Особенности распространения плоских волн через слой неупругих сред с дислокациями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Особенности распространения плоских волн через слой неупругих сред с дислокациями

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

На основе уравнений полевой теории дефектов, описывающей динамику дислокационного континуума, исследованы закономерности прохождения плоских гармонических волн через слой вязкоупругих и упруго-вязкопластических сред с дислокациями. Определены коэффициенты отражения и преломления слоя для волн смещений и волн поля дефектов, распространяющихся в изучаемых средах. Проанализированы зависимости найденных коэффициентов отражения и преломления слоя от параметров контактирующих сред и его толщины. Найдены соотношения, определяющие экстремальные значения отражательной способности от толщины слоя.

Ключевые слова: дислокации, континуальная теория, калибровочный формализм, динамические уравнения, волны, границы раздела, коэффициенты отражения и преломления

Plane wave propagation through a layer of dislocation-containing inelastic media

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The mechanisms of plane harmonic wave propagation through a layer of viscoelastic and elastic-viscoplastic media with dislocations were investigated using equations of the field theory of defects descriptive of dynamics of dislocation continua. The reflection and refraction coefficients of the layer for displacement waves and defect field waves propagating in the media were determined. The reflection and refraction coefficients of the layer were analyzed depending on parameters of the contact media and thickness of the layer. Relations between extreme reflectivity and layer thickness were found.

Keywords: dislocations, continuum theory, gauge formalism, dynamic equations, waves, interfaces, reflection and refraction coefficients

1. Введение

В настоящей работе на основе анализа закономерностей прохождения волн через слой некоторых сред с дислокациями рассматривается влияние переходного слоя на процессы распространения деформаций в неупругих твердых телах. Данная работа является продолжением исследований [1-3], где на основе уравнений полевой теории дефектов, построенной в рамках калибровочного подхода, проанализированы особенности распространения волн в однородных средах с дислокациями и при наличии границ раздела. Рассматриваемая задача актуальна в связи с интенсивным развитием методов синтеза упрочняющих и защитных покрытий, а также различных способов получения биматериалов, например, диффузионной пайкой. Указанные методы при определенных условиях позволяют получить мате-

риалы и изделия из них с улучшенными служебными характеристиками, что является причиной их широкого использования и многостороннего изучения. Результаты экспериментальных исследований показывают, что механические свойства покрытий существенно зависят от переходного или адгезионного слоя между подложкой и покрытием [4-6], как и свойства биматериалов зависят от зоны диффузионного влияния, возникающей вблизи границы раздела соединяемых материалов [7]. Теоретическое изучение задач контакта упругих сред проводилось многими авторами [8, 9]. Известны результаты анализа прохождения волн через границу раздела вязкоупругих сред [10] и некоторых неупругих сред с дислокациями [11, 12]. Закономерности распространения волн через слой сред с дислокациями до настоящего времени не рассматривались.

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2013

2. Описание модели и постановка задачи

Исследование проводится на основе уравнений полевой теории дефектов, включающей динамические уравнения калибровочной теории дислокаций [13-16]:

Вд= -Рп > ^утдуатп = -Э</й - (1)

и кинематические тождества континуальной теории [17, 18]:

дАп = < еутду а тп = д0 Ьп > (2)

где атп, 1тп — компоненты тензора плотности и плотности потока дислокаций; р, атп — компоненты импульса среды и тензора напряжений; В, 51 — константы теории; е^т — тензор Леви-Чивиты; дп, д0 — символы, обозначающие производные по координатам и времени. По определению континуальной теории дислокаций параметры поля дефектов задаются тензором пластической дисторсии фгп

ат = еутду фтп , 1т = д0фт ,

что позволяет анализировать процессы пластического деформирования на основе уравнений (1), (2). Указанная система уравнений описывает динамику дислокационного континуума, характеризуемого тензором плотности дислокаций и тензором плотности потока дислокаций, при известных пространственно-временных распределениях напряжений и импульса или заданном определяющем соотношении среды. Рассмотрим упруговязкопластические среды, в которых тензор эффективных напряжений задан соотношением

°у = Еук1 дки1 +пЦИ1И, (3)

и вязкоупругие среды, определяемые уравнением

®у = Еук1д ки1 + д кГ1 • (4)

Здесь и1 — компоненты вектора смещений; Еук1, Оук1, ПуИ — компоненты тензоров упругих модулей и коэффициентов вязкости. В случае однородной изотропной среды тензоры упругих модулей и коэффициентов вязкости упругого тела имеют вид:

Еук1 = Х8у 8к1 + ц(8гк 8у + 8Й 8ук ),

= У8у8И + V(8ik8 А + 8Й8 ук ), где X, ц — коэффициенты Ламе; у, V — объемная и сдвиговая вязкость. Соотношение (3) впервые было рассмотрено и обосновано в [19] при условии Пуи = = п8у 8Н, где п — коэффициент вязкости пластически деформируемой среды, которое и будем рассматривать в дальнейшем. Напряжения и импульс р = рд0иг- (здесь р — плотность среды) удовлетворяют уравнению динамического равновесия д0Рп =дг-стгп, представляющее условие совместности (1).

