Особенности распространения волн в изотропном трехмерном слое с тонкой накладкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3.

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ ТРЕХМЕРНОМ СЛОЕ С ТОНКОЙ НАКЛАДКОЙ

© 2005 г. А.В. Белоконь, А.И. Болгова

The problem of wave propagation in a layer with a thickness h and a thin fixed plate on its surface with thickness h, was considered. It was found out that the structure of the waves under such conditions essentially depends on the region in which the oscillating loading takes place.

Изучению волновых процессов и построению асимптотических решений плоских задач были посвящены работы [1-5], в которых рассматривается упругая среда, занимающая плоскую область |х|<®, 0<у<<», а нагрузка действует в интервале |х| < а при >>=0. На основе построенных асимптотических решений был изучен характер распространения потоков энергии. Причем только в [3-5] установлено, что поток энергии распространяется везде за исключением области, находящейся непосредственно под нагрузкой: |х| < а , 0<у<<».

В предлагаемой работе продолжается исследование задачи для трехмерного упругого слоя, подкрепленного тонкой пластиной, начало которого кратко изложено в [6]. В [7] аналогичная задача изучалась в зависимости от различных типов нагрузок для слоя без пластины, при этом асимптотическое решение в слое построено в областях вне зоны действия нагрузки. В [8] на основе численного анализа показано, что более существенное влияние на распространение потока энергии в слое, укрепленном пластиной, оказывает увеличение плотности пластины по сравнению со слоем, чем изменение отношения их жесткостей. В данной работе построено асимптотическое решение в слое, с помощью которого выяснен как характер распространения волн, так и перенос ими потока энергии. Проанализировано с помощью [7] влияние пластины на поток энергии, распространяющийся в слое, в зависимости от отношения толщины пластины к толщине слоя.

Важным результатом изучаемой задачи является то обстоятельство, что в ней, как и в плоских задачах [3-5], показано, что и в трехмерном слое существуют области, в которых поток энергии не распространяется. Последнее является новым результатом в теории распространения волн в трехмерных средах типа слоя. Таких явлений не наблюдается в осесимметричной задаче для слоя. Представляет также интерес исследование рассматриваемой задачи для других областей, в которых действует нагрузка, например в многоугольной.

Математическая формулировка задачи: требуется найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее

(¿1 + М1 Х^иДк + /и1 Дик = р1 ик , к = 1,2,3

DA2 ~3 + р2 h

д2 C3 "öt2

= p(x, y, t)— q(x, y, t)

(1)

P(x, y, t) =

f f (x, y )iQt, (x, y) S, |0, (x,y) S,

ч(х, У,г ) = СТ33 (х, У, Н,г) ; ~3 (х, У, г) = Из (х,у, Н,г) ; стк3 (х, у, Н, г)= 0, к = 1,2; ак3 у,0, г) = 0, к = 1,2,3 ; и3 (х, у,0, г)=0 .

Здесь Л1, ръ&2, /л2, Р2,у2 - соответственно упругие константы в слое и пластине; Д - оператор Лапласа в трехмерной области; Д2 - квадрат оператора Лапласа в двумерной области х,у; В = (ы2к3 )/(б(1 - у2 ));

- некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой границей.

Рассматривая установившийся режим колебаний, представим решение системы (1) в виде

U (x, y, z, t) = U (x, y, z )e

iQ t

~3 (x, y, t ) = V (x, y) e

Q t

akl = &k!e

iQ t

kle

H

x =

Введем безразмерные величины

x

H

h

yH =y

H

zH = _£_ jjH = U

H

H

H V VH = — H

Q H =QH

c

c2 =

l = H

Äi + 2ßi Pi

D =

M2 h

6H Vi (1 — ^ )'

c22 = ü, p = p = pl.

Pi Mi Pi

Будем искать решение поставленной задачи (1), применяя принцип предельного поглощения [9], который фактически приводит к замене О на 0£=0-¡е, 0 < е << 1. Это даёт основание считать, что на бесконечности выполняется условие:

и(х, у, 2, г) 0, Я =у! х 2 + у 2 ^ да .

