Особенности обессахаривания пересыщенного раствора при кристаллизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.061

Особенности обессахаривания пересыщенного раствора при кристаллизации

Е.В.СЕМЕНОВ, д-р техн. наук, профессор', А. А. СЛАВЯНСКИЙ, д-р техн. наук, профессор Московский государственный университет технологий и управления имени К. Г. Разумовского (Первый казачий университет)

Анализ особенностей процесса конденсирования молекул сахарозы на имитирующих центры кристаллизации элементах затравочного материала при варке утфеля в вакуум-аппарате, с целью рационального протекания этого процесса, имеет большое значение для обоснования эффективности в целом технологического потока в производстве кристаллического сахара товарных кондиций на сахарном заводе. При этом, анализируя явление молекулярного переноса сахарозы на элементы подготовленного тонко измельченного порошка, следует принимать во внимание вариативность элементов затравочного порошка по форме и размеру, концентрации его в объеме вакуум-аппарата и др. Анализ литературных источников по тематике статьи показывает, что теоретическое обоснование явления конденсации твердой фазы на частицах затравочного материала как центров кристаллизации в сахарсодержащем растворе, учитывающее данные факторы, разработано недостаточно. В статье с целью разработки физико-математи-ческой модели задачи в качестве исходных, наиболее приближенных с точки зрения геометрии к реальным объектам исследования параметрам, используется шар, моделирующий частицу сахарозы и шаровой слой приведенным радиусом с центром в центре шара, что геометрически приближенно описывает окружающий частицу сахарозы объем межкристального раствора.

Постановка задачи. Пусть характеризуемый объемной функцией распределения /г= Р(К) по размеру И коллектив измельченного шарообразного затравочного материала статистически равномерно распределен в сахарном утфеле вакуум-аппарата.

Полагается, что подвод целевого продукта (ЦП) к элементам затравки реализуется симметричным образом, и,

в полости вида шарового слоя

кроме того, с удовлетворительной точностью выполняются все допущения по физико-механическим свойствам изучаемого объекта, обычно принимаемые при анализе процесса молекулярного переноса в сплошном теле [1-12].

Поскольку при выбранной расчетной модели количественный анализ процесса переноса ЦП от жидкости к шарам произвольного размера весьма сложен, то в целях упрощающего допущения предполагается, что размер шаров варьируется в некотором ограниченном интервале. Тогда, приближенно, в основу анализа процесса массообмена между жидкостью и шарами можно выбрать шар радиусом R = Rcp, определяемый как координата центра тяжести эпюры F= F(R)

Rcp = fRF{R)dR/\2F(R)dR, (1)

Щ Щ

где Ri, — соответственно минимальный и максимальный радиус шара.

И пусть к элементам затравки размером R из прилегающего к нему слоя [Л, где q — половина текущего расстояния между центрами элементов затравки, подается целевая субстанция (рис. 1).

При этом, если Уш и V— соответственно суммарный объем элементов затравки и жидкости в рабочем объеме и v — объемная концентрация этих элементов в жидкостной системе, то в соответствии с принятой геометрической моделью «жидкостная среда + элементы затравки» половина расстояния между двумя соседними шарами составляет (рис. 1)

% = Rv~l'\ (2)

где 0 < v < 1, Л < £ < со.

Причем, если предполагать, что каждый из равномерно распределенных по объему вакуум-аппарата элементов затравки затем в результате молекулярного массопе-реноса сахарозы из раствора к данному элементу в течение короткою периода времени эволюционирует в кристалл конечного размера, то это означает, что характеризующий расстояние между центрами кристаллизации параметр \ сохраняет свое значение, то есть q=const. Что в дальнейшем учитывается в практических вычислениях по исследуемой проблеме.