Рассмотрим три однородные среды, разделенные плоскостями г = 0 и г = d, как показано на рис. 1, а, и характеризуемые набором шести констант р, X, ц, п, В, 51 в рамках модели (1)-(3) и семи констант р, X, ц, у, V, В, 51 в случае модели (1), (2), (4). Среда, заключенная между плоскостями г = 0 и г = d, представляет переход-

(5)

ной слой. На каждой из границ раздела, характеризуемой нормалью п, граничные условия для параметров поля дефектов определяются соотношениями

[В(п^т)] = °> [п1ат] = °>

[еикЩ1кп ] = 0, [^(ейкп1акп )] = 0, для смещений в случае идеального контакта имеют вид:

[п1и1] = ° [пАп] = (6)

3. Коэффициенты отражения и преломления слоя

Рассмотрим частный случай нормального падения первичной волны на границу раздела п || г, имеющий значительный практический интерес. Как следует из ранее полученных результатов [3, 11, 12], в рассматриваемых средах с дислокациями распространяются волны смещений

ит (г> 1) = ит ехр(-/Ю? + ^), (7)

связанные с динамикой компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны

Ьт (г> 1) = gzm ехр(-/ЮI + 1ктг), (8)

gzm = (Р“/Вкт )ит.

Здесь ю — частота; кт — волновое число; ит — константы; i = —\/Г; т = г, х, у. Волны смещений (7) и компонент тензора плотности потока дефектов (8) в упруговязкопластической среде распространяются со скоростями

^ =Ю кг = Сг/ ,

Гх = Гу = Ю кУ = СУ/ V1 +1^ 8 >

в вязкоупругой среде скорости равны:

Г =Ю К = Сг ^1—7ТЕ57,

¥х = Гу =ю ку = СуЛ/Г—7ТЕ8у •

В обоих случаях каждая из скоростей определяется скоростью продольных или поперечных упругих волн Сг =у1 (Х + 2ц)/р, Сх = Су = -у/ц/р и соответствующими тангенсами углов потерь:

8 = п/£ю = ю0/ю, где ю0 =п/В, (11)

1е8 г =ю(у + 2v)/(X + 2ц),

^8 х = tg8 у =ю^ц •

Можно ввести показатели преломления N N и поглощения х, Х [20], записав волновые числа в виде: к1 =ю( N + г'Х)/С1 для упруго-вязкопластической среды и к1 = ю( Ni + i%i)/С1 для вязкоупругой среды, i = г, х, у, что позволяет найти связь показателей преломления и поглощения с тангенсами углов потерь.

Динамика компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскостях параллельных направлению распространения волны может быть описана выражениями

!у ^ г) = gij (г)ехр(-;'юг + Ж]г) (13.1)

при i = х, у, j = г, х, у и

(9)

(10)

(12)

и° ^1П б

и+2 и-2 к-

Ут

ъ - = 0 г = -й 2

Рис. 1. К описанию геометрии и моделей среды (а); отражение и прохождение плоской волны через слой (б)

(14)

I у (г, г) = g у ехр(-т+ік ) (13.2)

при j Ф і = х, у. Компоненты (13.1) определяются средними волновыми числами

К2 = (к + кх )/2 = (к + ку )/2,

Кх = Ку = (к + кг )/2 и амплитудами gij (г), представляющими функции координат, вид которых приводится в [3, 11, 12]. Амплитуды компонент (13.2) являются постоянными величинами, их волновые числа в упруго-вязкопластической среде вычисляются по формуле

К = к = т( N + іх)/С , (15.1)

в вязкоупругой среде находятся таким образом:

К = к = тс, С = 4Щв. (15.2)

По известным компонентам тензора плотности потока дислокаций (13.1), (13.2) на основе кинематического тождества, представляющего закон сохранения вектора Бюргерса, могут быть найдены следующие компоненты тензора плотности дислокаций:

ахт.(г) = -ід гіут/О аут (г) = ід21хт/0). (16)

Компоненты тензора плотности дислокаций на плоскости фронта волны согласно (2) тождественно равны нулю а 2т = 0.

В общем случае на границе раздела существуют три типа волн (рис. 1, б). В первой среде для каждой из величин (7), (8), (13), (16) необходимо учитывать падающую и отраженную волну. Для компонент вектора смещений указанные волны запишутся в виде:

ит (г, г) = ит ехр(-і°г + ікт г), ит(г, г) = иХт ехр(-іт - іктг).

Поле внутри слоя 2 определяется через положительную волну, прошедшую через границу при z = 0, и отрицательную волну, отраженную от границы при z = d,

иц г, г)=(ит2 ехр(ікт г)+

(17)

+ и^ ехр(-іктг))ехр(-ітг).

(18)

Прошедшая волна в среде 3 будет иметь вид:

и К 2, t) = ыът ехр(- Ш + 'к1( 2 - d)). (19)

Здесь и далее верхние индексы 1,2,3 обозначают принадлежность к первой, второй и третьей среде; индекс 0 соответствует падающей волне, очевидно, что ^ = к1т.

Подставляя (17)-( 19) в граничные условия (6), для амплитуд компонент вектора смещений можно получить следующие системы уравнений при z = 0:

ит + ит ит + ит ,

Мткт (ит - ит ) = Мткт (ит - ит )

и при z = ^

ит2 ехр(ікт й)+и~т ехр(-кт й >=изт,

М1гк1(и+т ехр(ік1.й) -

(20)

(21)

- и~т ехр(-іктй))=мт кт иът,

где Мт — обобщенные упругие модули. Для каждой из трех упруго-вязкопластических сред

М[ = (2А,' + ^' )/( 1 + г tg 8*),

МХ = му = цг'/(1 + г 5'),

в вязкоупругих средах

М[ = (2Х' +цг )(1 - г tg 52),

МХ = му =^ (1 - г ъ 5'у) а = 1, 2, 3).

