Особенности получения информации о колебательных объектах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Фомина И. В., Сигачев Н. П. УДК 534.1

ОСОБЕННОСТИ ПОЛУЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ О КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТАХ

При изучении динамических свойств виброзащитных систем (ВЗС) одним из важных аспектов, определяющих возможности идентификации структуры системы становится определение структуры моделей (число степеней свободы и характер динамического взаимодействия элементов) и параметров состояния. В связи с этим определенный интерес представляет выбор системы соотнесения точек наблюдения за состоянием и точек управления (точек приложения внутренних динамических реакций) [1, 2].

I. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в которой положение массы Ш (рис. 1) в системе координат 0, у, х определяется через У .

т о- V

а У / /

о

Ы < > а

/Ух

Рис. 1. Расчетная схема одномерной ВЗС с одной степенью свободы

Так как кинетическая энергия системы определяется

1 9

Т = -ту\ (1)

а потенциальная энергия соответственно

1

П = ^ к (у - ух)2, (2)

(где у - смещение основания), то дифференциальное уравнение движения имеет вид

ту + ку = к1у1. (3)

В соответствии с упомянутыми выше соображениями будем полагать, что точка наблюдения будет смещена из точки 0 (рис. 1) на величину I в точку 0 . Тогда, относительно исходной позиции,

в которой предполагается совпадение точек наблюдения и приложения внутреннего динамического усилия (можно считать последнее в задаче виброзащиты управляющей силой простейшего вида [1]), можно принять, что

у2=у + 1, у2=у, (4) а уравнение (2.144) запишется

ту2 +ку2=ку1+к1 = к{у1 + /). (5) Из приведенного следует, что введение координат наблюдения у2 не изменяет значений частоты собственных колебаний, но приводит к виртуальному изменению внешнего возмущения (в данном случае кинематического). В правой части уравнения (5) появляется постоянный член Ы. Физически это означает переход к новым координатам наблюдения, что сводится к необходимости учета в наблюдаемом смысле виртуального смещения на величину I.

II. Если расчетная схема ВЗС имеет вид колебательной системы в виде подпружиненного стержня (рис. 2), то кинетическая и потенциальная энергии могут быть записаны соответственно

гг 1 -2

1 =—ту . 2 '

П = - ку2, 2

(6) (7)

если у = 0 , то при отсутствии внешних сил получим

ту + ку = 0, (8)

I- + ¡2

Если определить, что у2 = у

I

то

У = У 2

I

¡1 + ¡2

(9)

МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

а выражения для кинетическом и потенциальном энергий запишутся

У

m.II

m

m. I l\

Рис. 2. Расчетная схема одномерной ВЗС, наблюдаемая в точке II

T = -2

У 2

k+h

П = I 2

I

У2

l1+l1 l

1 J

V

(10)

(11)

где /,/2 — соответственно длины отрезков, определяющие положение т.т. I и

II. Уравнение движения, если полагать, что внешняя сила Р первоначально была приложена в т. I, принимает вид

ту2+ку2=Р

I

Ii +12

(12)

Можно отметить, что при выборе для наблюдения точки II, частота собственных колебаний остается той же, но если полагать возбуждающим фактором силовое воздействие Р , прикладываемое к точке II, то силовой фактор должен быть взят в виде

P = P-

l

h + h

(13)

При этом должно соблюдаться условие сохранения равенства обоих моментов сил (Р и Р2) относительно точки 0 . Если в момент времени I = 0, свободные колебания возникают из-за начальной скорости >'( 0) = у0 (в точке I), то при

рассмотрении движения точки II необходимо учесть, что начальная скорость в точке II будет

иной( ^2(0) = Я0)

I

h+l2

III. Если ввести обобщенную координату ф = ylx, то выражения для кинетической и потенциальной энергий принимают вид 1

Т = —ml ф , 2 1

1

п=- kl, V, 2 1

(14)

(15)

/7777

У1

а уравнение свободного движения ВЗС (рис. 2) записывается в форме

т%(р + к%(р = 0. (16)

Будем полагать у2 = + /2 )р, то есть выберем точкой наблюдения т. II, тогда

У 2

l1 + h

= ф.

