CC BY
4
УДК 539.26:548.73 Астафьев С.Б., Янусова Л.Г.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ И СЛОИСТЫХ НАНОСТРУКТУР ПО ДАННЫМ РЕНТГЕНОВСКОЙ ДИФРАКЦИИ
Астафьев Сергей Борисович, к.ф.-м.н., с.н.с., Янусова Людмила Германовна, к.ф.-м.н.; Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова РАН, ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН 119333, Россия, Москва, Ленинский проспект, дом 59, e-mail: [email protected]
В статье предложены алгоритмы применения методов математической оптимизации для решения задач исследования наноструктур по данным дифракции рентгеновского и синхротронного излучений, позволяющие повысить эффективность нахождения экстремальных значений. Алгоритмы носят универсальный характер, что позволяет использовать их в различных областях вычислительной физики. Построена целевая функция, осуществляющая наилучшее приближение модельной кривой к экспериментальной. Приведен пример успешного применения алгоритма для решения обратной задачи рефлектометрии для жидкокристаллической пленки блочного дендримера.
Ключевые слова: дифракционные методы, рентгеновская рефлектометрия, математическая оптимизация, наносистемы.
FEATURES OF THE APPLICATION OF MATHEMATICAL OPTIMIZATION METHODS FOR THE ANALYSIS OF PARTIALLY ORDERED AND LAYERED NANOSTRUCTURES BASED ON X-RAY DIFFRACTION DATA
Astafev S.B., Yanusova L.G. Shubnikov Institute of Crystallography of Federal Scientific Research Centre "Crystallography and Photonics" of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
The article discusses аlgorithms for applying mathematical optimization methods to solve the problems of studying nanostructures based on X-ray and synchrotron radiation diffraction data are proposed, which make it possible to increase the efficiency of finding extreme values. Algorithms are universal in nature, which allows them to be used in various fields of computational physics. An objective function is constructed that provides the best approximation of the model curve to the experimental one. An example of a successful application of the algorithm for solving the inverse problem of reflectometry for a liquid crystal film of a block dendrimer is given. Keywords: diffraction methods, X-ray reflectometry, mathematics optimization, nanosystems.
В работе предложены некоторые алгоритмы применения методов математической оптимизации для решения задач исследования наноструктур по данным дифракции рентгеновского и синхротронного излучений. Алгоритмы носят универсальный характер, что позволяет использовать их в различных областях вычислительной физики как в составе существующих пакетов программ так и в оригинальных авторских разработках.
Одним из важнейших первичных результатов исследования физического явления или процесса является какая-либо экспериментально измеряемая функциональная зависимость, представимая, как правило, графически в виде кривой. В качестве исходных данных в рефлектометрических исследованиях выступает кривая угловой зависимости интенсивности зеркального рассеяния зондирующего излучения от исследуемого объекта — рефлектометрическая кривая. Обратная задача заключается в нахождении профиля электронной плотности вещества на основе экспериментальной кривой рассеяния [1].
Для решения обратной задачи рефлектометрии необходимо выявить строение пленки, рассеяние от которой и приводит к виду этой кривой. Существует большое количество как модельных так и безмодельных методов и подходов к решению задачи
[1]. В данной работе использовался распространенный метод подгонки
экспериментальной кривой рассеяния теоретически рассчитанной для ступенчатой модели профиля плотности. Базовым методом расчета интенсивности служил рекуррентный метод Парратта [2].
Объектом исследования выступала пленка из нескольких слоев жидкокристалличесих 0-2 блочых дендримеров со смешанными алифатическими и мезогенными концевыми группами [3]. Рентгеновская рефлектометрическая кривая (зависимость интенсивности зеркального рассеяния от угла скольжения qz) для 02-дендримера приведена на Рис. 1. Зависимость имеет довольно сложную форму, определяемую как внутренней структурой пленки так и особенностями взаимодействия с зондирующим излучением. На кривой рассеяния выделяются начальная угловая область полного внешнего отражения (ПВО), характерные брэгговские пики, возникающих из-за блочно-периодического строения ЖК-пленки, и осцилляции Киссига, определяемые общей толщиной [4]. При этом наблюдается общее монотонное френелевское падение интенсивности отражения с увеличением угла скольжения, которое составляет приблизительно 6-7 порядков величины [1].
I, от. ед.
(U Ч" Â '
I, отн. ед.
10'-
10 -
10 -
0.2 0.3 <1?
Рис. 1. — Экспериментальная кривая интенсивности зеркального рентгеновского рассеяния от угла скольжения qz пленки блочного 02-дендримера (пунктирная линия) - а, б и результаты подгонки (сплошная линия) методом отжига рефлектометрической кривой с использованием функционалов (!) - а и (3) - б.