В качестве физико-математической модели процесса массопередачи молекул сахарозы к элементам затрав-

ки в растворе в принятой одномерной модели в сферической системе отсчета принимаем краевую задачу:

• выражение потока/' концентрации ЦП от жидкости к шару в направлении оси г (первый закон Фика)

j = ~Ddc/dr, (3)

где D и с — соответственно коэффициент диффузии и концентрация сахарозы в растворе;

• уравнение нестационарного диффузионного массо-переноса (второй закон Фика) [4]

cc/ct = D [д2с/дг2 + (2 /г) дс/дг], (4)

где t — время;

• начальное условие по полагаемой равномерно распределенной по объему исходной концентрации

с (г, 0) = сп = const, (R < г < %), (5)

тупают в некоторых случаях, ниже применяется приближенный метод решения данной проблемы, аналогичный методу осреднения.

В целях упрощения решения задачи начальное условие (11) заменяют его усредненным по прилегающей к шару области г е (Ä, значением £

3j(r, Q)r2dr/(£?-#) = Ac. (13)

R

В свою очередь, усредняя левую часть уравнения (12)

по интервату R< г <1■, получают

%

Z\(du/dt)r2dr/(Z? - R?) = Dq>(t). (14)

R

где ф(0 — функция, подлежащая определению.

В рамках принятого приближенного метода решением задачи (9)—(14) является

и (г, 0 = Ас y(r) exp (Dt/В)/В, (15)

где сп — концентрация пересыщенного раствора;

• граничное условие на поверхности шара

с(Л,0 = сн>( 0<*<оо), (6)

где сн — концентрация насыщенного раствора;

• граничное условие симметричности поля концентрации сахарозы между соседними шарами [13]

дс&,0/дг= 0 (0 < ? < оо), (7)

где \ связана с Я зависимостью (2).

Решение задачи. Как обычно, предварительно, преобразуя граничные условия (6), (7) к однородному виду, вводят новую переменную и, связанную с концентрациями с и сн зависимостью

с = и + са. (8)

В результате чего краевая задача (4)—(7) относительно и принимает форму

ди/дг = Б [(д2и/дг2 + (2 /г) ди/дг], (9)

и (г, 0) = Ас = сп — сн > 0, (Л < г < (10)

и (К, /) = 0, (0 < ? < ос), (11)

дu(Ъt)/дr=0,(0<t<ю), (12)

где и — приведенная концентрация сахарозы в растворе; Ас — разность концентраций сахарозы в растворе.

В терминах краевых задач по проблеме теплопере-носа граничное условие (11) соответствует поглощающей стенке, а условие (12) — отражающей стенке.

Хотя решение задачи (8)—(12) известно [13], оно малопригодно для практических расчетов, так как имеет вид ряда с трудно рассчитываемыми собственными значениями краевой задачи. Поэтому, как пос-

где

V]/(/•)= —(Л3 + 2^3)/(6 К) + ¥/(Зг) + г2/ 6, В=[Ъ/(^-В?)]\^(г)г2с1г. (16)

я

Найденное по (15) выражение приведенной концентрации и(г, /) имеет простую и удобную для количественного и качественного анализа мультипликативную форму. Действительно, приведенная концентрация и сахарозы пропорциональна разности концентраций Ас, и, кроме того, поскольку /КО, то приведенная концентрация и убывает по экспоненте с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент диффузии В. Что согласуется с физической стороной исследуемого явления.

Поскольку поток концентрации ЦП от межкристального раствора к частице затравки подчиняется закону (3), то объем оседающего в единицу времени на единице площади поверхности частицы ЦП в соответствии с (15) вычисляют по формуле

Л=к = 0ди(Я^)/8г=

= Я(Ас/В) (В? - £?)&хр(В1/В)/(ЗК2), м/с, (17)

где В определяют по (16).

Объем 0 сахарозы, подводимый к единице поверхности шара за время получают, интегрируя (17) по

данному временному интервалу

<

о

= Де(^3 — /?3)[1 — ехр(/)//й)]/(3/?2), м3/м2, (18)

или по подводимому объему сахарозы к одной частице

едо = 4лй2б(0, М3, (19)

где 0(0 находят согласно (18).

