CC BY
6
УДК 62
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ
Ветлицын Юрий Александрович
Инженер службы кондиционирования Государственное бюджетное учреждение здравоохранения Городская клиническая больница № 3, г. Волжский
Ветлицын Михаил Юрьевич
Аспирант, ассистент кафедры Волгоградский государственный технический университет E-mail: yuvetlit@gmail.com
В статье представлены результаты расчёта вероятностных характеристик мехатронной системы по данным тестовых испытаний. Выполнена проверка соответствия анализа мехатронной системы с применением функции нормального распределения. Показана необходимость вероятностной оценки действия мехатронной системы для определения возможности выполнения требуемого задания.
Ключевые слова: статистическая вероятность, «нормальное» распределение, коэффициент асимметрии, эксцесс, медиана выборки.
FEATURES OF THE APPLICATION
OF THE NORMAL DISTRIBUTION FUNCTION
FOR THE ANALYSIS OF MECHATRONIC SYSTEMS
Vetlitsyn Y.A.
Air Conditioning Service Engineer State Budgetary Healthcare Institution City Clinical Hospital No. 3, Volzhsky city
Vetlitsyn M. Y.
Postgraduate student, assistant of the Department of the Volga State Technical University E-mail: yuvetlit@gmail.com
The article presents the results of calculating the probabilistic characteristics of a mechatronic system based on test data. The conformity check of the analysis of the mechatronic system using the normal distribution function has been performed. The need for a probabilistic assessment of the action of a mechatronic system to determine the possibility of performing the required task is shown.
Keywords: statistical probability, "normal" distribution, skewness, coolness factor, sample median.
I. Введение.
Практический смысл обработки информации с помощью статистических методов заключается в определении оценок параметров случайного процесса по выборке объема N, на основе которых можно предсказать ожидаемые параметры всей генеральной совокупности возможных исходов исследуемого объекта. При решении практических задач по анализу мехатронных систем используют предположение о том, что если в процессе испытаний наблюдалась относительная частота появления ожидаемого события A и обнаруживалась устойчивая закономерность в отношениях p = ! « const ,
где п - общее число испытаний, т - количество появлений события А, то величина р, называется статистической вероятностью, и может применяться для анализа мехатронной системы при многократном воспроизведении исследуемого процесса в эксплуатации. Некоторая характеристика мехатронной системы р может рассматриваться как случайная величина, если для каждого фиксированного вещественного числа х существует вероятность того, что р < х. Построенная таким образом зависимость F(x) называется функцией распределения вероятностей для случайной величины р и считается её полной характеристикой [1, 2].
При анализе мехатронных систем обычно предполагается нормальный закон
распределения вероятностей для случайной величины р, если она является результатом совместного действия множества факторов,
1
р(х)
при этом закон распределения каждого фактора в отдельности не имеет значения. Функция ••нормального» распределения вероятностей имеет вид:
° V2
е
(1)
Из выражения (1) следует, что при рассмотрении многих задач можно ограничиться двумя основными
характеристиками:
математическим ожиданием ц для случайной величины р;
дисперсией а2, численно равной ожиданию квадрата отклонения случайной величины р от её математического ожидания ц [1,3].
II. Исследование функции
распределения мехатронной системы.
Вероятностный анализ реконфигурации мехатронной системы нервюры адаптивного крыла выполнялся по случайной величине «угол отклонения». Результаты исходов
эксперимента принимали вещественные значения, которые с учётом измерительной точности +0,1° сгруппированы по интервалам и представлены в таблице 1. График зависимости статистической вероятности реконфигурации мехатронной системы от соответствующих средних значений угла отклонения представляет функцию распределения вероятности последовательности исходов эксперимента и представлен на рисунке 1 [4].
Таблица 1.
Распределение последовательности исходов по интервалам точности измерения
№ Интервал «угла Количество элементов Вероятность попадания в
интервала отклонения» последовательности исходов интервал, р(1:)
1 9,8<9,9<10,0 1 0,025
2 10,0<10,1<10,2 2 0,05
3 10,2<10,3<10,4 3 0,075
4 10,4<10,5<10,6 4 0,1
5 10,6<10,7<10,8 5 0,125
6 10,8<10,9<11,0 7 0,175
7 11,0<11,1<11,2 5 0,125
8 11,2<11,3<11,4 5 0,125
9 11,4<11,5<11,6 2 0,05
10 11,6<11,7<11,8 3 0,075
11 11,8<11,9<12,0 2 0,05
12 12,0<12,1<12,2 1 0,025
Рисунок 1 - Функция распределения вероятности и медиана последовательности исходов эксперимента по интервалам точности измерения
Очевидно, что стандартное
предположение о нормальном законе распределения вероятностей является для исследуемой последовательности
приближённым. Отличия функции
распределения на рисунке 1 от нормального могут быть как следствием недостаточной точности выполнения измерений,
ограниченного размера тестовой выборки последовательности исходов эксперимента (N = 40), так и следствием «особенностей поведения» мехатронной системы [3].
/
_ 1 " N
Оценка математического ожидания центральной тенденции для исследуемого распределения (таблица 1) выполнена по результатам расчёта средних точечных статистик. За математическое ожидание ^ = 10,98 принята точка медианы исследуемой последовательности, как показано на рисунке 1, являющаяся центром распределения случайной величины «угла отклонения» [3, 4].