Разрешая (20), (21) относительно амплитуды отраженной и прошедшей волны, получим выражения для коэффициентов отражения и преломления слоя волн смещений:

=[(і+ехт -1)+(т - 1X1+т)х

23

м12>

х ехр(і2кт й )][(1 + Гт23)(1 + т2) + +(т - 1)(г12 - 1)ехр(і 2кт й )]-1,

(22)

иг = 4гі3[(1 + г^3 )(1 + Г^2 ) ехр(- ік1т й ) +

23

12

2

(23)

+ (г2 - 1)(г^2 - 1)ехр(гк2d )] 1.

Здесь г21 == М2к2т/(МтО, г32 = М3кЦМ2тк2 , г12 = = 1/г21, г23 = 1/ г^2. Соотношения (22), (23), определяющие, как слой материала влияет на распространение волн смещений, с учетом выражений коэффициентов отражения и преломления на границах раздела

Rl2 =-

1-

21

23

Rl =

1+Г

1 - Г

21

712 =

’ 1 т.

32

1+Г

32

^23 =

1+Г 2

21

1+Г

32

могут быть записаны следующим образом:

т = й)

т и°т 1+птятзехр(і2к2тй)’

Р = иі = ехр(іктй)

т и°т 1+пт2птз ехр(іік2тй)■

(25)

В случае перестановки крайних сред или при изменении направления распространения падающей волны коэффициенты отражения и преломления слоя примут вид:

г = Ч» = Кт + К, ехр(і2кшй) т и0 1 + п32 п21ехр(і 2к2 й)’

Р = ит = ут2іуі2 ехр(ік2 й)

т и0 1 + К32 К21ехр(/2к2 й )■

(26)

При d ^ 0 из (25), (26) следуют равенства, соответствующие границе раздела двух сред:

,1/0 = „13 „3/0 = тИ3

ит1ит , т/ т Ут ,

,,3 ДО = п31 „1/0 = тл31

ит1ит , т/ т Ут ‘

Учитывая, что для коэффициентов Френеля (24) справедливы равенства

/?12 = — Р 21 1 + р12 = у12 1 + т21 = у21

Тт , 1 ' ут , 1 ' ут ,

выражения для коэффициентов отражения и преломления слоя в случае контакта с одинаковыми средами примут вид:

Я^1 — ехр( г2 к2 d))

Р =

1- (П»)2 )2 ехр(і 24 й)’ (1 - (ПІ2)2)ехр(ік2 й) 1- (К)2 )2 ехр(і 24 й )■

(27)

На основе (20), (21) и (8) были найдены коэффициенты отражения и преломления слоя для компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны:

'-‘гт о

Р =-

(28)

Р .

?3/,3 „1 т

В кт Р

Равенства (28) также могут быть получены на основе (25) и ранее установленной связи коэффициентов Френеля волн смещений и волн компонент тензора плотности потока дефектов на фронте волны: ВЦ =

тт=в2 кт р7( ввд тц.

Граничные условия для компонент параметров поля дефектов (5), эквивалентные системам равенств при z = 0:

g0 + g1 = я+2 + g-2

6 хт 6 хт & хт & хт ’

51К1 (g0 - g1 ) = 52К2(е+2 - g“2)

т\&хт Ьхт! т\&хт Ьхт!

и при z = d:

g^m Єхр(іК2й) + ехр(-ІК2й) = gL,

52К1^Ї1Єхр(іК2й) -

gxm ехр( ІКтй)) = 3 КтЯхт,

(29)

(30)

позволяют получить выражения коэффициентов отражения и преломления слоя для волн компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости параллельной направлению распространения волны в виде:

тх =

Р =

хт о

= В12 + ^^рО' 2К2 й ) Яхі 1 + Вх2 й У

g3

х

х х ТхтТхт exP(ІKmй)

яхт 1+пхт вх3 ехр(і 2к2 й)

Здесь

12 -1 п12 = Ят 1

Вхт _ 12

12 = 2ят

В23 =

Ят + 1

Я23 -1

Т =

1 хт ~ 12

~хт 23

Т 23 =

’ Тхт ~

.... +1 2Я 23

(31)

(32)

(33)

7 3 . 1 ' хт 2 3 ,1

Чт + 1 Чт + 1

есть коэффициенты Френеля волн 1т на границах раздела, ч12 = 5^/(52к^, ч23 = 51кЦ(БК), Ч21 = = 1Ч12, Чт = VЧт [3]. ПОскОльку амплитуды /хг, 1ХХ компонент зависят от координат, то соответствующие выражения (31), (32) могут быть найдены лишь приближенно в рамках метода медленно меняющихся амплитуд [21, 22]. Указанный метод предполагает, что дzgxz (г) = 0, дzgxx (г) = 0. Найденные соотношения (25), (31), (32) совпадают с аналогичными выражениями, описывающими распространение звуковой волны через слой жидкости [8] и электромагнитной волны через однородную диэлектрическую пленку [23]. Автор [24, с. 451] приводит для коэффициента преломления электромагнитной волны, проходящей через слой, выражение, отличающееся от (23), (32) дополнительным множителем ехр(—гк3d), поскольку преломленная волна в его работе Е3 (г, г) = е3 ехр(—г'юг + гк3г) не совпадает с (19).