Поскольку объем оседающего твердого за время г на

частице составляет 4я(Я33 - Д3)/3, где Я, и Я - соот-

Рис. 2. Зависимости массы т сахарозы в рабочем объеме вакуум-аппарата от периода / времени обработки продукта, для различных значений радиуса Я частицы затравки и коэффициента диффузии О в растворе. Дс = О,15. И = 10~10 м2/с: 1-Я = 10~5; 2 - Я = 10~5-1,5м. Э = 10-'°-2м2/с: 3-Я = 10~5; 4-Я = Ю-5-1,5м. Яс = 10~5-1,33м: 5— Б = 10~ю; 6-Б = 10-'°-2м2/с

Рис. 3. Зависимости радиуса Я3 кристалла сахарозы в рабочем объеме вакуум-аппарата от периода Г времени обработки продукта, для различных значений радиуса Я частицы затравки и коэффициента диффузии Б в растворе. \с = 0,15. В = 10-'°м2/с: 1~Я = 10~5; 2~Я = 10~5-1,5м. £> = 10-'°-2м2/с: 3-Я- 10~5; 4-Я = 10~5-1,5м. Яс = 10~5 1,33м: 5-И = Ю-10; 6-Б = 10-'°-2м2/с

ветственно текущий и исходный радиус частицы, то условие баланса дает

4я(д3з-дз)/з = е1м,

(20)

где 0,(0 вычисляют по (19).

В результате, исходя из (20), имеют зависимость

Я30) = [Я3 + Щ(1)/Ак]У\

(21)

В свою очередь, масса сахарозы, оседающей за время I на частицах в вакуум-аппарате

т(0 = Р0хт, кг,

(22)

где р — плотность сахарозы; 0, определяют по (19); N — число частиц затравочного материала в вакуум-аппарате.

Поскольку при Г->оо предельное значение 02 подводимого к единице поверхности шара объема сахарозы согласно (18) составляет

о2=Ас№ - пда,

то эффективность X процесса седиментации твердой фазы на поверхности частицы может быть оценена на базе соотношения

Откуда, на основе заданного X, находят зависимость периода времени т от относительного (по предельному) значению X оседающего на частице твердого

х = (В/В)\п(\-Ц, где В вычисляют по (17).

(23)

Формулы (21)—(23), соответственно, полагают в основу расчета зависимости от времени / инициированной центром кристаллизации частицы сахарозы текущим радиусом Л3, массы т сахарозы при проведении процесса кристаллизации в вакуум-аппарате, а также периода времени т от эффективности X этого процесса.

Численный эксперимент. Предполагается, что вакуум-аппарат емкостью 40 т, включающий сахарсодержащий раствор пересыщенностью Ас = 0,15 с коэффициентом диффузии 2) = Ю-10; 2ТО_10м2/с [2] и радиусами частиц Л, = Ю-5; 1,5Т0_5м, обогащается затравочной полидисперсной порошкообразной субстанцией массой 0,15 кг. Общее количество элементов затравки как центров кристаллизации округлено, АГ=5-1011 [3].

По рассматриваемой проблеме требуется рассчитать зависимости от времени проведения процесса кристаллообразования текущего радиуса частицы сахарозы, массы кристаллического сахара в вакуум-аппарате, а также периода времени т от эффективности этого процесса.

В качестве функции распределения принималось (по соглашению)

т) =•

0 при Я <

(К - Л,)/(Л2 - Я,) при Л, < Я < Я2, (24)

1 при Я > /?,.

Рассчитанное для Л, = Ю-5, Я2= 1,5Т0-5м по (1), (24) значение Лср дает 1,3310~5м.

В свою очередь, вычисленное по (2) значение половины расстояния между двумя соседними шарами составляет: при Л, = 10-5 - %=1,74Т0_5м; при Л2=1,5-1(Н -£= 1,52'10~5м. Объемная концентрация частиц порошка в вакуум-аппарате примерно V = 0,15/ (40-Ю3) = 4Т0"6.