Выборочная дисперсия, определённая по статистике рассеяния:
■ D+
(Xi — x)2
(2)
Выборочное среднеквадратическое отклонение соответственно:
а = S„ =
г /
Fl
(x. — x)2 = 0,552
(3)
Оценку отклонение формы нормального обычно проводят по
распределения исследуемой коэффициентам крутости и асимметрии [3].
последовательности исходов (рисунок 1) от Коэффициент асимметрии:
Ц3
A = = -0,187
So
(4)
где ^з - центральный выборочный момент 3-го порядка
(x. — X)3
-0,031
(5)
Эксцесс (коэффициент крутости):
Е=Й =2,54 (6)
где ц4 - центральный выборочный момент 4-го порядка
N
^ =*ТУ(Х' -х)3 = 0,237 (7)
Коэффициенты асимметрии и крутости показывают небольшое отклонение функции плотности распределения исследуемой последовательности исходов
реконфигурирования изделия от нормального закона распределения. Исследуемая последовательность исходов эксперимента характеризуется наличием левосторонней асимметрии, крутизной ветвей и заострённостью пика, но допускает применение в расчётах функции нормального распределения вероятности.
(10,98 - 10,
Очевидно, что для нормального распределения медиана должна совпадать с перпендикуляром, проведённым из «пика» функции распределения к оси значений. Отклонение медианны от перпендикуляра также может использоваться как критерий отличия исследуемой функции распределения от нормального. Поскольку вероятность принимает значения 0 < р < 1, то и параметр «угол отклонения» приведём в относительных единицах, тогда для исследуемой функции угол между медианой и перпендикуляром:
¿(Me ±) = tan-1-
10,98
0,175
- = 2,94°
(8)
Решение о допустимости применения нормального распределения и функции Лапласа для исследования, позволяет рассчитать предполагаемое поведение мехатронной системы в процессе эксплуатации.
Доверительный интервал для математического ожидания ^ истинного значения величины результата реконфигурации изделия для исследуемой последовательности
определенный по «правилу трех стандартов» [4]:
х - 0,271 < х = ^ = 10,98 < х + 0,271
(9)
При этом вероятность нахождения результата реконфигурации изделия после однократного управляющего воздействия в
P{101
71 <Х< 11
пределах доверительного интервала (а, Ь), при использовании допущения «нормальном распределении» составляет:
11,25 - 10,98
25) = 2-ф( 0,55 )
= 0,38
(10)
А вероятность реконфигурации изделия в длительных сериях показывает более благоприятный ожидаемый результат:
- вероятность реконфигурации
исследуемой мехатронной системы в серии из п=500 с результатом отклонений
10,8 < х < 11,2, в пределах от 480=т1<т<т2=500 раз, в соответствии с таблицей 1 (вероятность попадания в заданный диапазон р = 0,3 и вероятность нахождения вне диапазона р = 0,7):
Р{10,8 < X < 11,2; (480 + 500)} =
г2п
5°рч
'ч/'ф
е 2 dx = ф
"1\ Л = \ = ф1
10
5"р6
- вероятность реконфигурации
исследуемой мехатронной системы в серии из п=500 с результатом отклонений 10,6 < х < 11,4, в пределах от 480=т1<т<т2=500 раз, в соответствии с таблицей 1 (вероятность
ф(0,976) = 0,67
попадания в заданный диапазон р = 0,55 и вероятность нахождения вне диапазона р =
0,45):
Р{10,6 < X < 11,4; (480 + 500)} { }
III. Выводы.
Исследование и анализ статистических характеристик различных конструкций и систем является необходимым процессом, позволяющим спрогнозировать закономерности их надёжной работы и определить вероятности ожидаемых отказов в процессе эксплуатации [5].
Расчёт вероятностных характеристик мехатронной системы, проведенный на основе статистических вероятностей, по результатам тестовых испытаний может быть произведён на основе формул Бернулли и Пуассона для биноминального распределения. Такой подход позволяет спрогнозировать вероятность наступления в процессе эксплуатации
10
5°"" х2
/ е#2 Нх = ф /
!1#°р \Ф124
5°р"
= 0,63
мехатронной системы исследуемого события при конечном числе функциональных операций, выполняемых изделием.
Оценка, для исследуемого события, доверительного интервала и вероятности того, что наступление желаемого результата лежит в заданном диапазоне, производятся с помощью функции Лапласа и в предположении достоверности для мехатронных систем «нормального» распределения вероятностей. Определение параметров отклонения функций распределения вероятностей исследуемых событий от «нормального» распределения даёт качественную и количественную оценку точности вероятностных характеристик мехатронной системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учебник - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2006. - 592 с.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность Пер. с англ. И.А. Ушакова. М.: Наука. 1984, - 328 с
3. Овсянников С.В. Экспериментальные исследования в мехатронных системах: учебное пособие. Ч. 2 / С.В. Овсянников, А.А. Большаков, А.О. Кузьмина. - М: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2011. 56с.
4. Ветлицын М.Ю., Ветлицын Ю.А., Малолетов А.В. Оценка стабильности работы мехатронного узла нервюры БПЛА с цифровой системой управления. Известия ВолгГТУ. Серия «Прогрессивные технологии в машиностроении», №1(260) январь 2022, с. 53-56.
5. Гук Ю.Б. Теория надежности в электроэнергетике Энергоатомиздат 1990. 208с
