CC BY
2
Обзорная статья
УДК 622.83.012:51-7
ББК 33.14-11
Н 76
DOI: 10.53598/2410-3225-2023-3-326-73-80
Особенности применения вейвлетов при исследовании движений массива горных пород и земной поверхности
Святослав Александрович Ногин
Младший научный сотрудник, Институт горного дела Уральского отделения Российской академии наук, Екатеринбург, Россия, nsa@igduran.ru
Аннотация. Описаны аспекты применения вейвлет-анализав в геомеханических исследованиях при работе с различного рода данными о движениях породного массива и земной поверхности (сейсмограммами, данными дистанционного зондирования Земли и т.д.). Определены основные направления использования вейвлет-анализа в рассматриваемой сфере.
Ключевые слова: вейвлеты, вейвлет-анализ, вейвлет-преобразование, обработка данных, моделирование движения грунта, спектральный вейвлет-анализ, анализ распределения деформаций
Работа выполнена в рамках Госзадания № 075-00412-22 ПР, тема 3 (2022-2024), (FUWE-2022-0003),рег. № 1021062010536-3-1.5.1.
Review Article
Aspects of wavelets application in the study of rock mas and ground surface motions
Svyatoslav A. Nogin
Junior researcher, Institute of Mining of Ural branch of Russian Academy of Sciences,
Yekaterinburg, Russia, nsa@igduran.ru
Abstract. The article describes aspects of wavelet analysis application in geomechanical studies when working with different kinds of data (seismograms, remote sensing data, etc.). The main directions of wavelet analysis application in the considered sphere are defined.
Keywords: wavelets, wavelet analysis, wavelet transformation, data processing, ground motion modeling, wavelet spectral analysis, deformation distribution analysis
The research was carried out withing the state assignment No. 075-00412-22 PR, theme 3 (2022-2024), (FUWE-2022-0003), reg. No. 1021062010536-3-1.5.1.
Введение
В настоящее время в геомеханических исследованиях, в частности, при описании различных движений как земной поверхности, так и массива в целом, существенную и все более возрастающую роль, в силу широкого применения средств вычислительной автоматизации, играют процессы численного моделирования, а также предварительной обработки данных [1].
Наибольшее применение в сфере обработки сигналов имеет преобразование Фурье, а также его модификации (пример гармонического Фурье-анализа развития процесса деформации в породном массиве приведен в [2]). При этом начиная с 1990-х годов все большее число приложений находится и у вейвлет-анализа, некоторые из кото-
рых перечислены в [3].
Исходные данные, подлежащие обработке, могут иметь различный вид. Это могут быть изображения, полученные спутниками ДЗЗ (дистанционного зондирования Земли), в том числе радиолокационные и мультиспектральные снимки, интерферо-граммы, также сейсмограммы и пространственные данные о деформациях пород и смещении земной поверхности. Все эти типы данных приводят к различным задачам обработки и дальнейшего анализа; в соответствующих разрабатываемых алгоритмах решения данных задач к настоящему времени нашли свои приложения различные элементы вейвлет-анализа.
Поэтому становится актуальной задача обобщения опыта современных исследований деформационных процессов земной поверхности, базирующихся на применении спектрального вейвлет-анализа с целью выделения наиболее перспективных направлений их развития.
Основы вейвлет-преобразований изложены в [4, 5], где также приводятся примеры их практического применения в анализе сигналов. При этом стоит отметить, что к настоящему времени терминология теории вейвлетов не устоялась, в связи с чем некоторые определения одних и тех же понятий видоизменяются, авторами предлагаются различные формулировки, что отмечалось еще в [3].
К настоящему времени в практику исследования временных рядов введено значительное число видов вейвлетов. Можно упомянуть вейвлет Хаара, FHAT-вейвлет
(оба представляют собой ступенчатые функции), гауссовы вейвлеты n-го порядка
12
dn -—
(- l)n—-e 2 (при n = 1 получаем WAVE-вейвлет, при n = 2 - так называемую «мек-dt
j! i J!
сиканскую шляпу», MHAT-вейвлет), DOG-вейвлет (разность гауссианов) e 2 - e 8 ,
вейвлеты Пауля, Котельникова-Шеннона и Морле [6]. Также широко употребимы вейвлеты Добеши, симлеты и койфлеты, не имеющие явного аналитического выражения и определяемые набором фильтров.
