Особенности САРМ моделирования российского фондового рынка Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ТРИБУНА АСПИРАНТА, АДЪЮНКТА И СОИСКАТЕЛЯ

(О

OI

Z

О)

о о

CJ

о о о

Q.

со

S

н

о

0

1

о я с о т ф

VO >s

о *

о

ф у

S

2

0

1

о *

о

2 ф d

л *

< s

I

н

о ф

со

Особенности САРМ моделирования российского фондового рынка

Козловский Д. А. *

The article «Practical aspects of CAPM modeling for the Russian Stock Market» by Dmitry Kozlovskiy gives a thorough overview of the latest econometric extensions for the CAPM model by Sharp and Linter, incl. unconditional and conditional CAPM, D-CAPM, multi-factor CAPM. The author analyzed strength and weaknesses of the each approach to be re-applied to the Russian Stock market at different stages of its evolution.

Модель оценки стоимости финансовых активов или CAPM (Capital Asset Price Modeling) впервые была предложена Шарпом в 1964 году, а затем и Линтером в 1966 году. С того самого момента модель CAPM, включая ее многофакторные расширения, остается наиболее широко используемой моделью в эконометрическом анализе доходности и риска на финансовых рынках. Несмотря на то, что основополагающие теории портфеля были разработаны в конце 60-х годов ХХ века и получили широкое распространение в 70-х годах, по-прежнему большое количество работ, публикуемых в известных западных изданиях, посвящено проблемам статистической достоверности САРМ в современном ее понимании. В частности, в настоящее время особое внимание в эко-нометрических исследованиях финансовых рынков уделяется так называемой условной САРМ модели, или CCAPM (Conditional Asset Price Modeling).

Первоначальный вариант модели, предложенный Шарпом, который в современной эконометрике известен как безусловная модель CAPM (UCAPM), несмотря на обнаруженные «недостатки», все еще широко используется в финансовом прогнозировании, поскольку обладает хорошими прогностическими свойствами и является достаточно простым в интерпретации.

Тем не менее, все большее число финансовых аналитиков и экспертов занимаются исследованием и прогнозированием финансовых рынков именно на основе CCAPM. Связано это с тем, что в силу своей простоты модель Шарпа не всегда позволяет получить прогнозные значе-

ния требуемой точности, что вызывает серьезные сомнения относительно того, могут ли вообще подобные зависимости на финансовых рынках быть представлены в виде линейных моделей. Кроме того, модель Шарпа была основана на известных допущениях, которые в основном и являлись предметом дискуссий, в том числе и предположение о статичных параметрах (т.е. параметрах модели, которые считаются неизменными в условиях стабильного финансового рынка).

Уже в конце 80-х годов использование модели Шарпа на практике не представлялось возможным в большинстве случаев, поскольку эконометрические оценки ее параметров оказывались статистически не-значимыми1. Исследования и анализ подобных случаев, сделанные Фамой и Френчем в 1992 году, привели к заключению о том, что базовые САРМ — зависимости, описанные Шарпом, носят более концептуальный характер и имеют существенные ограничения с точки зрения их прикладного использования в финансовом прогнозировании.

Модель ССАРМ, напротив, ориентирована на практическое применение в прогнозировании современных финансовых процессов. В отличие от моделей Шарпа-Линтера, основанных на допущении о том, что моделируемый финансовый рынок является нединамичным или слабо динамичным2, она учитывает динамику финансовых рынков, а потому ожидаемые доходности и беты финансовых активов/портфелей меняются во времени.

В России модель ССАРМ пока довольно редко используется в финансовом

Аспирант кафедры ММиИТ МГИМО (у).

прогнозировании в отличие от стран с развитой рыночной экономикой. Это связано с тем, что в нашей стране фондовый рынок еще находится на стадии становления, да и современные эконометри-ческие методы долгое время оставались неизвестными. Тем не менее, устойчивое развитие после кризиса 1998 года, стабильная экономическая и политическая ситуация, благоприятная внешнеэкономическая конъюнктура позволяют рассматривать и Российский фондовый рынок в целом и/или его отдельные финансовые процессы в качестве возможных объектов прогнозирования методами условной и безусловной САРМ. А поэтому, важно понимать, в какой степени модели, разработанные для развитых западных рынков, можно использовать в приложении и к российскому, несмотря на его небольшую историю.