4. Отражательная и пропускательная способность слоя

Отражательная и пропускательная способность, определяемые квадратами модулей коэффициентов отражения и преломления слоя, позволяют установить, как плотность потока энергии падающей волны распределяется между плотностями потоков энергии отраженной и прошедшей волн при прохождении через слой [8, 23, 24]. Для компонент вектора смещений указанные величины равны

Ет = \Ьт |2, Е3 = Р^ЛРО! Рт |2. (34)

Для компонент поля дефектов на плоскости фронта волны и на плоскостях параллельных направлению распространения волны имеют место следующие выражения:

„3Т,3

|2

Егт = \Тгі Ехт = \Тх,

= В3ІІI р гт в1г11 гя

3 ,

рЬ = ^ г хт \р

Ехт еЬ/3 1Рх?

3 ' хт

Выражения для плотности потока энергии волн смещений (34) хорошо известны, для волн поля дефектов (35) были получены в [25]. Если комплексные коэффициенты Френеля на границах раздела (24), (33) представить в экспоненциальном виде, то квадраты модулей коэффициентов отражения и преломления слоя (25), (28), (31), (32) примут вид:

\Т |2 = ЛЩ + 2 аш аш к - Фщ + 2кЩd)

1 т лщ+та^а^ноа8(Фт2+фт+х^у

___________(у12 у13аН )х _ ,

ЛЩ + 2 ахтт а% к С0^2 + фЩ + 2к1 d) ’

| т

К |2 = \Ьт |2, \Рт |2 =

Втр3 кт

в У к3 т

л1т + 2аХт аХ1 Н с°5(ф13 — фХт + 2Кт d ) ЛХт + 2 аХт аХтН С0^фХт + ф13 + 2 Ктd )

__________(ур1^)1 _

ЛХт + 2аХт а23 н сов(фХЩ + фХЩ + 2Кт d )

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

В (36)-(40) учтено, что волновые числа к2 = к2 + +г^т, К2 = К2 + К2 комплексны и приняты следующие обозначения:

Ь = ехр(—2£2d), Дй = ехр(—к^d),

Н = ехр(—2К2d), ДН = ехр(—Ктd),

лщ = 1 + (а”^^ н )2, л2 = (а Щ )х + (а^к )2,

ЛХт = 1 + (аХт)2(аХ3Н)2, Л;2т = (аХ2)2 + ^Я)2,

12 12 12 12 23

а , аХ , у , уХ , у френеля; ф^2, фХЩ, Йщ, дальнейшем условимся, что |Рт| = Ит, |Рг Р I2 = N .

Х Х

... — модули коэффициентов

12 ... — аргументы. В

2 2

2 ^ 12 = N ,

5. Анализ результатов

Полученные аналитические результаты позволяют детально исследовать, как параметры граничащих сред

и толщина слоя влияют на распространение волн смещений и поля дефектов в упруго-вязкопластических и вязкоупругих средах с дислокациями.

5.1. Особенности прохождения через слой волн смещений

Рассмотрим влияние толщины слоя на распространение волн смещений на основе анализа выражения (36). Поскольку зависимости отражательной способности других величин (38), (39) от толщины слоя аналогичны, то установленные закономерности будут иметь общий характер. Из условия существования экстремума отражательной способности слоя от толщины дЕ т/дк = 0, где к = 2к^ d, можно найти выражение

Лт Ы^Ф» + Фт + 2 к2 d ) — Лт ^п(Фт +

+ 2к1 d — Ф^2) + 2am2а2 ^^Ф^ = 0, (41)

которое имеет более простой вид при Ф17 = 0 или при Фт = Фт = °> когда

(Л — Лm)sin(фтз + 2кт d) = 0 или

(Л2 — Л1^т(2 к2 d) = 0.

В последнем случае экстремум Ет имеет место при условии sin(2 к2 d) = 0, что соответствует

2кт d = пд или 4л^/X Щ =Щ, q = 0, 1, 2, ..., (42)

где Xт — длина волны в слое. Характер экстремума (41) определяется знаком второй производной д2 Е1т /д 2к или знаком выражения

Лт ^Ф^2 + фЩ3 +Зх d) —

— лт ^Ф^3 + 2 к2 d — ф1т2). (43)

В случае Ф12 =ф23 = 0 (41) соответствует максимуму отражательной способности, если Л2 — Ат > 0, 2ктd = (2ч + 1)п или Л2 — Лхт <0, 2к2d = 2дп, минимум имеет место при условиях Л2 — Лт > 0, 2к^ = = 2дп или Лт — Лт < 0, фХ3 + 2кщ^ = (2д + 1)п, где q = 0, 1, 2. Экстремум пропускательной способности, определяемый условием дЕдк = 0, имеет место при выполнении равенства

Рис. 2. Зависимость квадратов модулей коэффициентов отражения слоя (а) и преломления (б) волн компонент вектора смещений от безразмерной толщины при рСхт, р2С^ р3С3 = 0.5, 1.0, 1.5 (1); 1.5, 1.0, 0.5 (2); 0.5, 1.0, 0.5 (3); 0.5, 1.0, 0.8 (4); 0.8, 1.0, 0.5 (5); 1.5, 1.0, 1.5 (6); 1.7, 1.0, 1.5 (7); 1.5, 1.0, 1.7 (8) соответственно; во всех случаях tg 5 Щ = tg 52 = 0