Процедура нахождения электронного профиля плотности пленки сводится к минимизации определенного функционала (целевой функции), зависящего от параметров конструируемой модели и экспериментально наблюдаемой интенсивности рассеяния.
Наиболее часто используемой целевой функцией в задачах настройки математических моделей на реальные данные является функционал, представляющий собой сумму квадратов отклонений (невязок), расчитанной величины от
экспериментально наблюдаемой. Такой функционал представляет собой критерий качества решения метода наименьших квадратов [5]:
г _ 1 уЫГгехр ,са1с\2 (1)
* _ 11 ^ ) (1)
здесь 1ер - экспериментально наблюдаемая величина интенсивности рассеяния, 1,са1с - интенсивность расчитанная методом Парратта [2], N - число экспериментальных точек.
Таким образом ищется минимальное значение функции (1) (которое является в данном случае нулем). Параметры модели пленки, приводящие к значениям {1ехр} и будут решением обратной задачи рефлектометрии.
На практике устойчивое адекватное решение, минимизируя функционал (1), получить весьма проблематично. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, одна из них - это указанная выше разница в величинах интенсивности начального и конечного угловых диапазонов. Эта разница составляет 6-7 порядков величины, что практически исключает возможность учета вкладов в сумму (1) интенсивностей в области больших углов. Другая важная причина - это сложнейшая форма кривой интенсивности рассеяния (Рис. 1), на вид которой дополнительно влияют зашумленность данных и ошибки измерения. Первую сложность - масштаб величин можно частично учесть демпфированием -формальной заменой величин интенсивностей их логарифмами:
F =
тят Ж1" Г- 1" г"-)2
(2)
Вопрос же подгонки кривой сложной формы остается проблемой при использовании указанных функционалов (1)-(2).
Для разрешения этой проблемы предложен функционал специального вида, который реализован в пакете BARD (Basic Analisys of xRay Diffraction) [6] для дальнейшего использования в прикладных задачах минимизации при исследовании веществ с помощью методов рентгеновской дифракции.
Обозначим через r отношение расчетной и измеренной интенсивности в /-ой точке и введем следующий функционал Fbard:
П = Ii
= {
(1 -(1
calc j^exp
п )2 1/п )2
(3.1)
при rÉ >1 при ц <1
(3.2)
Fbard = l?{fi} (3.3)
В функционале ¥вши (3) предусмотрены большие штрафы в случае если вычисляемые значения существенно отличаются от измеряемых величин, то есть подгоняемая кривая отклоняется от формы оригинальной. Это условие является достаточно жестким, что заставляет даже минимизаторы, основывающиеся на стохастическом методе выбора текущей точки принимать «правильные» решения. Также важно отметить, что введение относительной величины г (3.1) позволяет избежать описанной выше несоразмерности вкладов величин невязок, вычисленных в различных угловых областях, тем самым приближая кривую целиком к искомой зависимости на всем исследуемом диапазоне.
Рассмотрим применение модифицированного функционала в задаче нахождения электронного профиля плотности пленки по реальным
а
б
экспериментальным данным. Источником служили рефлектометрические данные пленки блочного 02-дендримера [3]. На Рис. 1а, 1б приведены результаты подгонки методом отжига рефлектометрической кривой рассеяния от этой пленки с использованием двух функционалов (1) и (3). Видно, что решение на основе модифицированного функционала FвARD (3) дает результат, наилучшим образом приближенный к экспериментальной зависимости. И, как следствие, определяемый профиль электронной плотности исследуемой пленки оказывается соответствующим всем ее структурным параметрам. Но этот вопрос и его обсуждение остается за рамками данной работы.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН.
Список литературы
1. Daillant J., GibaudA. (eds.) X-ray and Neutron Reflectivity: Principles and Applications. Lect. Notes Phys. 770, Springer, Berlin Heidelberg, 2009, 348 P. DOI: 10.1007/978-3-540-88588-7.
2. ParrattL.G. // Phys. Rev. 1954. V. 95. P. 359. DOI: 10.1103/PhysRev.95.359
3. B.I. Ostrovskii1, S.N. Sulyanov1, N.A. Boiko, V.P. Shibaev, S.B. Astaf'ev, L.G. Yanusova, and W.H. de Jeu. // Eur. Phys. J. E. 2013. V. 36: P. 134. DOI: 10.1140/epje/i2013-13134-8
4. Алиханов А.И. // Проблемы новейшей физики. Л.; М.: Гос. техн.-теоретич. изд-во, 1933. Вып. III. С. 5.
5. Ф. Гилл, Ю. Мюррей, М. Райт. // Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.
6. Астафьев С.Б., Щедрин Б.М., Янусова Л.Г. // Кристаллография. 2012, Т. 57, № 1, С. 141.
