CC BY
106
УДК 62-25, 62-251, 531/534
Особенности проектирования упругой компенсирующей
муфты
Часть 2. Расчёт упругого элемента при наличии угловой
несоосности валов
11 2 1 Е.О. Билецкий , А.М. Гуськов , О.А. Ряховский , Е.П. Фирсов
Аннотация: Рассматривается плоское напряжённое состояние диска пальцевой муфты при несоосном расположении валов. В результате расчёта были построены поля распределений напряжений и перемещений в диске пальцевых муфт для дисков с четырьмя, шестью и восемью отверстиями. Расчет проведен методом конечных элементов при наличии угловой несоосности при провороте ведущего вала на полный оборот. Учтено, что при наличии угловой несоосности в зависимости от угла поворота возникает изгибающий момент, приводящий к появлению крутящего момента на ведущем валу даже при отсутствии рабочей нагрузки. Построены графики изменения изгибающих моментов относительно поперечных осей неподвижной системы отсчета.
Ключевые слова: передачи, муфта, несоосность, компенсирующая муфта,
прочность, метод конечных элементов.
Расчёт напряжённого состояния диска пальцевой муфты при несоосном расположении ведущего и ведомого вала
В первой части был произведён расчет плосконапряжённого состояния диска пальцевой муфты. В этой статье мы продолжим исследовать напряженное состояние диска пальцевой муфты, учитывая эффекты, связанные с поворотом ведомого вала относительно ведущего при наличии угловой несоосности валов.
Для расчёта были выбраны диски с внутренним диаметром 050 мм с четырьмя отверстиями и 0140 мм с восемью отверстиями (рис.1). Толщина пластин была принята
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Прикладная механика»
2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Основы конструирования и детали машин»
равной 1 мм. Материал дисков - сталь (коэффициент Пуассона ц = 0.3, модуль упругости первого рода Е = 2х10п ).
Отличие данной задачи от задачи, рассмотренной в первой части состоит в том, что при повороте ведущего вала, из-за угловой несоосности двух валов - угол ф (рис. 2), - , нарушается симметрия, так как положение отверстий относительно плоскости, в которой лежат оси обоих валов меняется.
Рис 1. Геометрические характеристики дисков пальцевой муфты
При этом оба торца вращаются в разных плоскостях. Именно эта особенность задачи является наиболее интересной и трудоемкой при проведении расчетов в программном комплексе ANSYS [3, 4, 5].
Геометрические соотношения
Рассмотрим геометрические зависимости между положениями точек на контурах отверстий ведущего и ведомого валов при повороте ведомого вала на угол а и ведомого -на угол (3 (рис. 2).
Рис. 2 Угловое смещение валов в плоскости, проходящей через оси обоих валов
Введем следующие обозначения: оси координат, связанные с ведущим валом обозначим через {х, у, z} с ведомым валом - через {у, у, zJ . В начальном положении оси
{у, z}, {у, х} расположим в плоскости осей валов. Причем, оси z, у образуют угол несоосности ф (рис. 3). При этом ось z направлена по внешней нормаль к торцу ведущего вала, а ось у - против внешней нормали к торцу ведомого вала.
При повороте ведущего вала на угол а оси z, у сохранят свое положение в пространстве, а оси {х, у}, {у,у} займут новые положения. При этом ведомый вал повернется на угол 3 . На протяжении всего исследования деформациями валов пренебрегаем, то есть, рассматриваем их как абсолютно твердые тела. Используем следующие обозначения (рис. 3)
{х,у,z} а > {х',у', z}, {у,у,у}—{у',у',у}
Используем также следующие обозначения для ортов связанных осей
{х, у, z; 1, j, k} а > {х', у', z', 1', j', k'}, {у, у,у; 1,у , k} —-> {х',у',у '; 1',у', k'} (1)
Соответствующие орты связаны преобразованиями поворота
¡' = cos (а) ^ + sin (а) j j/ = — sin (а) ^ + cos (а) j k/ = К
^ = cos (3) ^ + sin (3) j
у ' = — sin (3) ^ ^ (3) у
к' = к
кх
I к
z
Рис. 3. Поворот ведущего вала на угол а
Для численного решения этой задачи удобнее всего перевести все перемещения в систему координат, связанную с ведущим валом. В таком случае, в ANSYS и Workbench (эти две программы в дальнейшем будут использованы для решения задачи расчета напряженного состояния диска пальцевой муфты) нет необходимости задавать перемещения для всех четырёх или восьми отверстий упругого элемента, а можно ограничится двумя или четырьмя из них (связанных с ведомым валом).
