CC BY
62
строительная теплофизика и энергосбережение
Особенности построения математической модели процесса тепломассопереноса с фазовыми переходами в мерзлых дисперсных грунтах для их оттаивания радиационно-конвективной установкой
Д.ф. Карпов, A.A. Синицын, А.Ю. Вельсовский
Актуальность. Необходимость создания малогабаритной установки для оттаивания мерзлых грунтов появилась как результат сотрудничества на профессиональной основе ВУЗа и городских аварийно-эксплуатационных и коммунальных служб, которые, в первую очередь, нуждались в подобных установках. Важность поставленной задачи создания новой установки определялась нерешенностью проблемы быстрой разработки мерзлого грунта в стесненных условиях сложного городского подземного хозяйства при невозможности использования по техническим требованиям и соображениям безопасности обычных технических средств рыхления или резания мерзлых грунтов. Реализация идеи создания этой установки была поддержана на уровне Федерального агентства по науке и инновациям в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы. Концепция, выбор оптимального варианта и другие аспекты создания радиационно-конвективной установки, изложены в работах [1, 2].
Создание математического аппарата, описывающего процессы замораживания — оттаивания мерзлого грунта, стало одним из основных вопросов для определения основных расчетных параметров радиационно-конвективной установки (времени оттаивания, мощности, КПД и др.).
Оттаивание мерзлого грунта — это сложный термодинамический процесс, протекающий в неоднородной капиллярно-пористой среде и осложненный наличием фазовых переходов грунтовой влаги. При прогреве грунта под воздействием тепловой энергии нагревателя происходит плавление льда, перераспределение образовавшейся при этом влаги и перемещение границы оттаивания.
Чтобы лучше понять физический смысл явления оттаивания мерзлого грунта необходимо разработать эффективную модель тепломассопереноса при его искусственном нагреве в условиях фазового перехода.
Математическое моделирование является современным методом научного познания, широко применяемым в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях техни-
ки. Основная идея моделирования заключается в замене исследования того или иного воздействия на изучаемый объект исследованием зависимости решения от параметров модели. Модель должна адекватно отображать целевые свойства объекта, существенные для решения той или иной задачи [3].
На основе ранее известных экспериментальных и теоретических данных определяются основные свойства и характеристики исследуемого объекта моделирования. Для описания закономерностей изменения выбранных характеристик строится математическая модель процесса с помощью основных законов термодинамики. Применительно к процессам тепломассопереноса — это законы сохранения массы, импульса и энергии.
В работах [3, 4] указывается, что при построении математической модели процесса тепломассо-переноса в средах с фазовыми переходами (на примере мерзлого грунта) следует учитывать, что он представляет собой сложную трехфазную полидисперсную гетерогенную систему, основу которой составляют твердые частицы разнообразной формы, величины и состава. Промежутки между твердыми частицами могут быть заполнены средой различного агрегатного состояния: влагой, газом, паром и льдом, или тем и другим одновременно. В связи с этим моделирование процессов тепло-массопереноса, формирующих тепловой режим такой многокомпонентной системы, представляет собой чрезвычайно сложную задачу, поскольку требует учета и математического описания разнообразных механизмов их осуществления: теплопроводности в отдельной частице, теплопередачи от одной частицы к другой при их контакте, молекулярной теплопроводности в среде, заполняющей промежутки между частицами, конвекции пара и влаги, содержащихся в поровом пространстве, и многих других. Однако моделирование процессов тепломассопереноса в средах с фазовыми переходами осложняется еще и тем обстоятельством, что градиенты температуры в толще грунта, хотя и невелики, но соизмеримы во всех направлениях.
Аналитическое описание нестационарной теплопроводности с учетом фазового перехода при на-
строительная теплофизика и энергосбережение
Рисунок 1. Схема упрощения физической модели оттаивания мерзлого грунта:
1 — талая зона; 2 — оттаивающая зона; 3 — пластичномерзпая зона; 4 — твердомерзлая зона.
