CC BY
34
Особенности планирования и реализации безопасного и оптимального навигационного процесса
В.И. Меньшиков, Кукуй Фирмин Дживо
Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения
Аннотация. В статье исследуется возможность переноса качества с планируемой траектории навигационного процесса на реальную его траекторию. Авторами доказано, что существует ограниченный класс эквивалентности, в котором эти траектории не различимы по заданному качеству.
Abstract. In the paper the possibility of the quality transfer from the scheduled trajectory of navigational process to the real one has been researched. The authors have proved that there is a restricted equivalence class where these trajectories are not distinctive by the given quality.
1. Введение
Для навигационного процесса, как и большинства управляемых технологических процессов, наиболее существенное повышение его эффективности, в смысле снижения уровня текущих рисков и повышения уровня безопасности, следует связывать с оптимизацией установившегося режима функционирования элементного множества в рамках принятых правил.
Далее под установившимся стационарным режимом навигационного процесса будем понимать такой его режим, при котором для каждой из N составляющих yt(x, u, t) вектор-функции Y(X, U, t), i e N (Меньшиков, Кукуй, 2002) справедливо условие
t + T/2
(1/T )iy1(T)dT= B, (1)
t - T/2
где B - постоянный параметр состояния безопасности мореплавания или постоянства требований, обеспечивающих эту безопасность, T - длительность временного интервала, на котором решается безопасная производственная транспортная задача или осуществляется безопасная в навигационном смысле промысловая операция, причем 0 < T < да.
На этапе планирования управлений состоянием навигационного процесса большинство параметров этого состояния, как правило, задаются так, чтобы условие (1), накладываемое на вектор-функцию Y(X, U, t), выполнялось для всего временного интервала T. Поэтому плановую траекторию состояния процесса X0(t) можно рассматривать как стационарную, на которой все составляющие вектор-функции Y(X, U, t), характеризующие как само состояние процесса, так и управляющие воздействия, постоянны.
На этапе реализации плановой траектории условие (1) может быть выполнено лишь для некоторых фиксированных интервалов времени T0, поскольку всегда будет существовать необходимость в корректирующих действиях, способных возвращать текущее состояние X(t) в заданное безопасное состояние процесса X0(t). Тогда реализацию плановой траектории навигационного процесса с учетом плановых управлений и соблюдением условия (1) следует рассматривать с позиции циклической управленческой деятельности судового персонала с периодом, равным T0 с T, который далее для упрощения будем принимать за постоянную величину.
2. Особенности расширения экстремальной задачи планирования навигационного процесса
С формальной точки зрения, этапы планирования управления и реализации заданной траектории состояния навигационного процесса можно связать, если использовать существующее представление о возможности расширения экстремальных задач. Идею расширения экстремальной задачи, применительно к проблеме управления навигационным процессом, можно проиллюстрировать следующим образом.
Пусть текущее управляемое состояние навигационного процесса определено на множестве D1 и реализуется в процессе управления так, что при этом обеспечивается минимум целевой функции Ri(z), т.е.
R 1(z) ^ min. (2)
z <Е D,
Меньшиков В.И., Кукуй Фирмин Дживо Особенности планирования.
В то же время, при планировании безопасного состояния навигационного процесса это состояние было задано на множестве D2 и определено минимумом целевой функции R2(®). тогда задачу планирования состояния безопасного навигационного процесса, в общем, запишем
Я2(а>) ^ min. (3)
z е D2
Задачи реализации (2) и планирования (3) безопасной навигации можно назвать изоморфными, если каждому элементу или последовательности элементов из множества D1 будет ставиться во взаимно однозначное соответствие элемент или последовательность элементов из множества D2. Причем это соответствие осуществляется так, что значения целевых функций R\(z) и R2(®) на соответствующих элементах или их предельные значения на последовательностях равны. Тогда при изоморфности (2) и (3) решением экстремальной задачи (3), с позиций обеспечения безопасности мореплавания, следует считать такую задачу (2), которая по отношению к самой задаче (3) решается с соблюдением двух условий:
А £ D2,
R 2(®) > R 1(z), t/z е D1. (4)
Записанные условия (4) определяют взаимно однозначную связь между плановой траекторией состояния навигационного процесса и траекторией его состояния при реальном управлении. Именно выполнение условий (4) обеспечивает реализацию плановой траектории навигационного процесса с качеством не хуже того, которым она обладала на этапе планирования, т.е.
