CC BY
56
УДК 004.93
Федотов Н.Г., Сёмов А.А.
ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия
ОСОБЕННОСТИ СКАНИРОВАНИЯ 3D ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО СЛОЖНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ
Введение
Круг смежных задач, возникающих при распознавании сложных 2Б и 3Б изображений, необычайно широк: уменьшение зашумлённости, фильтрация, выделение признаков, эффективное кодирование [1]. Для решения этих и других задач, как правило, необходим этап преобразования двумерного информационного массива в одномерный путём построчного или постолбцового сканирования изображения. Это связано с тем, что используются методы, хорошо развитые в технике связи для обработки одномерных временных сигналов, а также с последовательным принципом действия современных компьютеров, линейной адресацией их памяти.
Однако, простейшие способы построчной развертки 2Б изображения, как и различные проекции 3Б изображения [2], не могут быть достаточно эффективными, т.к. не учитывают характерные особенности изображения как одного целого, двух- или трехмерный характер статистических связей, наличие однородных областей и т.п.
Современная технология, а также элементная база (интегральные схемы, микропроцессоры) позволяют без особых затруднений реализовать сканирование любой сложности и траектории [3].
О перспективности таких сложных развёрток свидетельствуют и антропоморфные характеристики процесса распознавания. Согласно результатам [4], при распознавании сложных 2Б и 3Б изображений человеческих взгляд перемещается по сложной траектории со случайными параметрами.
Как было уже показано в [5] в ряде случаев при определенной форме сканирующей кривой в плоскости сечений (например, двухзвенная ломан-
ная с прямым углом между звеньями) возрастает точность измерения параметров 3Б объекта и повышается надежность распознавания. Сканировании 3Б изображений по сложным траекториям будет особенно полезно в тех случаях, когда исходное изображение имеет очень сложную структуру и высокую зашумленность, например, как в задачах геологии.
Сканирование прямыми и плоскостями
Сканирование исходного пространственного объекта ¥ осуществляется сеткой параллельных плоскостей с расстоянием Дг между плоскостями и под разными углами обзора (о, ф) объекта со всех сторон [6]. Взаимное положение 3D объекта ¥ и каждой сканирующей параллельной плоскости
г) , где Ш,ф,Г - сферические координаты и г] = [соъф- ъЪпт^тф- - единичный вектор в В3, характеризуются числом О по правилу НурегТ: О = НурегТ^ Г\ В(г){со,ф\г)) . В качестве указанной характеристики могут выступать периметр сечения, число пересечений плоскости с исходным объектом, разница между признаками окрестных сечений и т. п. (рис. 1).
После перебора различных вариантов пар углов (о, ф) , в результате множество чисел О сформирует гипертрейс-матрицу ЭТИ, у которой ось 0о будет направлена горизонтально, ось 0ф - вертикально, ось 0г - вглубь. После формирования матрицы ЭТИ с помощью гиперфункционала НурегР (например, максимальный элемент строки) обрабатываются ее глубинные строки. В результате данная матрица становится двумерной.
Рисунок 1 Сканирования ЗЕ> объекта плоскостями (слева) и одно из его сечений (справа)
Таким образом, признак 3D изображения получается после обработки строк и столбцов матрицы 3TM гиперфункционалами Hyper&, HyperQ и HyperP. Гипертриплетный признак имеет следующую композиционную структуру [7]:
Res (F) = Hyper© " HyperÇl » HyperP о HyperT (Fsect )
Сканирование получаемых в сечение фигур Fsect осуществляется сеткой параллельных прямых
l(в,р) с расстоянием Ар между линиями под всеми углами наклона прямых в в плоскости сечения [8], где в,р - полярные координаты прямой в плоскости сечения (рис. 2). Взаимное положение изображения Fsect и каждой сканирующей линии l(в,р) характеризуется числом, вычисляемым по
правилу Т: g(0,p) = T(Fsect С\1(в,р)) ■
После перебора различных углов в формируется трейс-матрица ТМ. Триплетный признак сечения получается после обработки строк и столбцов матрицы ТИ функционалами в и Р, каждый из которых последовательно сокращает размерность матрицы на единицу (аналогично признаку 3Б изображения).
