Особенности распространения электромагнитных волн в СВЧ аттенюаторе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Особенности распространения электромагнитных волн в СВЧ аттенюаторе

Григорьев С.Н.,

ФГУП "Нижегородский завод им. М.В.Фрунзе", г. Нижний Новгород

Динамика распространения электромагнитных волн в СВЧ аттенюаторе

Электромагнитные поля в СВЧ тракте, не содержащем свободных зарядов и макроско-пических токов, описываются системой уравнений Д. Максвелла:

,, — — dD 8D

С другой стороны,

rot Н (x.y.z.i) =

ЭЕ (!)

о t

і J д д k д_ = / • д ду д dz -1- д_ д_ дх dz + к ■ д_ дх D ду

дх ду Н , Н dz Hz Ну Н , н, н, Н, // ,

( дН» дН , \ (»и. внл вн. 1

1 ду { д: ~ дх [ дх Эу )

«>* .Т дВ г"

2) пн Е • - —— « -//„ • /у • ——

О! С t

С другой спороны,

п>! E{x.y.:.i)-

І ) к JL _L JL

дх ду д: И, Е, Е,

д д_ ду д: Е, Е,

-J

д_ д_ дх dz Е t Е,

д_ д_ дх ду Е, Е.

( ду дг ) \ dz дх ) \ дх ду ) 0 dl

З ї Л и D * di и (*r0 • с ■ E )= s„ ■ a* • di v E = • *• •

E, E, E,

---*- + —b- + —*■

dx dv dz

4 ) di v В = di и {/it) •//■// ) = //„ • fi • di и H ■ fj0 • // •

!L*-+IL-+

дх dy dz

где

,J£. <3£,. dH

1)—=--------- = -//„ • w-----

<?v & ' dr

dE, dE. 8HV

5£,. dH.

^ дх ду ~ /v//' d, ’

4)^ + ^ + ^- = 0, ax a>' dz

(2)

5)

6)

7)

8)

дН. shv дЕх

ду dz 0 dt ’

дНх дН. дЕх

дг — £* ,i f дх 0 dt

дНу дНх д. =Є0 Є ду dE.

дх dt

дНх дНг дН. = 0.

дх ду dz

Решаем последовательно 1-ое уравнение системы (1). Для этого находим производную по времени от его правой части:

д_

dt

£п-є-

dt

= £n ■ С ■

dt

dEx

~di

d2Ex

dr

М. д,Г

С другой стороны, пользуясь уравнениями (2), (3), (4), (5) системы уравнений (2), имеем следующее решение:

5<(Н Щ)

Ъ;

=>—!—^=—!—Д £;. ,=*о*7.

Ц,Р 5 г

Тогда, таким образом, компонента Ем удовлетворяет волновому дифференциальному уравнению (однородному, второй степени):

(3)

Оно легко решается относительно переменной Ея и х, умножением обеих частей уравнения на выражение дх' При Е' = О имеем тривиальный случай - нулевое решение, но его рассматривать не будем! Поэтому Ем > 0. Тогда

ffE д-Е „, д х- п

р- =о | х—* о, о дг д Г

.д-Е, f a

(4)

I

= const >0, fJa = const > 0,

£ * e(x,y,z,t)* /;(/•,/)= const, f.1 * fl(x,y,Z,t)* //(r,/)= const,

P—.....- поверхностная плотность электрических зарядов ;

q- магнитные (не обнаруженные!) заряды .

Динамика распространения электромагнитных волн в СВЧ аттенюаторе в проекциях на оси декартовых координат выражается системой дифференциальных уравнений с частными производными (2), согласно [1-5]:

5Ч =

Аналогичным методом доказывают и решают остальные (2)...(6) уравнения системы (5):

1)Д£, -еа-£-р„=0. 4)ДЯ,-е„-£-р,=

о/‘ ог

5г£, бгЯ„

2)Д£, -£„ £-р„ р-—^ = 0, 5)ДЯ, с я =

ог' о/*

3) Д£. // д =0. 6) ДН. -£„ ■£■ и,, ■ Ц • ■ V =0.

■ а/2 • а?2

(5)

Итак, решением данной системы уравнений (5) является то, что переменное ЭМ поле действительно реально распространяется во внутреннем пространстве СВЧ аттенюатора в виде волн, фазовая скорость которых вычисляется по формуле (6), согласно работам [1 -6]:

1 1 °П (6)

Уфа, =

V^v/A) УІЄ V ЛІ£-М

Электромагнитные волны I поперечные волны. Векторы Е и Н поля волны лежат полностью в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. вектору её скорости О в рассматриваемой точ-

т (я, н)

_1_ О. Векторы напряжённостей элек-

трического Е и магнитного Н полей разлагаются на составляющие компоненты в соответствии с выражениями (7), согласно работам [1 - 4]:

£(г) = Е(х,у,г) = ЕХ-7+ Еу ] + Егк ,

Н (г) = Н (х,у,г) = Нх 1+ Ну • у' + Нг • к .