греве мерзлого грунта приведено в работах [4, 5], причем указывается, что существующие модели процесса теплопроводности насыпного материала с наличием фазового перехода одного из компонентов описывают температурное поле приближенно. Расхождение результатов, в диапазоне величин, характерном для практики, рассчитанных по нормативной инженерной методике и по аналитической модели доходит до 20%. Требуется адекватная математическая модель, позволяющая достаточно точно описать процесс оттаивания мерзлого грунта, экспериментально апробированная в реальных условиях.
Анализ математической модели. В работе Ю.К. Зарецкого [6] наряду с комплексным подходом к оценке напряженно-деформированного состояния оснований и грунтовых сооружений, дана структурная схема фазовых зон грунта при переходе его из твердомерзлого в талое состояние. При таком переходе помимо твердомерзлой и талой зон выделяются промежуточные оттаивающая и пла-стичномерзлая зоны (рис. 1).
В соответствии с работой [3], проведен анализ процесса теплопереноса в дисперсных средах на основе задачи Стефана. Математическая модель основана на допущениях: фронт фазового перехода представляет собой резкую границу раздела между двумя фазами одного материала — талой и твердомерзлой (рис. 1), что соответствует фазовому переходу при определенной постоянной температуре Тф. Такая резкая граница раздела имеет место, например, при промерзании крупнодисперсных сред — песков средних и крупных фракций.
Принимается, что к границе раздела фаз переносится тепловая энергия только за счет теплопроводности и что при движении границы раздела полностью выделяется теплота фазовых переходов воды.
Каждой фазе распределение температуры описывается уравнениями теплопроводности [6, 7] (1) и (2):
(СР )м = мЯга^Т), 7 < Тф, (1)
№ ^ = с11у(\тдгас1Т), Т > Тф, (2)
где индексы М, Т — относятся соответственно к мерзлой и талой зонам.
Рассмотрим решение многомерной задачи с образованием границы раздела фаз в следующей математической интерпретации.
В каждой фазе справедливо уравнение теплопроводности. На границе раздела фаз температура равна Тф (3):
Т(г, 0 = Тф , г = (х,, х2, ..., хп).
(3)
Это уравнение дает возможность определить положения границы фазового перехода г = £(/).
Напишем уравнение границы фазового перехода в общем виде (4):
Ф(Т) = 0, или Ф(г, Т) = 0.
(4)
Пусть индексы 1 и 2 относятся соответственно к мерзлой и талой зонам: Т1 < Тф; Т2 > Тф.
Так как дгаЫФ направлен по нормали к поверхности раздела фаз, то нормальная составляющая теплового потока выражается в следующем виде (5):
Я =
\gradT,
дгаЫФ
(5)
Разность потоков — Щ2 равна произведению энтальпии фазового перехода Lp на нормальную составляющую скорости движения границы раздела фаз (6):
42 " Я1 = >-Р
/ — \ с//? дгас! Ф
с// ' |дгас! ф|
(6)
Для функции Ф(г, О = Ф(х1, х2, ..., хп, О, где координаты х зависят от /, производная по вычисляется по формуле (7):
(7)
На границе фазового перехода при г = £(/) или
ф(к(0, /) = о,
строительная теплофизика и энергосбережение
с!Ф дФ
-, агав Ф
с//
= О
(8)
Разность потоков можно представить в виде (9):
(Я2 - Ч)\ягаЫФ\ = 1р
-, дгааФ
6
(9)
После подстановки значений тепловых потоков с учетом предыдущего равенства приходим к следующему условию Стефана для многомерного случая (10):
((Хдгас1Т). - (ХдгасП) дгаЫФ) + 1р(с1Ф/сИ) = 0),
Г = К(/).
(10)
На границе раздела фаз задается условие непрерывности температуры:
[ Т ] = 0.
