CC BY
53
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
1
УДК 62 -501.12
ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕГУЛИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пугачев Василий Иванович к.т.н., доцент
Петриченко Виктория Гурьяновна студент магистратуры кафедры АПП Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
В статье показаны основные проблемы, с которыми сталкиваются специалисты по управлению при синтезе цифровых систем стабилизации параметров технологических процессов. Приведены конкретные примеры оптимизации параметров регулятора, получения дискретных моделей цифровых устройств, дан сравнительный анализ непрерывной и цифровой систем
Ключевые слова: ДИСКРЕТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ, ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ, ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ, ОБЪЕКТ, РЕГУЛЯТОР, СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
UDC 631.36-52
PECULIARITIES OF SYNTHESIS OF DIGITAL STABILIZATION SYSTEMS OF CONTROLLED VALUES
Pugachev Vasily Ivanovich Cand.Tech.Sci., associate professor
Petrichenko Victoria Guryanovna student of the magistracy of the chair of APP Kuban State University of Technology, Krasnodar, Russia
In the article, the basic problems which experts in management at synthesis of digital systems of stabilization of parameters of technological processes face are shown. The exact samples of optimization of parameters of a regulator and reception of discrete models of digital devices are resulted; the comparative analysis of continuous and digital systems is given
Keywords: DISCRETE TRANSFER, TRANSITIVE FUNCTION, DIGITAL MODEL, OBJECT, REGULATOR, CONTROL SYSTEM
Основную часть промышленных систем управления в настоящее время составляют цифровые системы. Их специфика заключается в том, что они всегда работают хуже непрерывных систем, поскольку дискредитация управляемого сигнала по уровню и времени приводит к тому, что на какое-то мгновение объект оказывается предоставлен сам себе, т. е. неуправляемым.
Для выбора периода квантования цифровой системы необходимо знать частоту среза замкнутой системы, что невозможно без знания оптимальных параметров регулятора. Поэтому необходимо вначале синтеза цифровой системы найти оптимальные параметры непрерывного регулятора. Динамика такой системы может служить эталоном для цифровой системы, который позволит принять решение о
целесообразности использования цифровой системы.
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
2
При наличии непрерывной модели объекта необходимо получить его дискретную модель, используемую в дальнейших расчетах. Сложность её получения заключается в том, что трудно сказать, сколько знаков следует оставлять в коэффициентах, поскольку их значения зависят от периода квантования и они тем меньше, чем меньше период квантования. Для непрерывной системы вполне достаточно трёх знаков.
Сложность получения цифровых моделей определяется так же видом корней характеристического уравнения. Для иррациональных или повторяющихся бесконечных корней эта задача усложняется.
Для упрощения исследований будем предполагать, что любой объект с саморегулированием или без саморегулирования может быть представлен передаточной функцией второго порядка с чистым запаздыванием.
Достоинство цифровых систем перед непрерывными заключается в том, что аналитическое выражение переходной функции при наличии чистого запаздывания не приводит к необходимости его разложения в ряд Паде или Тейлора. Достаточно в передаточной функции смещения на число периодов, равное отношению чистого запаздывания к периоду квантования.
Пусть передаточная функция объекта имеет вид:
Wo(p)
= Koe-pl T2p2 +T1p+1
(1)
Исследования проведем с использованием математической системы Mathcad [1,2], позволяющей существенно упростить расчеты.
Промышленные объекты управления представляют собой многоёмкостные системы. Например, двухъёмкостный объект с постоянными времени 4 и 5 (размерность времени) будет иметь передаточную функцию:
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
3
Wo(p)
Koe-pl 20p2 +9p+1
(2)
Для определенности примем: коэффициент усиления Ко =1,5, время чистого запаздывания.