И=Р'Н*Н • ,7)

(/,у)=(/,*)=(/,*)=о ,

/,у,к -единичные орты осей координат. Векторы £1Я1и полей ЭМ волны взаимно пер-

где

пендикулярны так, что вектор скорости распространения ЭМ волны (электромагнитного возмущения) во внутреннем пространстве СВЧ аттенюатора и векторы

Е и Н образуют все вместе правую тройку:

0=____.£х// Наглядно эта картина проиллюстриро-

М '

вана на рис. 1.

Необходимо заметить, что взаимно перпендикулярные векторы Е±Н напряжённостей электрического и магнитного поля искомой ЭМ волны совершают синфазные колебания, при которых они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают своих максимальных значений, т.е. угол сдвига фаз между

векторами Еи Н обращается в нуль [Е'Н\=0. В любой точке внутреннего пространства СВЧ тракта, в любое заданное время они движутся, в своих взаимно перпендикулярных плоскостях, синфазно.

Применение волнового уравнения Гельмгольца в задачах о распределении электромагнитных полей в СВЧ аттенюаторе

Рассмотрим выражения для напряжённостей электрического и магнитного полей, представленные в виде системы уравнений для плоских волн (8) [для краткости рассмотрим одномерный случай, когда плоская волна распространяется вдоль одного направления оси (Ох)], в соответствии с фундаментальными трудами [1-21]:

Е(х,/)=Е„, соб #(*,/)=//,„ сое

со-\ Г- —

V,

" ( N ~

X

со- /

и

_ V г _

0),

(2).

(8)

где Е и Н - мгновенные значения напряжённостей полей, Ет и Нт - максимальные значениянапряжённостей полей,

со = — = 2гг ■/-круговая (циклическая) частота колебаний

векторов Е и Н, их — скорость распространения ЭМ волны

в направлении оси (Ох) ,<»•!/----------I - фаза волны .

Находим последовательно первые (9) и вторые (10) производные системы (8): д Е (*,/)

- = -Ета)ь\п

8 /

8 Е (х>‘)_Ет <о

и.

д х и,

д Н (х,1)

N111

< дЛ1

(О- / —

V. и*)-

= -Н-«-вш

8 ?

8 Н (х,1) Нтсо

СО-1 —

8 х

' лЛ1

ш- г

V °х)_

О).

(2),

(4) ■

(9)

д2Е (л-,/)

= -Е„, ■ СО' • СО Б

8 Г

= -со2 • Е (х,1) (I) , д2Е (х,,)_ Ет о)2

■ ( м

. х 1

со- 1—

)

_ \ х / ^

8 х со2

•сое

= -~Е М (2) ,

и:

д2Н (*,/)

д г

■ Л

= • со" • эт

о.

а> \ I—— о.

[Ю)

= -со ■ Н (х,1) (3) , д2н (*,>) Нт со2

_________:_____ —________________ с|г

д х2

= -^-Я (*,,) (4) .

Решая совместно уравнения (1) и (2), а также (3) и (4) в системе (10), получаем систему одномерных волновых уравнений Гельмгольца:

со-

к »*)

д2Е (х,г)

д 7 Г

82Н (*,()

8 2 Г

8 х1

£41).

[п:

3 X-

Х.1 I .

г1 (2) ■

Интересно отметить, что система одномерных волновых уравнений (11) представляет систему дифференциальных уравнений для плоской волны, распространяющейся в на-прав-лении оси Ох со скоростью о = их, имеющих решения в виде уравнений для плоских волн, согласно выражениям (8). Для случая трёхмерного пространства имеем обобщённые волновые уравнения Гельмгольца (12):

82Е (дг, у, г, /) ,

у — = и х

д /2

д2Е (*, у, г, г) сРЕ (*, у, г, г) д2Е (х, у, г, г) ч д~х2 + д~у2 + д~?

= 1>2 • Д£ (л, у, г, г) (1) , д2Н (х, у, г, >)

д I1

, I д2Н (дг, у, г, I) д2Н (дг, у, г, /) «32// (дг, у, г, /)

= и -I--------------------------^----------- +--------------------------^------------------ +

8 х2

= у2 ДЯ (*, у, г) (2) .

д :

Откуда

АЕ (г, = 0 (1),

u а г

, . 1 д2Н (г, /) . .

АН (г, о—т Д =0 (2) •

(12)

і/ 5 Ґ

где г=г(х, у, г) I есть т.н. радиус-вектор, проведённый из начала координат (0,0,0) в точку с координатами (дг.у,г), в которой производятся вычисления электромагнитных полей.