(11)
Для выделения единственного решения уравнения (11) и уравнений, используемых при решении одномерной задачи с образованием границы раздела фаз, задаются н ачальные и граничные условия. Начальные успов ия состоят в задани и начальн ого рас-нределения темперавуры. Граничееl е услочия задаются в зависимости от температурного режима гра-рицы1 области.
Граничное условие 1-го рода. Когда задана температура на границах области как функция от времени или постоянное ее значение::
/(х, у, х, 0) = /(х, у, х).
(12)
Граничное условие 11-го рода, когда на границе задано значение производной:
8Т_
дх
= 4(0.
(13)
(14)
где а — коэффициент теплопередачи.
В случае многослойной среды, с неподвижными границами между слоями, задается условие совершенного теплового контакта двух сред, которое заключается в непрерывности температуры и теплового потока (15):
[Т ] = о,
(15)
дх
= 0, х = х.
1,
Это условие имеет место, если известна величина теплового потока в любой момент времени.
Граничное условие 111-го рода, когда задано условие теплообмена на поверхности тела с окружающей средой, температура которой Тс известна:
где х = х1 — точка контакта двух сред.
Сформулированная многомерная задача, даже в случае линейности уравнений теплопроводности в каждой из зон, относится к классу нелинейных в силу условия Стефана и решение ее возможно с помощью численных методов [7, 8, 9].
Следует отметить, что формулировка задачи промерзания — протаивания в виде задачи Стефана нашла широкое применение при исследовании процессов промерзания-протаивания грунтов, теплового и механического взаимодействия инженерных сооружений с мерзлыми грунтами и окружающей средой.
Апробация математической модели. Отработка математической модели прогрева мерзлого грунта радиационно-конвективной установкой требует проведения эксперимента с целью проверки адекватности модели отображаемой ею системы. Результаты эксперимента рассматриваются как один из возможных вариантов реализаций математического моделирования.
Исследования в натурных условиях определяют специфику измерения, заключающуюся в ограниченных времени и средствах для проведения эксперимента, трудности организации процесса исследования и большая вероятность влияния сторонних факторов на ход работы и ее результаты. Эти факторы следует учитывать при анализе результатов эксперимента и проверке адекватности математической модели.
Экспериментальное оборудование для определения глубины оттаивания в натурных условиях включало в себя источник энергии (радиационно-конвек-тивная установка) и мобильную приборную базу (электронный термометр, штангенциркуль, линейка, секундомер). На рис. 2 представлена схема измерения глубины оттаивания мерзлого грунта в натурных условиях. Здесь О— подвод электроэнергии к экспериментальной установке, Т^в — измерение температуры наружного воздуха, Твв — измерение температуры внутреннего воздуха в замкнутом пространстве, ограниченном установкой и грунтом, Н — глубина расположения твердомер-злого грунта при фиксированном диаметре оттаивания О.
Эксперимент проводился при следующих характеристиках искусственного источника тепловой энергии:
— тип нагревателя: электрический ТЭН;
— потребляемая электрическая мощность: 1300 Вт;
— установленный температурный режим: 250 °С;
строительная теплофизика и энергосбережение
Рисунок 2. Схема измерения глубины оттаивания мерзлого грунта:
А — схема измерения глубины оттаивания; Б — схема размещения установки и точки замеров температуры воздуха; 1 — точка замера глубины оттаявшего грунта; 2 — зона оттаивания; 3 — температура наружного воздуха; 4 — температура внутреннего воздуха; 5 — источник энергии; 6 — мерзлый грунт; 7 — зона прогрева.
— диаметр зоны оттаивания: 330 мм.
Производилось оттаивание песчаного грунта плотностью 1600 кг/м3 и влажностью 30—35% при начальной температуре материала (—1,8) °С и средней температурой окружающего воздуха 7 °С. Результаты сопоставления расчетно-эксперименталь-ных исследований характера прогрева мерзлого грунта радиационно-конвективной установкой приведены на рис. 3.