Таким образом, признак 2Б сечения имеет следующую структуру [9]:
П(Р8ей) = НурегТ(Ри1) = 0оР.ТП 1{в,р)) _
Однако в гипертрейс преобразовании сканирование 3Б объекта можно осуществлять не только плоскостями, а сечения - не только прямыми. Поэтому есть необходимость отдельно рассмотреть как плоские, так и пространственные инструменты сканирования - сканирование по сложным траекториям 2D и 3D изображений соответственно.
Рисунок 2 Процесс сканирования 2Б фигуры сечения сеткой параллельных прямых
Плоские инструменты сканирования Известно, что мера множества прямых, пересекающих ограниченное выпуклое множество ¥ равна
[10]
M(g:gf]F *0)= JJ dPAdO = L
gf]F*№
(1)
И(К-,К П к0 * 0) = JJ„, cIK = 4 ■ /,. ■ i0
(6)
где Ь - длина границы множества ¥ (его периметр), 9 и р - полярные координаты прямой в плоскости и интегрирование распространяется на все прямые д, имеющие с множеством ¥ общие точки.
Рассмотри некоторую область 0 площадью Б, сканируемую случайными прямыми. Умножим обе части уравнения, описывающего плотность множества прямых в нормальных координатах:
dg = йрл йв , на длину хорды Ь, которая является частью прямой д, лежащей внутри границы 0. Проинтегрируем полученное уравнение по всем прямым д, пересекающим область 0:
л р
оо £2)
В книге [5] было показано, что мера множества ориентированных отрезков К длиной 1 ориентированных прямых д*, пересекающих выпуклое множество К0 с площадью Б0 и периметром Ь0 равна:
/и(КЛ П К0 * 0) = || лЛ =
КГ\К0ле
1-а
= Л = 2- || (h+l)dg
т.к. любая ориентированная прямая является базовой для двух неориентированных прямых.
Учитывая формулы (1), (2) и (3), получаем, что:
/и(А";А"ПА"о/0) = 2- _[[ (/г +/)о£ = 2-+2-1 -Ь0
(4)
Рассмотрим вырожденный случай, когда выпуклое множество К0 представляет собой отрезок длины 10. Периметр такого множества тогда станет равным 2-10, а площадь будет равна 0. Применяя вышеприведенную формулу (4) для данного случая, получаем меру (при использовании одного отрезка)
М(К:КПКОФ0) = 4/Хо (г)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда объекты представляют собой ломанную линию Г0 длиной Ь0, а подвижная кривая, случайным образом брошенная на плоскость и пересекающая объект, также есть некоторая ш-звенная ломанная Г1 длиной Ь1.
Лемма. Мера данных сканирующих ломанных линий равна JJпйК = 4 ■ Ь ■ Ь0 , где п - общее число
точек пересечения ломанных Г0 и Г1, а интегрирование введется по всем возможным положениям кривой Г1.
Доказательство. На основании формулы (5) для одного 1-го звена ломанной Г0 мы имеем
где ni - число пересечения звена li с ломанной Г0, т.к. каждый отрезок прямой нужно считать столько раз, сколько он имеет точек пересечения с кривой Г!. Складывая такие формулы для всех звеньев ломанной и учитывая, что
m
^ ni = n , приходим к выводу, что JJ ndK = 4 ■ L ■ L0 ■ i=1
Лемма доказана. При этом стоит отметить, что возможность сложения предшествующих формул для каждого звена следует из того, что на основании свойства инваринтности кинематической меры
dK = dр AdO относительно выбора подвижной системы координат, мы можем выбрать одну и ту же систему координат для всех звеньев li (i = 1r 2, .., m) .
Рассмотрим теперь пересечение объекта со случайными кривыми. Покажем, что формула (5) носит универсальный характер и применима к кривым более общего класса, чем ломанные линии. Предположим, что имеется некоторая фиксированная спрямляемая кривая Г0, имеющая конечную длину L0r образованная конечным числом дуг, имеющих касательную в каждой точке. Будем полагать, что в некоторой системе координат (O, x, y) она определяется уравнениями x = x(C0) и
y = y(C0) , где параметр C0 является длиной дуги
кривой Г0. Через Г1 обозначим подвижную спрямляемую кривую, задаваемую в подвижной системе координат (A, x, y) уравнениями X = X (C¡) и
Y = Y(C) , где параметр C1 является длиной дуги кривой Г1.