Причём фазовая скорость волны определяется, как

0 = 0фа,=б1+0}1+0:,

_ _ (О к

о = ифа,=--г=сопз1 ’

к к

волновой вектор, как

к = кх +ку + к.\

Н*ЫМ2+МЧ**)2,а

волновое число через

к 2тт о)

Из обобщённых волновых уравнений Гельмгольца (12) получаем т.н. дисперсионное уравнение для искомой задачи, подтверждающее, что в структурах резистивного СВЧ аттенюатора всегда присутствуют джоулевые потери и переизлучения тепловых волн в ИК-диапазоне:

(о2[к2} = и2 (г)к2 =v2

(13)

Пусть распределение электрического поля й = й(х, у, і, і) напылённого, однородного, плёночного резистора (рис. 1), в момент времени I, в отсутствие внешних электромагнитных полей и токов [1 - 4], удовлетворяет обобщённому волновому уравнению Г ельмгольца для плёночного резистора в трёхмерном пространстве:

д2її{х,у,г,А 2 к~( \

С7/

д й(х, у, г, /) 2 д м(х, у, г, і)

(14)

т.е.

dt2

д2й(х У, z, t)

dt1

д2й(х У, Z, t)

-и

-и

= и

дх2

д2й\ (*> У, Z, t)

ду2

д2й\ [х, у, z, t)

(1), (2), (3) .

Ы2 дг2

Будем предполагать, что заданы следующие начальные условия Коши для данной задачи:

й(х,0) = /(х), при 0<дг<£(1),

й(у,0) = Ду), при ~<у<^(2), m(z,0) = /(z), при 0<г<Д(3)

(15)

Предположим, что на конце плёночного резистора х = { продольные компоненты электрических и магнитных полей для падающей и в начале х = 0 для отражённой волны, сильно затухают. Особенно этот эффект проявляется на СВЧ при увеличении частоты сигнала, подаваемого на вход СВЧ тракта. Таким образом, имеем простейшие краевые условия Коши искомой задачи:

*,(0,0=0, (і) г,(С,0 = о, (2)

гд—,/) = 0, (3) й,,(—,0 = 0, (4) при V / 20. н.(0,/) = 0, (5) н.(Д,/) = 0, (6)

(16)

При данных начальных и краевых условиях Коши требуется найти распределение электрического поля й = й(х, у, г, і) в резисторе для последующих моментов времени / > 0.

Для дифференциального уравнения (14) сначала будем искать «ненулевые» решения специального вида (1 7):

м = м(х, у, г, і) = Х(х) ¥(у) г(г) Т(і) =>

йх=Х{х)-Т(і) , (1)

<йу = У{у)Т(і) , (2) йг = г(і)-Щ, (3)

(17)

где Х(х), Y(y) и Z(z) I есть функция только соответственно переменной х, у, и z, а T(t) I функция только переменной t.

Так как

d'u(x, у, z, t)

dr

д й(х, /) „

—-p—L = X-T" , (1)

д2й(у, () „ „

----^—L=Y T" , (2):

дг

3)

дг

= X Y Z T" ,=>

д2й(х, /)

дх2

= X" Г , (1)

-----Т , (2)

а/

д U(2’ *) = Z' Т . (3)

dz2

то, подставляя эти выражения в уравнение (14), получим систему дифференциальных уравнений:

х у г т"=и2 х" г г'-т ,=>

\х Т" = их -X’ Т , (1)

У Г = и2у • Г Т , (2)

[г т"=и2 г" т . (3)

Отсюда, разделяя переменные (применяя метод разделения переменных или метод Фурье [1-4]), будем иметь систему дифференциальных уравнений (18):

X" ■Y’ Z'

X YZ v2T

X" _ г л Г _

v ~ 2 Т ' v ~

X ихТ Y

•j*lt 'уЩ у»

4т>(2)

v t Т Z и: ■ Т

■ (3) (18)

Левая часть тождеств (1), (2) и (3) системы (18) зависит соответственно только от х, у, г, а правая I только от Г.

Так как х, у, г и I I независимые переменные, то это возможно лишь тогда, когда обе части тождеств (1), (2) и (3) системы (18) равны некоторой постоянной величине. Обозначая эту постоянную для удобства дальнейших выкладок через -Л2, получим систему дифференциальных уравнений (19) по переменной х для тождества (1):

^ = -Л2

х ’ и! г

= -л2

(19)

Отсюда будем иметь следующие два уравнения:

|х' + Я2-ЛГ = 0, (l) Г + и2Л2Г = 0 (2) (20)

Первое (1) из системы уравнений (20) есть линейное, дифференциальное, однородное уравнение с постоянными коэффициентами; корни его характеристического уравнения к2 + Л2 = 0 есть комплексносопряжённые, чисто мнимые числа I kt 2=±A-i. В конечном итоге, его общее решение принимает следующий вид (21):

Х(х) = A-sin(/l• дг)и- B-cos(A-х), (21)

где VА = const, \/В = const I любые произвольные постоянные.

Второе (2) уравнение в системе (20) также легко решается методом разделения переменных (методом Фурье), оно линейное, дифференциальное, однородное с постоянными коэф-фициентами; корни его характеристического уравнения к2+и2-Л2 = 0 есть также комплексно-сопряжённые, чисто мнимые числа I kt 2 ■ Л-i. В итоге, общее решение принимает вид:

T(t) = М-sin(и,■ A t)+ N cos(vx Л-t), (22)

где VM = const, = const \ любые произвольные постоянные.