Полученные расчетные значения глубины оттаивания грунта соответствуют экспериментальным данным, полученным в результате его искусственного нагрева с помощью опытной установки. Предлагаемая математическая модель может быть использована при определении времени размораживания различных насыпных материалов и крупнодисперсных грунтов, а также для конструирования установки,
160
120
80
40
5
VO
>-
с
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10011Q120
Время оттаивания, мин
- усредненные расчетные данные;
••• экспериментальные данные; --расчетные данные из работы [4]
Рисунок 3. График зависимости глубины оттаивания мерзлого грунта.
применяемом при оттаивания мерзлых грунтов в время ремонтно-строительных работах.
Литература
1. Синицын A.A. Решение проблемы оттаивания мерзлых грунтов при подготовительных строительных работах в условиях малоэтажной застройки / A.A. Синицын, Д.Ф. Карпов, И.А. Суханов / / Малоэтажное строительство в рамках Национального проекта «Доступное и комфортное жилье гражданам России»: технологии и материалы, проблемы и перспективы развития в Волгоградской области: материалы Международной научно-практической конференции, 15—16 декабря 2009 г. / Волгоград / Волгогр. гос. архит.- строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2009. - С. 99-101.
2. Вельсовский А.Ю. Разработка концепции создания радиационно-конвективной мобильной установки для оттаивания мерзлых грунтов / А.Ю. Вель-совский, A.A. Синицын, Д.Ф. Карпов // Вузовская наука — региону: Материалы восьмой всероссийской научно-технической конференции. В 2-х т. — Вологда: ВоГТУ, 2010. — Т. 1. — С. 162-167.
3. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах: учеб. пособие / А.Р. Павлов. — Якутск, 2001. — 55 с.
4. Сагала Т.А. Применение математических моделей нестационарной теплопроводности с фазовым переходом компонента в расчетах размораживания насыпного груза / Т.А. Сагала, М.М. Ко-логривов / / Холодильная техника и технология. — 2008. — №3. — С. 46-51.
строительная теплофизика и энергосбережение
5. Цытович H.A. Механика мерзлых грунтов / H.A. Цытович. — М.: Высшая школа, 1973. — 446 с.
6. Зарецкий Ю.К. Вязкопластичность грунтов и расчеты сооружений / Ю.К. Зарецкий. — М.: Стройиздат, 1988. — 352 с.
7. Лыков A.B. Теория теплопроводности: учебник для вузов по теплотехническим специальностям / A.B. Лыков. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.
8. Самарский A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский, П.Н. Вабишевич. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.
9. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов / А.Ф. Чудновский. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 456 с.
Особенности построения математической модели
процесса тепломассопереноса с фазовыми переходами в мерзлых дисперсных грунтах для их оттаивания радиационно-конвективной установкой
B работе рассмотрены особенности построения математического аппарата, описывающего процесс оттаивания мерзлых дисперсных грунтов с фазовыми переходами для разработки новой энергоэффективной установки, применяемой при ремонтно-строительных и аварийных работах в городских условиях, обоснована актуальность создания подобных установок, приведены результаты
расчетных и лабораторно-экспериментальных исследований по оттаиванию мерзлого грунта.
Constructing features of a mathematical model of heat and mass transfer with phase transitions in frozen dispersed soils for their defrosting with radiation-convective machine
by D.F. Karpov, A.A. Sinitsyn, A.J. Velsovsky This work is devoted to the features of construction of a mathematical machine describing the process of thawing of frozen dispersed soils with phase transitions for the development of the new energy saving machine that can be used in the repair and construction and emergency work within urban environment, to the actuality of creation of such machines, to the description of numerical, laboratory and experimental results of research of frozen soil thawing.
Ключевые слова: радиационно-конвективная установка, мерзлый грунт, оттаивание грунта, фазовый переход, талая зона, твердомерзлая зона, математическая модель, энергосбережение.
Key words: radiation-convection setting, the frozen soil, thawing of soil, phase transition, or thawed zone, firmly frozen zone, mathematical model, current power supply.
