ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (70) / 2020.

УДК 624.047.2

©2020. В.Ф. Мущанов, А.Н. Оржеховский, М.Н. Цепляев

ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

В статье рассматривается методика расчета стержневых конструкций в геометрически нелинейной постановке. В качестве основного метода расчета принят метод конечных элементов. Так как в большинстве своем современные строительные конструкции представляют собой пространственные системы, то метод конечных элементов реализован в пространственной постановке. Приведена методика формирования матрицы жесткости конечного элемента, жестко закрепленного в крайних точках. Рассматривается методика корректировки матрицы жесткости конечного элемента с учетом расстановки шарнирных связей. Приведена методика формирования матрицы направляющих косинусов. Рассматриваются основополагающие принципы геометрически нелинейного расчета стержневых конструкций. Предложены поправочные функции позволяющие учитывать дополнительные напряжения в системе от деформаций, приобретенных на предыдущих этапах расчета.

Ключевые слова: стержни, метод конечных элементов, геометрическая нелинейность, матрица жесткости, матрица направляющих косинусов.

Наиболее точные сведения о напряженно-деформируемом состоянии системы возможно получить только при комплексном расчете всех элементов конструкции в целом. Большинство современных строительных конструкций представляют собой сложные многоэлементные статически неопределимые системы. К сожалению, применение аналитических методов расчета к таким конструкциям практически невозможно. В таких случаях используют численные методы расчета. Данные методы получили широкое распространение благодаря возможности алгоритмизации вычислений и используются в таких программных комплексах как: "ЛИРА-САПР "ЛИРА "SCAD Office "ANSYS а так же рядом других.

Подавляющее большинство современных систем автоматического проектирования и расчета строительных конструкций основываются на методе конечных элементов (МКЭ). МКЭ - это вариационный метод. Функционал энергии для всей рассматриваемой области здесь представляется в виде суммы функционалов отдельных ее частей - конечных элементов. По области каждого элемента, независимо от других, задается свой закон распределения искомых функций. Такую кусочно-непрерывную аппроксимацию выполняют благодаря использованию заранее определенных аппроксимирующих функций, называемых также координатными или интерполирующими. С помощью функций рассматриваемые непрерывные величины (перемещения, напряжения и т.д.) в пределах каждого конечного элемента (КЭ) выражаются через значения этих величин в узловых точках, а произвольная заданная нагрузка заменяется системой эк-

вивалентных узловых сил. У ряда строительных конструкций, испытывающих значительные деформации, наблюдается нелинейная связь между перемещениями и деформациями. Данную нелинейность работы системы следует учитывать при реализации МКЭ.

Наибольшее распространение в строительстве получили пространственные стержневые конструкции. Пространственный стержневой конечный элемент, в общем виде, имеет двенадцать степеней свободы. Шесть из которых - линейные перемещения, а оставшиеся - угловые. При этом, начальный и конечный узел элемента имеют по шесть степеней свободы (рис. 1).

Рис. 1. - Стержневой конечный элемент с двенадцатью степенями свободы.

Матрица жесткости пространственного стержневого элемента с двенадцатью степенями свободы приведена на рисунке 2.

ЕА 1. ЕА 1

12Е1, I.1 6ЕЬ 12Е1. " Р 6 Е11 е

12Е1„ I5 6Е1, |г 12Е и [3 6Е и I1

1 L

4Е1и 1 6Е1. 2Е1л

№. 1? бЕЬ 1! 2Е1, 1

ЕА [_

111. 6Е|, I1

Си мме ;тр 10 12Ыи 1» 6Е1, 1!

ьи 1

4Е|и 1

ЛЕ и

Рис. 2. - Матрица жесткости пространственного стержневого конечного элемента с двумя жесткими узлами, где: Е - модуль Юнга; 1г, 1У - осевые моменты инерции; L - длина стержня; О - модуль упругости второго рода; А - площадь сечения элемента.

