CC BY
7
УДК 624.01/07
ТАТЬЯНЧЕНКО А.Г., д.т.н., профессор (Донецкий национальный технический
университет)
Особенности потери динамической устойчивости сжато-закрученных стержней с шарнирным и жестким закреплением концов
Tatyanchenko A.G., Doctor of Technical Sciences, Рrofessor (DONNTU)
Features of the loss of dynamic stability compressed-torsioned bars with swivel and rigid fastening of the ends
Введение
При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым.
Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку
устойчивости элементов конструкций. Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Нагрузка, передаваемая на стержень, носит в основном полигармонический характер, зависящий от многих случайных факторов.
Поэтому задача исследования динамической устойчивости сжато-закрученных элементов с жестким и шарнирным закреплениями на концах, характерными для условий работы осевых режущих и буровых инструментов, является актуальной.
Анализ последних исследований и публикаций
Проблема динамической
устойчивости сжато-закрученных
стержней с шарнирным и жестким закреплением концов сама по себе не является новой, существует достаточное количество источников, касающихся данной тематики [1-3]. Однако, вопрос определения границы зон динамической неустойчивости, зависящий от неблагоприятных сочетаний параметров технологических процессов, изучен недостаточно. По этой причине решение о необходимости разработки методики и исследования условий потери динамической устойчивости сжато-закрученных элементов с жестким и шарнирным закреплениями на концах, характерными для условий работы осевых режущих и буровых инструментов, требует дополнительного изучения.
Цель работы
Целью исследования является разработка методов расчета потери динамической устойчивости сжато-закрученных элементов с жестким и шарнирным закреплениями на концах.
Основной материал
Многие одноосные рабочие элементы в технологических процессах (буровые штанги, осевой инструмент и др.) испытывают одновременно вращательное и поступательное движение и могут испытывать параметрические колебания, то есть колебания в направлениях, в которых не действует внешняя нагрузка. Как правило, это поперечные колебания. Рассмотрим характер проявления этих колебаний на примере схемы одноосного элемента с жестким и шарнирным закреплениями на концах (рис. 1).
Po+PcosQt
Рис. 1. Расчетная динамическая схема
Определим границы зон
динамической неустойчивости, то есть неблагоприятные сочетания компонентов продольной и крутильной нагрузок, способные вызвать параметрический резонанс при поперечных колебаниях. Приложим к весомому стержню с погонной массой m периодически изменяющуюся продольную силу P(t) = P0 + P' cos0t. Решение такой
задачи сводится к общему случаю математической динамической
устойчивости, который описывается системами дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами вида [1]:
d 2 f
C —/ + [E -aA -pO(t )b]/ = 0. (1)
dt
где Е - единичная матрица; 1 1 1
С =
2 2 Ю1 Ш2
ю.
- частотная
матрица;
А и В - матрицы коэффициентов;
а и в - характеристические числа, определяемые из условия | а - аЕ| = 0 и
|в - рЕ = о;
/ (х) - поперечное смещение сечения с координатой х.
Коэффициенты матриц А и В зависят от способа задания фундаментальных функций поперечных колебаний. Для данной схемы (рис.1) используем фундаментальную функцию собственных поперечных колебаний стержня с аналогичным закреплением [2]:
фn (х)= sin knx -
sin knl shknl
shknх,
где k
корни трансцендентного
уравнения tgkl = thkl. После подчинения условию нормирования
фундаментальных функций:
— ф (x) фп = ФЛ}
\
(2)
ш^фп (x )dx
уравнение (1) приводится к виду: d 2 f
C —f + [E - P(t)A]f = 0. (3)
dt2
Элементы матрицы А находятся по формуле:
a
= -1- J Nо (x) dx,
dx dx
0
а с учетом (2) и того, что = к* А Е],
1 \ т
элементы матрицы С определяются по формуле:
1 йфп
I
к Ы { дх дх
дх /
Л
I I
V дх № дх
0 0
с„,- =5
т
т п1 , 4
К Е]
Уравнение критических частот для (1) известно в виде [2]:
E -аЛ ±рВ - 0,2502С - 0,5рВ 0
- 0,5рВ
Е -аЛ - 2,250 2С
- 0,5рВ
0
- 0,5рВ Е -аЛ - 6,2502С
0 (4)
Приравниваем верхний
диагональный квазиэлемент матрицы (4) к нулю, с учетом (3), получаем частотное уравнение для определения границ областей динамической неустойчивости:
Е - (Р0 ± 0,5Р) - 0,2502С
= 0. (5)
После перемножения
^-1
на
обратную матрицу С ", элементы которой определяются по формуле
с
т
к4 Е
5 тт
уравнение (5) приводится
к виду:
| С-1 - (Р0 ± Р)- С-1 А - 0,2502Е || = 0 (6)
Для вычисления элементов матриц А и С удобно использовать известные решения для балочных функций [2]. В этом случае матрица третьего порядка А будет иметь вид:
А =
а матрица С
-1
11,153 4,282 3,801
к4 Е] к4 Е] к4 Е]
4^82 42,816 7,810
к4 Е] к4 Е] к4 Е]
3,801 7,810 94,034
к4 Е] к4 Е] к4 Е]
С 1 =
к4 Е] т
0 0
0
к 4 Е.] т
0
0
0
к 4 Е] т
Е]
т
237,82 0 0 0 2497 0 0 0 10867
Введем обозначения:
а
(Ро ± Р)1'
EJ
(7)
2г4
х =
те 21
EJ
(8)
После подстановки А и С 1 из (6) с учетом (7) и (8) получаем диагональную матрицу вида:
237,82 - 11,153а - X 0 0
0
0
2497 - 42,816а-X 0
0 10867 - 94,034а-X
= 0, (9)
Тогда нахождение границ первых трех главных областей динамической неустойчивости стержня с шарнирным и жестким закреплением на концах сводится к решению уравнений:
237,82 - 11,153а-X = 0, 2497 - 42,816а-Х = 0, (10)
10867 - 94,034а-Х = 0.