Рассмотри контур отверстия, связанного с ведущим валом. Положение произвольной точки А контура отверстия, связанного с ведущим валом определяется зависимостью (рис 4). Расстояние от центра пластины до центра одного из отверстий обозначим как L, радиус отверстия - C. Рассмотрим отверстие, центр которого находится на оси X. Положение центра отверстие определяется вектором
r = L i (3)
<р J 1 А"\ ^
\с 4
\ г \ и О
Рис. 4 Геометрические характеристики контура отверстия, связанного с ведущим валом
Положение произвольной точки контура определим полярным углом ф, отсчитываемым от оси х' (рис. 4) и вектором га
= г + С cos (ф) і + С sin (ф) j
(4)
Тогда, с учетом (2), (3), (4), координаты вектора г в неподвижной (начальной) системе координат, связанной с ведущим валом, вычисляются как
ха = ^ + С cos (ф)) cos (а) — С sin (ф) sin (а) уа = (L + С cos (ф)) sin (а) — С sin (ф) cos (а) г = 0
(5)
Установим зависимость между ортами систем координат ведомого и ведущего валов (рис. 5) в начальном положении
і = і
І = ^ (ф) j — sin (ф)к к = sin (ф) j — cos (ф)к
(6)
Рис. 5 Положение ведущего и ведомого валов при угловой несоосности
Рассмотри отверстие диска, находящегося в плоскости торца ведомого вала, центр которого в начальном положении находится на оси у (рис. 5).
Составим уравнения положения точек контура отверстия, связанного с ведомым валом (рис. 6). Аналогично соотношению (4) получим
г
а
Рис. 6 Поворот отверстия диска, связанного с ведомым валом
r3 = (L + C cos (ф)) j ; — C sin (ф) i' (7)
Считаем, что деформации пластины в своей плоскости малы (принцип начальных размеров соблюдается). Тогда, угол между векторами i' и j j не изменяется, то есть
i '• j, = 0 (8)
Используя соотношения (2), получим выражение, связывающее углы поворота ведущего и ведомого вала в зависимости от угла меду осями двух валов
tg ((3) = tg (a) cos (ф) (9)
Найденные соотношения позволяют вычислить положение контура отверстия в плоскости ведомого вала в системе координат {x,y, z}, аналогично зависимостям (5) (рис. 6):
x3 = —(L + C cos (ф)) sin (3) — C sin (ф) cos (3)
y3 = (l + C cos (ф)) cos (3) cos (ф) — C sin (ф)sin (3) cos (ф) (10)
z3 = —(L + C cos (ф)) cos (3) sin (ф) — C sin (ф) sin (3) sin (ф)
Зависимости (5), (9), (10) позволяют вводить расчет кинематические условия, накладываемые на контуры отверстий при проведении анализа методом конечных элементов.
Расчет диска пальцевой муфты с использованием метода конечных элементов
В расчетах в программном комплексе ANSYS для моделирования напряженно-деформированного состояния пластин использовался конечный элемент SHELL 63 [3].
В процессе расчета модель разбивалась на 8 областей, в каждой из них выбирался определенный масштаб сетки. Возле концентраторов напряжений сетка принудительно сгущалась для повышения точности расчёта (рис. 7, 8).
Рис. 7. Фрагмент конечно-элементной сетки вблизи отверстия упругого диска с четырьмя
отверстиями
Рис. 8. Фрагмент конечно-элементной сетки вблизи отверстия упругого диска с восемью
отверстиями
Помимо этого проводились проверочные расчеты моментов с использованием других программ SolidWorks и Workbench; в SolidWorks создавалась трехмерная модель диска, которая потом загружалась в Workbench [4, 5].
Следует заметить, что при наличии несоосности, даже при нулевом моменте сопротивления Мр = 0 для проворачивания ведущего вала необходимо прикладывать
переменный по углу поворота а крутящий момент Ма0. При этом возникают переменные
изгибающие моменты Мх0,Му0.