Особенности реализации метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке

Матрица симметрична относительно главной диагонали. При изменении системы локальных координат, матрица жесткости элемента будет иметь другой вид и использование указанных зависимостей приведет к ошибкам в расчете. При установке шарнирных связей по направлению возможных перемещений матрица, изображенная на рисунке два, уже не может быть применена. Как правило, для учета шарниров используют два способа. Первый заключается в использовании уже насчитанных локальных матриц жесткости с учетом шарниров. Следовательно, заранее предусматриваются все возможные варианты расположения шарнирных связей. Данный способ применяется редко и в основном при решении плоских задач. Недостатками способа является значительное увеличение объёма программного кода и применение процесса учета шарниров исключительно при формировании локальных матриц жесткости. Второй способ основывается на корректировки матрицы жесткости с двумя жесткими узлами. В основе его лежит метод конденсации. Основное уравнение МКЭ для стержня приведенного на рисунке один имеет вид:

2а

х {Л Ч " >■ (!)

Каа Кав Ква Квв

Блочная форма данного уравнения:

^а} + [Кав } = {Ра }; \Kba\KZa } + [Квв ]^в } = {Рв }■ (2)

Если по направлению перемещения 2а введен шарнир, то усилия от данного перемещения равны нулю (РА = 0). Тогда выделим 2а:

(3)

{2а} = -[Кав\{2в }; {2а } = -[Каа]-1[Кав }{2в } и подставим в выражение 2:

{[Квв] - [Ква] [Каа]-1 [Кав]) {2в} = {Рв} (4

Таким образом, матрица жесткости примет вид:

КШ ] =

0 0 0 кш

(5)

где действительные члены определяются выражением:

[Кш] = [Квв] - [Ква][Каа]-1[Кав]; (6)

Матрица направляющих косинусов стержневого элемента имеет размерность 12х12 и в блочном виде приведена ниже:

м =

X 0 0 X

Ххх Хху X

[Х] = Хух Хуу X

_Ххх Хху X

[Тг ] =

X 0 0 0

0 X 0 0

0 0 X 0

0 0 0 X

(7)

где расчет основного блока «X» производится в соответствии с таблицей 1.

Таблица 1.

Блок матрицы направляющих косинусов пространственного конечного элемента

хх

сое ¡3 * сое а вт ¡3 сое ¡3 * вт а

вт а * вт 7— —сое а * сое 7 * вт ¡3 сое 7 * сое ¡3 сое а * вт 7— —сое 7 * вт ¡3 * вт а

вт а * сое 7— — вт ¡3 * вт 7 * сое а вт 7 * сое ¡3 сое 7 * сое а— —вт ¡3 * вт 7 * вт а

Составляющими матрицы выступают косинусы углов между глобальными и локальными координатами. Основываясь на координатах крайних узлов элемента, производятся вычисление углов направляющих косинусов по средствам векторной алгебры. Для программ производящих линейные расчеты этот подход допустим, но для конструктивно-нелинейных расчетов он не приемлем. Не учитывается история развития деформаций конструкции от предыдущих этапов расчета. Для таких случаев матрица направляющих косинусов формируется с помощью дополнительной точки «к» (рис. 3). Её координаты получают добавлением приращения равным единице для координаты «у» начального узла «» в глобальной системе координат, эти координаты остаются неизменными в течение всего расчета. Тогда направляющие косинусы оси X:

у х=!ъ-Х1Ъ-*1У2-УЛ (8)

\ L L L \

где: Ь = л/(жг - Х\)2 + (у2 - У\)2 + (<г2 - Х\)2 - длина стержня; (х\,у 1,21) - координаты начального узла «А»; (х2,у2,г2) - координаты конечного узла «Б». Направляющие косинусы оси У:

У = \ хк-Х1 хк -хх ук - У1 \

где: г = л/[хк - хх)2 + (ук - ух)2 + (гк -52

Особенности реализации метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Тогда направляющие косинусы оси Z это векторное произведение:

Vz = Vy х V*. (10)

Блок матрицы направляющих косинусов принимает вид:

Геометрическая нелинейность учитывается за счет поэтапного приложения проектной нагрузки и реализации МКЭ в линейной постановке на каждом этапе. На каждом последующем этапе учитываются перемещения, приобретённые на предыдущем. Расчет ведется по деформированной схеме. Дополнительные напряжения, возникающие от перемещений полученных на предыдущем этапе приложения нагрузки, учитываются при формировании локальной матрицы жесткости конечного элемента. Для этого насчитывается корректирующая матрица (рисунок 3). Элементы корректирующей матрицы вычисляются по формулам приведенным в таблице 2.

55е э5е

з1е 52е э1е з2е

зг2е $г1е эг2е

эгЗе Б72е этЬе

зВе з2е

з5е

з1е 52е

Си т ?тр ичь Ю 5г1е 5г2е

5гЭе

зЭе

Рис. 3. - Корректирующая матрица поправочных функций для учета дополнительных напряжений в пространственном стержневом элементе при геометрически нелинейном расчете методом конечных элементов.