Границы главных областей динамической неустойчивости первого порядка, исходя из уравнений (10) с учетом (7) и (8), будут определяться следующими зависимостями:
для первой:
е = ^ 12\
EJ
т
237,82 -11,153
(Ро ± Р)1
EJ
2 Л
(11)
для второй:
е =
IЧ
EJ
т
2497 - 42,816
(Ро ± Р)1 EJ
2 Л
- для третьей области:
е = 1 11
EJ
т
10867 - 94,034
(Ро ± Р)1
EJ
2 Л
(12)
(13)
1
Верхней границе каждой области будет соответствовать знак «плюс» в числителе, нижней - знак «минус». Границы главных областей второго, третьего и более высокого порядка
можно определить, рассматривая матрицу (9) соответствующего порядка.
Для определения границ вспомогательных областей
динамической неустойчивости, кратных
целым числам, можно определить, выделяя из (4), квазиматрицы более высокого порядка. Так, для определения границ вспомогательных областей
что значительно усложняет ход решения. При этом необходимо отметить, что границы вспомогательных областей значительно ниже границ главных областей.
Рассмотрим теперь практическую реализацию изложенного метода определения границ динамической неустойчивости применительно к особенностям работы осевого инструмента. Для этого выразим основные исходные параметры в выражениях (7), (8), (11)-(13) через геометрические параметры всего инструмента и его режущей части и параметры режимов резания. Так, например, погонную массу т можно выразить через параметры поперечного сечения инструмента. В этом плане
динамической неустойчивости, кратных двум, необходимо рассматривать не верхний диагональный квазиэлемент, а квазиматрицу вида:
(14)
наибольшую сложность и наибольшее значение представляет выражение через геометрические параметры инструмента и параметры рабочих процессов постоянной Р и переменной Р
составляющих продольной силы, которые являются основным
источником внешних статических и динамических воздействий на расчетную систему.
Величина этих усилий
непосредственно связана с параметрами рабочих процессов и схемами обработки. Постоянную составляющую продольной силы, которая
характеризует статическое воздействие на систему, можно определить по формуле [3]:
Е -аА ±РВ - 0,25© 2С - 0,5рВ
- 0,5рВ Е - аА - 2,25©2С
= 0,
Р0 = Срх8 • t = sm(ф + Л)[(сtg©-tgC)•Т, -ц-аг ] • 5 • Г, (15)
где ф, Л, ©, С - углы резания; Т и ат - прочностные характеристики обрабатываемого материала; £ - подача; I - глубина резания.
Для выражения величины переменной составляющей продольной силы Р , которая характеризует динамическое воздействие на систему, в каждом конкретном случае необходимо учитывать особенности конструкции и работы осевого инструмента. Возникновение динамической
составляющей возможно, как при
установившемся, так и при неустановившемся процессе резания. В первом случае причиной возникновения динамической составляющей могут быть погрешности изготовления и заточки инструмента. Ее величина может быть определена на основе анализа конструкции инструмента. Во втором случае для определения динамической составляющей
необходимо рассматривать весь процесс контактного взаимодействия
инструмента и детали в процессе резания.
Определим границы
динамической неустойчивости осевого инструмента, в пределах которых возможен параметрический резонанс вследствие неравномерной заточки зубьев осевого инструмента. Согласно данных [3], доля 5 периодической составляющей радиальной, а, следовательно, и осевой силы резания для нового осевого инструмента 20% при сверлении и свыше 20% при зенкеровании и развертывании. Определим границы динамической неустойчивости, приняв 5 = 0,2 и представив переменную составляющую продольной силы Р в виде:
Р
5- Срх$ ' *.