Оптимизацию параметров ПИД - непрерывного регулятора проведем по расширенным амплитудно-фазовым характеристикам (РАФХ). В [3] приведены формулы для расчета оптимальных параметров регуляторов со связанными параметрами настройки. Современные регуляторы лишены этого недостатка, поэтому получены формулы для оптимизации параметров регулятора с несвязанными настройками [1]:
- П - регулятор:
*
Kp = C1= Re (m,w), *
Jm = 0;
- ПИ - регулятор:
(3)
2 * C0 = w(m2 + 1)Jm
*
C1 =mJm (m,w)
(m, w),
*
Re (m,w);
(4)
- ПИД - регулятор:
2*
C0=w(m +1)[Jm (m,w) + C2w],
**
C2 =mJm (m,w) Re (m,w) + 2mwC2, (5)
где С0 = 1/Ti; C1 = Kp; C2 = Td.
Для ПИД - регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:
Т,
T = a(0 - 0.3). i
В этом случае расчет формулы для ПИД - регулятора принимает далее следующий вид:
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
4
C0 = 0.5[a
*
Ci = mJm
sfl /
Jm (m, w) + ^/a2Jm 2(m,w)+4awa ];
* 2mwa
(m,w) Re (m,w) + —c—,
C0
(6)
где а = w(m +1),
m - логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:
y = 1-e 2pm , (7)
Y - относительная степень затухания.
Из предыдущей формулы (7) определяем значение логарифмического декремента затухания m:
m = ~ 1п(1 -¥). (8)
2р
Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитуднофазовая характеристика разомкнутой системы автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1,
j0), т.е. Wp(m,jw)Wo(m,jw)=-1, (9)
или - Wp (m, jw) = 1/ Wo (m, jw). (10)
Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристикой необходимо в передаточную функцию подставить p=(j-m)w.
Передаточную функцию нашего исходного объекта можно представить так:
1
W0(m,jw)
* * *
W0(m,jw) = Re (m,w) + jJm (m,w). (11)
Формула (11) представляет собой инверсную расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта.
Проведем расчет оптимальных параметров ПИД - непрерывного регулятора. Примем:
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
5
а.
= 0.25 v = 0.
m :
ЛЛЛЛЛ
-ln( 1 - у)
2 • p
П1= 0.7,
-р
Wofp) = 1.5
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ4
20 ■ р" - 9 ■ р - 1 i = ^/-1
V - s- Р
е ■ р - 6.000 ■ е ■ р -
Wot
Wo(
Wobfi.w) = Ш ■ eCl ',f31>1V ■ (i ■- .731):2 ■ w2 - 6.00 ■ ^ *31>1V ■ (i -.731) ■ w -.667■ e(l ''''3 ^
AJAfAfMMr - * K f 4 y
a = 0.25 a(w) = w ■ (m“ — lJ
ЛЛЛЛ/ ? 4 * ?
C0(iv) = 0.5 ■ (a(w) ■ Im(Wob(i?w)) --Ja(w)" ■ Im(Wob(i.w))“ - 4 ■ a(w) ■ w
a
Cl(w) = m ■ Im(Wob(i.w)) — Re(Wob(i.w)) w = 0.02 .0.02 — 0.001.. 1.
2 ■ ш ■ ■ a
»
Рисунок 1 - Линия требуемой относительной степени затухания Оптимальные параметры регулятора:
Кр = 1.5 0.215 Ti = 7
Л AAAAAi
Передаточная функция ПИД параметрами:
. 1
:d = Ti' сг Td = 1.75
? AAAAAAi .
регулятора с оптимальными
WrC
Wr(p) = 1.5 - 1.75 p
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
6
Найдем частоту среза замкнутой системы для определения периода квантования цифрового регулятора, обеспечивающего измерение регулируемой величины без потери информации.
Поскольку мы рассматриваем работу стабилизирующего регулятора, то, формально, возмущающим является канал возмущения по нагрузке . Однако мы проверим фильтрующие свойства замкнутой САУ по каналу: задание - регулируемая величина и нагрузка - регулируемая величина.
WzHp) =
WzX(i.w) =
АЛАААААААА' - *
G.99' р ■ е
95.2-р -42.0'р"-4.66'р-10.5■ е1-
icn (-l-O-i-w ■
350. ■ е ■ 1 w
(-1 -)р 2 1 ,|П (—1->р
■р-.2,2 е р — 1.00' е ■ _
(C(i.w) -D(i.w))
где
. 3 3 3 ry . Г-1У1лу .