Геоинформационное обеспечение наблюдений за процессом сдвижения
Определяющую роль в качественной и количественной оценке развития процесса сдвижения играют измерения деформаций рельефа в различных пространственных и временных масштабах. В ряде случаев для нахождения достаточно больших смещений (порядка десятков см и более) оправдано использование данных дистанционного зондирования Земли. Так, в работе [7] предлагается вейвлет-фильтрация для решения частной задачи удаления шумов в виде полос (волн определенной частоты и ориентации) на изображении, вызванных волнообразными изменениями ориентации датчиков, в рамках улучшения функционирования сервиса MPIC-OPT, позволяющего проводить корреляцию, коррекцию, фильтрацию и анализ данных ДЗЗ. В рассматриваемом случае удалялись помехи, обнаруженные в полях деформации поверхности, определенных на основе данных спутников Sentinel-2. Авторами применяется дискретное вейвлет-преобразование с применением вейвлетов Добеши, выбранного за счет как хорошего подавления артефактов, так и достаточного сохранения исходной информации. Коэффициенты детализации содержат информацию о высокочастотных компонентах изображения в горизонтальном, вертикальном и диагональном направлениях. Авторы обнаружили, что помехи содержит горизонтальный коэффициент детализации. Среди рассмотренных вейвлетов Добеши до 10-го порядка оптимальным был признан вейвлет Добеши 5-го порядка db5. После удаления помех проводилось восстановление полей деформаций.
Также вейвлет-фильтры используются для оценки фазового шума на интерферо-грамме и подавления различных артефактов при обработке данных DInSAR [8], причем в ходе предложенного алгоритма обработки разные процедуры фильтрации осуществляются в течение нескольких этапов его работы. Подход основан на выборе стабильных пикселей, несущих меньше всего шума, причем шум оценивается с применением анализа вейвлет-пакетами. После выбора сети стабильных пикселей проводится развертка фазы, результат которой проходит через низкочастотный фильтр с применением полиномиальных вейвлетов Лежандра (порядок не более 3, один уровень разложения), что позволяет скорректировать их фазу. Затем после вычисления движений поверхности по значениям фазы и построения временных рядов движений проводится уменьшение высокочастотной атмосферной компоненты шума через задание порога на вейвлет-коэффициенты (используется гауссов вейвлет 30-го порядка). В итоге автору удалось добиться того, что среднеквадратичная ошибка определения смещений по предложенному методу WablnSAR составила 6,5 мм по высоте.
Обработка и анализ данных сейсмики
Преобразование Фурье является традиционным методом для анализа временных рядов сейсмических данных, имея в то же время ряд ограничений. Так, оно не обладает временным разрешением, не позволяет обнаружить изменение частоты колебаний со временем и локальные особенности сигнала, ошибки при восстановлении сигнала распространяются на весь сигнал [9].
Для анализа распределения сейсмической энергии в качестве базисных можно выбрать вейвлеты Морле за счет лучшей частотной локализации [9]. На полученных после преобразования вейвлет-скалограммах для данных из разных выборок дается распределение энергии по масштабам. В нижней части проявляются высокочастотные компоненты, в верхней - низкие частоты. Авторы отмечают, что вблизи границ скало-граммы коэффициенты вейвлет-разложения имеют большую погрешность, нежели на других ее участках. Это приводит к необходимости определения области достоверных значений, в ходе которого вейвлет-преобразование вычисляется при сдвигах, равных радиусу вейвлета, отсчитываемых от границы скалограммы. В итоге по скалограмме авторы определили значительное преобладание высокочастотных компонент в сейсмических данных, которые были проинтерпретированы как циклы подготовки и реализации конкретных сейсмических событий.
Возможно с помощью вейвлетов проводить и более глубокий анализ сейсмики. Так, в [10] предлагается метод непрерывного вейвлет-анализа сейсмограмм наземной сейсмической разведки для оценки волновых компонент и выявления помех. Авторы отмечают эффективность вейвлет-преобразования для анализа данных геофизических разведочных работ в силу нестационарности последних и изменения их амплитуды и спектрального состава со временем.
1 Г t2 ^
В качестве материнского взят вейвлет Морле у/0(]) = ж 4 exp(ja0t)х exp
2 J
где ®0 - изменяемый параметр, взятый равным я. Выбор объясняется близостью
формы вейвлета к форме регистрируемого сигнала. На масштабно-временной плоскости идентифицируются основные волновые компоненты (первые вступления волн, отклики от отражающих границ, волны-помехи) с помощью непрерывного вейвлет-преобразования.