Отраженные графиками рис. 2 результаты вычислений выявляют согласие полученных результатов количественного моделирования исследуемого процесса с физическим смыслом задачи. Так, обессахаривание раствора по массе

Рис. 4. Зависимости периода времени х от относительного (по предельному) значению X оседающего твердого. Ас = 0,15. й = 10-'°м2/с: 1-Я = 10~5; 2 - Я = Ю-5 1,5м. О = 10-'°-2м2/с: 3-Я = 10~5; 4-Я = 10-' 1,5м. Я = 10~5-1,33м: 5-0 = 10-'°; 6-0 = Ю~10-2 м2/с

за счет кристаллизации сахарозы с течением времени растет (все кривые рис. 3). Кроме того, с одной стороны, отмечается очевидная возрастающая зависимость обесса-харивания раствора по массе от коэффициента Б диффузии: например, на рис. 2 кривая 3 выше кривой 1. С другой стороны, согласно рис. 2, при одинаковом коэффициенте диффузии, вследствие уменьшения удельной поверхности шара по отношению к его объему, имеет место снижение подачи сахарозы к шарам: соответствующие радиусам Яу= 10~5м кривые 1,3, 5расположены выше кривых 2, 4, брадиусами Я2 = 1,5Т0_5м.

Аналогичным образом, графически, рис. 3 выявлена зависимость от текущего радиуса Л3 частицы, собственно, от исходного радиуса Я частицы затравки и от коэффициента диффузии И: сначала радиус /?, большей частицы затравки, естественно, превосходит радиус Яу соответствующий меньшей частице (например, на рис. 3, кривая 2 выше кривой 7), затем с течением времени из-за уменьшения удельной поверхности шара различие этих радиусов снижается.

Отраженные графиками рис. 4 результаты вычислений показывают, что при прочих равных условиях время т обработки раствора, индуцированного частицами затравки радиусом R^ = 10_5м, больше, чем у раствора с частицами радиусом Я2= 1,5Т0~5м. Что объясняется большим ресурсом по массе сахарозы в межкристальном растворе, где коллектив частиц затравочного материала включает элементы меньшего размера (например, на рис. 4, кривая 1 выше кривой 2).

Выводы. Исходя из модели диффузионного массо-переноса целевого продукта типа сахарозы от пересыщенного межкристального раствора к совокупности имитирующих затравку из тонкодисперсных полидисперсных частиц шарообразной формы обосновывается физико-математическая модель по прогнозированию процесса кристаллизации сахарозы в растворе. Предлагается аналитический аппарат для расчета зависимости от времени массы целевого продукта в результате протекания процесса кристаллизации и величины текущего размера кристалла. Дается оценка времени обессахаривания раствора по относительному к предельному значению оседающего твердого.

Литература

1. Силин, П. М. Технология сахара. / П. М. Силин. Изд. 2-е, пере-раб. и доп. — М.: Пищевая промышленность, 1967. — 626 с.

2. Михатова, Г. Н. Расчет продуктов сахарного производства. / Г. Н. Михатова, И. Н. Каганов. — М.: Пищевая промышленность, 1973. - 160 с.

3. Сапронов, А. Р. Технология сахарного производства / А. Р. Сапронов. 2-е изд., испр. и доп. — М.: Колос, 1999. — 496 с.

4. Семенов, Е. В. К расчету периода кристаллизации сахарозы в вакуум-аппарате / Е. В. Семенов, A.A. Славянский, В. В. Ильина // Хранение и переработка сельхозсырья. — 2004. — №12.-С. 23-25.

5. Гнездилова, А. И. Кинетика массовой кристаллизации лактозы в пересыщенных водных растворах / А. И. Гнездилова, В. Б. Шевчук // Сб. тр. конф. Вологодской государствешюй молочнохозяйственной академии им. Н.В. Верещагина, 2005. — С. 43^46.

6. Громковский, А. И. Оптимальный режим уваривания утфеля I продукта // А. И. Громковский, Ю.И. Последова, H. Н. Бражников // САХАР. - 2008. - № 8. - С. 54-56.

7. Виноградова, Ю. В. Влияние пересыщения, интенсивности перемешивания и температуры на кинетику массовой кристаллизации лактозы / Ю. В. Виноградова, А. И. Гнездилова // Сб. тр. конф. Вологодской государственной молочнохозяйственной академии им. Н. В. Верещагина, 2009. — С. 18—24.

