CC BY
0
УДК 67.05
doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-12
Особенности переноса угловых погрешностей привода стола зубофрезерного станка на профиль зуба обрабатываемого колеса
В. В. Бушуев1, В. А. Еремьянц2, В. В. Молодцов3, В. А. Новиков4
1,2'3'4Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», Москва, Россия
1busheck@yandex.ru, 2vladimir_eremyanc@mail.ru, 3v_molodtsov@mail.ru, 49bobah@gmail.com
Аннотация. Актуальность и цели. Современные зубофрезерные станки проектируются на базе мехатронных приводов, что порождает вопросы о влиянии погрешностей, возникающих в структуре прямых приводов главного движения, на процесс формирования эвольвентного профиля зуба. Материалы и методы. В теоретическом исследовании рассмотрена методика построения математической модели, описывающей перенос угловой погрешности, возникающей в процессе работы привода заготовки вертикального зубофрезерного станка, на эвольвентный профиль зуба. Результаты. Возникновение изломов на эвольвентном профиле зуба, воспринимаемых как огранка, связано не только с прерывистым характером процесса резания червячными фрезами, но и с угловыми колебаниями, неизбежно сопровождающими процесс работы прямого привода заготовки зубофрезерного станка. Величина погрешности профиля, возникающей в результате наличия погрешности углового положения, определяется амплитудами и частотами синусоидальных составляющих угловых колебаний. Выводы. Получена математическая модель, описывающая механизм формирования профиля зуба прямозубого зубчатого колеса с учетом влияния только угловой погрешности привода стола, безотносительно иных погрешностей, неизбежно возникающих в процессе обработки зубчатого колеса. Вклад данной погрешности в общий процесс формирования профиля зуба при обработке на станке требует дальнейшего изучения.
Ключевые слова: зубчатое колесо, угловая погрешность, цепь обката, подрезание, погрешность профиля, особая точка
Для цитирования: Бушуев В. В., Еремьянц В. А., Молодцов В. В., Новиков В. А. Особенности переноса угловых погрешностей привода стола зубофрезерного станка на профиль зуба обрабатываемого колеса // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2023. № 4. С. 126-135. doi: 10.21685/2072-30592023-4-12
Features of transferring the angular errors of the gear hobbing machine's table drive to the tooth profile of the machined wheel
V.V. Bushuev1, V.A. Eremyants2, V.V. Molodtsov3, V.A. Novikov4
i,2,3,4Moscow State University of Technology "STANKIN", Moscow, Russia
1busheck@yandex.ru, 2vladimir_eremyanc@mail.ru, 3v_molodtsov@mail.ru, 49bobah@gmail.com
© Бушуев В. В., Еремьянц В. А., Молодцов В. В., Новиков В. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Abstract. Background. Modern gear hobbing machines design is based on mechatronic drives, which prompts questions about the influence of errors that occur in the main motion direct drives structure on the process of involute tooth profile forming. Materials and methods. Theoretical research has considered a methodology for constructing a mathematical model that describes the transfer of angular errors that occur during the operation of the vertical hobbing machine's workpiece drive to the involute tooth profile. Results. The occurrence of notches on the involute tooth profile, perceived as roughness, is associated not only with the intermittent nature of the hobbing process but also with angular oscillations inevitably accompanying the operation of the vertical hobbing machine's workpiece drive. The magnitude of the profile error resulting from angular position errors is determined by the amplitudes and frequencies of the sinusoidal components of the angular oscillations. Conclusions. A mathematical model has been developed that describes the mechanism of forming the tooth profile of a spur gear, taking into account only the influence of angular errors in the table drive, without considering other errors that inevitably occur during the gear machining process. The contribution of this error to the overall process of forming the tooth profile during machining on a machine tool requires further study. Keywords: gear wheel, angular error, generating train, undercutting, profile deviation, special point
For citation: Bushuev V.V., Eremyants V.A., Molodtsov V.V., Novikov V.A. Features of transferring the angular errors of the gear hobbing machine's table drive to the tooth profile of the machined wheel. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2023;(4):126-135. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-12
Введение
Угловые погрешности, возникающие в приводах цепи обката зубофре-зерного станка под воздействием процесса резания и трения в элементах их конструкции, влияют в первую очередь на показатели плавности работы зубчатого зацепления, так как проявляются несколько раз за период работы каждого зуба [1-6]. На качество боковой поверхности оказывает влияние целый комплекс погрешностей технологического оборудования, инструмента и оснастки. При этом вклад составляющих, связанных с технологической оснасткой и инструментом, достаточно хорошо изучен [7]. Также известно описание взаимосвязей погрешностей эвольвентного профиля зуба с кинематическими погрешностями, возникающими в делительной цепи зубофрезер-ного станка с механическими кинематическими связями, в совокупности с прерывистым характером процесса резания [5]. В частности, приведена взаимосвязь между кинематической погрешностью профиля зуба и числом зубьев червячного колеса делительной цепи станка.