Затем авторы переходят к обсуждению быстрого дискретного вейвлет-фильтра с использованием пирамидального разложения, что дает возможность проводить обработку в режиме реального времени. Дается формула сигнала, являющегося дискретной
функцией времени, на выходе фильтра. При фильтрации квадратурными зеркальными фильтрами (то есть высоко- и низкочастотными) осуществляется прореживание, при котором во временных рядах остаются четные или нечетные отсчеты. На каждом этапе фильтрации, таким образом, ширина полосы частот уменьшается вдвое.
Для анализа сейсмических данных была выбрана сильно зашумленная на определенном участке сейсмограмма. Вейвлетному фильтру было отдано предпочтение перед Фурье-анализом в силу накладываемых требований узкополосности фильтра и временной локализации. Сигнал раскладывался в базисе вейвлетов Добеши. Выход НЧ-фильтра, как обычно, дает аппроксимацию, ВЧ-фильтра - детализацию. В ходе эмпирического выбора порога амплитуды производится успешная первичная фильтрация волн-помех. Далее производилось пирамидальное разложение сигнала в базисе вейвлетов Добеши зашумленного участка для обнаружения коэффициентов, ответственных за помехи, в вейвлет-разложении. Такая вторичная процедура увеличивает эффективность вейвлет-фильтра в целом при корректировке соответствующих коэффициентов разложения.
Отмечено, что приравнивание к нулю коэффициентов большой амплитуды вносит дополнительные искажения в сигнал. Поэтому при удалении коэффициентов, ответственных за помехи в сигнале, была дополнительно применена оконная функция Ханна. Здесь можно заметить, что непрерывное вейвлет-преобразование ожидаемо вносит меньше искажений в сигнал при фильтрации, требуя большего времени для вычислений [10].
В качестве другого примера анализа выступают такие методы вейвлет-обработки акселерограмм землетрясений, как шумоподавление и прореживание [11]. При первой процедуре циклически вычленяются в ходе дискретного преобразования высокие частоты, которые затем вычитаются из сигнала, после чего процедура повторяется для аппроксимированного сигнала. В ходе второй после фильтрации субполосными низко- и высокочастотными фильтрами производится удаление половины отсчетов (временное разрешение уменьшается вдвое), после чего процесс повторяется в области низких частот. Обе процедуры проведены с применением вейвлетов Добеши db4. На основе сравнения отношений пиковой скорости к пиковому ускорению для акселерограмм 42 событий показано, что оба метода дают приемлемые приближения вплоть до 3-го уровня декомпозиции включительно. Также исследовалась точность методов в анализе сейсмического отклика грунта путем сравнения спектров отклика (спектров ускорений и спектров скоростей) у разложений записи землетрясения разных уровней декомпозиции и исходной, показана большая точность шумоподавления.
Помимо фильтрации вейвлеты применяют при обнаружении импульсоподобных особенностей в подземных движениях [12]. Кроме того, исследуются не только естественные сейсмические движения, но и вибрации при буровзрывных работах в карьерах. Так, вейвлет-преобразования используются для изучения характеристик полос частот таких взрывных вибраций [13]. После определения закона распространения максимальной скорости вибрации породных частиц на склоне вейвлет-анализ позволил получить характеристики распределения энергии в различных частотных диапазонах с одновременным учетом скоростей частиц массива. Наиболее пригодными для исследования взрывных вибраций признаны вейвлеты Добеши db5 и db8. Выделено 7 частотных полос в диапазоне от 0 до 1024 Гц, шириной от 16 до 512 Гц. Для них отмечены различающиеся интенсивности и скорости затухания вибраций.
Кроме того, возможна обработка сейсмических сигналов для построения упрощенных модельных сигналов, содержащих основные особенности зарегистрированных землетрясений [14]. Анализ осуществляется с применением вейвлетов db2 и db4 по причине хорошего соответствия их графиков искомым импульсным движениям. С це-
лью упрощения в предложенной процедуре анализа выделяется интервал времени, в котором наблюдался основной вклад относительной энергии сейсмического события, также вычленяется диапазон частот - не менее 0,9 от пиковой, и в этом ограниченном частотно-временном диапазоне проводится аппроксимация временного распределения сейсмической энергии (как для абсолютной, так и для относительной) на основе выбора максимального коэффициента в разложении. Для приближения велосиграммы выбранного импульса в качестве вейвлет-коэффициента берется с нужным знаком квадратный корень из модуля соответствующего коэффициента в разложении, описанном выше. Процесс может итеративно продолжаться для остаточной разности между анализируемой функцией и получаемой на предыдущем шаге аппроксимацией до получения желаемого соответствия моделируемого сигнала основным элементам исходной записи. Установлено, что аппроксимации с базисным вейвлетом db2 эффективно приближают велосиграммы с несколькими импульсами антисимметричной формы, db4 подходит для велосиграмм симметричной конфигурации, содержащих не менее трех всплесков [14].