'i.w) = ,466е4 ■ i w — ,210е4 ■ i w — 233. ■ i ■ w — 525. ■ e" * ■ i ■ w
D(i.^v) = G1
ЛМЛГ- - ^
WX(w)
, (-l.)-kv .2 2
I. ■ e -i -\v
■ e
(-l.)-Gv
:w) Г - Iml\Vz>..(i:w)J-
12.2-p" — 10.5-p — 1.
.c-i;
u^p
L2.2- /p-42.0_-p‘-
ir- 1П5 (-1-)-p . nn (-1-)
4 67— 10.5■ _'р-1.00'|У '
>id(i^v) =
-> о
i. ■ i ■ лу - 122. ■ i" ■ w-
- 1-W
i.w) — B(i .w)
, где
r , .3 3 .... (-l.)-i-w .2 2 n,n .2
(l.w) = 9330. ■ i -w — 1220. ■ e ■ \ ■ w — 4200. ■ l ■
nn
w
,.w) = 467. ■ i ■ w
(-l.)-i-w . e ■ l ■ w
rid( w) = V Re (Wzpid( i лу))" - Im( Wzpid(i лу) ) “
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
7
1
О Я
№рс*>)06
m(w) 0.4
Л . Л . Л. л
0.2
о
0 12 3 4
w
Рисунок 2 - Графики амплитудно-частотных характеристик
замкнутой системы по каналам: задание - регулируемая величина Wzpid(w) и возмущение - регулируемая величина
Усреднено можно считать, что частота среза равна Ws = 3.
По теореме В. А. Котельникова период квантования следует выбирать T = — = 1,05 (ед. времени). Примем Т= 1.
Ws
К рассматриваемой передаточной функции объекта близка передаточная функция
k e-pl
Wo(p)=Iip§+9p+! .
Здесь двухъёмкостный объект реализуется двумя инерционными звеньями с постоянными времени 3 и 6 ед. времени. Сравним их переходные функции. Для этого переобозначим:
Wo1(p) = 1.5
A/WWWW^r /
e
- p
2
20 • p2 + 9 • p + 1
Wo2(p) = 1.5
e
-p
2
18 • p2 + 9 • p + 1
= 6. = 1.
,2500
7
3333
, . (-.2009t+.2000 ,
1 j ■ e -1.
/ ] V
Г).е' Л
c--
.1667
1.:
■1.)
1.)
1.5
100
J
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
8
Рисунок 3 - Графики переходных функций объектов и Ho1(t) и Ho2(t) и относительной их разницы в процентах D(t)
Как видно из графиков, переходные функции практически сливаются, разница между ними около 1 процента. Если они получены экспериментально, то их обработка дала бы один и тот же результат. Однако в первом случае корни характеристического уравнения 0, 2 и 0,25, а во втором 0, 3333(3) и 0, 1666(6), что усложняет поиск дискретной передаточной функции.
Отбросим чистое запаздывание и найдем дискретные передаточные функции объектов. Предполагается , что в цифровой системе имеется фиксатор нулевого порядка.
Wol(p)
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЧГ *
1.5
201!-!'P-Ijji|t)=6,e( -250)'‘_7 50-е( ■2oo)'t+1.50
Решетчатая переходная функция объекта:
, ■, r (-.2>0)-ti-T _ _п (— -200)-п-Т 1
(п) = б. ■ е — 7.50 ■ е — 1.
л-- '
50
Используя прямое Z - преобразование, ho1(z,T) = Z{ho1(n,T)},
находим: Wn1(z)
ho1(z, T) • (1 - z 1)
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
9
Принимая Т = 1, с учетом числителя фиксатора нулевого порядка, получаем:
Wnl (z)
3232е-1 ■ z - ,2782е-1
z~ - 1.598 ■ z - .6376
z —>
1.52
Процедура определения предела передаточной функции при z ® 1 позволяет проверить правильность расчетов, поскольку этот предел должен равняться коэффициенту усиления объекта.