Теорема. Мера сканирующих кривых линий Г1 равна JJndK = 4 ■ L ■ L0 , где интегрирование распространяется на все возможные положения кривой Г1 , а n - число точек пересечения сканирующей кривой Г1 с объектом Г0.
Доказательство. Для анализа пересечения введем следующую форму кинематической плотности: dK = |sin dC0AdC1A dy
Из (7) следует, что вероятность того, что угол между кривой Г0 и случайной кривой Г1 в
любой точке их пересечения лежит между J и y + dy (0 <у<ж) и равна 0.5siny ■ dy , причем среднее значение угла My = ж/2 .
Проинтегрируем правую часть равенства (7) по всем переменным С0,С,y :
L L 2ж
JJJ |siny| ■ dC0 a dC1 a dy = J dC0 J dC1 J sin y dy = 4 ■ L0 ■ L1
Г1ПГ0 o o o
(8)
При интегрировании левой части каждое положение кривой Г1 учитывается столько раз, сколько она имеет точек пересечения с объектом Г0. Поэтому
JJJ dK = \\ndK
fiiTo
K* = S (/?)■ dxлdy л dp
K
(9)
Из (8) и (9) следует требуемое равенство. Теорема доказана.
Из результатов данной теоремы следует, что сканирование по сложным траекториям имеет меру, на основе которой мы можем вычислить геометрические вероятности областей пересечений исходной 2Б фигуры и сканирующего элемента.
Таким образом, при определенных условиях сканирование по сложным траекториям может сохраняет в плоскости свойства инвариантности признаков к повороту и переносу 2Б изображений, полученных как сечения 3Б изображения сеткой параллельной секущих плоскостей.
В заключении данного раздела, стоит отметить одну теоретическую проблему, возникающую при проектировании распознающих систем со сканированием по случайным криволинейным траекториям. Легко осуществить равномерное распределение сдвигов сканирующих кривых. Однако это означает, что в таких случаях мы применяем в системе неравномерное случайное распределение кривых, ибо для равномерного распределения кривых на сетчатке необходимы одинаковые веса для координат любой точки X, связанной с кривой, и для любого угла ориентации кривых. В этом случае, кинематическая плотность, имеющая свойства инвариантности только относительно сдвигов кривы::, примет вид:
С помощью формулы (10) можно вычислить геометрические вероятности, служащие признаками распознавания, для таких неравномерно распределенных кривых. В целом, однако, работа с криволинейными развертками сопряжена с возрастанием геометрических трудностей и вычислительной сложности алгоритмов распознавания.
Пространственные инструменты сканирования
Ввиду того, что математика для пространственного случая заметно сложней и объемней в данной статье она приводится не будет. Отметим лишь некоторые основные свойства пространственных инструментов сканирования.
Для 3Б трейс-преобразования инвариантность к переносу достигалась благодаря свойству сетки параллельных плоскостей. Так, перемещение исходного 3D объекта не изменит формы получаемых сканирующими плоскостями сечений в виду того, что сканирование осуществляется сеткой параллельных плоскостей (исключая дискретный шаг сканирования). Поэтому, чтобы добиться инвариантности к переносу для произвольных пространственных поверхностей необходимо, чтобы они имели периодическую структуру (рис. 3) . При этом длиной периода для таких двумерных функций должна быть небольшой, гораздо меньшей размеров исходного 3D объекта, чтобы уменьшить ошибку вычислений признака, связанную с дискретным шагом сканирования.
Рисунок 3 Пример сканирования 3Б объекта пространственными поверхностями: слева параллельно расположенные сканирующие поверхности под одним углом обзора, справа - сканирование 3Б ракушки
одной криволинейной поверхностью
Инвариантность признаков к повороту в 3D трейс-преобразовании достигается благодаря построении опорной равномерной сетки на сфере. И чем больше количество узлов в ней, чем меньше нужен шаг угла для совмещении сетки саму в себя и меньше уровень колебания признака, вызванного дискретным шагом сканирования.