Роль вейвлетов в моделировании движения
Достаточно интересным представляется приложение теории вейвлетов в такой области, как моделирование грунтовых движений. В [15] предложен метод такого моделирования, обладающий малой ошибкой спектра реакции псевдоускорения в модели относительно зарегистрированного движения грунта. Основной идеей при этом является применение быстрого вейвлет-разложения (с db8 в качестве базисного вейвлета) к записанным реальным сигналам и вейвлет-синтеза новых модельных сигналов из комбинаций полученных аппроксимирующих и детализирующих частей. Таким образом, с увеличением уровня разложения растет количество различных моделируемых сигналов.
В то же время в [16] рассматривается предобработка данных с помощью вейв-лет-анализа для дальнейшего прогнозирования временных рядов деформаций земной поверхности, сопровождающих цементацию в районе шахтного ствола. С использованием вейвлета db4 обрабатывается ряд из 15 наблюдений для точки вблизи ствола. Получаемые в ходе декомпозиции сигнала аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты, которые затем, в зависимости от степени выраженности периодичности каждого из них, отдельно обрабатываются авторегрессионной моделью или нейронной сетью, составляется прогноз, проверяемый на дополнительных пяти последующих измерениях. Окончательный вариант прогноза развития деформаций получается после объединения полученных прогнозов для каждой компоненты. Сделан вывод о том, что подобный подход дает лучший результат, нежели непосредственное применение авторегрессии или нейронной сети.
Анализ распределения деформаций пород
В работе [2] проведено сравнение периодограммы, полученной при помощи Фурье-анализа, и скалограммы, вычисленной на основе базисного вейвлета Морле, выбранного по причине его лучшей частотной локализации, для исследования распределения горизонтальных деформаций s вдоль квершлага шахты «Шевелевская». Также даны периодограммы приращений смещений выбранного репера наземной наблюдательной станции на шахте «Северопесчанская» для двух этапов маркшейдерских наблюдений, отличающихся частотой замеров. Авторы пришли к заключению о взаимодополняемости анализов с помощью преобразования Фурье и вейвлет-преобразования.
В [17] дан анализ результатов наблюдений, заключающийся в построении скало-граммы горизонтальных деформаций на протяжении всей профильной линии для выявления сосредоточенных особенностей рельефа (таких как трещины). После сравнения с результатами корреляционного анализа, базирующегося на вычислении автокорреляционной функции, сделан вывод о возможности выявления колебаний деформаций на
основе скалограммы.
Методика вейвлет-анализа при обработке данных натурных наблюдений за
сдвижением земной поверхности
Как известно, для наблюдения за развитием процесса сдвижения земной поверхности на рудных месторождениях организуются наблюдательные станции, представляющие собой с математической точки зрения множество профильных линий, каждая из которых в свою очередь является множеством опорных и рабочих реперов, имеющих как геодезические, определяемые ОРБ-позиционированием, так и локальные прямоугольные на плане поверхности координаты. При проведении многолетних наблюдений становится возможным исследовать пространственное распределение деформаций поверхности и их эволюцию во времени без привязки к плану поверхности, поскольку деформации на практике вычисляются не на основе координат, а на величинах оседаний реперов и длин интервалов профильной линии. Таким образом, возможно проводить анализ двумерного массива пар ((х^), где хг - исследуемая характеристика сдвижения для г-го компонента (например, оседание соответствующего в профильной линии репера), ^ - время.
В свою очередь, из практических соображений можно использовать одномерный вейвлет-анализ, применяя преобразование к данным, приуроченным к профильной линии за одну и ту же серию наблюдений, затем к рядам выбранного параметра сдвижения и одного и того же элемента (например, оседания репера) за разные годы. Таким образом, на первом этапе последовательно и независимо исследуется к рядов данных, на втором этапе - N рядов, где к - количество профильных линий, N - количество элементов (реперов для оседаний, интервалов для наклонов и горизонтальных деформаций). Согласно [18] и приведенным выше примерам анализа движений земной поверхности, для выявления сосредоточенных деформаций можно предложить следующую методику:
1. Проверка ряда на стационарность (например, РР-тест или КРББ-тест).