Перемножая почленно функции (21) и (22), будем иметь:

й = й(х, t)= Х(х)- T(t) = (/J-sin(A-x) + B-cos(A-x))x x(Msin(L>r-A-/) + JV-cos(ut-A-f)) =

= 'Ja2+B2 -у1м2+Н2 •sin(/i-x+^)-sin(t>»r-A-/-i-^>!) =

Vconst=C*Q

= С • s i n (Л, • jc+^) • s i n (ц. • A • /+0b) =

с ' 2

COs(A-(x + Ut-/) + ^l -0s)

«М

/М

(23)

где начальные фазы волн определяются как

( , \ / „ \

<р2 = arcsin

+вг

= arccos

В

М

у!а2+В2

= arccos

УІА2+В2

Найденное выражение (23) представляет собой общее решение для одномерного волнового уравнения Гельмгольца (1) системы (14) применительно к плёноч-

ному резистору, в кото-ром функция /(х, г) = СО$(Л-(х-их-г)+р,-<р2) представляет падающую волну, бегущую вперёд, вдоль оси (Ох). Напротив, функция ^(х,/) = со5(Я-(х + их-/) + 9>1+^2) -

есть отражённая волна, бегущая назад, вдоль оси (Ох).

Функции (23), образующие комбинацию гармонических составляющих (чётных гармо-ник), при любом выборе постоянных Си/] удовлетворяют одномерному волновому уравнению плёночного резистора (1) в системе (14), описывающего распределение электрического поля йх = й(х, /) в плёночном резисторе для последующих моментов времени Г 0.

Потребуем, чтобы они удовлетворяли также краевым условиям задачи (16). ПолагаяХ = 0, получим

й^О, /)=—[ссЦ/Ц0+ц-/)+^+ф)-соб(/Ц0-^-/)+$!1-ф)] =

С

=— -[аБ(Л-их I+((\-нр,)-ав(-Л-их-1+(Д-ф)] =0, =>

=>А-Ц-/+<д+<р,=А-(>х-/-</]+д>, ,=щ=-</>,=0, следовательно, УС=соШ#0. В противном случае имеем тривиальный случай (нулевое решение!) йх(х, () = 0. Тогда

й=йх(х, і) = — •^со8(Я-(х+иг-/)+^)-сов(Я-(х-ьіх.-/)+^і^ .

(24)

Полагая теперь х = С , в силу 2-го условия краевых условий исходной задачи (16) имеем

«=«*№ ')=| 7)+я)-ЦЯ-(£-цг-/)+а)]=0 .

=>А\С+их-ї)+<р[ =Л-(С-их-і)+щ ,=>І+их і=1-их і ,=> =>их-і=-их•/,=>, 2/-ц -/=0 ,=>ц=0 ,

(25}

т.е. на конце резистивной плёнки х = ( интенсивность и скорость падающей волны практически снижаются, по причине резкого затухания самой волны и отражения падающей волны от конца, при котором скорость волны меняет свой знак, согласно работам [14-18]. Поэтому из выражения (23) следует :

~tg(A x) = 0 , (1)

~'tg{ux'A t) = 0 . (2)

/g(A-x) = 0 , (1) tg(vx A t)=0 . (2)

(26)

и, следовательно,

Лх=жп , (w = 0 , ±1 , ±2 , ±3.N ,...) (1)

л\\±2п)

Л-х*-

. (и = 0 , ±1 , ±2 , ±3 , N ,...) (2)

ux-A-t = n-n , (п=0 , ±1 , ±2 , ±3 , N , ...) (1)

ux-A t** ^±2n' . (п=0 , ±1 , ±2 , ±3 , N , ...) (2)

(27)

Отсюда получим

Я„=——|х>0 , (и= ±1 , ±2 , ±3 , N , ...) , (1)

А. =~~\у11>о , (« = ±1 , ±2 , ±3 , N , ...) , (2)

их ■/

(28)

Аналогичный подход применяется при решении тождеств (2) и (3) системы дифференциальных уравнений (14). В конечном итоге получаем систему решений (29):

А, =—|0<х^ . где п = ±\ , ±2 , +3 ,... , N , ... (1)

X

—

п-л

их1

т-л

_п-л, _ х

», |>0-------0<х£< » их~~ •

А =

/?/ ■ Л’

нн*|

к-л.

, где /и = ±1 , ±2 , ±3

,, , /п.к. и.. = —

Ч>Ц у I

N

(2)

С

2

сое

(0\ 1 + — | |-С05

(о\ /-------------

О,

' ' х"

<У- /------

= ^тах ' СОБ

' Г (0-\ /-----------

= 4п»(*)

Принимаем = 0.