Следует сразу отметить, что данная попытка найти наилучшую версию САРМ-модели именно для российского фондового рынка далеко не единственная. Уже известны многочисленные научные-практические исследования, связанные с техникой САРМ-прогнозирования в российских условиях, начиная с тестирования модели Блэка и до создания совершенно новых версий модели для высоковола-тильных развивающихся рынков.

Так, например, Бухвалов и Окулов3 в исследовании прогностических свойств САРМ-модели в классической версии Шарпа-Линтнера и двухфакторной версии Блэка приходят к выводу о том, что данные зависимости, строго говоря, не работают в российской действительности. Объясняя полученные результаты особенностями развивающихся высоковола-тильных рынков, где не выполняются исходные предположения модели САРМ и которые по определению являются менее эффективными, чем развитые, они решили, что будет эффективнее рассматривать различные модификации САРМ для конкретных случаев.

Одним из наиболее удачных решений, имеющих под собой прочное теоретическое обоснование, является D-CAPM модель, предложенная Estrada4 специально для развивающихся рынков. Ее основное отличие от классических САРМ-моделей состоит в измерении риска активов. Если в классических моделях риск активов измеряется дисперсией, то в модели D-CAPM мерой риска является полудисперсия (semi-variance), которая показыва-

ет риск снижения доходности относительно ожидаемого или дюбого другого уровня, выбранного в качестве базового. Полудисперсия является более правдоподобной мерой риска, поскольку инвесторы не опасаются повышения доходности, а наоборот, несут риск падения стоимости ниже определенного уровня (например, ниже среднего). На основе полудисперсии можно построить альтернативную поведенческую модель, а, следовательно, и новую модификацию САРМ. В академических публикациях новая модель ценообразования получила название Downside CAPM, или D-CAPM.

Как показал Estrada, модель D-CAPM точнее описывает законы изменения до-ходностей на развивающихся рынках, что нашло свое подтверждение и на российском рынке. В 2003 году Синцов в своем исследовании показал, что одно из возможных несовершенств российского фондового рынка — сильная ассиметрия до-ходностей финансовых активов, которая наилучшим образом описывается модифицированным коэффициентом бета в модели D-CAPM по сравнению с обычным значением бета5. Именно этот факт делает модель D-CAPM более предпочтительной для прогнозирования российского рынка, несмотря на то, что более строгая проверка впоследствии также выявила значительные несоответствия D-CAPM реальной динамике доходностей.

Теперь остановимся поподробнее на модели CCAPM. Как уже говорилось, представление CCAPM внешне напоминает модель Шарпа:

E[RiA-i] = Yot-i + Yit-iPit-1, (1)

где E[RitQt-1] означает, что ожидаемая доходность актива/портфеля i прогнозируется на основе доступной информации о доходности актива/портфеля и рыночной доходности за предыдущий период Ht-i, Y0t-1 — условная ожидаемая доходность портфеля с нулевой бетой за предыдущий период, Y1t-1 — условная рыночная оценка риска, Pit — условная бета актива/ портфеля i, которая определяется соотношением:

Pit=Cov(Rit,RmM-i)/Var(RmM-i) (2)6

Следует еще раз отметить, что параметры Yo, Yi и Pi в CCAPM называют условными, поскольку они изменяются во времени, а потому для того, чтобы знать значения этих параметров в каждый момент времени, им присваивается временной индекс. Кроме того, параметры Yo, Yi

(О

OI

О) О О CJ

о о о

Q.

со

S

н о

0

1

о я с о

т ф

VO >5

о *

о ф

У S

2

0

1

о *

о

2

ф

d

я *

<

*

S I

н

о ф

(О

Ol

Z

О)

о о сч

о о о

Q.

со

S

н о

0

1

о я с о т ф

VO >s о

о ф

у

S

2

0

1

о *

о

2 ф d

я *

<

ü S I

н

о ф

и Р^ являются условными центральными моментами второго порядка, все значения которых определяются на основе доступной в период 1-1 информации П(-1. Особенность техники прогнозирования на основе ССАРМ состоит в том, что прежде, чем определять прогнозное значение ожидаемой доходности актива/портфеля, сначала необходимо определить прогнозные значения условных параметров, и, прежде всего, прогнозное значение беты актива/портфеля.