R*2 > R*i, (5)
где R*1 = sup R1, R*2 = sup R2, соответственно.
Если значение качества в расширении (2) совпадает со значением качества в задаче планирования (3), то такое расширение является не только изоморфным, но и эквивалентным. Следовательно, в случае, когда R*2 = R*1, плановая траектория, а также ее практическая реализация, являются элементами одного класса эквивалентности Л, т.е. не различимы по качеству.
Рассмотрим механизм, в соответствии с которым расширение задачи оптимального планирования управляемого навигационного процесса будет включать в себя траекторию состояния, получаемую в процессе оптимального управления этим процессом.
3. Определение близости плановой и реальной траекторий навигационного процесса
Пусть навигационный процесс, идущий в системе "судно" с сосредоточенными параметрами, характеризуется переменными состояниями x е X и управлениями u е U. Тогда задачу планирования управления состоянием можно представить с помощью оптимальной стационарной математической модели, записанной, например, так:
Ax, u) = 0,
R2 = f0(x, u) ^ min, (6)
q(x, u) > 0, x e X, u e U.
Реализацию же плановой траектории навигационного процесса fx, u) при управлении им с учетом корректирующих действий, выполняемых с постоянным периодом, равным T0 е T, опишем оптимальной динамической моделью вида
dx/dt =f(x(t), u(t)),
To
Ri = (1/To) ifo(x(t), u(t)) dt ^ min,
0
T0
i (p (x(t), u(t)) dt > 0, (7)
\f (x(t), u(t)) dt = 0,
x eX, u е U, T0 > 0.
В моделях (6) и (7) приняты следующие обозначения: f0(x(t), u(t)) - текущее значение показателя эффективности процесса, <p(x(t), u(t)) - текущий расход материальных и энергетических затрат.
Как показатель качественной близости между плановой траекторией процесса (6) и ее управленческой реализацией (7) будем использовать метрику вида
А = R*2 - R*1, (8)
причем, как это было сделано выше, вновь примем, что R*1 = sup R1 и R*2 = sup R2.
Для определения показателя качественной близости Л в (8) используем известные возможности, заложенные в классическую задачу Лагранжа. Так, пусть функция Лагранжа S2(x, u, Л, fj), составленная для задачи (6), отвечает условию:
S2(x, u, Л, fj) = f 0(x, u) + Лf (x, u) + jutp(x, u) > min, (9)
u <E U X <E X
где векторы Ли ц - множители Лагранжа, а Л/ и /л(р - суть скалярные произведения этих векторов.
Используя введенную функцию Лагранжа (9), покажем, что задача по реализации плановой траектории навигационного процесса (7) может являться элементом расширения применительно к задаче планирования управления (6). Для этой цели дополнительно примем, что расширение задачи (6) существует при любых ограничениях вида Ли /л> 0, если составляющая ßk вектора ß обращается в нуль тогда и только тогда, когда <pk(x, u) > 0.
Пусть при отмеченном выше условии, которое в принципе можно отнести к условию дополняющей нежесткости, векторы Ли ß принадлежат множеству V. Тогда для любых пар множителей (Л, ß) Лагранжа, принадлежащих V, будет справедливо неравенство (5). Следовательно, с учетом особенностей поведения пар множителей Лагранжа (Л, fj), для расширенного подхода к задаче планирования управления безопасной траекторией X0(t) неравенство (5) можно записать следующим образом:
5*(Х, /J) ^ R*2, НА М) е V.
Очевидно, что для некоторых значений множителей Лагранжа Л0, /л0 последнее нестрогое неравенство может быть преобразовано в строгое равенство. В этом случае функция S2 обязана иметь седловую точку, в которой она, например, может быть максимальна по состоянию и управлению x, u и минимальна по параметрам Л, ц, причем так, что
min max S2(x, u, Л, ß) = R*2. (10)
X, ц x, u
Следовательно, в рамках Лагранжевого подхода задачу текущего управления состоянием навигационного процесса (7), действительно можно, рассматривать как расширение задачи планирования (6), причем такое расширение, в котором при конкретно принятых значениях параметров Л0, /л0 порождается класс эквивалентности Л траекторий X0(t) и X(t) с признаком равенства их целевых функций.