Числа {А,„ Аш, А*} представляют собой характеристические числа, а их совокупность определяет спектр задачи. Каждому характеристическому числу {А„, Ага, Я*} соответствует «частное» решение обобщённого волнового уравнения Гельмгольца для плёночного резистора в трёхмерном пространстве {«„> “». «*} :

м„(дг, г)а£я(х)-со8(ф-(/-х/их)) , где и = 1 , 2 , 3 ,... , N , ... (1)

йт(У> 0 = £*Ы'СО8(й,-(/“>'/^)) > где т = 1,2,3 ,... , N , ... (2)

М2’ 0 = £т(г) со8(й> (/-г/и,)) , где /г = 1 ,2 , 3 ,... , N , ... (3)

Заметим, что в качестве {и, т, к] = 1,2,3,достаточно брать лишь натуральные числа.

Итак, формулы (30) дают полный набор линейно независимых «частных» решений вида (17) обобщённого волнового уравнения Гельмгольца плёночного резистора в трёхмерном пространстве (14), удовлетворяющих краевым условиям задачи (16).

(30)

{31]

А* =-----, где * = ±1 , ±2 , ±3 ,... , N ,... (3)

г

к-л I п-л| 2

Я* = VI -/>0 = 0<г£Д » т-К■ и: =~ ■

ик ■ Г 2 /

(29)

Из соотношения (24) следует

С

й=йх(х, /)= —-[\х«(А •(* + их -/) + ^51)-С05(Я-(х-Ц. + =

Физически гармонические функ-

ции {й„, йт, йк} представляют собой моды - гармоники

волны [1 - 6], графиками которых являются, затухающие при / —> со, косинусоиды. Заметим, что минимальный период равен Т =Т0 = , Т. =Т0 = Ь/2 и

Осталось обеспечить начальные условия (15). Так как дифференциальное уравнение (14) линейное и однородное, то можно применить принцип наложения решений. Отсюда будем иметь, согласно работам [16], систему тригонометрических рядов Фурье:

00

#1 = 1

где /7 = 1 , 2 , 3 9 N 9... (1)

ОС

«т (У>') = X {Е« №■ С°5 (® ’ (' " У/°У ))}’

т=1

где т = 1,2,3 , N , ... (2)

со

где к = 1 , 2 , 3 ,... , N , (3)

Причём, ряды (31) сходятся на основании необходимого признака сходимости числового и функционального рядов, признаков сходимости Д'Аламбера и Коши (полученные функ-циональные ряды (31) однотипны с степенными рядами в решениях уравнения Фурье для теплопроводности!), следовательно, при известных начальных и граничных условиях Коши функции (31) является решениями уравнения (14). Полагая 1=0 в формулах (31), в силу наличия начальных условий задачи (15) будем иметь систему рядов:

Л*) = Х(£Л*)-С05(~

/»=1 I V их У)

где /7 = 1 , 2 , 3 ,... , N , ... (1)

со-у

и,,

/00=£ я-ОО-008

ш=1 I V ~У Л1

где т = \ , 2 , 3 ,... , N , ... (2)

■А2)=X |я* (2) ■со5

где к = 1 , 2 , 3 ,... , N , ... (3)

(32)

Ряды (32) представляют собой разложение на отрезках хе[а,ё\,уе[-Ь/2,Ь/2], ге[ад] соответствен-но функций

/(дг) ,/(у) и /(г) в тригонометрические ряды Фурье по косинусам кратных дуг, согласно работам [1-6]. Для коэффициентов разложения (32) справедливы формулы

£>)=f J/W cos <

' О v

со \ t——

V

dx,

где п=1, 2, 3, , N , ... . (1)

*

2 b

Ет{у) = \ J/W-cos

/' / л л f-i

(O'

\ \

и

dy =

yjj

(33)

-Urn

COS

( ( со*

\ \ "y)) где m=\, 2, 3, ... , N , ... . (2) //(,).«

' f r" co \ t-----

v*;j

dz.

где к = 1, 2, 3, ... , М... (3)

Таким образом, решение данной электродинамической задачи задаётся системой рядов (31), коэффициенты которых определяются формулами (32) и (33). Для обычной радиоинже-нерной практики достаточно использовать несколько первых членов этих рядов. Аналогично определяется распределение магнитного поля р = р(г) = р(х,у,г).

Вычисление продольной составляющей гармоник в распределении электрического и магнитного полей в СВЧ тракте аттенюатора

В СВЧ тракте аттенюатора обязательно присутствуют распределения как поперечных, так и продольных составляющих электрических и магнитных полей. Рассмотрим распреде-ление продольных составляющих гармоник (мод) электрического поля Е = Е(г) = Е(х, у, г) в СВЧ аттенюаторе. Для удобства, представим распределение продольных составляющих электрического поля вдоль одного направления оси (Ох), описываемого одномерным дифференциальным уравнением гармонической волны:

*• I Г I .

(34)

д'Е(х) , . .

—(х =0

гаг

Его решением будет выражение для падающей (распространяющейся) волны:

£(*) = £n,axCos(<yx + <z>0), (35)

где Emax I амплитуда гармоники (моды) волны электрического поля, <р0 I начальная фаза волны,

0) = к ифа]=-^—-ифаз I циклическая (круговая) часто-

Лволн

та волны.