Применяя к системе (1) двойное преобразование Фурье по координатам х и у и решая преобразованную систему уравнений с соответствующими граничными условиями, найдем выражения для перемещений в слое:

1 да да \а¥(а, г)

Uie=-

U 2s =

4п i

I I

A

Qs, z ) ~iace —irydady,

s

U 3s =

4n i

4n2

2 J J YM Qs

A

z)e -iYdady, (2)

s

J J ßisF(a,YС((Qs,z)e-iace-iYdady,

-j —j A s

граничным условиям и условиям сопряжения пластины и слоя

где A(l, Q, z) = —Ei sh ß2 ch ßxz + 2 ß ß2 sh ßi ch ß C(l, Q, z) = Eishß2 shßiz — 212shßi shß2z; F = F* — ßi shßi shß2 (Dl4 — L2Q2 )q2/с2 ;

z;

F* = Ei2chßi shß2 — 412ßiß2 shßi chß2

ßi = 12 — Q2, ß22 = 12 — Q2/c2 Ei = 212 — Q 2/ c 2

12 =a2 +y2;

L =pd c 2

c

2

c=

c

J —J

—J —J

3i

Окончательное решение рассматриваемой краевой задачи получим из (2) с помощью предельного перехода [9]: lim U£ = U .

£—-

Рассмотрим в качестве примера нагрузку, равномерно распределенную в прямоугольнике \х\<а, \y\<b, преобразование Фурье от которой имеет вид

/ \ 4 p sinaa sin yb F a,r) =-.

ay

Имея в виду в дальнейшем исследовать энергетические характеристики в слое, получим вначале асимптотическое представление решения вне области действия нагрузки. Асимптотические решения будем строить последовательно, вычислив вначале внутренние интегралы, а затем внешние в формулах (2). Считая, что х>а, для вычисления внутренних интегралов применим теорию вычетов, поскольку подынтегральные выражения (2) являются аналитическими функциями a и у. Не нарушая общности выводов рассматриваемой задачи, выбираем Q таким, что есть только полюса ±1 о£ подынтегральной функции, лежащие вблизи вещественной оси a и при е^0 принимающие вещественные значения. Остальные полюса, которые всегда остаются мнимыми, дают экспоненциальное затухание перемещений при и в расчет не принимаются. Выполнив описанные выше действия, т.е. применив теорию вычетов к внутренним интегралам, приходим к однократным интегралам, справедливым при x>a. Например, U £ после вычисления интеграла по a принимает вид

Ule =

2p 10sA(£pg,Qg, z)

Д

l = l 0.

x J sina0ga sin yb e-ia0sxe-

-ijy

где

l0s

dy, x >> a, (3)

Легко показать, что

Ima0e < 0

Cr

Рис. 1

На рис. 1 также указаны знаки, которые принимает 1ш.а0е,а0е = 1-( + ¿П) вблизи соответствующих

берегов разреза. Чтобы везде внутри контура выполнить условие 1ша0е < 0, на правом берегу разреза выбирается а0е = -д/120е -(<? + ¿п) .

Вводим полярную систему координат х1 = х - а = Я 008 в, у1 = у - Ь = Я Бшв .

Несложно показать, что асимптотические выражения для перемещений при Я^-да, а е^0 примут вид:

U i = _-

sin а0 a

'-Ail 0, Q, z)

l • ,

J Sin Y e i{doa-Yb )e iR (ao cos в-у sin в) dy _

0 Y

J°sinYb e -ii+Yb )e -iR («0 cos в+Y sin в) y

o Y

+ O

R,

U 2 =_ ^ A(l 0, Q, z )x

a0

l oe = l о - im,т > 0.

Применим метод контурного интегрирования к однократным интегралам вида (3). Предполагая, что y>b, контур интегрирования будем замыкать в нижней комплексной полуплоскости у = а + in . Наличие в подынтегральной функции точки ветвления у = 10e при использовании в дальнейшем методов теории функции комплексного переменного приводит к необходимости проводить разрез в нижней комплексной полуплоскости. Контур интегрирования в этом случае принимает вид, изображенный на рис. 1.

Сплошной линией выделен разрез, штрихпунктир-ной - петля L, причем как разрез, так и петля L стягиваются при е^0 к осям с и п.