2. Интерполяция данных, при необходимости. Возможно использовать сплайны для заполнения пропусков, вызванных различными временными интервалами между последовательными сериями измерений и утерями реперов.
3. Исключение тренда (центрирование ряда данных, удаление линейного тренда, в более сложных случаях - полиномиального).
4. Построение периодограммы, при необходимости. При стационарности ряда содержит достаточно сведений о виде профильной линии.
5. Вычисление вейвлет-преобразования, определение треугольника достоверности с учетом наличия краевых эффектов либо модели экстраполяции ряда данных для нивелирования таковых. Выбор вейвлета определяется целями исследования. Так, для лучшей локализации в области частот, что актуально для выявления деформаций, выбирается вейвлет Морле. Для выявления артефактов в данных (например, связанных с перезакладкой реперов при исследовании временного ряда) могут использоваться и другие вейвлеты.
6. Построение скалограммы.
7. Вычисление скелетона.
8. Выделение деформаций (как по конусам влияния на визуализированной ска-лограмме, так и по виду скелетона).
9. Предыдущие шаги повторяются для всех профильных линий, после того исследуются временные ряды.
10. В целях прогноза развития процесса сдвижения возможно применить разложение на аппроксимирующие и детализирующие компоненты с использованием допускающих быстрое преобразование вейвлетов.
Примечания
1. Bobet A. Numerical methods in geomechanics // Arabian Journal for Science and Engineering. 2010. Vol. 35, No. 1B. P. 27-48.
2. Блохин Д. И., Одинцев В.Н., Шейнин В. И. Результаты спектрального анализа данных, характеризующих особенности распределения деформаций пород вблизи подземных выработок // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2007. № 9. С. 146-152.
3. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1085-1108.
4. Яковлев А. Н. Введение в вейвлет-преобразования. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.
104 с.
5. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. Москва: ДМК Пресс. 2014. 628 с.
6. Юдин М.Н., Севостьянов Н.А., Юдин О.М. Прикладные методы гармонического анализа. СПб.: Лань. 2022. 256 с.
7. Terrain deformation measurements from optical satellite imagery: the MPIC-OPT processing services for geohazards monitoring / F. Provost, D. Michea, J.-P. Malet [et al.] // Remote Sensing of Environment. 2022. Vol. 274. P. 112949. DOI: 10.1016/j.rse.2022.112949
8. Shirzaei M. A wavelet-based multitemporal DInSAR algorithm for monitoring ground surface motion // IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters. 2013. Vol. 10, No. 3. P. 456-460.
9. Жирова А.М., Жиров Д.В. Анализ непрерывных рядов сейсмичности в массиве рудника Расвумчорр (Хибины): первые результаты // Труды Ферсмановской научной сессии ГИ КНЦ РАН. Апатиты, 2014. № 11. С. 132-136.
10. Диагностика и фильтрация различных волновых компонент цифровых данных наземной сейсморазведки на основе вейвлетного анализа / А.Е. Филатова, А.Н. Павлов, А.А. Короновский, А.Е. Храмов // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественые и технические науки. 2011. Т. 16, № 2. С. 468-475.
11. Javdanian H., Heidari A., Raeisi J. Seismic ground response under wavelet-based decomposed earthquake records // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2021. Vol. 149. P. 106865. D0I:10.1016/j.soildyn.2021.106865
12. Tang Y., Wu C., Wang J. A hybrid characterization framework for structure-significant pulse-like features in ground motion // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2022. Vol. 160. P. 107325. DOI: 10.1016/j.soildyn.2022.107325
13. The characteristics of blasting vibration frequency bands in jointed rock mass slope / S. Zhang, W. Gao, L. Yan [et al.] // Environmental Earth Sciences. 2020. Vol. 79. P. 519. DOI: 10.1007/s12665-020-09267-x
14. Mollaioli F., Bosi A.Wavelet analysis for the characterization of forward-directivity pulselike ground motions on energy basis // Meccanica. 2012. Vol. 47. P. 203-219.
15. Chen G., Zhu Z., Hu J. Simulation of response spectrum-compatible ground motions using wavelet-based multi-resolution analysis // Measurement and Control. 2021. Vol. 54, Iss. 5-6. P. 641646.