8. Штерман, C.B. Обобщенное расстояние между частицами

References

1. Silin, P. M. Tehnologija sahara / P. M. Silin — Izd. 2-e, pererab. i dop. — M.: Pishhevaja promyshlennost', 1967. — 626 s.

2. Mihatova, G. N. Raschet produktov saharnogo proizvodstva / G.N. Mihatova, I.N. Kaganov — M.: Pishhevaja promyshlennost', 1973,- 160 s.

3. Sapronov, A. R. Tehnologija saharnogo proizvodstva / A. R. Sap-ronov. 2-e izd., ispr. i dop. — M.: Kolos, 1999. — 496 s.

4. Semenov, E.V. K raschetu perioda kristallizacii saharozy v vakuum-apparate / E.V Semenov, A. A. Slavjanskij, V. V Il'ina // Hranenie i pererabotka sel'hozsyr'ja. — 2004. — № 12. — S. 23-25.

5. Gnezdilova, A. I. Kinetika massovoj kristallizacii laktozy v pere-syshhennyhvodnvh rastvorah: /A.I. Gnezdilova, V.B. Shevchuk. I I Sb. tr. konf. Vblogodskoj gosudarstvennoj molochnohozjajst-vennoj akademii im. N.V. \fereshhagina, 2005. S. 43 46.

6. Gromkovskij, A. I. Optimal'nyj rezhim uvarivanija utfelja I produkta / A. I. Gromkovskij, Ju. I. Posledova, N.N. Brazh-nikov // Sahar. - 2008. - № 8. - S. 54-56.

7. Vinogradova, Ju. V. Vlijanie peresyshhenija, intensivnosti peremeshivanija i temperatury na kinetiku massovoj kristallizacii laktozy: / Ju.V. Vinogradova, A.I. Gnezdilova // Sb. tr. konf. \blogodskoj gosudarstvennoj molochnohozjajstvennoj akademii im. N. V. \fereshhagina, 2009. - S. 18-24.

8. Shterman, S. V. Obobshhennoe rasstojanie mezhdu chasticami pri kristallizacii iz rastvorov / S. V. Shterman [i dr.] // Sahar. — 2010. - №6.-S. 54-59.

при кристаллизации из растворов / С. В. Штерман [и др.] // Сахар. - 2010. - №6. - С. 54-59.

9. Семенов, Е. В. Особенности диффузионного процесса кристаллизации сахарозы / Е.В. Семенов [и др.] // Сахар. — 2013 -№3.- С. 46-50.

10. Mantovani, G. Growth and morphology of sucrose crystal / G. Mantovani // Int. Sugar J. — 1991. — V. 93. — № 1106. — P. 23-32.

11. Lin, L. Study on the hydrodynamic problems in the crystal growth from solution / L. Lin, G. Siguan, L. Bing // J.S. China Univ. Technol. Natur. Sci. - 1996. -V 24. - №6. - P. 25-29.

12. Grimsey, I. M. The formation of inclusions in sucrose crystals / I.M. Grimsey, T.M. Henington//Int. Sugar J. — 1994. —V 96. — №1152.-P. 504-514.

13. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. — M.: Высш. шк., 1967. — 600 с.