J sin Y

j(cí0a_}b) iR(cí0 cos в-Y sin в

'dY +

(4)

Jsin Yb e_(0a+b e-iR(a0 cose+Ysine)Y

+ O|-

R j

/ ч sin a0 a

U 3 = _iC (l 0, Q, z )-f- x

a0

l°sinYb e i«-Y )eiR («0 cos в-Y sin в dY_

0 Y

_ lQ°sm yt> e-i(«0a+}b )e-iR («0 cos в+Y sin в )^^

0 Y .

A(l 0, Q, z )= 2 Pl 0A(l 0,Q,z),

+ j

дД

п—

dl l=l 0

C(l0,Q,z)= 2Pl0ÄC(l0,Q,z) .

дД

п—

dl l=l 0

В (4) не включены интегралы вида

П

l

0

i

2

а

0

X

л

1

СО

l

х

+

X

151П/12°+т a shiLA{i 0,0,

-Jt 2о +т2

t20 + т2 x■ e~Tydr,

возникающие из-за наличия полубесконечных отрезков петли Ь, лежащих вблизи мнимой оси, и не дающие вклада в поток энергии.

Переходим к получению асимптотики для интегралов (4) методом стационарной фазы, используя формулу [10]:

xb

2п

xs e

iRg(xs )±in / 4

R13

-it0(acosв+bsine) -iRl0 —Л/4

s1n0

+ 0(1 R),

и л(е 0 ) I 2n s1n(t0acosö)s1n(t0bsine)

U2 = -A(t 0,z'

x e

Rt 3

„ -it 0 (a cos e+b sin e I -iRt 0

cose

0(1/ R)),

(6)

тт — т(и 0 ) sin(l 0a cose)sin(l 0b sin$)

U о — iC 11Л , 0 2, Z I I X

3 v 0 ^R£0 cos^sin^

X e-i10(acos&+bsine)e-tRi0e ^/4 + O(l/R)

Переходим к определению потока энергии в слое. Из [11] известно, что поток энергии через цилиндриче-

п

скую поверхность 0 < z < 1,0 <в < —, R — cows/ в направлении R при фиксированном в имеет вид:

Pr =-

О2 Cg

,U), где Cg =-

5Д* /5Д*

51

5®

(7)

5(U,U) = Rj((1 U1 + U2U2 + U3U3)dz .

Из (7) вытекает, что поток энергии через указанную цилиндрическую поверхность при Я^ж будет равен

О 2 п/2

I с8вВ(и ,и )в.

Pr =

2

для слоя, укрепленного пластиной, и слоя без пластины. Если выбрать в качестве материала слоя сталь, а материал пластины - вольфрам, тогда д=1,973, р=2,266, с=0,544, а остальным параметрам задачи придать следующие значения: ^=0,5, 4=0,1, то графики потока энергии для различного типа нагрузок будут иметь вид, изображенный на рис. 2-4.

'(я)=и (х)е:ВД*>А "V як -х )■

я "(х. )* 0, Я^ю, (5)

где выбирается знак «+», если я"(х. )> 0 , и знак «-», если я"(х.)< 0; х. - седловая точка, являющаяся решением уравнения я' (х) = 0 .

Легко показать, что у. = 10Бшв - седловая точка вторых интегралов формул (4), а седловая точка первых интегралов не принадлежит отрезку интегрирования. Таким образом, асимптотическое представление интегралов (4) будет иметь вид:

и = А( о г) i 2п 0аС0Бв)п(0ьБшв)

Р11

_4 _4 ~4

2-10 44-10 46-10 4

e 1

Рис. 2

Pl1 Pl11

_4 _4 _4

2-10 44-10 46-10 4

Полученные формулы (6), (7) позволяют провести численное исследование распространения потока энергии в области х>а, у>Ь.

В работе было численно исследовано влияние пластины на распространение потока энергии в слое в зависимости от параметров пластины и различных видов нагрузки. Получили, что наличие пластины существенно влияет на поток энергии в слое, если плотность материала пластины больше, чем плотность материала слоя [8]. Приведем несколько графиков потока энергии

Рис. 3

Графики потока энергии для сосредоточенной силы изображены на рис. 2, для нагрузки, равномерно распределенной по линии длиной а=5 - рис. 3, равномерно распределенной в прямоугольнике с размерами а=Ь=10 - рис. 4. Более жесткая и с большей плотностью пластина увеличивает поток энергии, распространяющийся в слое.