Поэтому, в целях выполнения свойства инвариантности к повороту признаков для произвольных пространственных поверхностей необходимо также построении опорной равномерной сетки на сфере, где одному узлу сетки будет соответствовать множество параллельных сканирующих пространственных двумерных поверхностей. При этом построении сетки не зависит от формы сканирующих пространственных поверхностей.
Способы построения инвариантных признаков к масштабу в 3D трейс-преобразовании описаны в [11]. Один из них, например, заключается в использовании функционалов Hyper© определенного типа, входящих в композиционную структуру признака Res. Так, используя отношение
n ■ Hyper© (G(ff))
n
X Hyper© (G(0)i )
получаемые признаки будут об-
ладать свойством инвариантности к масштабированию исходного пространственного объекта.
Т.к. данный прием формирования признака, обладающего нужным свойством по отношению к масштабированию, не зависит от способа сканирования 3D объекта (используется функционал
Hyper© обработки результатов сканирования, а
не функционал Т или HyperT, дающий результаты сканирования), то при использовании любого пространственного инструмента сканирования поверхностью вычисляемый признак будет обладать свойством инвариантности к масштабированию.
В завершении данного раздела стоит отметить ещё один момент. В виду того, что результат сканирования пространственными поверхностями после будет сканироваться двумерными криволинейными траекториями, то с учетом всего вышесказанного целесообразно в качестве пространственного инструмента использовать плоскости [12]. Это соображение подкрепляется также возрастающей вычислительной трудности, которая будет сопутствовать 2D сканирование 2D изображений, находящихся на криволинейных поверхностях. Кроме того, необходим детальный анализ меры инвариантности к повороту для пространственных криволинейных инструментов сканирования, чтобы их плотность в пространстве была равномерной (аналогично замечанию в предыдущем разделе для двумерных плоских траекторий сканирования).
Заключение. Сканирование случайными областями по криволинейным траекториям несложно реали-
i=1
зовать в памяти распознающей системы, осуществляя, например, опрос по определенной программе входной рецептивной матрицы, на которую заносится изображение объекта. Вместо сканирования случайными областями при распознавания изображений объектов можно рассматривать свойства их пересечения с периодическими структурами (решетками), представляющими собой множества конгруэнтных областей, расположенных на плоскости без пересечения [13-14]. Исследовании свойств их пересечений с изображениями объектов дает возможность построить на этой основе алгоритмы выделения признаков распознавания, инвариантных относительно поворотов и переносов изображения.
Один из вариантов технической реализации этого подхода заключается в применении специальных дискретных оптических фильтров со случайными параметрами, с помощью которых формиру-
ется дискретная случайная сетчатка, в отличие от непрерывной сетчатки предшествующих систем (роль которой выполняла сканируемая часть плоскости изображения). Такие оптические фильтры, выполняя функцию оптического процессора, позволяют освободить систему от части вычислений при обработки распознаваемого 2Б изображения и, тем самым, упростить ее архитектуру.
Примеры таких фильтров с описанием и результатами применения можно найти в [5 , с. 287290]. Т.к. данные фильтры поддерживают анализ плоской структуры изображения, то с использованием вращающего устройства со лазерным сканером возможен анализ пространственных изображений, где получаемые 2Б сечения 3Б объектов будут анализироваться данным фильтром.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект №15-07-04484).
ЛИТЕРАТУРА
1. Сорокин С.В. Возможности медианной фильтрации при решении задачи повышения качества изображений / Надежность и качество: труды Международного симпозиума, под ред. Н.К. Юркова. - Пенза, Изд-во ПГУ. - 2014. - Т. 2. - с. 1-2.
2. Садыков С.С., Терехин А.В. Экспериментальное исследование алгоритмов распознавания бинарных изображений на тестовых проекциях трёхмерных объектов // Надежность и качество сложных систем, 2014 - №4 (8). - с. 48-52
3. Юрков Н.К. Концепция синтеза сложных наукоемких изделий / Надежность и качество: труды Международного симпозиума, под ред. Н.К. Юркова. - Пенза, Изд-во ПГУ. - 2012. - Т. 1. - С. 3-5.