Итак, основное уравнение ССАРМ запишем как: Е^А-^Е^-А^+Е^тА-^, (3) где Рй=Соу(КйДтА-1)Ла-(КтА-1) (4)7

Для того, что бы оценить параметры модели, будем считать, что:

^=Е[ВД-1]+ий (5)

Кт1=Е[КтА-1]+ит (6)

где параметры ий и ит1 — ошибки прогноза. Таким образом, перепишем исходное соотношение таким образом:

Е[К1А-1]=Е[У01-А-1] + + Е[КтА-1]ЕК;ит, Ц-1]/Е[ит,2Ц-1] (7)8

Следующий шаг9 — построение временных рядов из различных значений условных моментов. Это делается для того, чтобы выяснить, действительно ли следует использовать ССАРМ, или можно прогнозировать на основе иСАРМ с требуемым уровнем точности. Для этого рассматривают дискретные спектры построенных временных рядов. Если спектры непостоянны, то прогноз делают на основе ССАРМ, а если спектры устойчивы, то используют простую модель Шарпа. Обычно для принятия решения относительно того, какую версию модели САРМ использовать для прогнозирования, достаточно рассмотреть спектр временного ряда Е[и^12П(-1].

Для получения прогнозных значений условных моментов необходимо построить модели временных рядов. Обычно используют модели классов АЯ(р), АЯСН(р) и GARCH(p,q) 9. В общем виде запишем:

ЕЩЦ -J = 5,

0m

Km2

+ I

j = 1

5jmum(t -

j)

Ki

E[UitUmtMt -1] = 50i + I

j = 1

5jiUi(t -

j)Um(t -

Km

E[umM -1] = a0i + I

ajmrm(t - j)

(8)

(9)

(10)

j = 1

Самая большая проблема при построении таких моделей — оценка параметров моделей, т.е. значений p и q. Это делается на основе исследования поведения автокорреляционных функций временных рядов, информационных критериев10 и др. Также следует отметить, что наиболее часто используются модели класса GARCH, чем модели класса ARCH в силу некоторых ее преимуществ. Справедливости ради стоит отметить, что обычно в финансовом прогнозировании используется модель GARCH(1;1), поскольку ее использование значительно упрощает расчеты, и, как показала практика, она достаточно надежна в прогнозировании.

После того, как построены модели временных рядов, мы можем получить прогнозные значения условных моментов, а, следовательно, и прогнозные значения параметров у0, у1 и Pj. Только после этого можно приступать к расчету прогнозного значения ожидаемой доходности актива/портфеля на основе CCAPM.

Практически все общепринятые методы оценки основаны на допущении о том, что исходные данные имеют IID нормальное распределение (identically independently distribution) 11. Из такого допущения обычно исходят при оценке параметров модели методом наименьших квадратов (GLS/OLS), методом наибольшего правдоподобия (MLE), общим методом моментов (GMM), методом стандартной ошибки и др. Тем не менее, практика показала, что такие методы следует применять далеко не всегда. Дело в том, что исходные данные о доходности активов на реальных финансовых рынках не всегда подчиняются закону IID нормального распределения. А потому, в эконометрике стали разрабатываться новые критерии оценки, которые, однако, в основе своей имели уже известные методы 12. Среди наиболее часто упоминаемых в литературе по исследованию финансовых рынков особо следует выделить метод последовательного улучшения (bootstrap-based test), J-тест, основанный на GMM-оценке, SDF-GMM оценка и многие другие.

Поскольку в наши задачи не входит изучение особенностей оценки паррамет-ров модели, мы для простоты последующего изложения будем исходить из предположения о том, что имеющиеся данные подвержены действию огромного числа независимых факторов, и потому имеют IID нормальное распределение. Предло-

женный ниже пошаговый метод, основанный на использовании ССАРМ и информационных критериев, может использоваться в прогнозировании доходностей акций различных компаний на российском рынке и быть реализован в пакетах MS Excel и SPSS. Кроме того, следует отметить, что для простоты расчетов в нашей модели только параметр бета будет условным, т.е. только бета будет меняться во времени. Сделаем допущение, что остальные параметры модели статичны13. Итак, для построения прогноза необхо-

димо пройти следующие этапы статистического моделирования: 1. Построение линейной регрессии, характеризующей зависимость ожидаемой доходности акции от доходности рынка, определение параметров уравнения регрессии и значений остатков:

ЕВД = а+рмЕ^ + £1

Для примера в таблице представлены статистически значимые параметры регрессии (при а = 0,05) по некоторым акциям российских компаний за 2003—2005 гг.:

ai ßi-i Er. (а) Er. (ß) T(ß) Ткр. R2

Лукойл -0,02 1,13 0,01 0,14 8,17 2,07 0,74

Сургутнефтегаз -0,02 1,15 0,01 0,12 9,42 2,07 0,79

Сибнефть 0,03 0,95 0,02 0,24 3,91 2,07 0,40

Ростелеком -0,01 1,14 0,03 0,28 4,14 2,07 0,43

АвтоВаз -0,00 0,99 0,03 0,31 3,19 2,07 0,31

Источник: Finam database (http://www.finam.ru/)

2. Исследование характера изменений значений остатков, определение характера изменения дисперсии D(E[R1]) = £2 на основе уровней ряда £2 и спектраль-

ной плотности для временного ряда Е[Я1]. Распределение квадратов остатков для российских акций приведено на нижеследующей диаграмме:

Распределение квадратов остатков

0.2

0.1

0

Jul-01 Nov-01 Feb-02 May-02 Sep-02 Dec-02 Mar-03 Jun-03 Oct-Q3

"Лукойл -Сургутнефтегаз -Сибнефть -Ростелеком -АвтоВаз

Рис. 1. Распределение квадратов остатков

Как видно, дисперсии доходностей акций не постоянны. Это говорит о том, что прогноз требуемой точности можно будет получить на основе ССАРМ-моде-ли, которая учитывает непостоянство дисперсии во времени. 3. Прогнозирование остатков: в случае наличия свойства гетероскедастич-

ности у временного ряда E[RJ, строится модель ARCH(p) = aQ + aie2t-i для определения значения е2 в прогнозируемом периоде (Параметр p может определяться на основе использования информационных критериев Аккаике (AIC) и Шварца (SIC), либо на основе анализа функции автокорреляции ACC).

р Лукойл Сургутнефтегаз Сибнефть Ростелеком АвтоВаз

AIC SIC AIC SIC AIC SIC AIC SIC AIC SIC

1 -9,3 -9,2 -9,8 -9,8 -7,6 -7,6 -6,6 -6,5 -5,5 -5,5

2 -9,7 -9,6 -9,6 -9,5 -6,7 -6,6 -7,0 -7,0 -5,3 -5,2

3 -9,3 -9,1 -9,5 -9,3 -7,2 -7,1 -6,7 -6,6 -6,0 -5,9

4 -9,5 -9,3 -9,0 -8,8 -7,3 -7,1 -6,7 -6,5 -5,2 -5,0

5 -8,7 -8,5 -9,0 -8,7 -6,5 -6,2 -6,5 -6,2 -4,9 -4,7

где А1С(р) = 1ис2р + (2р/п), а SIC(p) = 1пс2р + р(1п(п)/п). 4. Определение значения ошибки е для

прогнозируемого периода е1+1 = + 1 5. Расчет условной бета 1) осуществляла п + )

ется по формуле: р( 1 =---

6. Построение прогнозного значения доходности выполняется для каждой акции по уравнению регрессии после замены исходного значения Р(-11 на полученную величину Р(1. Возвращаясь к исходному примеру с акциями российских компаний, по итогам всех вышеприведенных операций и вычислений получаем:

2

а

m

Oct'05 Лукойл Сургутнефтегаз Сибнефть Ростелеком АвтоВаз

E[R] 0,06 0,06 0,10 0,08 0,08

б -0,01 -0,02 0,04 0,00 0,01

в 1,15 1,17 0,98 1,18 1,03

Прогнозные значения условных бета в таблице последовательно рассчитанны на основе АЯСЩ2), АЯСЩ1), АЯСЩ1), АЯСЩ2) и АЯСЩ3) соответственно.

Как результат полученная ССАРМ-модель за счет изменяемых параметров регрессии позволила правильно «запомнить» высоковолатильную динамику до-ходностей исходного процесса, учесть изменения рынка и исключить статистические «шумы», тем самым улучшив точ-

ность и увеличив горизонт прогноза. Так, например, сравнительный анализ ССАРМ и иСАРМ для акций компании Лукойл показал, что прогноз, составленный на основе ССАРМ, более точен. Кроме того, вероятность ошибки в случае иСАРМ резко возрастает при увеличении горизонта прогноза, что вызвано различными значениями коэффициента бета, а, следовательно, и наклоном прямых ССАРМ и иСАРМ.