Аналогично получим дискретную передаточную функцию для другого объекта:
Wo2(p) =
1.5
2
18 • p2 + 9 • p + 1
ААЛААААЛ4
АААААААА
2(н) - 1.50 ■ е
С-.ЭЭЭ)*Т _ з_ . еС-.167)^1 _
^n2(z) =
Wn2(z) := ho2(z:T) ■ \l - z
,36556e-l -z - ,28785e-l
z" - 1,5630 ■ z - ,60653
1.50
Как видно из передаточных функций, для данного периода квантования Т = 1, достаточно 4-х значащих цифр в случае конечного и 5 -бесконечного числа знаков корней характеристического уравнения.
Примем Т = 0,1.
Wnl (z) :=
ллммллм- J
wnl
AWMW.
z)
36942e-3 ■ z- ,36392e-3 z'- 1.9555 -z - .95600
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
10
Wn2(z) := ho2(z.T) ■ \1 - z~
АААААААААА4, J \ f
i Wn2(z) float J ->1.54 ► 1
.353639e-1 z + .299134e-
Wn2kz) =—------------------------
z2 - 1.56301- z + .606531
Уменьшение периода квантования привело к необходимости увеличивать число значащих цифр в дискретных передаточных функциях (с четырех до пяти и с пяти до шести).
Если объект не обладает саморегулированием, то проверку правильности расчета коэффициентов передаточной функции приведенной непрерывной части можно провести по формуле:
lim Wn(z> = 1
1 + Wn(z) , когда z ®!.
Проведем пересчет параметров непрерывного регулятора в параметры цифрового для случая интегрирования по методу площадей [4]. Там же приведены коэффициенты связи непрерывного и цифрового регуляторов для случая интегрирования по методу трапеций.
7
= 1.75
T = 1.
Wr(z)
qi =
т
Wr(z)
2
3.250 - z2 - 4.857 - z + 1.750
2
z
- 1. - z
С учетом чистого запаздывания, равного периоду квантования, дискретная передаточная функция объекта равна:
(J232e-1 ■ z — .2782е-1) 'Z_1
Wnl(z) = ----------------------------
z"- 1.598 - z- .6376
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
11
Wraz(z) = Wnl (z) ■ Wr(z)
Wraz(z)
Wz(z)
simplify
Wraz(z)
1 — Wraz(z)
3 о
262,6 -z - 166.4 -z~- 196.4 -z - 121.7
^ 4 3 'y
2500. ■ z" - 6495. -z - 5589. -z - 1594. ■ z"
Wz(z) =
ЛЛЛЛАЛЛЛ S
3
.10504 ■ z - ,66568e-l ■ z~ - ,78566e-l ■ z - ,48685e-l >43-}
z'- 2.5980 -z -2.3406-z - .70417 ■ z" - ,78566e-l -z- .48685e-l
Wz(z)
.3 -> 1.00
z —► 1
Проверим на устойчивость цифровую систему по критерию Джури. Характеристическое уравнение замкнутой цифровой системы:
:= z
4
3
п .
,78566е-1 ■ z — 48685е-1
Программа проверки устойчивости по критерию Джури [1].
г .48б9е-1
Ь:=
.Z'
—>
:.4
-.7042
2.341
1.
А =
/■/■ЛУ
n = length(b) - 1
or i е О.. n Ч ЬпЧ
/
.4
Г 1.
2.341 -.7042 — ,7857е-1 ^ .4869е-1 )
V =
z
'У
\Z J
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
12
B(z) := VT b z -A 1
Б (г) = ,8920е-2
.(-!)■ B(z)_
z —► — 1
a <r- А
for j = 0 .. n - 2 ast <- n - j for k e 0 .. la
op <— b
alast
Ч <“ Щ ~ bi ' qj
a<-c Q^q
oef = Q
.4 -> 6.516
4 0.049 1 ' 0.049 '
0.048 0.048
-0.697 Kpid -0.697
0.939 у , 0.939 у
Цифровая система устойчива.