Изменение кинематической структуры станка и применение прямых приводов в цепях приводов главного движения современных зубофрезерных станков привело к исключению механической связи между заготовкой и инструментом. Что, в свою очередь, говорит о необходимости рассмотрения процесса переноса кинематической погрешности цепи обката зубофрезерного станка с мехатронными приводами на погрешности профиля зуба.
Особенностью привода с встраиваемым двигателем является обязательное условие наличия углового энкодера в его структуре. В связи с этим предлагается оценивать составляющую, вносимую в общую погрешность колеса угловыми погрешностями приводов цепи обката, косвенным методом, по результатам ее измерения на выходном звене привода.
Для решения этой задачи необходимо разработать математические модели, описывающие перенос угловых погрешностей приводов цепи обката на профиль зуба как по отдельности, так и в совокупности. В статье [3] авторами приведена математическая модель, описывающая процесс формирования профиля при наличии угловой погрешности только в приводе инструмента. В настоящем труде сформирована методика построения и возможности такой модели при наличии погрешности в приводе стола.
1. Анализ плоского эвольвентного зацепления
Для описания плоского зацепления построена расчетная схема (рис.1,а). Две системы координат подвижные - связаны с нарезаемым колесом (У2О2Х2) и инструментальной рейкой (у\0\Х\), и одна система координат -неподвижная (уОх), связана со станком [6]. Поскольку окружная скорость постоянная при обработке и в случае отсутствия погрешностей полюс зацепления не перемещается, то начало неподвижной системы координат удобно совместить с полюсом зацепления, точкой О.
3/3 к Уг)
«1, /V 1 \
«и / \
/ / Ги,х Уго \
| 1 ШУЯ,,
0з(02)
х2
б)
Рис. 1. Системы координат плоского зацепления инструментальной рейки и нарезаемого колеса: а - жестко связанные со станком, инструментом и заготовкой системы; б - вспомогательная система 03х3у3
Ось О1Х1 подвижной системы координат совпадает с делительной прямой рейки, а начало координат лежит в точке О1 на режущей кромке. Точка O2 находится в центре вращения нарезаемого колеса. В неподвижной системе координат перемещению рейки а(ф) соответствует поворот нарезаемого колеса (угол развернутости ф).
Связь между системами координат инструментальной рейки OlX^yl и обрабатываемого колеса O2X2У2 имеет следующий вид:
xi (ф) = x2 Wcos (ф+8(ф))-J2 (9)sin (ф + 6(ф)) + Л (Ф) = x2 (ф)sin(ф + 8(ф)) + y2 Wcos(+8W)-rw,
x2 (ф) = xi fa)cos (ф + 8(ф)) + yi (ф)яп (ф + 8(ф)) + +rw [sin(ф + 8(ф))-фcos(ф + 8(ф))], y2 (ф) = -xl (ф)sin(ф + 8(ф)) + yi (ф)cos(ф + 8(ф)) + +rw [cos (ф + 8(ф)) + фsin (ф + 8(ф))]],
(1а)
(1,6)
где 8(ф) - погрешность угла поворота стола; гм/ - радиус делительной
окружности нарезаемого колеса.
Для составления уравнения контактной точки на профиле зуба колеса воспользовались методом, предложенным Х. И. Гохманом [6]. Запишем уравнения перемещений зубьев инструментальной рейки в параметрической форме, когда заданным профилем является грань зуба инструментальной рейки:
xi (ф) = u ^)sin аи,
y (ф) = u (ф)с^ аи,
dxi (ф)cosаи -dyi (ф) sinаи = 0,
и -\ U '
дф дф
(2)
где u (ф) - параметр, определяющий положение точки контакта на профиле зубьев инструментальной рейки; аи - угол профиля зубьев рейки.
Продифференцировав по ф первое и второе уравнения системы (1), получим
^ = -(1 + 6'(ф))л (ф)-8'(фК и ^ = (1 + 8'(ф))( (ф)-rwф).
