербург, 2008. - 564с.

39

о