(17)

После подстановки (17) в (16) получим т/2 .. Ц2

у±Г-У2+--1тУ2=Ъ или

ту2+ку2=0, (18)

что соответствует уравнению (18) без правой части. Таким образом, при выборе наблюдаемой координаты в виде р положение т. I и II не оказывает влияния. По-существу, рассматривается такая ситуация, когда расчетная схема на рис. 1 может рассматриваться как «базовая», и в ней точка наблюдения совпадает с точкой приложения усилия (перемещение этой точки определяет и величину потенциальной энергии). Если переходить к другой координате наблюдения, то воспринимаемые параметры движения объекта защиты по сравнению с параметрами состояния базовой системы будут другими. Они будут разными и будут зависеть от того, каким образом выбираются новые точки наблюдения. В рассматриваемом случае, при выборе в качестве наблюдаемой обобщенной координаты угла р (для чего используется соответствующая измерительная техника) вопрос о точках наблюдения снимается по определению, что предполагает необходимость использования совместимых форм описания кинематических и силовых факторов.

В системах с двумя степенями свободы ситуация складывается несколько иначе из-за того, что движение может описываться большим выбором систем координат. Рассмотрим расчетную схему ВЗС в виде балки (рис. 3), опирающейся на упругие опоры.

l

2

2

иркутским государственный университет путей сообщения

Рис. 3. Расчетная схема ВЗС с двумя степенями свободы

Для вывода уравнения движения ВЗС в системе координат У , (р запишем

гр 1 ■ 2 , 1 т • 2

Т = -ту +-1<р ,

П = - кУх + - к2У22 + - кзУз + - Ку^

(19)

где т, I — соответственно масса и момент инерции балки; Ы ^ Ы4 — жесткости упругих элементов в соответствующих точках. Примем ряд обозначе-

ний:

У- = У — ¡Р У2 = У + 12Р

У-12 + У211 У 2 — У-У = \ / ,р=2 1

(20)

¡1 + ¡2 а = Ь =

¡1 + ¡2

I + ¡ ¡! + ¡2

а = ■

1

¡1 + ¡2

, С0 =

а =

и

Ь =

и+ 4

и

А + и2 А + А

При условии Ы3 = 0, Ы4 = 0:

Т = (а1у1 + 1аЪуху2 + Ъ2у:]) +

у2у+У~)

П = 1 к1 У' + 1 к2У2 >

а уравнения движения принимают вид

у (та2 + Ы2) + у2 (таЪ - М2) + кхух = 0

(21)

(22)

(23)

у(тЬ +М ) + у(таЪ-М ) + к2у2=0.\ Учет Ы3 Ф 0, Ы4 Ф 0 требует учета соотношений Уз = У — Ьрр, У4 = У + Ь2р, тогда

П = I кз( у2 — 2 уЦр+ЦрР2)+1 к,( у2 — 2 уР+/2р2) + (24)

+\К( У2 + ^(РУ + ¡22р2) + \ Ы4( У2 + 2 УЬ2р + Ь\р2), Введем в рассмотрение ряд соотношений У = У1 + ¡(Р, Уз = У1 + (¡1 — АР = У1 — Р(А — ¡1) > У = У3 + р(и — ^ ), примем а = и — к, тогда

(25)

У1 = Уз + ^ У = У2 — ¡2Р' У4 = = У2 — ¡2Р + АР = У2 + Р(А — ¡2) ' У2 = У4 —Р(и2 — ¡2) = У4 — Ь(Р пРи Ь0 = А — ¡2 .

Уравнения движения можно получить двумя способами.

I. Полагая Ы3 = 0, Ы4 = 0, в системе уравнений (23) используем соотношения

У1 = Уз + а0Р, У2 = У4 — КР'

...... , .. V,- V, у2 - V,

у = у3+а0<р,у2 = у4-Ь0<р,<р= У у = -2 • ' .