Рассмотрено также, какое влияние оказывает наличие пластины на распространение энергии в слое в зависимости от отношения 4 в случае, когда действует сосредоточенная сила по сравнению с потоком энергии для слоя, не укрепленного пластиной. Для с=0,544, ^=0,5, д=1, р=1 показано, что с увеличением толщины пластины увеличивается величина потока энергии в слое. Относительное изменение потока энергии вычис-~ Р - Р

ляется по формуле: Г = —-—100 %, где РЯ - поток

энергии в слое, укрепленном пластиной, РЯ. - неукрепленном.

Р

e

e

2

psq j

psql i

0,01

0,025

0,05

0,08

0,1

0,15

0,6 38,5

1,5 148,4

3,1

1066,0

56,4

6,3 3,1

9,8 - 65,9

Таким образом, наличие пластины влияет на распространение энергии в слое, причем чем плотнее материал пластины по сравнению со слоем, тем больше это влияние.

Выше получены асимптотические формулы для перемещений в области х>а, у>Ь. Аналогичные формулы вне зоны действия нагрузки можно получить для областей х>а, у<-Ь; х<-а, у>Ь; х<-а, у<-Ь. Остаются неизученными области х>а, |у| < Ь ; х<-а, |у| < Ь ; |х| < а ,

у>Ь; |х| < а , у<-Ь.

Не нарушая общности изложения, получим асимптотическое решение только в области х>а, |у| < Ь ,

0 < г < 1, поскольку в остальных областях исследование можно провести аналогично. Как и ранее, рассматриваем нагрузку, равномерно распределенную в прямоугольнике. Внутренние интегралы формул (2) вычисляем для х>а, в результате получим однократные

интегралы вида (3). При ограниченном y подынтегральная функция такова, что нельзя вычислить однократные интегралы, замыкая контур интегрирования, как в нижней, так и в верхней полуплоскости, так как при этом sin ybeвозрастает, и тем самым нельзя

применить лемму Жордана. Чтобы последнее было возможно, необходимо представить выражение

sin ybe

-ЧУ

в виде суммы двух слагаемых и соответст-

61 Рис. 4

Однако если материал пластины гораздо плотнее материала слоя, например, с=0,544, 0=0,5, д=1, р=50, то с увеличением толщины пластины величина потока энергии в слое сначала растет, достигнув некоторого максимума, а затем уменьшается и становится в десятки раз меньше, чем в слое, не укрепленном пластиной. Результаты расчетов представлены в таблице.

Относительное изменение потока энергии Г , %,

в зависимости от отношения толщин £

( р = 1 - числитель, р = 50 - знаменатель)

венно разбить исследуемые интегралы на два.

•2í * )

Ukg = Uk1g - Uk2e> k = 1,2,3 ' где' напРимеР>

иШ =

2i

J sina0ga e —ia0gxe -ir{y-b)dr • -00 a0gY

U 12g =

= A(l 0g, Qg, z) 0 sin a

J

0g

e -ia0gxe-i'r(y+b)

dy.

2 -да а0еГ

Вычислим интегралы ик£, к = 1,2,3 при у<Ь, замыкая контур интегрирования в верхней комплексной полуплоскости. Контур интегрирования Г, построенный с учетом исследования, проведенного выше, изображен на рис. 5.

Г1

rR

п

-R

R а

Рис. 5

Подынтегральные функции икт£, к = 1,3, т = 1,2

имеют особенность в точке у=0. Важно отметить, что эта точка не является изолированной особой точкой и ее нельзя окружить малой окрестностью С§ такой, чтобы при достаточно малом е функция была аналитической внутри области, ограниченной полуокружностью С§. Действительно при е^-0 разрез принимает вид, изображенный на рис. 5 штрихпунктирной линией, а точка у=0 не является изолированной особой точкой. При этом в заштрихованной области а0е нужно выбирать в виде

a

0g

= 41

Vl 20g-(^ + in)2

(8)