Подставив их в третье уравнение системы (2), выразим зависимость параметра от ф:
u (ф) = ^ф sin аи
8'(ф) i + 8'(ф)
И, наконец, подставив ее в первое и второе уравнения системы (2), получим выражение, определяющее положение точки контакта рейки и нарезаемого колеса в системе координат OlXlyl:
x1 (<p) = J
yi (<) = '
< sin2 аи
ф sin аи cos а
8'(Ф) ■ 1 + 8'(ф)
8'(ф)
1 + 8'(Ф)
cos аи
(3,а)
Подставляя выражение (3,а) в (1,6), получим выражение для определения координат контактных точек рейки и колеса в системе О2Х2У2:
x2 (<) = rw sin (ф + 8(ф)) - rw<cos аи cos (ф + 8(ф) + аи) -
-1 +8^фф) rw cos аи sin (ф+8(ф) + аи )'
y2 (ф) = rw cos(ф+8(ф)) + ^фcos аи sin (ф + 8(ф) + аи )-
(3,6)
5'(ф) , ч
-1 + 8'(ф) ^ °°8аи 008(ф + 8(ф) + аи).
Так как радиус основной окружности определяется через радиус делительной окружности г0 = гм, о°8 аи и ф = фо - tgаu [6], а фо > 0 - угол развернутости, измеренный от основной окружности, tgau — аи = шуаи - инволюта угла профиля инструментальной рейки, и для функции погрешности поворота стола справедливы выражения 8(ф) = 8(фо -tgau ) = 8о (фо) и
8'(ф) = 8'(фо -tgau ) = 8о (фо), получим выражения, определяющие положение точки контакта инструментальной рейки и нарезаемого колеса в системе координат О2Х2У2:
х2 (фо ) = го [8Ш(фо -^аи + 8о (фо )) -фо 008(фо -^аи + 8о (фо ))] -
8'о (фо) / ч
—г8Ш (фо - т^аи + 8о (фо) ), 1 + 8о (фо)
У2 (фо ) = го [с08 (фо - ^уаи + 8о (фо )) + фо (фо - ^уаи + 8о (фо ))]-8о (фо)
-r0
1+ 80 (фо)
cos(фо -ШУаи +80 (фо )).
(3,6)
Здесь 8о (фо) и 8о (фо) - функция погрешности поворота стола от угла
развернутости и ее производная.
Для приведения зависимостей профиля зацепления от угла поворота колеса к каноническому виду введем вспомогательную систему координат ОзХзуз (рис. 1,6), повернутую против часовой стрелки относительно О2Х2У2 на постоянный угол шуаи = tgau - аи. Точка начала отсчета эвольвенты совпадает с координатами (о, го). Выражение для определения положения контактной точки на эвольвентном профиле в системе 03х3у3 имеет вид
x3 ( Ф0 ) = x2 ( Ф0 ) cos (invaM ) + У2 ( Ф0 ) sin (invaM )' J У3 ( Ф0 ) = -x2 ( Ф0 ) sin (invaM ) + У2 ( Ф0 ) cos (invaM ) - J
(4)
Угол поворота заготовки нарезаемого колеса фд в данной системе координат откладывается от основной окружности Гд и фд =ф + tgaм.
Подставив выражения (3,в) в (4), после алгебраических преобразований получим зависимости, определяющие координаты точек контакта инструментальной рейки и нарезаемого колеса в каноническом виде
x3 (Ф0 ) = r0 Уз (Фо ) = ro
1
1 + 5'о (Фо) 1
1+ ÖQ (Ф0 )
in (Фо + So (Фо)) - Фо cos (Фо + So (Фо))
(фо + 6о (Фо)) + Фоsin (Фо + 6о (Фо))
cos
(5)
Искажение эвольвентного профиля в зависимостях (5) определяется видом и величиной вносимой погрешности. С целью понимания характера искажения профиля необходимо оценить влияние параметров погрешности на изменения кривизны. Для этого найдем функцию радиуса кривизны искаженного профиля.
Выражение для определения радиуса кривизны профиля нарезаемого зуба рк(фо), заданного в параметрической форме (5), в произвольной точке, используя зависимость для функции кривизны [6], получим
к(фо ) =
1
Рк(Фо)
- = +
x3 (Фо )Уз(Фо)- х3(Фо )у3(Фо)
(3(Фо ))2 +(у3(Фо ))2
32
(6)
Знак кривизны определяет направление вогнутости функции на рассматриваемом участке. Будем считать положительной кривизну рабочего профиля зуба обрабатываемого колеса.
Выполнив алгебраические преобразования (для выражений (5), (6)), получим зависимость для нахождения радиуса кривизны рк(фд) профиля зуба:
Рк (Фо ) = го
Фо
SC) (Фо)
(1+S0 (Фо ))3
(7)
Для случая, когда 5д (фо ) = 0 при любых допустимых значениях фд , выражение (7) приобретает вид рк(фо ) = ГоФо, соответствующий радиусу кривизны идеальной эвольвенты [6, 7].