9 = с0(у4 -Уз), = С0(у4 -Уз) . (26)

Преобразуем уравнение (163) к виду

(г'з +а0рХта2 + .И2) + (_г'4 -Ь0рХтаЬ-Ы2)+к1(у] +а0р) = 0 | (у4 -Ъйр\тЪ2 +й2) + (г'3 + айр\тЪа-Ш2)+/с2(_г'4 -60р) = 0]

(27)

(28)

или

[>'з + °0С0 (Л " >3 )] (»'°2 + ) + [Л - 60С0 (Л " >3 )] (>»<3* " М1 ) +

+ ^[>3+<30СоО'4->з)] = 0

[Л " &осо (Л " Уъ )] (тЪ2 + ) + [З'з + °осо (Л " Уз )] 0"аЬ ~ ) +

+ Ы2 [У4 — Ь0С0(У4 — Уз)] = 0 После некоторых упрощений получим г'з | та2 +М2 - а0с0(та2 +Ы2) + Ь0с0(таЬ -М2)^| +

+у4^с10с0(та2 + Г'с12) + таЬ - М2 -Ь0с0(таЬ - М2 |-

+У'А [1 - а0с0 ] + к\а0с0у4 = 0

у4 [тЬ2 +М2 -Ь0с0(тЬ2 +1с12) + а0с0(таЬ-1с12)~^ +

+у]^Ь0с0(тЬ2 + Ы2) + таЪ - М2 —а0с0(таЬ — М2)'] +

+у4к2 (1 -Ь0с0) + к2Ь0с0у3 = 0

г'з [(1 - яосо Хта2 + -И2) + Ь0с0 (таЬ -М2)^| +

_г"'41~а0с0(та2 +М2) + (\-Ь0с0 \mab-Id2 +

+КУъ (! " «о со) + У'Аао со = 0 г"'4 [(1 -Ь0с0)(тЬ2 + М2) + а0с0(таЬ -М2 ] +

+_г'з — я0с0 ХтаЬ -Ы2) + Ь0с0(тЬ2 +М2 +

+УзЫ2(1 — Ь0С0) + УзЫ2Ь0С0 = 0 (29)

Система уравнений (29) заметно сложнее уравнения (23) и ей соответствует структурная схема, показанная на рис. 4.

a0c0 (m^a + Id2) + +(1 - b0c0 )(mab - Id2) +

-о

Рис. 4. Структурная схема системы координат наблюдения у3, у4, где приняты обозначения

(mab - Id ) p

Рис. 5. Структурная схема системы (рис. 3) при къ = к4 = 0 и отсутствии у3, у4

Уравнению (23) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 5.

II. Получим уравнения состояния ВЗС, представленной на рис. 3, полагая, что

Г = 1 ту2+1/ф\ (30)

где

У =

y3L2 + y4Ц м У4 - Уз

L + L2

р =

Ц + L2

1 — I

2

Ц + Ц2

Ц + L2

Ь1 = у—у- J = \m {а'у2з + ЩЬхУъУл + Ь,2у1 )

А +Ь2

1

+ -1СО(У4~2У4Уз+УЗ)

тогда

П =1 Ку1 +1 КУ1 +

1 2 1 2

+ - k1 (Уз + «сР) +~ k2 (У4 " КР)

(31)

(32)

или

П =1 кзУЗ +1 Ку 2 4 +

+1 k [уЗ + 2аССсУз(У4 ~Уз) + «Ч^ - 2У4Уз + Уз2)] +

+1 k2 [ - 2У4КССС(У4 -Уз) + К2СС2(У42 - 2У4Уз + У2 ]

(33)

(34)