а в остальной области соответственно со знаком «+», поскольку только в этом случае внутри всей области выполняется условие 1та0е < 0 . При е^-0 заштрихованная область занимает всю левую часть полукруга С§, в которой а0е имеет вид (8). В правой части окрестности С§ а0е имеет знак «+» перед корнем. С учетом этого обстоятельства интеграл по С§ принимает вид:

sina0 a

a0Y

e -iy{y-b

]dy =

Tii sin 10 a

,-it 0

2

1 0

-ia x

x

0

e

При этом очевидно, что точку у=0 необходимо обходить сверху. Если бы обход точки у=0 был снизу, она бы попадала внутрь области, ограниченной контуром, и нужно было бы учесть вычет в этой точке, что невозможно, поскольку она не является изолированной. Вычислив интеграл по С§, а в остальном следуя изложенной выше схеме, легко получить, например, что и принимает вид:

U1 = AR 0, Q, z)

Ii1 + Ii2 + P

sinl 0a

1 0

где

л sinVtо + Tа . Г2 2 e , , Ij =-2J--■— sinV1 о +т x--ckzyar;

-cosl 0x

„-tb

(9)

0 Vl 20 +T2

I2 = 21j0 sina0а si

sin«0 x • -

-cos^ydy.

0 a0 Y

Из формулы (9) вытекает, что внеинтегральные члены, полученные в результате вычисления интеграла по Cg, имеют вид волн, не убывающих на бесконечности. Легко показать, что в действительности таких волн нет. Это связано с тем обстоятельством, что интегралы в решении (9) содержат особенности в нуле. Действительно, рассматривая по отдельности каждый из интегралов, входящих в решение, видим, что они расходятся. Однако если их рассмотреть совместно, то особенности в нуле взаимно уничтожаются. При этом подынтегральные выражения видоизменяются таким образом, что получившиеся интегралы дают вклад такой же, как интеграл по Cg, только с противоположным знаком. С учетом этого обстоятельства и формулы (5) можно показать, что главные члены асимптотических разложений для исследуемых интегралов в полярной системе координат x1 = x - а = R cosö, y1 = y = R sinö имеют вид:

/ N.sina0 а U1 = AR 0, Q, z)-— x

2n e -lYb -n/A

i—.—7—rr-e 1/4 sin10(R + аcosö) + О\ —

VR^'Ys ) Ys V 7 lR

U 2 = 2 А(10, Q, z)x

(10)

12* e^ ^t (R + a+ОfI

) «02 ^ ' lR

U3 = CR 0, Q, z)x

^ ~e -n4cos 10 (R + a cos.)+of R

Rg (Ys) a02 Ys lR

Из полученных формул следует, что перемещения в области х>а, |y| < b убывают на бесконечно-1

сти, как —.

x

Из формул (10) также следует, что поток энергии, проходящий через сечение х>а, |y| < b, 0< z <1 на

бесконечность не распространяется.

Таким образом, проанализировано влияние пластины на распространение потока энергии в слое в зависимости от параметров пластины и слоя; выяснены те физические и геометрические параметры задачи, при которых влияние пластины существенно.

Доказано, что на распространение потока энергии и волн существенное влияние оказывает область, в которой действует нагрузка. Так, например, при действии нагрузки, распределенной по линии или в прямоугольнике, в отличие от осесимметричных задач для слоя существуют области, в которых поток энергии не распространяется. Одновременно с этим существуют области, в которых поток энергии распространяется на бесконечность, а волны также бегут от источника колебаний на бесконечность.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта CRDF REC - 004 и программы «Фундаментальные исследования и высшее образование».

Литература

1. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.

2. Мелешко В.В. // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 12. С. 76-82.

3. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Проблемы механики деформируемого твердого тела. СПб., 2002. С. 51-57.

4. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 16-18.

5. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 24-27.

6. Белоконь А.В., Белоконь О.А., Болгова А.И. // Тр. III Все-рос. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов н/Д, Новая книга. 2004. С. 78-80.

7. Болгова А.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып.: Математическое моделирование. 2001. С. 36-37.

8. Болгова А.И. // Численно-аналитические методы: Сб. науч. тр. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. 2004. С. 3-9.

9. Свешников А.Г. // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. № 3. С. 1011-1013.

10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М., Т. 2.

11. Белоконь А.В., Болгова А.И. О распространении волн в изотропном трехмерном слое // Тр. VIII Междунар. конф. Ростов н/Д, 2003. Т. 2. Современные проблемы МСС. С. 30-35.

Ростовский государственный университет

20 января 2005 г.

0

х