Особенности распространения электронных лавин в неоднородных электрических полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.523

Ю. К. Стишков, А. В. Самусенко

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАВИН В НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Введение. Лавинные процессы являются основным элементом разрядных процессов. Поэтому особенности их развития представляют интерес. Классическая схема развития лавинных процессов [1] приведена на рис. 1.

Анод

Рис. 1. Электронная лавина - схематические очертания и распределения зарядов в два последовательных момента времени £х и £2:

стрелками указаны направления внешнего поля Ео и скорости и л движения головки лавины

Для расчёта электронных лавин широко применяется дрейфово-диффузионное приближение. Для инженерных целей используется аналитическое решение задачи об электронной лавине в однородном поле, в соответствии с которым общее число электронов Ые экспоненциально нарастает [1]:

N (х) = N0 е(а-а)х, (1)

где а и а - коэффициенты ионизации и прилипания, соответственно, которые зависят от напряжения, давления и состава газовой смеси. Профили концентрации в фиксированный момент времени гауссовы, причём они одинаковы в направлениях вдоль поля и поперёк поля.

Для анализа характеристик систем электродов с неоднородным полем формула (1) обобщается для поля, зависящего от координаты:

Ne (х) = N ехр ^ J(а — а)йхг ^ . (2)

Масштаб неоднородности поля считается малым по сравнению с размером лавины. Между тем масштаб, на котором поле можно считать однородным, не превышает характерного размера электрода, а размер лавин может достигать миллиметров. Таким образом, для острых электродов возможны отклонения от формулы (2).

© Ю. К. Стишков, А. В. Самусенко, 2009

Нелокальные эффекты вблизи острого электрода могут быть существенны, как показывает работа [2]. Следовательно, в данном случае оправдано применение кинетического уравнения. Уравнение решается в лоренцевом приближении, для слабой анизотропности функции распределения по скоростям.

Система уравнений. Расчёт электрического поля проводился в электростатическом приближении, то есть считалось, что поле описывается уравнением Пуассона:

У(еео Уф) = р. (3)

При решении уравнения (3) используются данные других модулей: плотность зарядов р рассчитывается исходя из концентраций ионов и электронов:

р = ^ ЧС + епе■

г

Газ считается многокомпонентным, т. е. состоящим из частиц различной массы и с различным зарядом. Поскольку все частицы, кроме электронов, достаточно тяжёлые, они активно обмениваются импульсом и энергией друг с другом, и их температура считается равной температуре среды Т, а распределение по энергиям - больцманов-ским.

Изменение массовых долей компонентов Ук в каждой точке описывается уравнением Нернста-Планка, которое учитывает уничножение и рождение частиц в различных реакциях и дополняется формулами для скоростей реакций:

д

т^(ржУк) + У(рж(^Уф)Угг) = У(ГкУ(рж¥к)) + М, ;(•);:

ю

3 — ^3

рЖ} г

М:

Ра

(4)

є ят,

где Мг - масса одной молекулы г-го компонента, |Л,г - подвижность, Гг - коэффициент диффузии, возможно, зависящие от температуры среды, Vц - стехиометрические коэффициенты. Химические превращения учитываются введением функций ю^- - интенсивности реакций. Зависимость интенсивности реакций к^ от концентрации, температуры, энергии столкновения можно задавать в так называемой форме Аррениуса как в системе (4), либо задавая таблицей сечение реакции

V

% = J VЁо{Е)/е{Е)с1Е.

В системе уравнений (4) используются данные других модулей: в реакциях с участием электронов концентрация электронов пе, а также распределение электронов по энергиям ]е (Е) рассчитываются из функции распределения электронов по энергиям и координатам f0.

Динамика электронов и распределение по энергиям описывается кинетическим уравнением в лоренцевом приближении с учётом электрического потенциала ф:

V— - V

т

V

X

д

дЁ

ХУф •

^§§ + ^/,

= VS;

Х = з7;

Е =

1/3

теУ2

V дЕ'

(5)

2е

где V - частота упругих столкновений, Е - кинетическая энергия. Искомые функции - /о и / - функция распределения электронов по пространству и энергии и первая поправка к ней.