4. Садыков С.С., Савичева С.В., Гранченко Д.П. Алгоритм определения типа поля зрения видеодатчика / Надежность и качество: труды Международного симпозиума, под ред. Н.К. Юркова. - Пенза, Изд-во ПГУ. - 2012. - Т. 2. - с. 27-28.
5. Федотов Н.Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 304 с.
6. Семов А.А. Роль гиперфункционалов в гипертрейс преобразовании и повышение надежности распознавания 3D объектов // Надежность и качество: труды Международного симпозиума, Т. 1. - Пенза: Изд-во ПГУ.- 2014. - С. 393-396.
7. Fedotov N.G., Ryndina S.V., Syemov А.А. Trace transform of three-dimensional objects: recognition, analysis and database search // Pattern Recognition and Image Analysis. Advances in Mathematical Theory and Applications, 2014. V. 24. № 4. P. 566-574.
8. Fedotov N.G., Shulga L.A. New Ways to Form Features for Pattern Recognition on the Basis of Stochastic Geometry // 12th Scandinavian Conf. on Image Analysis. - Vol. I-II. - Bergen (Norway).
- 2001. - Р. 373-380.
9. Fedotov N.G. The Theory of Image-Recognition Features Based on Stochastic Geometry // Pattern Recognition and Image Analysis. Advances in Mathematical Theory and Applications. - 1998. -V. 8, № 2. - P. 264-266.
10. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрическая вероятность. - М.: Наука, 1983. - 360
с.
11. Fedotov N.G., Ryndina S.V., Syemov А.А. Trace transform of spatial images / 11th International conference on Pattern Recognition and Image Analasis: New Information technologies (PRIA-11-2013). Samara, September 23-28, 2013. Conference Proceedings (Vol. I-II). - Samara: IPSI RAS.
- 2013. - Vol. 1. - P. 186-189.
12. Fedotov Nikolay, Syemov Aleksey, Moiseev Alexander INTELLIGENT CAPABILITIES HYPERTRACE TRANSFORM: CONSTRUCTING FEATURES WITH PREDETERMINED PROPERTIES / International conference "Intelligent Information Processing" IIP-10: theses of reports of the 10th international conference. Greece, Crete, Hersonissos. M.: Torus Press, 2014. P. 111.
13. Fedotov N.G., Mokshanina D.A. Recognition of halftone textures from the standpoint of stochastic geometry and functional analysis // Pattern Recognition and Image Analysis, Advances in Mathematical Theory and Applications. - 2010. - Vol. 20. - № 4. - P. 551-556.
14. Fedotov N.G., Mokshanina D.A. Recognition of images with complex half-tone texture // Measurement Techniques. - 2011. - Vol. 53. - № 11. - P. 1226-1232.
УДК 519.713 Твердохлебов В.А.
Институт проблем точной механики и управления РАН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В КОНТРОЛЕ И ДИАГНОСТИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
1. Введение.
Задачи контроля и диагностирования процессов функционирования сложных систем образуют самостоятельный класс задач, при решении которых используются еще недостаточно разработанные модели процессов, требуется совмещение строгих алгоритмов и неформальных описаний свойств процессов, средства контроля и диагностирования имеют большую изоляцию их воздействий от управления системой по целевому предназначению системы. В связи с этими и другими особенностями задач контроля и диагностирования сложных систем разработка моделей и методов для решения задач является актуальной и требует поиска новых подходов, основных положений и базирующихся на них моделей и методов. В работе [1] рассматривается один из вариантов представления про-
цесса функционирования сложной человеко-машинной системы (СЧМС) взаимосвязями и взаимодействиями процессов из следующих классов процессов: класса Р1 командно-информационных управляющих процессов, предназначенных для управления всеми процессами различной природы, которыми реализуется процесс функционирования СЧМС в ее целевом предназначении; класса Р2 процессов действий человеческих звеньев (экипажей, операторов, диспетчеров и других работников); класса Р3 процессов функционирования техники и оборудования; класса Р4 процессов энергообеспечения (электричеством, топливом и др.); класса Р5 процессов обеспечения СЧМС в соответствии с ее целевым предназначением (пассажирами, потребителями, грузами, комплектующими, спецоборудованием и т.д.); класса Р6 процессов