Изображение переходной функции цифровой системы: H(z) = Wz(z)
ААААЛ ' ' '
Z- 1
H(z) =
4 3 2
.1050- z4 - .6657e-1 z3 - .7857e-1 z2 + .4869e-1 z
z6 - 3.598- z5 + 4.939 z4 - 3.045 z3 + .6256- z2 +. 1273- z - .4869e-
Используя обратное Z-дискретное преобразование, получили
выражение переходной функции цифровой системы.
Hpid(n) = (-.178) - e( 102)n. cos(.991e-18 - n) + 1.00 - e( 194e 16)n. cos(.969e-18 - n)
+
.144e-16 - e( 194e 16)n. sin(.969e-18 - n) - .725e-1 - e( 151)n. cos(3.14 - n)
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
13
+ .218e - 21 • e( 151)n • sin(3.14 • n) + .354 • e( '994)'n • cos(.118e - 38 • n)
. 1JO (-_102)-n
£( ■_0S^)n.sjIl(ib
sin(.991e - 18 ■ n)
— ,475e-21 ■ '"4^n ■ sm( .118e-J8 ■ n) - 1.11 ■ -20^'n . cos(.315 ■ n) _
Для сравнения качества работы непрерывной и цифровой систем построим на одном графике их переходные функции.
ж1(4л\’) =
10. ■ U05. ■ 1 ■ w - 122. ■ Г ■ W- - 10.) ■ е A(i .w) — B(i.w)
- i-w
где:
. .3 3 Г-1 l-i-w 7 '> 7 '>
Afi.w) = 9330. ■ l ■ wJ - 1220. ■ л ■ Г ■ w" - 4200. ■ Г ■ w"
B(i;w) = 467. ■ i ■ w - 1050. ■ et_ 1‘'l'1'w ■ i ■ w - 100. ■ et_
r2
Hzpid(f) = —
я
Re(Wzpid(i.w) ■ sin(w
\v
- 0
Рисунок 4 - Графики переходных функций непрерывной Hzpid(t) и цифровой Hpid(n) систем при Т = 1.
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
14
Рисунок 5 - График отклонений переходной функции цифровой САУ от непрерывной при Т = 1.
Как следует из графиков, динамический заброс у цифровой системы больше на 8 процентов, чем у непрерывной.
Проведя аналогичные исследования для периода квантования Т=0,5, получили сравнительные графики переходных функций непрерывной Hzpid(t) и цифровой Hpid(n) систем.
Рисунок 6 - Графики переходных функций непрерывной Hzpid(t) и цифровой Hpid(n) систем при Т = 0,5.
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
15
Рисунок 7 - График отклонений переходной функции цифровой САУ от непрерывной при Т = 0,5.
При этом отклонение переходной функции цифровой САУ от непрерывной не превышает 4 процентов, т. е. уменьшилось в два раза..
Выводы
1) Непрерывная система с оптимальными параметрами регулятора может служить эталоном при синтезе цифровых систем.
2) При аппроксимации кривых разгона целесообразно подбирать коэффициенты передаточных функций, обеспечивающих конечное число цифр корней характеристического уравнения.
3) Не следует значительно уменьшать период квантования по сравнению с рекомендациями В. А. Котельникова, поскольку это приводит к необходимости увеличивать число знаков после запятой в коэффициентах дискретной передаточной функции. Однако целесообразность уменьшить расчетный период квантования вдвое не вызывает сомнений.
Литература
1. Пугачев В.И. Теория автоматического управления. «Использование
Mathcad при анализе и синтезе систем управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. - Краснодар. 2006 - 140 с.
2. Кудрявцев Е.М.. Mathcad 11: Полное руководство по русской версии. -Москва..:ДМК Пресс, 2005. - 592 с., ил.
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
Научный журнал КубГАУ, №86(02), 2013 года
16
3. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов тепло-
энергетических процессов. - М.:Энергия,1972. -376 с.
4. Пугачев В.И. Теория автоматического управления, раздел «Цифровые системы управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. - Краснодар. 2005 -100 с.
http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/54.pdf