2

Используя для вывода уравнения Лагранжа 2-ого рода, получим

у3 (та2 + Ici ) + У4 0»аА - Ici ) + +y3 (k + k - 2kflQcQ + k« Ici + k-Klc2 ) +

+y4(kla0c0-a20c20kl+k2b0c0 -k2blc20) = 0 y4 (m/y + Ic20 ) + Уз (ma\b\ ~ Ic20 ) +

+У4 (k4 + k1«icl + k2 - 2kibccc + k2bCci ) +

+Уз (k1a0c0 - k1alcl + k2bcc0 - k2blcl) = C Если принять в (34) k3 = k4 = С, то

уз(та\ + Icl) + У4-Icl) + Уз 0 ~ао>со f + k2boco] +

+У4 [k1accc (1 - accc ) + k2bccc (1 - bccc )] = С

(35)

ytimtf +Ic20) + y,(malb1 -Ic^) + y4 [¿2(l-è0c0)2 +Kalcï\ +

+Уз [k1a0c0 (1 - accc ) + k2bccc (1 bccc )] = С

1

(mab - Ic2)p2 + ко^о(1_ ®осо) + +k2b0C0(1 b0 c0)

1 (maxbx - I^2)p2 +

+ ICl0^p2 + —С р— + к1a 0c 0(1 - a 0c 0) + -

- alCl) k0blC 0 1 г + k2b0 c0(1 - b0 c0)

1

(mbx 2 + Ic2) p2 + -О

+к2(1 -b0c0)2 А^Ч2 ■V4

Рис. 6. Структурная схема, соответствующая схеме на рис. 3 при координатах наблюдения у3 , у4

На рис. 6 представлена структурная схема, соответствующая уравнению (35)

a0 A l1, b0 L2 l2, C0

L1 l1 U „ _ L2 l2

■ , b0co ~~

1

(L + 00 (L + k)

L + ¿2

если

l — — l, L — — L, a^c^ —

L -1

4L

bc —

2 ' 00

1 - a0c0 — 1 -:4L2 л , 3L +1

1 - b0c0 — "¡L" ■

L -1 AL2 - L +1 3 L2 +1

4 L2

4 L2

L -1 4l2

(36)

Сопоставление структурных схем дает возможность отметить следующее.

1. При переходе к наблюдаемым координатам меняется характер связности между парциальными подсистемами: связь из инерционной превращается в инерционно-упругую.

2. При условии mab ^ Ici возможно существование режима развязки парциальных систем

2 = к1 (a0c0 - alcl) + к 2 (b0c0 - b02c02 ) Ш , т 2 ■ (37) mab - Ic2

3. Парциальные частоты систем в координатах У и ^2

— кД + l2y

1 ml2 +1

2 _ к2 (l1 + l2)

— '

ml2 +1

(38)

(39)

Однако, используя координаты наблюдения, можно получить

_ k1(1 a0c0) + k2b0c0

или

ma + Ic0

_ к1(L2 + l1) + k2(L2 l2)

mL22 +1

— - ^

k2(1 b0c0) + k1a0c0

mbj + Ic0

или

2_ ML + l2)2 + к1( L- l1)2 —

mL° +1

(40)

(41)

(42)

(43)

4. Возьмем отношение парциальных частот в базовой системе

0 = к1(/1 + /2)2 (ж/2 +1) = к_ ж/? +1

о] (ж/2 +1) к (4 + к)2 К ж!22 +1

В системе наблюдения у3 и у4, имеем

о2 [ к1 (1 - «0С0 )2 + к2Ь02 с02 ] (жЬ12 + 1с02 )

«00 (ma2 + Ici ) [ к2 (1 - bcA )2 + к^2 ]

(45)

или

= [ K(L2 + /1)2 + k2(L2 - /р )2 ]] +1 )

(mL22 +1 ) [k(L +^ )2 + k1(L1 -l^2 ]

■(46)

Если l — l2 — l, L — L — L, то

[к (L +1)° + к (L -1)° 1 (mlL +1)

* — -^-?—-ГТ .(47)

(mL2 +1) [к (L +1)° + к (L -1)° ] В то же время для базовой системы

* —

к (2l)2 (ml2 +1)_ к

(ml2 +1) к (2l ) к

— ^ ■ (47)

МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

То есть параметры системы, определяемые из сопоставления представлений о движении базовой системы и системы в наблюдаемых координатах, будут различными.