Рис. 3. Зависимость квадратов модулей коэффициентов отражения слоя (а) и преломления (в, д), косинусов их аргументов (б, г) и относительной плотности потока энергии преломленной волны (е) от отношений упругих импедансов граничащих сред при

= 1/4, tg 5т = 0

8ш(<р1? +ф13 + 2к2й) = 0. (44)

В простейшем случае ф^ = ф13 = 0 условия существования экстремумов (41), (44) совпадают. В работах [11, 12] было установлено, что аргументы коэффициентов отражения волн смещений, зависящие от отношений упругих импедансов граничащих сред

р2 =^2/(^0, р32 =^3/(^2)

и тангенсов углов потерь, равны нулю, если контактируют среды с нулевыми или равными тангенсами углов потерь и наибольшим значением упругого импеданса первой среды. Например, ф^ = ф13 = 0 в упруго-вязкопластической среде имеет место при р1С1 > р2С2 >

> р3с3 и tg5>mг=tg5m=tg 5тили tg5m=0 о=1 2, 3 ).

Условие фЗ2 = 0 выполняется при рСЩ >р2Ст, 1в5т = tg52 или tg5m = tg5m = 0. Если упругий импеданс первой среды меньше импеданса второй среды,

то ф!«2=п при tg5m = ^5т или tg5m=tg5m=°-

На рис. 2 приведены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и преломления слоя волн смещений от безразмерной толщины /^ = ^ХЩ при различных значениях упругих импедансов граничащих сред и нулевых тангенсах углов потерь. Данные зависимости одинаковы для обеих рассматриваемых сред (3), (4). Для представленных кривых 3-5 ф!7 =п, Фт = 0; для кривых 6-8 ф т = 0, фт = п; для кривой 2

Рис. 4. Зависимость квадратов модулей коэффициентов отражения слоя (а) и преломления (в, д), косинусов их аргументов (б, г) и относительной плотности потока энергии преломленной волны (е) от отношений упругих импедансов граничащих сред при

т = 1/2, tg 5т=0

фЩ = фЩ = 0, для кривой 1 ф!7 = фЩ = п. Как было установлено, экстремальные значения еЩ , Nm наблюдаются при толщине слоя кратной четверти длины распространяемой в слое волны. Отражательная способность максимальна в случае зависимостей 1, 2 при толщине слоя кратной d = Х2т/2, в случае кривых 3-8 — при d =Х!!/4 Для Nm имеет место противоположная ситуация: минимум зависимостей 1, 2 имеет место при d =Х2т/2, кривых 3-8 — при толщинах кратных d = ХЩ/ 4. Следует отметить, что несмотря на различие коэффициентов отражения и преломления при прямом и обратном направлении распространения волны (25), (26), квадраты их модулей совпадают, о чем свиде-

тельствуют кривые 1, 2, 4, 5, 7, 8 на рис. 2, а. Для квадратов модулей коэффициентов преломления (25),

(26) равенств аналогичных кривых не наблюдается (рис. 2, б).

На рис. 3, 4 представлены более подробные зависимости рассматриваемых величин от отношений упругих импедансов контактирующих сред при толщине слоя, равной четверти и половине длины волны. В обоих случаях максимальные значения отражательной способности, равные единице, наблюдаются на осях координат, когда одно из значений р!,2, Рт равно нулю. В случае трех сред это выполнимо, если р2СЩ ^ При толщине слоя, равной четверти длины волны, еЩ ^ 1 также

Рис. 5. Зависимость квадратов модулей коэффициентов отражения слоя (а) и преломления (б) волн компонент вектора смещений от толщины при наличии диссипации рСЩ, Р2ст, Р3ст = 0.5, 1.0, 1.5 (1, 3, 5, 5'); 1.5, 1.0, 0.5 (2, 4, 6, 6'); tg5 Щ = 1н5 = 0 (1, 2), 0.09 (3, 4), 0.9 (5, 5', 6, 6')

при рт , рт ^ Минимумы отражательной способности и изменения аргумента коэффициента отражения слоя наблюдаются при одних и тех же значениях отношений упругих импедансов рис. 3 и 4. Максимум Nm имеет место при рЩ = 0 и любых значениях рв случае d = ХЩ/2, в случае d = ХЩ/4 при рЦ > 1. Если слой контактирует с одинаковыми средами, то согласно (27)

Е1 = 0 N = 1

Ет 0 т 1

при толщине слоя, равной половине длины волны, и ЕЩ = 4а7(1 + а4 + 2а2 ^(2ф)),

Nm = ЕЩ (1 + а4 — 2а2 а*(2ф))/(4а2 )

при d = Х2т/4. Здесь а — модуль коэффициентов отражения на границах раздела; ф — аргумент. Несложно определить экстремальные значения этих величин. Минимум ЕЩ имеет место при а = 0, когда рЩ = рЩ = 1, максимум наблюдается при а = 1, когда рЩ = рЩ = 0 или рЩ = рЩ2 ^ Величина Nm, напротив, максимальна при а = 0 и минимальна при а = 1.