(16)
После подстановки (15)-(16) параметры (7) и (8) принимают вид:
а =
(1 ±5) - С - д -/
2Е]
т - V 214 z
ЕЗ - й
2
Тогда применительно к осевому инструменту границы первой, второй и третьей областей (11)-(13)
динамической неустойчивости процесса обработки, выраженные через параметры режимов резания, соответственно принимают вид:
2
V (5 )=.
Е] - д2
/4
т - / г
237,82 -11,153
(1 ±5) - С^ - й -/
2 Л
2Е]
(17)
V (5 ) =
Е] - д2
74
т - / г
2497 - 42,816
(1 ±5) - с^ - а - /
2 Л
2Е]
(18)
V (5 ) =
Е] - д2
/4
т - /г
10867 - 94,034
(1 ±5) - С^ - д - /
2 л
2Е]
у
(19)
где V(S) - критическая скорость резания для подачи £; 0 = V - г /Ж -частота вынужденных колебаний [6]; z -число зубьев осевого инструмента.
На рис. 2 приведена диаграмма областей динамической неустойчивости для одной из конструкций осевого инструмента (й = 8 мм, I = 300 мм, z = 8) согласно зависимостей (17)-(19), из которой можно определить
неблагоприятные для данного инструмента соотношения между скоростью резания V и подачей £.
Верхней границе каждой области динамической неустойчивости
соответствует положительное значение параметра 5, а нижней -отрицательное. При критических соотношениях параметров режимов резания V и S, попадающих в заштрихованные области на рис. 2, возникает резонансное возрастание поперечных перемещений инструмента, снижающее точность обработки отверстия.
Представляя зависимости (17)-(19) в виде:
V(5) = 7а - (1 ± Ь) • с • 5, (20) представляя постоянные параметры в (17)-(19) через а, Ь и с, можно
V, м/с ___________
сделать вывод, что положение областей динамической неустойчивости
определяется параметром а , их ширина - параметром Ь , а степень искривления границ - параметром с .
мм/об
0 0.05 0Л 0,15 0,2 0.25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Рис. 2. Области динамической неустойчивости осевого инструмента
Ан ализ границ областей динамической неустойчивости осевого инструмента позволяет сделать вывод о том, что устойчивый параметрический резонанс с учетом естественного демпфирования системы возможен лишь при попадании режимов резания в достаточно широкий интервал зоны динамический неустойчивости, то есть при достаточно больших значениях параметра Ь в (20). Такое возможно лишь для операций черновой обработки отверстий при сверлении и зенкеровании, для которых характерна схема закрепления, показанная на рис. 1.
Однако помимо основных областей существуют вспомогательные области, границы которых можно определить, рассматривая не отдельную матрицу, а квазиматрицы типа (14) более чем второго порядка. При этом, несмотря на то, что эти области имеют
меньшую ширину по сравнению с основными областями, и подчас вырождаются в «скелетные» линии, границы вспомогательных областей соответствуют значительно меньшим параметрам режимов резания, совпадающих с рекомендуемыми режимами для чистовой обработки отверстий при зенкеровании и развертывании. Поэтому даже попадание в 20% область вокруг «скелетной» линии может вызвать нежелательные динамические процессы в инструменте.
Выводы
1. Разработана методика и исследованы условия потери
динамической устойчивости сжато-закрученных элементов с жестким и шарнирным закреплениями на концах, характерными для условий работы
осевых режущих и буровых инструментов. Определены границы зон динамической неустойчивости.
2. Устойчивый параметрический резонанс с учетом естественного демпфирования системы происходит при попадании режимов резания в достаточно широкий интервал зоны динамический неустойчивости. Такое возможно лишь для операций черновой обработки отверстий при сверлении и зенкеровании.
Список литературы:
1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.
2. Киселев В.А. Строительная механика. Спец. курс.: динамика и устойчивость сооружений: [учеб. для вузов по спец. «Автомобильные дороги», «Мосты и тоннели» и «Строительство аэродромов»] / В.А. Киселев. - [3-е изд., испр. и доп.] -М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.
3. Малышко И.А. Основы теории проектирования осевых
комбинированных инструментов:
автореф. дис. ... докт. техн. наук. / И.А. Малышко. - К., КПИ, 1995. - 36 с.
Аннотации:
Разработана методика и исследованы условия потери динамической устойчивости сжато-закрученных элементов с жестким и шарнирным закреплениями на концах, характерными для условий работы осевых режущих и буровых инструментов. Определены границы зон динамической неустойчивости, определяющиеся через неблагоприятные сочетания параметров технологических процессов.
Ключевые слова: динамическая устойчивость, сжато-закрученный элемент, шарнирное закрепление, инструмент, методика, параметр, процесс.
A method is developed and the terms of loss of dynamic stability of the briefly-involute elements are investigational with the hard and joint fixing on ends, characteristic for the terms of work of axial cuttings and borings instruments. The scopes of areas of dynamic instability, determined through unfavorable combinations of parameters of technological processes, are certain.
Keywords: dynamic stability, briefly-involute element, joint fixing, instrument, methodology, parameter, process.