X у
Для того чтобы учесть крутящий момент, действующий на упругий элемент, следует учесть, что расстояния между отверстиями меняются (см. Часть 1 настоящей работы). Положим, что на самом деле угол поворота ведомого вала получает некоторое дополнительное приращение Др, вызванное деформацией упругого элемента в своей плоскости.. Заметим, что соотношение (8), а так же (9) верны с точностью до малых третьего порядка относительно Др. При приложении момента к ведущему валу Ма, который необходим для преодоления момента сопротивления Мр на ведомом валу, можно вычислить угол Др. Однако, распределение поверхностных сил по контурам отверстий заранее неизвестно. Поэтому, учитывая линейность задачи, практически удобнее поступать следующим образом: задаёмся в расчетах малым значением Др;, например, положив его равным одному градусу [1, 2]. Это позволяет определить поле перемещений на контурах ведомого вала в соответствии с (10) как
Ux = хр р^р+Др' 1 р
Uy = р^р+др' _ ур
uz = zp| р^р+др' _ гр
Далее вычисляется момент на ведомом валу Мр'. При расчетах рассматривались только равновесные конфигурации. Тогда между моментом на входном валу Ма (по направлению вращения) и моментом на выходном валу Мр (против направления вращения) должно выполняться условие равновесия упругого элемента
Ма cos (ф) = Мр + My sin (ф) (12)
Если угол несоосности равен нулю (ф = 0), то уравнение (12) сводится к равенству моментов на ведущем и ведомом валах. При произвольном задании угла Др' для фиксированного значения угла поворота ведущего вала а уравнение (12) служит для
вычисления реакции дополнительной связи на выходном валу Ыр' (а, Др'). Интересно отметить, что даже при отсутствии крутящего момента на выходном валу (Ыр = 0) и наличии угловой погрешности (ф ^ 0) для удержания муфты необходимо приложить крутящий момент Ыа на ведущем валу, если упругий элемент деформируется таким образом, что изгибающий момент относительно поперечной оси, лежащей в плоскости передачи, не равен нулю (Ыу ^ 0). То есть, для проворачивания ведущего вала без
нагрузки на выходном валу необходимо прикладывать периодически изменяющийся по углу а крутящий момент Ыа . Поэтому при реальных расчетах всегда приходиться делать
два расчета для двух значений Др' и Др''. Значение угла Д(3°, которое соответствует нулевому моменту на выходном валу, будет определяться как
0 Др'Ыр''-Др"Ыр'
Др° =^^-----------------------------------------------^^ (13)
Ыр" - Ыр'
Соответственно, для заданного момента Ыр необходимый угол Др вычисляется следующим образом
Др''-Др'
'------7 Ы р
Ыр'' - Ыр'
Др = Др0 + —------------------— Ыр (14)
Очевидно, что если задавать движение контуров отверстий в двух некомпланарных плоскостях при выполнении условия Др = 0, то из уравнения (14) следует, что для этого необходимо прикладывать дополнительный крутящий момент на выходном валу. В соответствии с зависимостью (14) происходит пересчет крутящего и изгибающих моментов на ведущем валу
Ы '' - Ы ' Ы '' - Ы ' ы” - ы'
Ы =_^-о. ыр, Ы = —Х--------Х-Ыр, Ы =—£------------У-Ыр (15)
ап / р5 х Н Г р Ун ! р 47
Ыр - Ыр Ыр - Ыр Ыр - Ыр
По результатам расчетов строятся графики зависимости изгибающих и крутящего моментов от угла поворота ведущего вала а и угла между осями валов ф. У гол ф
принимали равным {1°,3°,6°}, а изменялся от 0 до 180° .
На рисунках 9, 10 приведены графики изменения изгибающего момента Му и
крутящего момента на входном валу для диска с четырьмя отверстиями. Графики имеют подобный вид для трех углов несоосности (фактически значения изменяются пропорционально углу ф для изгибающих моментов).
1 - угол ф = 1°, 2 - ф = 3°, 3 - ф = 6°
л
Рис. 9 Графики изгибающих моментов Му, [ для диска с четырьмя отверстиями;
Др = 0
Значения изгибающего момента на два порядка меньше значений крутящего момента. Учитывая уравнение равновесия (12), малость угла несоосности, можно заметить, что моменты на ведущем и ведомом валах практически совпадают, то есть график Мр (а) повторяет график Ма (а) на рис. 10. Следует заметить, что эти графики
приведены для одного из двух необходимых расчетов при угле искажения в плоскости упругого элемента равным нулю - Д|3 = 0. Именно этим фактом объясняется знакопеременность крутящего момента.