5.2. Особенности распространения волн смещений при учете диссипации энергии

Результаты расчетов на рис. 2-4 получены при условиях tg 5Щ = tg 52 = 0, что соответствует упругим колебаниям, при которых энергия не рассеивается и отражательная и пропускательная способность слоя удовлетворяют закону сохранения энергии ЕЩ + ЕЩ = ЕЩ. При учете диссипации энергии, когда tg 5Щ, tg 52 Ф 0, часть энергии рассеивается и ЕЩ + ЕЩ = ЕЩ Ф 1. Результаты, представленные на рис. 5, демонстрируют влияние диссипации на рассматриваемые зависимости величин от толщины слоя. При наличии вязкости слоя отражательная способность и квадрат модуля коэффициента преломления, как и пропускательная способность, уменьшаются с увеличением толщины слоя (рис. 5). Предельные закономерности при увеличении вязкости заключаются в том, что по мере роста толщины слоя Nm стре-

мится к нулю, а ЕЩ — к некоторому значению, соответствующему балансу энергий различных волн и рассеиваемой энергии при данной толщине слоя. В отличие от упругой среды (кривые 1, 2) отражательная способность при наличии вязкости зависит от направления распространения волны, об этом свидетельствует несовпадение кривых 3 и 4 на рис. 5, а, описывающих как вязкоупругие, так и упруго-вязкопластические среды при малой диссипации. При большей вязкости распространение волн в слое разных сред становится различным. На рис. 5 цифрами со штрихом обозначены кривые упруго-вязкопластической среды, отличающиеся от аналогичных зависимостей вязкоупругой среды при больших значениях диссипации. Учет вязкости в первой среде или третьей приводит к сдвигу положений экстремумов Ехт, Nm по толщине слоя, более заметному по сравнению с теми же величинами вязкости в слое, и изменению значений ЕЩ, Nm при больших тангенсах углов потерь. По сравнению с упругой средой при учете вязкости первой среды экстремальные значения Е1т наблюдаются при меньшей толщине слоя в случае рСЩ < Р2СЩ < Р3СЩ и при большей толщине слоя в случае рСЩ >р2Ст >р3С3т. В случае вязкости третьей среды имеет место противоположная ситуация. Характер сдвигов экстремумов Ехт, Nm по толщине слоя при учете вязкости для обеих рассматриваемых сред одинаков.

5.3. Закономерности распространения волн поля дефектов

Как было установлено в (28), коэффициенты отражения слоя волн компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны совпадают с аналогичными величинами для волн смещений, рассмотренных в предыдущем разделе. Для коэффициентов преломления слоя волн компонент 12т, в первую очередь, следует отметить прямо пропорциональную зависимость от отношения констант, характеризующих инер-

ционные свойства дислокационного континуума (28). Если слой граничит с одинаковыми средами, то наряду с равенством коэффициентов отражения совпадают коэффициенты преломления волн смещений и компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны Р2т = Рт. Эквивалентные в случаях tg 5Щ = tg 5Щ = 0 и tg 51 = tg 53 = 0 распределения косинусов 0т и 02т (28) приведены на рис. 3, г и 4, г. Квадраты модулей коэффициентов преломления N2т представлены на рис. 3, д и 4, д при В1/В3 = 1, их зависимости от tg 5Щ и tg 52 аналогичны Nm на рис. 5, б.

Несложно показать, что для коэффициентов отражения волн компонент 1хт, 1ут выполняются равенства ^ (31), (33). Аналогичные

Ьxz Lyz, ЬXX Ьуу, Ьху ^ух

тождества справедливы для коэффициентов преломления Р* = РУ2 , Рхх = Руу

(31)-(33), (13), (15), коэффициенты Ьху, Рху можно вы

Рху = Рух (32), (33). Согласно

разить через отношения констант ^12 = л/ЗтВУ(32В2), g32 = ^/З^В^З^В2, характеризующих континуумы дислокаций контактирующих сред, и в случае упруговязкопластической среды — тангенсы углов потерь. Величину л/ЗВ = вс можно рассматривать в качестве «пластического импеданса» среды, поскольку С — скорость дислокационного континуума, В — константа, определяющая его инерционные свойства. Характер за-

висимостей Ь , Р от отношений пластических импе-

12 32

дансов g , ~

= й/ь

и безразмерной толщины слоя :

^ху (Ьху = 2п/к — длина волны; k — волновой вектор (15.1), (15.2) компонент I в слое) аналогичен зависимостям Ьт, Рт от толщины слоя на рис. 2 и от отношений упругих импедансов на рис. 3, а-г и 4, а - г.

В случае компонент 1Х2, 1хх коэффициенты отражения и преломления (31), (32), определяемые волновыми векторами ш

К = ^л/1+Її§8 (1 + С/Сх),

(45)

Кх = ^/1+^ (1 + С/С2 ) в упруго-вязкопластической среде и

/ Л

К =

Кх =

2С

ш

2с

1+

с

1+

V

(46)

в вязкоупругой среде, наряду с отношением пластичес-

12 32

ких импедансов g , g зависят от отношения скоростей С/Сх , С/С и тангенсов углов потерь в каждой из сред. При нулевых тангенсах углов потерь волновые вектора (45), (46) совпадают. Чтобы установить зависимости коэффициентов отражения и преломления слоя