В уравнении (5) используются данные других модулей - частота упругих столкновений V рассчитывается исходя из функции распределения электронов по энергиям и концентраций тяжёлых частиц, например, при учёте столкновений лишь с частицами компоненты № 1:

v(E) =

УпР

(Е)

рж-^

(6)

те “ ‘ ' ' М1

Также в уравнении (5) фигурирует электрический потенциал ф, рассчитываемый урав нением Пуассона (3).

Функция распределения /о даёт информацию о концентрации электронов

/о(Е)3,Е.

(7)

Первая поправка на анизотропность распределения по скоростям позволяет вычислить плотность электронного тока

ЧеЦ- [ Л(Е)—с1Е. з/ те

(8)

Постановка задачи. В данной работе рассмотрено развитие электронных лавин вблизи острого электрода положительной полярности. Выбрана система электродов сфера-сфера с радиусом внутреннего электрода 1 мм и радиусом внешнего электрода 2 мм.

В качестве газа, заполняющего промежуток, выбрана смесь кислорода и азота с массовыми долями 24 и 76 %, соответственно (близкая к составу воздуха). В модели учитываются частицы следующих типов: электроны, молекулярный азот N2, молекулярный кислород О2, атомарный азот N атомарный кислород О, положительные ионы и О+, отрицательные ионы О иО2. Реакции, которые учитывались в решении задачи, приведены в табл. 1.

Постановка задачи представлена на рис. 2. Всё межэлектродное пространство рассчитывать неэффективно, поскольку лавина будет развиваться лишь в узком секторе. Из межэлектродного пространства выделена коническая область. На границе с межэлектродным пространством задан невозмущённый объёмным зарядом потенциал по аналитической формуле - поскольку объёмный заряд лавины мал, он слабо влияет

п

е

е

Рис. 2. Начальные и граничные условия

Таблица 1

Объёмные реакции, которые учитывались в решении задачи

Тип столкновения Реакция Уравнения Источник данных

электрон и нейтральная частица упругое столкновение N2 + е -> N2 + е' О2 + е —> О2 + е сечения, [1]

диссоциация N2 + е -> 2М + е О2 + е —► 20 + е сечения, [1]

возбуждение N2 + е -> N2 + е + /IV (17 уровней) О2 + е —► О2 + е + ІТМ (9 уровней) сечения, [3-5]

ионизация N2 + е -► N + + 2е О2 є —> 0+ 2е сечения, [1, 5]

прилипание 02 + е^0“+0 2О2 + е —> 02 + О2 N2 + О2 + е —> N2 + О2 сечение коэффициент коэффициент, [1]

электрон и ион диссоциативная рекомбинация ^ + е^>2№ + Н\ 0+ + е -► 20 + Ну коэффициент, зависимость от Те [1]

ион и нейтральная частица отлипание О + О” ^ 02 + е О + О2 —> +е + О + О2 О2 О2 —> 2О2 є коэффициенты, [1]

ион и ион ион-ионная рекомбинация О -Ь О^ —> О О2 О- + ^ О + N2 О2 о+ —> 2О2 О^ + ^ 02 + N2 коэффициенты, [1]

на электрическое поле. На аноде задаётся нулевое значение электрического потенциала ф = 0.

Электроны могут свободно проникать через границу с воздушной областью и уходить на анод, благодаря граничному условию на функцию распределения f0 - нулевой нормальной производной. Для отрицательных ионов на электродах заданы поверхностные реакции нейтрализации.

В начальный момент времени задан компактный пакет электронов. Это достигается заданием высокой (1016 м~3) концентрации электронов в небольшой (радиус 10 мкм, длина 20 мкм) цилиндрической области, удалённой от анода (рис. 2). В остальной области задаётся нулевая начальная концентрация электронов 0 м~3.