1 - угол ф = 1°, 2 - ф = 3°, 3 - ф = 6°
j
Рис. 10 Графики крутящих моментов Ма, [ для диска с четырьмя отверстиями;
др = 0
Аналогичный вид имеют графики для компенсирующей муфты, в которой используются диски с восемью отверстиями - рис. 11, 12. Учитывая, что размеры диска с восемью отверстиями отличаются от таковых для диска четырьмя отверстиями, значения моментов при одной и той же связи - ДР = 0, - существенно больше.
Расчеты показывают, что характер полученных зависимостей не меняется и при других значениях угла искажения, а именно, при Др = 1°. То есть сохраняется та же периодичность по углу а при связи Др = const. Если воспользоваться преобразованиями (13), (14), (15) то можно перестроить подобные графики для любого закона момента на ведомом валу в зависимости от угла поворота. В частности, приведем зависимости My (а)
для случая постоянного момента сопротивления на ведомом валу - рис. 13, 14, - для значения угла несоосности ф = 1°. Учитывая практическую пропорциональность изгибающих моментов углу ф, можно рассчитать их значения для других углов.
1 - угол ф = 1° , 2 - ф = 3° , 3 - ф = 6°
.1
Рис. 11 Графики изгибающих моментов Му, [ для диска с восемью отверстиями;
др = 0
1 - угол ф = 1°, 2 - ф = 3°, 3 - ф = 6°
Рис. 12 Графики крутящих моментов Ма, [ для диска с восемью отверстиями; Д|3 = 0
300.4
М зоо
(а)
а
М.
а
(б)
Рис. 13 Перестроенные графики изгибающего момента (б) при постоянном значении крутящего момента (а) для диска с четырьмя отверстиями
Рис. 14 Перестроенные графики изгибающего момента (б) при постоянном значении крутящего момента (а) для диска с восемью отверстиями
Характер деформирования упругих элементов показан на рисунках 15, 16. Подобного рода визуализация является необходимой для того, чтобы убедиться, что отверстия, связанные с различными валами, действительно находятся в двух некомпланарных плоскостях.
Рис. 15 Диск с четырьмя отверстиями в деформированном состоянии
Рис. 16 Диск с восемью отверстиями в деформированном состоянии
Выводы
Приведенные расчеты показывают, что упругая компенсирующая муфта с упругими элементами в виде перфорированных пластин позволяют передавать крутящий момент практически без искажения при малых углах несоосности. В то же время, появление изгибающих моментов с периодичностью поворота ведущего вала (рис. 13, 14) свидетельствует о переменной жесткости на изгиб. При вибрациях наличие периодически изменяющейся жесткости может послужить причиной возбуждения параметрических колебаний. Подобные исследования необходимо проводить в зависимости от уровня вибраций и механизмов диссипации энергии в каждом конкретном случае.
Работа выполнена в рамках реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием российского высшего учебного заведения, "Разработка и производство отечественных насосных агрегатов
нового класса для транспорта нефти (импортозамещающие технологии)" шифр заявки 2010-218-01-245".
Список литературы
1. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. /Ред. В.Н. Челомей (пред.). - М.: Машиностроение, 1981. - Т.4. Вибрационные процессы и машины / Под ред. Э.Э. Лавендела. 1981, 509 с.
2. Расчеты на прочность в машиностроении / Пономарев СД, Бидерман ВЛ, Лихарев КК, Макушин ВМ, Малинин НН, Феодосьев ВИ, М.: МАШГИЗ, 1985 . С. 123-127.
3. Справочное руководство программного комплекса ANSYS
4. Справочное руководство программного комплекса WorkBench
5. Справочное руководство программного комплекса SolidWorks
6. Сайт фирмы КТШ/ http://www.ktr.com/ru/home.htm каталог муфт фирмы КТК иЯЬ http://www.ktr.com/root/img/pool/pdf/produktkataloge/us/us_gesamt/KTRcorp_Catalog.pdf (дата обращения 24.12.2010 )