16. Sun J., Guo J. Combination forecasting method for ground surface deformation based on wavelet analysis and BP neural network // International Conference on Test and Measurement. 2009. P. 157-160. DOI: 10.1109/ICTM.2009.5412974
17. Методы анализа дискретности процесса сдвижения земной поверхности при разработке угольных пластов / А. И. Быкадоров, П. М. Ларичкин, С. В. Свирко, А. А. Ренев // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2015. № 6. С. 19-25.
18. Витязев В. В. Вейвлет-анализ временных рядов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001. 58 с.
References
1. Bobet A. Numerical methods in geomechanics // Arabian Journal for Science and Engineering. 2010. Vol. 35, No. 1B. P. 27-48.
2.Blokhin D.I., Odintsev V.N., Sheynin V.I. Results of spectral analysis of the data characterizing the peculiarities of rock deformation distribution near underground workings // Mining Information and Analytical Bulletin. 2007. No. 9. P. 146-152.
3.Astafyeva N.M. Wavelet analysis: basic theory and some applications // Advances in Physical Sciences. 1996. Vol. 39, Iss. 11. P. 1085-1108.
4.Yakovlev A.N. Introduction to wavelet transforms. Novosibirsk: NSTU Publishing House.
2003.104 p.
5.Smolentsev N.K. Fundamentals of wavelet theory. Wavelets in MATLAB. Moscow: DMK Press. 2014. 628 p.
6.Yudin M.N., Sevostyanov N.A., Yudin O.M. Applied methods of harmonic analysis. St. Petersburg: Lan.2022. 256 p.
7.Terrain deformation measurements from optical satellite imagery: the MPIC-OPT processing services for geohazards monitoring / F. Provost, D. Michea, J.-P. Malet [et al.] // Remote Sensing of Environment. 2022. Vol. 274. P. 112949. DOI: 10.1016/j.rse.2022.112949
8. Shirzaei M. A wavelet-based multitemporal DInSAR algorithm for monitoring ground surface motion // IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters. 2013. Vol. 10, No. 3. P. 456-460.
9. Zhirova A.M., Zhirov D.V. Analysis of continuous seismicity series in the Rasvumchorr mine massif (Khibiny): first results // Proceedings of Fersman Scientific Session of The Geological Institute of the Kola Science Center of the Russian Academy of Sciences. Apatity, 2014. No. 11. P.132-136.
10. Diagnostics and filtering of various wave components of digital data of land seismic survey based on wavelet analysis / A.E. Filatova, A.N. Pavlov, A.A. Koronovskiy, A.E. Khramov // Bulletin of Tambov University. Ser.: Natural and Technical Sciences. 2011. Vol. 16, No. 2. P. 468-475.
11.Javdanian H., Heidari A., Raeisi J. Seismic ground response under wavelet-based decomposed earthquake records // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2021. Vol. 149. P. 106865. D0I:10.1016/j.soildyn.2021.106865
12.Tang Y., Wu C., Wang J. A hybrid characterization framework for structure-significant pulse-like features in ground motion // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2022. Vol. 160. P. 107325. DOI: 10.1016/j.soildyn.2022.107325
13.The characteristics of blasting vibration frequency bands in jointed rock mass slope / S. Zhang, W. Gao, L. Yan [et al.] // Environmental Earth Sciences. 2020. Vol. 79. P. 519. DOI: 10.1007/s12665-020-09267-x
14. Mollaioli F., Bosi A. Wavelet analysis for the characterization of forward-directivity pulse-like ground motions on energy basis // Meccanica. 2012. Vol. 47. P. 203-219.
15. Chen G., Zhu Z., Hu J. Simulation of response spectrum-compatible ground motions using wavelet-based multi-resolution analysis // Measurement and Control. 2021. Vol. 54, Iss. 5-6. P. 641646.
16.Sun J., Guo J. Combination forecasting method for ground surface deformation based on wavelet analysis and BP neural network // International Conference on Test and Measurement. 2009. P. 157-160. DOI: 10.1109/ICTM.2009.5412974
17.The methods of analysis of discret earth's surface displacements in coal-bed development / A.I. Bykadorov, P.M. Larickin, S.V. Svirko, A.A. Renev // The Bulletin of Kuzbass State Technical University. 2015. No. 6. P. 19-25.
18.Vityazev V.V. Wavelet analysis of time series. St. Petersburg: SPbSU Publishing House. 2001. 58 p.
Статья поступила в редакцию 19.06.2023; одобрена после рецензирования 19.07.2023; принята к публикации 20.07.2023.
The article was submitted 19.06.2023; approved after reviewing 19.07.2023; accepted for publication 20.07.2023.
© С.А. Ногин, 2023