Особенности обессахаривания пересыщенного раствора при кристаллизации

Ключевые слова

диффузия; период; процесс массопереноса; раствор сахарозы. Реферат

С конденсацией целевого продукта на затравочном материале в пересыщенном растворе связаны многие из процессов перерабатывающих производств АПК. Данное явление в вакуум-аппарате при варке утфеля с целью инициирования в нем процесса кристаллизации сахарозы является базовым в технологическом потоке получения кристаллического сахара на сахарном заводе. Причем подготовленный как тонко измельченный порошок сахарозы исходный затравочный продукт варьируется по форме и размеру, концентрации в объеме вакуум-аппарата и др. При этом учитывающее данные факторы теоретическое обоснование явления конденсации твердой фазы на частицах затравочного материала как центров кристаллизации в сахарсодержащем растворе разработано недостаточно. В статье с целью разработки физико-математической модели задачи в качестве исходных, наиболее приближенных с точки зрения геометрии к реальным объектам исследования параметрам, используется шар, моделирующий частицу сахарозы и шаровой слой приведенным радиусом с центром в центре шара, что геометрически приближенно соответствует окружающему частицу сахарозы объему межкристального раствора. При анализе задачи применяются результаты количественного анализа ассоциированной с теорией диффузионного переноса вещества проблемы массопереноса в шаровом слое. Обосновывается алгоритм оценки массы кристаллического сахара по периоду обработки продукта в вакуум-аппарате. В качестве средства количественного анализа проблемы используется численный эксперимент. Данным экспериментом выявлена адекватность результатов теоретического анализа физическому смыслу реального процесса. Получены важные в теоретическом и практическом отношении зависимости массы кристаллизованной в вакуум-аппарате сахарозы от времени обессахаривания раствора.

Авторы

Семенов Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор;

Славянский Анатолий Анатольевич, д-р техн. наук, профессор

Московский государственный университет технологий

и управления имени К. Г. Разумовского

(Первый казачий университет),

109004, Москва, Земляной Вал, д. 73,

эет-рс^ @ mail.ru, mgutu-sahar@mail.ai

9. Semenov, E. V. Osobennosti difïïizionnogo processa kristallizacii saharozy / E.V. Semenov [i dr.] // Sahar. - 2013 — №3. — S. 46-50.

10. Mantovani, G. Growth and morphology of sucrose crystal / G. Mantovani // Int. Sugar J. - 1991. - V. 93. - № 1106. -

P. 23-32.

11. Lin, L. Study on the hydrodynamic problems in the crystal growth from solution / L. Lin, G. Siguan, L. Bing // J. S. China Univ. Technol. Natur. Sci. - 1996. - V. 24. - №6. -

P. 25-29.

12. Grimsey, I. M. The formation of inclusions in sucrose crystals / I.M. Grimsey. T.M. Herrington // Int. Sugar J. — 1994. — V. 96. - № 1152. - P. 504-514.

13. Lykov,A. V. Teorija teploprovodnosti. /A.V. Lykov. — M.: Vyssh. shk., 1967.-600 s.

Features of Mass Transfer in the Supersaturated Solution in the Crystallization

Key words

diffusion; period; the process of mass transfer; solution of sucrose. Abstract

With the condensation trust product to initiate crystallization in supersaturated solution of particles in many of the processes of processing industries. This phenomenon in vacuum apparatus when cooking with the purpose of development of massecuite it sucrose crystallization process is basic in the technological flow of receiving crystal sugar on sugar factory. And prepared as finely crushed powder sucrose source seed product varies in shape and size, concentration in volume vacuum apparatus, etc. In so doing, take account of these factors the theoretical substantiation of condensation phenomena on solid phase particles seed material as nucleation in solution we developed is not enough. In the article, with a view to developing physical and mathematical model of the task as a source, the most close in terms of the geometry of the real objects of the study parameters, used ball, modeling particle of sucrose and ball layer given radius centered at the center of a ball that simulates the environmental aspects of the sucrose particle volume solution. When analyzing the tasks apply the results of quantitative analyses associated with the theory of diffusive long-range problems of mass transfer in the coupling layer. Quantifying algorithm is proved the masses of crystalline sugar from the period of the product in a vacuum processing apparatus. As a means of quantitative analysis of numerical experiment is used. This experiment revealed the adequacy of theoretical analysis of physical meaning of the actual process. Provide important theoretical and practical evaluation of the mass dependence crystallized in vacuum apparatus of sucrose solution processing from time to time.

Authors

Semenov Evgenij Vladimirovich,

Doctor of Technical Sciences, Professor;

Slavijanskij Anatolij Anatoievich,

Doctor of Technical Sciences, Professor

Moscow State University of Technology and Management

named after K.G. Razumovsky (the First Cossacs University),

73, Zemlyanoy Val, Moscow, 109004, Russia,

sem-post@mail.ru, mgutu-sahar@mail.ru