2. Моделирование переноса угловых погрешностей привода заготовки на эвольвентный профиль зуба
Кинематические погрешности в приводах цепи обката зуборезных станков принято аппроксимировать тригонометрическим рядом вида
^ Ak sin (kф0 ) [7]. Для случая, когда вся погрешность определяется од-
k=1
ной k-й синусоидальной гармоникой (1 < k < n), функция погрешности приобретает вид
S0 (Фо ) = Ak sin (k9o +Pk), (8)
где Ak - амплитуда k-й гармоники; Pk - начальная фаза k-й гармоники.
При определенных сочетаниях фо, k и Ak радиус кривизны может принимать нулевые и даже отрицательные значения, так как точки образуемого профиля зуба могут касаться профиля режущей кромки червячной фрезы с обеих сторон. Однако в действительности участков на эвольвентном
профиле с отрицательным значением кривизны (рк(фо)< 0) существовать
не может, они располагаются только с одной стороны и срезаются режущими кромками фрезы при их последующих положениях.
Рассмотрим, как погрешность привода стола влияет на формирование профиля зуба. Будем считать, что вся погрешность определяется одной k-й синусоидальной гармоникой. На рис. 2 показан фрагмент участка профиля зуба уз = f (з) расположенный между основной и делительной окружностями обрабатываемого колеса.
Рис. 2. Участок теоретического профиля зуба при наличии синусоидальной кинематической погрешности
при m = 3 мм, z = 20, аи = 20°, k = 100, A k = 10" и Pk = 192,8°
Точки A, B и D этого контура являются особыми [6]. В точках B и D (точки возврата) радиус кривизны профиля имеет нулевые значения. В этих точках функция y^ = f (Х3) меняет знак кривизны: с положительного на
участке A-B, на отрицательный на участке B-D и снова на положительный на участке D-A. В точке C радиус кривизны достигает максимального по модулю отрицательного значения.
Наибольший интерес представляет точка самопересечения профиля зуба - A. В этой точке выполняются условия Х3 (ср^ ) = Х3 (фу 2) и
Уз (фг1) = Уз (фу2), где фг1 и фу2 - значения угла развернутости, соответствующие двум последовательным точкам касания режущих кромок фрезы и зуба колеса. Однако через точку A проходят две несовпадающие касательные, так как тангенс угла ф между касательной к кривой У3 = f (Х3) и положитель-
dy3 (фо)
ным направлением оси Ox3 равен tgф =--—- = ctgpo; учитывая, что
dx3 (фо)
фу1 - фу2 <П2, приходим к заключению: С£фг1 ^ с^фу2 и фa (фу1) ^ фa (фу2). В результате на рабочем профиле после удаления подрезаемых участков остается излом с углом заострения у у =п-(фу 2 -фл). Визуально они представляют собой огранку профиля зуба, но механизм их формирования не связан с прерывистым характером процесса зубофрезерования. Наличие подобных изломов профиля зуба приводит к мгновенному изменению окружной скорости и возникновению ударных нагрузок в момент зацепления.
Заключение
Моделирование переноса угловых погрешностей привода заготовки на эвольвентный профиль зуба показало, что на некоторых участках профиля зуба его функция образует ломаный замкнутый контур, который удаляется с формируемой поверхности колеса в процессе обработки. Наличие подобного контура определяется величиной амплитуды и частоты синусоидальной погрешности. Установлено, что в определенной точке выпадающего участка с отрицательной кривизной радиус кривизны достигает максимального по модулю значения и эта точка находится у основания зуба. Через точку самопересечения подрезаемого участка проходят две несовпадающие касательные. В результате после зубофрезерования на участке профиля зуба между начальной и конечной точками образуется излом, который воспринимается как огранка, но механизм искажения профиля не связан с прерывистым характером процесса резания червячными фрезами.
Список литературы
1. Антонюк В. Е., Басинюк В. Л., Серенков П. С. Зубчатые передачи: нормативно-методическое обеспечение точности зубчатых передач на этапе проектирования : монография. Минск : Белорусская наука, 2016. 252 с.
2. Гинзбург Е. Г., Голованов Н. Ф., Фирун Н. Б., Халебский Н. Т. Зубчатые передачи : справочник / под общ. ред. Е. Г. Гинзбурга. 2-е изд., перераб. и доп. Л. : Машиностроение, 1980. 416 с.