Однако на практике добиться строгого соотношения эквивалентности между плановой траекторией X0(t) и ее реализацией X(t), ориентируясь только на подбор соответствующих значений множителей Лагранжа Л0, д0, достаточно сложно. Поэтому имеет смысл найти такую количественную оценку близости траекторий, которая позволила бы ограничить сверху границы класса эквивалентности.
4. Оценка близости плановой и реальной траекторий навигационного процесса
Рассмотрим задачу управления (7) и отбросим в ней дифференциальные связи. При отбрасывании связей в (7) множество допустимых решений расширяется, и значение новой задачи (без дифференциальных связей) будет не меньше значения самой задачи (7), т.е. R*0 > R*1, где R*0 - критерий качества задачи (7) без дифференциальных связей.
В то же время, как показано в (Цирлин, 1974), значение R*0 может совпадать со значением R* при решении следующей задачи
R* = Efxk, Щ) ^ min,^ Zfk, uk) = 0 Erk <P(xb uk) > 0, (11)
МеньшиковВ.И., Кукуй Фирмин Дживо Особенности планирования...
Yk > 0, xk, uk е V, Тп = 1, k = 1, ..., rx + r9+ 1, k
причем значение R* для задачи (11) можно найти так:
R* = inf sup (x, u, Л, /л), (12)
X, ц x, u
где S2(x, u, Л, fj) - функция Лагранжа для задачи планирования управления навигационным процессом (6). Если теперь выражение (12) при условии R*0 > R*1 поставить в (8), то окончательно получим
А< inf sup (x, u, Л, fj) — R*2. (13)
X, ц x, u eV
Выражение (13) определяет допустимые границы класса эквивалентности Л, в котором каждая плановая траектория X0(t) практически неразличима по качеству с ее реализацией X(t), полученной в результате управленческой деятельности судового персонала. Кроме того, из (13) с учетом (10) можно для строгого соотношения эквивалентности получить Л = 0.
Если задача планирования типа (6) обладает расширением и для этого расширения найдены соответствующие значения Л*, /л* множителей Лагранжа, то вместо нахождения минимума по значениям Л, [л можно подставить определенные значения в функцию Лагранжа и получить грубую оценку для границ класса эквивалентности Л. Эту грубую оценку можно записать так:
А < sup S2 (x, u, Л, /л) - R*2. (14)
x, u eV
5. Заключение
Для навигационного процесса, как и большинства управляемых технологических процессов, наиболее существенное повышение его эффективности, в смысле снижения уровня текущих рисков и повышения уровня безопасности, следует искать в области оптимизации установившегося режима функционирования элементного множества в рамках принятых правил. Однако на практике добиться строгого соотношения эквивалентности между плановой траекторией процесса и ее реализацией, ориентируясь только на подбор соответствующих значений множителей Лагранжа Л0, Мо в (9), достаточно сложно. Поэтому имеет смысл найти такой вариант количественной оценки близости плановой траектории и траектории реализации, который объединял бы эти траектории в один общий класс эквивалентности и делал бы их неразличимыми по качеству.
Выполненные в данной работе исследования позволили определить границы класса эквивалентности, в котором можно плановое качество переносить на траекторию состояния навигационного процесса, полученную по результатам управленческой деятельности судового персонала. В то же время близость по качеству между плановой моделью безопасного навигационного процесса и ее реализацией не исключает того, что фактическая траектория будет все же обладать своими индивидуальными особенностями.
Литература
Меньшиков В.И., Кукуй Фирмин Дживо, Модель и механизм функционирования системы управления
безопасной эксплуатацией судов. Вестник МГТУ, т.5, № 2, с.171-176, 2002. Цирлин A.M. Оптимизация в среднем и скользящие режимы в задачах оптимального управления. Техническая кибернетика, № 2, с.143-151, 1974.