IV. Рассмотрим особенности математических моделей базовой системы в виде расчетной схемы на рис. 7, где ^, ^ — внешние кинематические воздействия.

Ф

Мф + (р{кх12 + к212 ) + у (к212 — кх1х ) = к212г2 — кх1хгх В матричной форме уравнение (50) имеет

ах+вх=сг.

вид

где

а =

м 0 0 i

(51)

(52)

В =

Ы1 + Ы2 Ы2^2 — к1\

Ыт}-2 Ы1l1 кх1х + к^

К К , X = У

С = 1

—кА р

Рис. 7. Расчетная схема ВЗС (базовая) с кинематическими внешними воздействиями

Будем полагать, что для описания движения могут быть использованы следующие системы координат:

1. У1 и У2 (координаты в абсолютном движении);

2. У1 и У2 = У1 + (¡1 + ¡2)Р (координаты У1 в абсолютном движении и размах колебаний);

3. У и Р (координаты центра масс и угловые движения относительно центра масс);

4. У2 и Р (координата У2 в абсолютном движении, т.е. по отношению к неподвижной системе координат, и координата углового движения);

5. У1 и У ;

6. у и Р .

При рассмотрении У и Р в качестве обобщенных координат кинетическая и потенциальная энергии имеют вид:

Г = (48)

П = I к1(у1 — +1 кх(у2 —12)2 ,(49)

полагая, что у = у — Ь1 р, у2 = У + ¡2 р, найдем уравнения движения

Му + у(кх +к2) + (р(к212 -кх1х) = кхгх + к2г2,(50)

Определив матричное строение, перейдем к структурной схеме для данной системы, она показана на рис. 8.

—V,

Рис. 8. Структурная схема ВЗС в координатах у, р

Пусть у1 = у2 = у, ^ = z2 = z , что позволяет находить упрощенным образом передаточные функции. Кроме того, такие системы при выполнении условий симметрии в перекрестных связях дают возможность парциальные системы делать независимыми.

Система обобщенных координат у1, у2

При выборе системы координат ух, у2 для кинетической и потенциальной энергии выражения будут иметь вид

1,1, Т = -Му'+-Зф-,

П = ^ к1 (у1 — )2 + ^ к2 (у2 — ¿2 )2 :

используя соотношения

У2-У1

Ф=1—~1=У2<3-у^.,

где а = -

+ ¡2

1х+12

; соответственно

(53)

(54)

(55)

z

1

иркутским государственный университет путей сообщения

где а = -

У=У]Ь±)Ьк = уа + у2Ъ,

К+12

к Ъ = ■ ^

(56)

А =

/1 + /2 /1 + /2 Дифференциальные уравнения движения можно записать

В =

м ы/х м/х м/] + J

К + к] к] (/1 + /2) к] (/1 + /2) к2(/1 + /2)

С =

к2 к2

(та2 + И2 )ух + уп (таЪ - И2 ) + кхух = кхг

'2 , Т12

1 '"1П

0 к2(/1 + /2)

.(61)

Структурная схема будет выглядеть следующим образом (рис. 10)

(,тЪ1 + М2)уп + (таЪ-М1)у1 +кпуп =кпгп '

Матрицы А, В, С для этого случая будут иметь вид

та2 + М2 таЪ - М2 таЪ - М2 тЪ2 - М2

А =

к, 0

; В =

0 к2

С =

к 0 0 к

(58)

Рис. 10. Структурная схема ВЗС в обобщенных координатах у1, р

Рассмотрим систему координат у2, р, для

Получим структуру схему, как показано которой у = у + (^ + /2 )р ; по аналогии с преды-на рис. 9

дущим у = у2 + 12<р; выражения для кинетической

и потенциальной энергии будут выглядеть следующим образом

ТЛм{у2+12ф)2+^ф2-

1 2 1

П =2 к1 [(У2 - ) + (11 + 12 )р] +- к2(У 2 - г2 )2 ,

(62)