3. Еремьянц В. А., Молодцов В. В., Новиков В. А. Особенности переноса угловых погрешностей привода инструмента зуборезного станка, реализующего формооб-
разование методом обката, на профиль зуба обрабатываемого колеса // Вестник МГТУ «Станкин». 2023. № 2 (65). С. 46-54.
4. Калашников А. С. Технология изготовления зубчатых колес. М. : Машиностроение, 2004. 480 с.
5. Лившиц Г. А., Швецова Г. Д. Циклическая погрешность зубофрезерования и выбор числа зубьев делительных колес прецизионных зубофрезерных станков. М., 1959. 21 с.
6. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Наука, 1968. 584 с.
7. Тайц Б. А., Марков Н. Н. Точность и контроль зубчатых передач. 2-е изд., перераб. и доп. Л. : Машиностроение. 1978. 136 с.
References
1. Antonyuk V.E., Basinyuk V.L., Serenkov P.S. Zubchatye peredachi: normativno-metodicheskoe obespechenie tochnosti zubchatykh peredach na etape proektirovaniya: monografiya = Gears: normative and methodological ensuring the accuracy of gears at the design stage: monograph. Minsk: Belorusskaya nauka, 2016:252. (In Russ.)
2. Ginzburg E.G., Golovanov N.F., Firun N.B., Khalebskiy N.T. Zubchatye peredachi: spravochnik/pod obshch. red. E.G. Ginzburga. 2-e izd., pererab. i dop. = Gears: reference book / under the edition of E.G. Ginzburg. The 2nd edition, revised and supplemented. Leningrad: Mashinostroenie, 1980:416. (In Russ.)
3. Erem'yants V.A., Molodtsov V.V., Novikov V.A. Features of the transfer of angular errors of the tool drive of a gear-cutting machine, which implements shaping by the rolling method, to the tooth profile of the wheel being processed. Vestnik MGTU «Stankin» = Bulletin of MSTU "Stankin". 2023;(2):46-54. (In Russ.)
4. Kalashnikov A.S. Tekhnologiya izgotovleniya zubchatykh koles = Gear manufacturing technology. Moscow: Mashinostroenie, 2004:480. (In Russ.)
5. Livshits G.A., Shvetsova G.D. Tsiklicheskaya pogreshnost' zubofrezerovaniya i vybor chisla zub 'ev delitel'nykh koles pretsizionnykh zubofrezernykh stankov = Cyclic error of gear hobbing and selection of the number of teeth of index wheels of precision gear hobbing machines. Moscow, 1959:21. (In Russ.)
6. Litvin F.L. Teoriya zubchatykh zatsepleniy. 2-e izd., pererab. i dop. = The theory of gearing. The 2nd edition, revised and supplemented. Moscow: Nauka, 1968:584. (In Russ.)
7. Tayts B.A., Markov N.N. Tochnost' i kontrol' zubchatykh peredach. 2-e izd., pererab. i dop. = Precision and control of gears. The 2nd edition, revised and supplemented. Leningrad: Mashinostroenie. 1978:136. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Виктор Валерьевич Бушуев
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры станков, Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (Россия, г. Москва, Вадковский переулок, 3а)
E-mail: busheck@yandex.ru
Владимир Александрович Еремьянц аспирант, Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (Россия, г. Москва, Вадковский переулок, 3а)
E-mail: vladimir_eremyanc@mail.ru
Viktor V. Bushuev
Candidate of engineering sciences, associate professor, associate professor of the subdepartment of machine tools, Moscow State University of Technology "STANKIN" (3 a Vadkovskiy lane, Moscow, Russia)
Vladimir A. Eremyants Postgraduate student, Moscow State University of Technology "STANKIN" (3 a Vadkovskiy lane, Moscow, Russia)
Владимир Владимирович Молодцов
доктор технических наук, заведующий кафедрой станков, Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (Россия, г. Москва, Вадковский переулок, 3а)
E-mail: v_molodtsov@mail.ru
Владимир Александрович Новиков старший преподаватель кафедры станков, Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (Россия, г. Москва, Вадковский переулок, 3а)
E-mail: 9bobah@gmail.com
Vladimir V. Molodtsov
Doctor of engineering sciences,
head of the sub-department of machine
tools, Moscow State University
of Technology "STANKIN"
(3a Vadkovskiy lane, Moscow, Russia)
Vladimir A. Novikov Senior lecturer of the sub-department of machine tools, Moscow State University of Technology "STANKIN" (3a Vadkovskiy lane, Moscow, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 03.07.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 22.09.2023 Принята к публикации / Accepted 14.10.2023