Рис. 6. Зависимость квадратов модулей коэффициентов отражения слоя (а, в) и преломления (б, г) волн компонент 1ХХ от толщины при ВтС 1 В2С2, В3С3 = 0.5, 1.0, 1.5 (1); 1.5, 1.0, 0.5 (2); 0.5, 1.0, 0.5 (3); 0.5, 1.0, 0.8 (4); 0.8, 1.0, 0.5 (5); 1.5, 1.0, 1.5 (6); 1.7, 1.0, 1.5 (7); 1.5, 1.0, 1.7 (8) и С1/С\, С2/сХ, С3/С3 = 0.05, 0.01, 0.05 (а, б), 0.5, 0.9, 0.5 (в, г) соответственно; tg 5Щ = tg 52 = 0

Рис. 7. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения (а, в) и преломления (б, г) волн 1хх компонент тензора плотности потока от толщины слоя при В1Ст, В2С2, В3С3 = 0.5, 1.0, 0.8 (1, 1', I, I') и 0.8, 1.0, 0.5 (2, 2', II, II); С1 /С12 = 0.01, 0.05, 0.01 (а, б); 0.5, 0.3, 0.1 (в, г) соответственно, tg 5Щ = tg 52 = 0 (1, I, 2, II), 0.9 (1', /, 2', II')

компонент 1Х2, 1ХХ от отношения скоростей С/Сх, С/С2, рассмотрим два предельных случая. Если отношение скоростей в каждой из трех сред порядка единицы (С /СХ, С/С? * 1, i = 1, 2, 3) , выполняются равенства Ьх? = Ьхх = Ь > Рх2 = Рхх = Рху и справедливы резуль-

2 О 12 32

таты на рис. 2, 3, 4, а-г при замене 1т на 12у, рт , рт на g12, g32, как ранее отмечалось для Ьху, Рху. Если отношения скоростей в каждой из трех сред много меньше единицы С1 /С12 << 1, С1 /С1х << 1, то несмотря на равенство коэффициентов Френеля на границах раздела

(яц=ях=Ymт=Yxт=YХy2 и т.д.), ^^ ^,

РХ2 = Рхх Ф Рху, поскольку К2 = Кх = 2Ку. В этом случае для анализа зависимостей Е1ХХ, Nxx (как и Е1Х2, Nxz) от безразмерной толщины слоя достаточно рассмотреть кривые еЩ , Nm от нуля до 1Щ = 0.5 на рис. 2, полагая значения «пластических импедансов» равными упругим импедансам. На примере величин Е1ХХ, Nxx было проанализировано влияние различных значений отношения скоростей в каждой из трех контактирующих сред. Рассматривались неравенства

с 1 /с] < с VсХ > с 3/с23, с V с] > с 2/ с?2 < с V с3, СVс] < С2/с2 < С3/с23,

СVс] > С2/С22 > СVс23 и т.д.

При любых неравенствах в случае С1/С2 << 1, зависимости квадратов модулей коэффициентов преломления от толщины слоя качественно и практически количественно совпадают с результатами, приведенными на рис. 6, б. Отражательная способность кривых 3 и 6, рассчитанных при равных пластических импедансах крайних сред (рис. 6, а), также не изменялась. Относительно совпадающих кривых 1 и 2, 4 и 5, 7 и 8 на рис. 6, а следует отметить, что две последние пары меняются местами в случае СХ/С] < С2/С] > С3/С:?, а кривая 1-2 остается неизменной. При последовательном изменении отношений скоростей значения кривых 1 и 2, 4 и 5, 7 и 8 совпадают в середине слоя, где отражательная способность зависимостей 1, 2 минимальна, а 4, 5 и 7, 8 максимальна. На границах слоя отражательная способность этих пар кривых будет различна. В случае последовательно увеличивающихся отношений скоростей

на граНИДах Сл°Я Е1х (1) > ЕХх (2), Е\х (4) > Е1х (5),

Е1ХХ (8) < Е1ХХ (7), в случае уменьшающихся отношений скоростей знаки неравенств меняются на противоположные Е]сх (1) < Е]сх (2) и т.д. Отмеченные особенности отражательной способности парных кривых 1 и 2, 4 и 5, 7 и 8 имеют место и при отношениях С1 /С12 * 1 (рис. 6, в). Кривые 3, 6 максимально различаются при СVС < С2/С2 > С IС\, сближаются при с V с1 >

> с 7 сХ < с 7 с3 и занимают промежуточное положение при других неравенствах в случае С'/Сг2 * 1. По сравнению с результатами, полученными при С1/С] < < С7С,2 > С7С3 (рис. 6, в, г) , для других рассмотренных неравенств отношений скоростей этого же порядка наблюдается увеличение периода колебаний Е1ХХ, Nxx по толщине слоя.

Анализ влияния вязкости слоя на распространение волн компонент 1Х2, 1ХХ позволил установить, что отражательная способность слоя и величины, определяемые квадратом модуля коэффициента преломления волн данных компонент, уменьшаются с увеличением толщины слоя в вязкоупругих и упруго-вязкопластических средах. Степень их уменьшения пропорциональна величине тангенса угла потерь в слое: чем больше тангенс угла потерь, тем меньше значения указанных величин при фиксированной толщине слоя. На рис. 7 приведены зависимости отражательной способности и квадрата модуля коэффициента отражения волн компоненты 1ХХ от толщины слоя при нулевом и отличном от нуля значении тангенса угла потерь для двух последовательностей значений пластических импедансов сред. Были рассмотрены отношения скоростей С1/с1,, удовлетворяю-щиеразличным неравенствам в случае С1/С, << 1 и С1 /С1, * 1. Зависимости вязкоупругих сред на рис. 7 обозначены арабскими цифрами, упруго-вязкопластических сред — римскими.