Чтобы найти две постоянные Emm = const = ? и <р0 = const = ?, а также возможные значения (0 = 1 и Е (дг) = ?, рассмотрим следующие граничные условия в СВЧ тракте аттенюатора:

1.при х = 0 и £■ (лг)|х=0 = £(0) = 0 . Подставляя эти два значения в решение (35), получаем 0 = £тах • соб (§■ (0 + <рЛ = £т1Х • сое (р^. Физический смысл здесь имеет только одно значение I со5^>0=0, откуда (р0 = я/2 ;

2. при Х = ( и =£'(^) = 0, с учётом того, что (р0= — , из выражения (35) имеем

0 = Етах -соБ^й)- С + ^1= ~Етах -5т(<у- С) . Физический

смысл здесь имеет только одно значение 15т(й>-{’) = 0, или же (о-1 = ±я = л-п, откуда следует соотношение (36):

(о„=^-^-, где /7 = 1, 2, 3,..., М, ... и #7*0, (36)

так как в противном случае значение электрического поля Е(х) я 0, при Удг: 0 < х < С, т.е. х е [0, С].

Подставляя СОп из соотношения (36) в решение (35) и учитывая, что (р0 =я/2 , получаем выражение

Е„ (*) = Етах С05[^- + |] = -£шах ' <37)

где #7 = 1, 2, 3,..., М, ...,т.е. при #7 = 1, N.

Для нахождения коэффициента £1гах=? I амплитуды гармоники (моды) волны воспользуемся т.н. условием нормировки, записанным в виде (38):

J K(F) ■ En{r) dV = Jf*I x, у, z

® отражённая падающая ®

волна волна

t

xdx dy dz= J E’n(x) ■ £„(■*) dx =

^ J 0 отражённая падающая

{ г \

х, У, 1 х, У, 1

К 0 V 1 0 о)

(38)

Заметим, что на концах промежутка интегрирования в выражении (38) подынтегральная функ-ция обращается

v . 2( пхл\ . 2(#шгЛ, л ... в нуль I sin I — l|x=0=sin I —l|I=f=0. Поэтому

значение интеграла (38) можно получить, умножив среднее значение функции, стоящей под знаком опре-

деленного интеграла

’Ит]

на длину про-

межутка х = С . В результате получим выражение

Н™}'

ПХ7Г

•^ = 1 ,=

■* -Д’

тах ^ ^

(39)

В итоге, получаем выражение для продольной составляющей собственных гармониче-ских функций -мод падающей волны электрического поля, принимающих вид (40):

0<х<(

где V /7 = 1, Н, т.к. Мх)|уЦо,<]=0 (40)

1продольная составляющая вырожденной «нулевой» гармоники (моды) падающей волны, есть «нулевое» тривиальное решение задачи, и поэтому условились считать, что /7^0.

Аналогичным методом, определяются продольные составляющие гармоник - мод в распределении магнитного поля Н = Н (.г) в СВЧ тракте аттенюатора.

Плотность потока энергии I вектор Умова-Пойтинга совпадает с направлением распространения электромагнитной волны в СВЧ аттенюаторе:

5//и ,=>Г$х и 1 = 0- Средняя за период плотность потока энергии СВЧ аттенюатора численно равняется среднему значению за период модуля вектора Умова-Пойтинга, согласно выражениям

К) 4'А* ,=т\Е ')н Р* 'Iх

хг/ /=— \е (л; у, г, 1) Н (х, у, 2, /) с! 1-т *

I

о>\ г

со

Ли. -яп2

со

Ч-( ^

ъ

с \

2 t--

сУ /=•

с1 / =

с1 /=

2

Апку ’^ТПКу

2

Р .н

ттаи ПЖ-

(46)

со

{

г

/—

2 '

Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в СВЧ аттенюаторе

Объёмная плотность энергии электромагнитного поля СВЧ аттенюатора складывается из объёмных плотностей электрического и магнитного полей, в соответствии с формулой (41) и работами [1-21]:

иу = н\Е + и>Ун = е(]

Е~ Н

■*-т+л-л-т

(41)

Следует учесть, что электрическая и магнитная составляющие компоненты электромагнитного поля в диэлектрической подложке и воздухе энергетически равноправны:

е0-£-Е2/ 2 = /и0- /и-Н2/2, (42)

следовательно, объёмная плотность энергии СВЧ аттенюатора представима как (43):

Ч=2-Чс =2'\ =*ъ-£-£=М>-Р-н1=^'М>-£-^е-н-

(43)

Тогда, согласно выражения (43), плотность потока энергии электромагнитных волн СВЧ аттенюатора, определяется как модуль вектора Умова - Пойтинга (44):

У/у

■= Е-Н.

(44)

' ' \1£о'М) £'Р

Причём, вектор Умова - Пойтинга характеризуется как векторное произведение двух взаимно ортогональных векторов Е и Н, согласно выражению

Е1Н, (Ё,я) = 0,=>5 = |5| = |[£хя]| =

= |я| • |я| • вт у = |£| • |я| • вт 90 =|Ё|-|я|-1 = £-Я

= |[£,Н]|.