Результаты. Рассмотрим характерную картину явления на примере решения при напряжении 6 кВ. Напряжённость поля от точки старта лавины до анода меняется в этом случае от 15 до 60 кВ/см. Первое время электронное облако распространяется в области с низкой напряжённостью. Ионизация здесь гораздо слабее прилипания, и общее число электронов убывает, а размер облака увеличивается из-за диффузии.

Когда электронное облако находится примерно на половине модели, начинается фаза лавины - полное число электронов начинает возрастает. В это же время лавина приобретает оригинальную форму: образуется два локальных максимума - в центре электронного облака и у электрода, их соединяет перемычка. За короткое время концентрация электронов у электрода становится выше, чем в центре электронного облака (рис. 3).

На первый взгляд, такое значительное отклонение приведённой картины от классической сферической лавины может показаться странным. Однако классическое аналитическое решение выведено для случая однородного поля. Для применения этого решения к неоднородному полю необходимо, чтобы характерная длина, на которой меняются напряжённость поля и коэффициент ионизации, были много больше радиуса лавины. В нашей модели это условие, очевидно, не выполнено.

При приближении к электроду радиус лавины растёт, а характерный масштаб изменения напряжённости поля уменьшается. Когда центр электронного облака находится примерно в центре модели, радиус лавины составляет около 200 мкм и сравним с радиусом электрода (1 мм). Коэффициент ионизации резко зависит от напряжённости - это приводит к тому, что в той части лавины, которая находится ближе к электроду, он может быть на порядок выше, чем в части лавины, удалённой от электрода.

Именно высокий коэффициент ионизации в передней части лавины является причиной появления максимума концентрации у электрода: даже небольшое количество электронов, опережающих центр облака благодаря диффузии, ионизуют с очень большой частотой и обеспечивают значительное увеличение концентрации.

На рис. 4 выведены зависимости количества частиц разного сорта в модели от времени (этапы развития лавины). В первое время количество электронов экспоненциально убывает - это фаза затухания облака. Затем облако входит в область сильного поля, и количество электронов начинает расти. Точка минимума определяет границу фазы затухания облака и фазы лавины. Начинает расти и число положительных ионов. На начальном этапе число ионов 0+ значительно больше, чем число ионов N2", - это связано с тем, что порог ионизации кислорода (12,8 эВ) меньше, чем порог ионизации азота (15,6 эВ); при низких температурах частота ионизации кислорода будет выше.

Рост электронов сменяется убыванием: электроны активно вытягиваются на электрод электрическим полем. Примерно за 1 нс электронное облако уходит на анод почти полностью, а число ионов остается почти постоянным во времени - из-за низкой подвижности они вытягиваются на электрод медленно и будут ещё долго присутствовать в этой области.

г, мм 0,3

0,2-

0,1

0,0

п , е7 1/м3

6- 1014

4- 1014

2- ю14

/ = 4,51 не

/ = 4,79 не

п , 1/м3

с

1,2* 1015 8 • 1014 4- 1014

п , 1/м3

2 • 101-

1 • ю1-

z, мм

Рис. 3. Концентрация электронов в разные моменты времени:

перемещение точки максимума концентрации из центра электронного облака к электроду; на осях отложены пространственные координаты г и г

Сравнить развитие лавины при разных напряжениях позволяет график на рис. 5. По оси абсцисс здесь отложена координата центра масс электронного облака хс, которая определялась по формуле хс = /у хпе (х,у)6У/ /у пе(х,у)вУ. Интегрирование здесь проводилось по всей модели. В силу симметрии задачи, центр масс электронного облака находится всегда на оси симметрии, и его у-координата равна нулю.

Лавина двигалась справа налево, координата поверхности электрода - 1 мм. Как видно, точка перехода из фазы затухания в фазу лавины (точка минимума числа электронов) с ростом напряжения сдвигается всё дальше от электрода. Число электронов также растёт. Для напряжений 5-7 кВ при приближении к электроду лавина проходила через максимум числа электронов; дальше уход электронов на электрод идёт быстрее, чем рождение в результате объёмных реакций.