Условная и безусловная САРМ - ШКО!Ь

-0 РТ<

10

'С

-0.10

80

R-0.75

CCAPM

UCAPM

Actual

Рис. 2. Условная и безусловная CCAPM - UCAPM

Источник: Finam database (http://www.finam.ru/)

В заключение хочется отметить, что проблеме моделирования фондовых рынков развивающихся стран посвящается огромное количество научно-исследовательских работ. Финансовые аналитики пока не пришли к единому мнению о том, какой из САРМ-методов дает наилучший результат. Помимо преимуществ, каждый из них имеет свои недостатки, которые обычно связаны либо с качеством прогноза, либо с ограничениями на исходные данные, либо с техническими сложностями и т.д. А потому окончательное решение следует принимать после тщательного анализа исходных данных о доходности финансовых активов и рыночного портфеля.

Не стоит забывать и о статистической значимости полученных прогнозных оценок, прежде чем использовать их в финансовом прогнозировании. Особое внимание следует уделить коэффициенту бета и модели временного ряда. Дело в том, что сам коэффициент бета играет не менее

важную роль для финансового аналитика, чем полученные с помощью него ожидаемые значения доходности финансовых инструментов. Как известно, коэффициент бета используется для измерения рыночного (системного) риска, который не может быть устранен за счет диверсификации портфеля. Тем не менее, этот риск также можно свести к минимальному на основе анализа коэффициентов бета для нескольких активов. Подбирая в портфель финансовые активы с положительными и отрицательными коэффициентами бета и придавая им различные веса, инвестор может добиться того, что бета его портфеля будет иметь нулевое или близкое к этому значение, тем самым снижая портфельный риск инвестора. Кроме этого, значение коэффициента бета определяет очередность включения финансовых активов в портфель. Очевидно, что в первую очередь в портфель будут включаться наименее рисковые активы с минимальными значениями бета.

Литература и примечания

1. Ravi Jahannathan, Zhenyu Wang «The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns», Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department Staff Report; Columbia University, 1996, pg. 4.

2. Ravi Jahannathan, Zhenyu Wang «The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns», Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department Staff Report; Columbia University, 1996, pg. 4.

3. Бухвалов, Окулов. «Классические модели ценообразования на капитальные активы и российский финансовый рынок. Часть 2. Возможность применения вариантов модели CAPM», научные доклады № 36 (R)—2006. СПб.: НИИ менеджмента СПбГУ, 2006.

4. Estrada, J., 2002a. Mean-Semi-variance behavior: an alternative behavioral model. Working paper, IESE Business school.

5. Синцов Д.В. 2003. Модификации модели CAPM, учитывающие особенности российского рынка / Магистерская диссертация, ЕУСПб.

6. Ravi Jahannathan, Zhenyu Wang «The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns», Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department Staff Report; Columbia University, 1996, pg. 6.

7. Marco Boromo, Rene Garcia «Test of Conditional Asset Pricing Model in the Brazilian Stock Market», Centre Interuniversitaire de Recherche en Analyse des Organisations (CIRANO), Monreal 1997, pg.3—4.

8. Подробнее см. Marco Boromo, Rene Garcia «Test of Conditional Asset Pricing Model in the Brazilian Stock Market», Centre Interuniversitaire de Recherche en Analyse des Organisations (CIRANO), Monreal 1997, pg.3—4.

9. Eduardo Sandoval A., Rodrigo Saens N. «The Conditional CAPM and Stock Market Integration in Latin America», Department of Economics and Finance. Universidad de Talca, 1999, pg.6—7.

10. Eduardo Sandoval A., Rodrigo Saens N. «The Conditional CAPM and Stock Market Integration in Latin America», Department of Economics and Finance. Universidad de Talca, 1999, pg.6—7.

11. Nicolaas Groenewold, Patricia Fraser «Tests of Asset-Pricing Models: How Important is the Iid-normal Assumption?», Department of Economics, University of Western Australia, Nedlands, WA 6009, Australia, Department of Accountancy, University of Aberdeen, Edward Wright Building, Dunbar St., Aberdeen, UK AB24 3QY 1999, pg. 1-3.

12. John H. Cochrane «A Rehabilitation of Stochastic Discount Factor Methodology», National Bureau of Economic Research, Cambridge, 2001, 1-2.

13. Если такого допущения не делать, то данный метод оценки параметров модели использовать нельзя и будет необходимо использовать метод GMM или метод последовательного улучшения.

(О

OI

О) О О CJ

О

о о

Q.

со

S

н о

0

1

о я с о

т ф

VO >5

о *

о ф

У S

2

0

1

о *

о

2

ф

d

я *

<

*

S I

н

о ф