Рис. 9. Структурная схема ВЗС в системе координат

У1> У 2

принят ряд соотношений

У2 = У1 + (/1 + /2)P, У = У1 + /(Р . Записав выражения для кинетической и потенциальной энергии в виде:

откуда найдем систему дифференциальных урав-Рассмотрим систему координат ух,(р, где нений

АГу, +М12ф+(к1+к2 ).т, +к1(11 +\1)ср = к^+к12.1, (63)

АП1у1 +(М1; + J)ф+kl(ll+l1)y1 +к1(11+11)2<р = к1(11 +/,)гг Соответствующие матрицы коэффициентов матричного уравнения имеют вид

м М1

А =

Т = 1М{у1+11ф)2+^ф2-

М2 МЦ+J

п =1 Ш -^)2 +1 к2 [(у 1-Г2) + (¡1 + 4)р]\ В

(59)

0 к (/1 + /2)

к1(/1 + /2) к1(/1+/2)2

С =

получим систему дифференциальных уравнений

\Щ +ЩФ + КУх + КУ1 + К (к +к)ф = к1-1 + к2-2 , \ЩУ + (М,2 + ,1)ф + к2 (/, + /2 )у, + к2 (/, +12)2(р = к2 (/, г+ ,

(60)

для которых матрицы инерционных, упругих и силовых параметров можно представить в форме:

'Ч '"2

к1(/1 + /2) 0

. (64)

Структурная схема будет выглядеть, как показано на рис. 11.

МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

Рис. 11. Структурная схема ВЗС в системе координат у2, р

Рассмотрим систему координат у, у и введем ряд соотношений:

„_У2 — У1 . у_ У1 ¡2 + У^! .

Р = 1 / ' Х = 1 1 '

¡1 + ^2 ¡1 + ¡2

V 2 = У + р

VI = У—¡Р Р =

У — У1 I

Выражения для кинетической и потенциальной энергии

Т = —Му2 + — 3ф2\

С =

(¡1 + ¡2)

к

кЛ

и

(67)

Структурная схема ВЗС приведена на рис. 12.

2 + К г ¡2 -

(т + 77) р2 + ¡1

+ы Щ1-

2 ¡2

У „2, к2(11 + ¡2 /,2 р + К

(I / ¡2) р + к + Ы

4 + /2

1 1 9

П = - К(у2 — zl) + -к2(у + ¡2р — 22) = (65) =1 к1(У1 — +1 у [ У (¡1 + ¡2)— уА ^ ]2 •

Откуда получим систему дифференциальных уравнений

, ЦН)2

+ ¡2) = кЛ ( ^

У^+^Уг+УМ+Ъ^-Уу (;1 +12 У 2 ) = + *2*2 у" ■

(66)

Соответствующие матрицы А, В, С имеют

вид

А =

т +

12 ¡1

/2 ¡1

72

В =

—Ы

(¡1 + ¡2 )2 (¡1 + Ь)12

I2

¡1

— Ы

(¡1 + ¡2)!2

I

12

к + к -2-

к1 + к2 ,2

¡1

Рис. 12. Структурная схема ВЗС в системе координат у, у1

Выбор системы обобщенных координат определяет оценку состояния ВЗС, в частности, парциальные частоты будут меняться также как и характер связей между парциальными системами.

Таким образом, выбор точек наблюдения за состоянием виброзащитных систем, также как и системы обобщенных координат, имеет для оценки динамического состояния ВЗС большое значение, поскольку в каждой конкретной ситуации наблюдения могут быть получены различные сведения и о характере перекрестных связей и о значениях парциальных частот.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев С. В., Упырь Р. Ю. Мехатронные подходы в задачах вибрационной защиты машин и оборудования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Вып. 4 (20). С. 8-16.

2. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хо-менко А. П., Засядко А. А. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. 523 с.

0

/

к