Рис. 4- Общее количество частиц разного сорта в модели в зависимости от времени

Координата центра масс электронного облака, мм

Рис. 5. Зависимость полного числа электронов в модели от координаты центра масс электронного облака:

разные напряжения; движение лавины - справа налево

Излучение лавины. Одним из экспериментальных методов изучения лавинных процессов является регистрация светового излучения. Расчёт позволяет извлечь интенсивность излучения. Лавина - кратковременное явление, её длительность в нашей модели не превышает 20 нс. После этого в воздухе остаются только ионы, которые не могут возбуждать молекулы.

Неметастабильные возбуждённые атомы и молекулы живут до 10_7 с, после этого происходит спонтанный переход с излучением кванта света. Экспозиция видеокамер (за исключением специализированных) на несколько порядков больше этой величины, то есть всё излучение лавины попадёт на один кадр. Следовательно, с экспериментом

Рис. 6. Количество световой энергии, произведённой в единице объёма за время существования лавины:

разные напряжения

имеет смысл сравнивать картину только свечения, проинтегрированную по времени за весь период существования лавины.

За излучение в оптическом диапазоне ответственны реакции возбуждения нейтральных молекул с энергией перехода от 1,5 эВ до 3 эВ. Количество произведённой в этих реакциях световой энергии на единицу объёма приведено на рис. 6.

Как видно из рис. 6, при высоких напряжениях свечение локализовано у электрода, тогда как при напряжении 5 кВ большая часть идёт из области старта. При напряжениях 5-6 кВ свечение лавины, зафиксированное фотокамерой, может иметь продолговатую форму. Длина светящейся области может достигать 1 мм, как в нашем расчёте.

На опыте с иглой положительной полярности (радиус иглы 0,1 мм) наблюдалось продолговатое свечение, напоминающее полученные в расчёте картины излучения (рис. 7). Имеется ряд отличий разряда в этой форме от стримерного коронного разряда, среди таких отличий: импульсы тока имеют длину на 2-3 порядка выше, нет

Рис. 7. Продолговатое свечение у острия иглы перед появлением стример-ной формы разряда при разных напряжениях (негатив): коронный разряд постоянного напряжения положительной полярности в системе электродов игла—плоскость; радиус скругления иглы 0,1 мм, межэлектродное расстояние 1 см

ветвления. Возможно, это свечение вызвано лавинами, сходными с полученными в нашем расчёте.

Выводы. Положительная лавина в сильно неоднородном поле может значительно отличаться по форме от классического представления и решения в дрейфово-диффузионном приближении. Следовательно, общепринятые упрощённые методики расчёта разрядных процессов могут давать в этом случае ошибочные результаты. Свечение лавины в этом случае может иметь форму, отличную от классической конусообразной - в расчёте при низких напряжениях оно имеет продолговатую форму длиной до 1 мм, при более высоких - локализуется на острие иглы. Подобная картина видна в экспериментах с коронным разрядом положительной полярности.

Литература

1. Райзер Ю. П. Физика газового разряда. М., 1992.

2. Sakiyama Y., Graves D. B., Stoffels E. Influence of electrical properties of treated surface on RF-excited plasma needle at atmospheric pressure // J. Phys. (D). 2008. Vol. 41. http://www.stacks.iop.org/JPhysD/41/095204.

3. Jones D. B., Campbell L., Bottema M. J. et al. Electron-driven excitation of O2 under nighttime auroral conditions: excited state densities and band emissions // Planetary and Space Science. 2006. Vol. 54. Iss. 1. P. 45-59.

4. Michael J. Brunger, Stephen J. Buckman electron-molecule scattering cross-sections. Experimental techniques and data for diatomic molecules // Phys. Rep. 2002. Vol. 357. P. 215-458.

5. Phelps A. Cross sections and swarm coefficients for nitrogen ions and neutrals in N2 and argon ions and neutrals in Ar for energies from 0.1 eV to 10 keV // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1991. Vol. 20. P. 557-573.

4,8 кВ

Принято к публикации 26 декабря 2008 г.