Поперечное распределение электромагнитного поля в СВЧ аттенюаторе

Электрическое поле в первой (верхней) зоне «воздушного» диэлектрика, убывает обратно пропорционально расстоянию между поверхностями нанесённой резистивной плёнки и металического экранированного корпуса, тогда как электрическое поле во второй (нижней) зоне «воздушного» диэлектрика, убывает обратно пропорционально расстоянию между поверхностями диэлектрической подложки и металлического экранированного корпуса, согласно выражениям (47) для «нулевых» приближений и работам [1-21]:

(<А). (О

Щ

^2воздух (^2 ) — *

+ А~ +^2 ] Е\во,тт(«) = ^Т‘ +° (3)’

+ о (/?, Д, с/2) , (2)

и.

* . 2+0 (И, Д, а) , (4),

4ё~п-(к + А)-а2

= ^2^=1.00057*1 ,

т.к.

'Хшоэдух °2 воздух

(47)

Электрическое поле внутри диэлектрической, теплоотводящей подложки в основном зависит от её диэлектрических свойств I з и 1дц, т.к. мп 1. При переходе через толщу диэлектри-ческой подложки само электрическое поле ослабевает на величину равную > 1 .

Электромагнитное поле резистивной плёнки определяется не столько диэлектриче-скими и магнитными свойствами самого материала металлической плёнки I £к « » 1, сколько геометрическими размерами,

формой, толщиной напыления, поверхностным сопротивлением, мощностью СВЧ сигнала и условиями эксплуатации. Кинетика электромаг-нитного поля в СВЧ тракте изображена на рис. 2.

Выводы

1. Из обобщённых волновых уравнений Гельмгольца (12):

, . I д2Е (г, /) , .

^ 0--2—= о О).

и О г

АН (г, О

1 82Н (г, /)

и

2

5 г

= 0 (2)

получаем т.н. дисперсионное уравнение (13): |<ы2 (Л:21 = и2 (дг, у, г)-к2 = к2(г)-£2| для искомой задачи, подтверждающее, что в структурах резистивного СВЧ аттенюатора всегда присутствуют джоулевые потери и переизлучения тепловых волн в ИК-диапазоне.

2. Показана полная характерная динамика распространения электромагнитных волн в СВЧ аттенюаторе. Представлено математически корректное, трёхмерное, полное решение обобщённого волнового уравнения Гельмгольца в СВЧ аттенюаторе, с учётом начальных (15):

і7(дг,0) = /(х), при 0<х<( (1) м(^,0) = /(Я, при ~<у<| (2)

/7(г,0) = /(г), при 0<2<Д (3) и граничных условий (1 6)

йх(0,/) = 0, (1);йх(О) = 0, (2)

й/~,Г) = 0, (3);^(|,О = 0, (4)

ЙД0,/) = 0, (5);«ДД,О = 0, (6) при V / > 0.

Предположено, что на концах плёночного резистора х= и х= 0 продольные компоненты для электрических и магнитных полей, соответственно для падающей и отражённой волны, сильно затухают. Особенно этот эффект проявляется на СВЧ при увеличении частоты сигнала, подаваемого на вход СВЧ тракта.

Решение данной электродинамической задачи задаётся системой тригонометрических рядов Фурье (31):

НІ

где /1= 1 , 2 , З , N , ... (І)

в Г ( г

г - -

У

где т = 1 , 2 , 3 , N , ... (2)

сое СО • I -

коэффициенты которых определяются формулами (32):

/(*)■£ Км-00® —

Л=1 І \ °Х )

где /7 = 1 , 2 , 3 , N , ... (1)

/0')=Х|£«0'),со8

т=\

где т = \ ,

ао

/(г)=Х

где & = 1 , и (33):

ґ \ соу

V "у J

Ґ

і Х

гдеп=1, 2, 3, ..., N. .... (1)

2 ( ( "Л . 2

ед=-- //№•«» ф=-ь-^{у\

иу))

•ах со

и,

ф,

где т= 1, 2, І ..., N,.... (2)

£*(2)=л'.И2)‘0^

со\ I— | \ск,

где к=\ % \ , .... (3)

Причём, ряды (31) сходятся на основании необходимого признака сходимости число-вого и функционального рядов, признаков сходимости Д'Аламбера и Коши (полученные функциональные ряды (31) однотипны с степенными рядами в решениях уравнения Фурье для теплопроводности!), следовательно, при известных начальных и граничных условиях Коши функции (31) является решениями уравнения (14). Ряды (32) представляют собой разложение на отрезках хе[0,^],.уе[-/у2,^2], ге[0,Д] соответственно функций

/(дг) ,/(у) и /(г) в тригоно-метрические ряды Фурье по косинусам кратных дуг.