Предложенные поправочные выражения получены на основании зависимостей рассмотренных в работах Корноухова Н.В. [2] и Новожилова В.В. [4], при этом применение гиперболических функций позволяет значительно ускорить сходимость системы. Подобные функции используются в некоторых расчетах

вантово-балочных мостов. Матрицы жесткости и корректирующая матрица поэлементно перемножаются, таким образом, определяется исправленная матрица жесткости конечного элемента в локальной системе координат.

Таблица 2. Поправочные функции

Растянутые стержни

Сжатые стержни

sie :

phi3 ■ sin(h) 12 • rt

sie

phi3 ■ sin(phi) 12 • rc

s2e :

phi2 ■ (cos(h) — 1) 6 • rt

s2e

phi2 ■ (1 — cos(phi)) 6 • rc

s3e =

phi ■ (phi ■ cos(h) — sin(h)) 4 • rt

s3e =

phi ■ (sin(phi) — phi ■ cos(phi)) 4 • rc

s4e :

phi ■ (sin(h) — phi)

2 • rt

s4e

phi ■ (phi — sin(phi))

2 rc

s5e :

1

EFrtm 4-pa

s5e

EF 4-(-paxiyd-l2

paxl = '^кон •^нач ■ pfa — , / rf = 2 — 2 ■ cos(h) +phi ■ sin(h);

2 V El

где: N- продольное усилие в стержне; EI-жесткость при изгибе

в рассматриваемой плоскости

1

1

Выводы. Метод конечных элементов лежит в основе практически всех автоматических систем проектирования и расчета строительных конструкций, что свидетельствует о его актуальности. Предложенная методика расчета легла в основу программного комплекса позволяющего более корректно вычислять теоретические усилия и напряжения в элементах системы, а также перемещения узлов конструкции. Рассмотренная методика расчета применима для конструкций имеющих значительные перемещения в узлах, но при этом незначительные деформации отдельно взятых элементов.

1. Гаранжа И.М. Экспериментальные исследования многогранных композитных конструкций на основе самоуплотняющегося бетона при осевом сжатии / И.М. Гаранжа, А.В. Та-насогло, А.А. Ягмур, С.А. Фоменко, А.Н. Оржеховский // Современное промышленное и гражданское строительство. - 2015. - Т. 11, № 2. - С. 45-55.

2. Корноухое Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. Упругие рамы, фермы и комбинированные системы / Н.В. Корноухов. - М.: Москва, 1949. - 376 с.

3. Мущанов В.Ф. Численное определение вероятности отказа изгибаемого стального стерж-

Особенности реализации метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке

ня / В.Ф. Мущанов, А.Н. Оржеховский // Металлические конструкции. - 2017. - Т. 23, № 1. - С. 15-23.

4. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Современные проблемы механики / В.В. Новожилов; под общ. ред. А.И. Лурье и Л.Г. Лойцянского. - Ленинград-Москва: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1948. - 214 с.

5. Mushchanov V. Accounting for the probabilistic nature of geometric imperfections form spatial coatings on the stands braced-cantilever type / V. Mushchanov, A. Annenkov, A. Orzhekovskiy // Металлические конструкции. - 2014. - Т. 20, № 3. - С. 169-178.

V.P. Mushchanov, A.N. Orzhehovskiy, M.T. Tseplyaev

Features of the finite element method implementation in a geometrically nonlinear statement.

The article discusses a method for calculating bar structures in a geometrically nonlinear setting. The finite element method is adopted as the main calculation method. Since modern building structures are spatial systems, the finite element method is implemented in a spatial setting. The technique of forming the stiffness matrix of a finite element rigidly fixed at the extreme points is presented. A technique for adjusting the stiffness matrix of a finite element is considered, taking into account the arrangement of hinge links. The technique of forming the matrix of direction cosines is presented. The fundamental principles of geometrically nonlinear analysis of bar structures are considered. Correction functions are proposed to take into account additional stresses in the system from deformations acquired at the previous stages of the calculation.

Keywords: bars, finite element method, geometric nonlinearity, stiffness matrix, the matrix of direction cosines.

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 17.08.2020

и архитектуры", Макеевка

mailbox@donnasa.org