При учете вязкости слоя в упруго-вязкопластических средах наблюдается изменение Е1ХХ, Nxx при I\'х = 0, в вязкоупругих средах изменений в начале слоя при tg 5Щ Ф 0 нет. Качественные изменения Nxx при учете вязкости слоя и различных параметрах рассматриваемых сред представлены на рис. 7, б, г. Изменения отражательной способности слоя Е^ при учете вязкости и вариациях параметров сред более разнообразны. Если с'1 с1 = С V С3 , то величина изменений Е1ХХ, Nxx в начале слоя при учете вязкости не зависит от последовательности значений В'С1. Рассмотренные значения с) с, * 1 и с1 С << 1, отличающиеся на порядок, также не оказывают заметного влияния на величину изменений Е1ХХ, Nxx на границе слоя при одинаковых значениях тангенсов углов потерь и равенстве отношений скоростей крайних сред. При одних и тех же значениях вязкости наибольшие изменения Е1ХХ, Nxx по толщине слоя наблюдаются при отношениях скоростей, удовлетворяющих условию С1/С] < С7С, > С7С,. Если с1/с] Ф с 7 с,, то отражающая способность Е^ упруго-вязкопластических и вязкоупругих сред зависит от последовательности значений пластических импедан-сов при любых значениях вязкости в случае С1 /С2 * 1 (рис. 7, а). При С1/С2 << 1 и неравенстве отношений скоростей крайних сред отражающая способность Е^ также зависит от последовательности значений В'С1 за исключением середины слоя, где кривые 1, I и 2, II

совпадают, и начала слоя, где зависимости I, II практически не различимы.

Таковы некоторые особенности распространения волн через слой вязкоупругих и упруго-вязкопластических сред с дислокациями. Полученные результаты представляют предельные закономерности распространения волн через слой рассматриваемых сред при произвольном угле падения и могут быть использованы в качестве эталона данного исследования. Данные результаты могут быть востребованы при конструировании защитных и упрочняющих покрытий, анализе и интерпретации данных сейсмических исследований и методов неразрушающего контроля.

Литература

1. Чертова Н.В., Чертов М.А. Распространение плоских волн поля дефектов в вязкоупругой среде // Письма в ЖТФ. - 2005. - Т. 31. -

№ 7. - С. 25-32.

2. Chertova N. V, Chertov M.A. Propagation features of plane waves of defect field across the interface boundary between viscoplastic media with arbitrary damping // Int. J. Engng. Sci. - 2006. - V. 44. - P. 16011610.

3. Чертова Н.В. Волновые процессы в твердых телах с дефектами // ПМТФ. - 2008. - Т. 49. - № 6. - С. 190-197.

4. Панин С.В., Коваль А.В., Почивалов Ю.И. Особенности разрушения

образцов малоуглеродистой стали с боридными слоями различной толщины при одноосном статическом растяжении // Физ. мезо-мех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 85-95.

5. Фортуна С.В., ШаркеевЮ.П. Особенности микроструктуры моно-слойных нитридных покрытий // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. -№ 3. - С. 29-35.

6. Панин В.Е., Слосман А.И., Колесова Н.А., Овечкин Б.Б., Молчанова И.Ю. Влияние толщины упрочненного слоя на формирование мезоструктур при растяжении поверхностно упрочненных образцов // Изв. вузов. Физика. - 1998. - № 6. - С. 63-69.

7. Бедель Л., Игна М., Декстр И., Ричетти Б. Определение полей смещений вблизи границы раздела, полученной диффузионной пайкой // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 47-54.

8. БреховскийЛ.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. - М.: Наука,

1989. - 416 с.

9. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. - М.: Наука, 1966. - 168 с.

10. Cooper H.F., Jr. Reflection and transmission of oblique plane waves at a plane interface between viscoelastic media // J. Acoust. Soc. Am. -1967. - V. 42. - No. 5. - P. 1064-1069.

11. Чертова Н.В. Особенности прохождения волн через границы раздела вязкоупругих сред при наличии дефектов // ПМТФ. -2011.- Т. 52. - № 2. - С. 134-143.

12. Чертова Н.В. Волновые процессы в упруго-вязкопластических средах с дислокациями // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 5. -С. 47-54.

13. Golebiewska-Lasota A.A., Edelen D.G.B. On the gauge transformations admitted by the equations of defect dynamics // Int. J. Engng. Sci. - 1979. - V. 17. - No. 3. - P. 335-339.

14. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

15. Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е., Чертова Н.В. Калибровочные теории в механике сплошных сред // Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. -С. 20-53.

16. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Ч. I // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

17. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 256 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости // Теоретическая физика. Т. VII. - М.: Наука, 1987. - 246 с.

19. Popov V.L., Chertova N.V Gauge theory of “plasically incompressible” medium. II. Dispersion relations with dissipation // Int. J. Engng. Sci. - 1992. - V. 30. - P. 335-340.

20. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1990. - 432 с.

21. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. - 568 с.

22. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

23. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 719 с.

24. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 539 с.

25. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. О переносе энергии поля дефектов через границу раздела двух вязкопластических сред // Физ. мезо-мех. - 2004. - Т. 7. - № 6. - С. 39-45.

Поступила в редакцию 18.06.2012 г., после переработки 8.01.2013 г.

Cвeдeнuя o6 aвmopax

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, [email protected] Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, [email protected]