Физически гармонические функции {м„, йт, й*}

представляют собой моды - гармо-ники волны, графиками которых являются затухающие при I —><х> косинусоиды, с минима-льным периодом Ттп =Т0х = , Ттп =Т0 = Ь/2 и Г =Т01 = Д

Решения электродинамической задачи, задающейся системой тригонометрических рядов Фурье (31), необходимы для определения распределения ЭМ полей при компьютерном моделировании волновых процессов СВЧ тракта и оптимизации основных технических характеристик конструкции СВЧ аттенюаторов, с целью их практического применения в серийном производстве измерителей повышенной поглощаемой мощности, типа «М3-108».

Выявлена специфика поперечного распределения электрического и магнитного полей в СВЧ аттенюаторе, с обязательным учётом температурного распределения над резистором и подложкой.

Рис. 2. Эпюры распределения электрического поля в 1 - ой зоне — над резистором и подложкой и 2 - ой — под подложкой, в зависимости от ширины охлаждающей области а и ширины резистивной плёнки Л

Экспериментально обнаружена закономерность пленочных тверждение сказанному следует при анализе представленной гра-

СВЧ резисторов ? почти полное совпадение областей распределе- фической информации, согласно принципу "нет тока ? нет и выделения электромагнитных и тепловых полей, с характерным эффектом ния тепла". Доказано, что электромагнитные поля обязательно вызы-

"провала" в центральной части, по причине вытеснения в боковые вают образование температурного поля над резистором и подлож-

области резистивной структуры плотности СВЧ тока. Наглядное под- кой.

Литература

1. Вайнштейн ЛА Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.

- С. 11-196.

2. Никольский ШВ, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.: Наука, 1989. — 544 с.

3. Семенов АА Теория электромагнитных волн. — М.: Изд. МГУ, 1968.

— С. 201 — 264.

4. Марков ГА, Петров ЕЮ. Лекции по курсу 'Теория волновых процессов"// Распределение электромагнитных полей и распространение радиоволн: Труды ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Кафедра "электродинамики". — Нижний Новгород, 2003. — С. 3-80.

5. Неганов ВъА Электродинамическая теория полосково-щелевых структур СВЧ. — Самара: СГУ, 1991. — 238 с.

6. Сычев АН Приближенный аналитический метод для анализа многопроводных связанных экранированных МПЛ на слоистой подложке//Журнал радиоэлектроники. — 2001. — №8.

7. Геворкян ЕА Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотроп-ным модулированным заполнением//Журнал технической физики, 2006. — Т.76 — Вып. 5.

8. MIM Capacitor Modeling. A Planar Approach Giancarlo Bartolussi, Franco Gianuini, Ernesto Limiti and Steven Marsh. IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques . — V 43. — № 4, April. 1995.

9. Divergent Fields Charge and Capacitance in FDTD Simulations. C.L Wagner and J.B. Schneider. IEEE. Trans. on Microwave Theory and Techniques. Vol. 46, № 012, December. 1998.

10. Климов К.Н., Сестрорецкий Б.В. Дифференциальные уравнения для решения задач рассеяния электромагнитных волн во временной области//Журнал радиоэлектроники — 2001. — № 2.

1 1. Gevorkyan EA. Proc. of Int. Symp. on Electromagnetic Theory Thessaloniki, Greece. 1998. V. 1. рр. 69, 70.

12. Gevorkyan EA. Proc. of Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kiev. Ukraine. 2002. V. 2. рр. 373-375.

13. Gevorkyan EA. Proc. of Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Dnepropetrovsk. Ukraine. 2004. рр. 370, 371.

14. Семенов ВС, Дыбовский В.Г., Неведомский АВ. Электромагнитное поле линей-ного переменного тока в плоскослоистой среде//Журнал радиоэлектроники. — 2000. — № 6

15. Меркулов В.В., Синева И.С О многократных отражениях в неоднородной линии передачи//Журнал радиоэлектроники. — 2000. — №5.

16. Изюмова Т.И., Свиридов В.Т. Волноводы, коаксиальные и полосковые линии (серия "Массовая радиобиблиотека". — С.: Энергия, 1975. — Вып. 876. — С. 4-110.

17. Шутенко М.С Элементы волноводных трактов (серия "Радиолокационная техника"). — М.: Воениздат, 1972. — С. 5-48, 79-105, 109-131.

18. Гордон П.1В Распространение и взаимодействие локализированных мод в нели-нейных диссипативных средах. Диссертация канд. физ.-мат. наук: 05.13.16. — СПб.: 1999.

19. Бахарев СВ., Вольман В.И., Либ Ю.Н. и др. Справочник по расчету и конструи-рованию СВЧ полосковых устройств. — М.: Советское радио, 1982. — 328 с.

20. Бушминский И.П., Морозов Г.В. Конструирование и технология пленочных СВЧ микросхем (серия "Библиотека радиоконструктора"). — М.: Советское радио, 1978. — С. 12-28, 26, 29-141.

21. Чернушенко АМ, Меланченко НЕ, Малорацкий Л.Г., Петров Б.В.

Конструкции СВЧ устройств и экранов. — М.: Советское радио, 1983. — 400 с.