CC BY
92
ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СФЕРЫ УСЛУГ С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ
О.В.Караблин, М.В. Алейнова
На сегодня сложилась довольно противоречивая ситуация: с одной стороны — требуется равновесное, соответствующее способности потребителей, распространение услуг, отвечающих современным стандартам и достижениям науки и техники, с другой стороны — осторожный подход к финансированию и кредитованию этой сферы банками и недостаточное внимание со стороны предпринимателей. Хотя в развитых странах сфера услуг приносит до 70 % ВВП. В современных условиях очевидна перспективность развития сферы у слуг, но это развитие должно опираться на до стоверные прогнозы. Дальнейшие рассуждения полностью исключают конкуренцию в сфере услуг, что накладывает некоторые ограничения на предлагаемое моделирование процесса прогнозир ования.
Если развитие сферы услуг рассматривать как процесс постепенного распространения (можно сказать просачивания) всего набора услуг среди потр ебителей и насыщения потребления у слу г до определенного уровня, то перколяционная теор ия может быть использована для прогнозирования ра з-вития сферы услуг города. Перколяция - это достаточно широкое понятие и теория перколяции может моделировать ситуации различные на первый взгляд. Такое просачивание упрощает анализ сложных конфигураций, текстур и взаимодействий.
Целью данной работы является адаптация перколяционной теории для создания модели, которая позволяла бы описывать и прогнозировать развитие такой сложной социально - э кономической системы как сф ера услуг. В рамках данной работы не бу дем останавливаться на важных параметрах для конечного, практич еского, р езультата, таких как размер кластера, э лемента перколяционной решетки и пр.
Предположим, что город можно моделировать квадратной решеткой (с у четом особенностей застройки, э то близко к реальному), в определенных узлах которой располагаются центры распространения услуг (ЦУ). Предположим также, что за одну единицу вр емени идет распространение у слуг на
ближайших соседей - потребителей, за следующую единицу времени осуществляется насыщение соседних кластеров услугами до определенного уровня.
Очевидно, если концентрация ЦУ рцу ниже некоторой критической величины рс, распространение услуг происходит очагами и не охватывает всю квадратную решетку [5]. Наоборот, при рцу > рс распространение услуг идет высокими темпами и если решетка (город) тянулась бы дальше, то услуги достигли более отдаленных её границ.
Однако нас интересу ет пограничное состояние, или порог перколяции, при котором рцу ~ рс, или при
£= РЦУ - Рс
Рцу
Оказывается, что при 8 << 1 критические параметры подчиняются простым законам подобия, отражающим самоподобие пр осачивания вблизи порога, или критической точки.
Обозначим через Z(n, t, е) отношение числа элементов решетки, получившие услуги определенного уровня (к определенному моменту времени t), к среднему числу элементов в ряду. Предполагается, что n и t много больше единицы и тогда в близи порога перколяции (при 8 << 1) функция Z являет-
^ ( Z(Xann, Xat, Xаее)
ся однородной функцией своих аргументов: Z(n, t, е) =---------------.
X
То есть, Z - это некоторая универсальная функция с тремя показателями скейлинга: an, at, ае. Рассматриваемая функция при t ^ да и n ^ да принимает следую щий вид
_ . Z(да, да, Хаее)
Z(да, да, е) =--------.
X
Допуская, что Z зависит от 8 по степенному закону получим равенство
8 в = (Ха88) в / X , или а8 = 1/ р. Показатель в является критическим показателем, и его возможно связать только с одним из показателей скейлинга а8.
Введем еще два параметра: характеристическую длину (например, расстояние между ЦУ) £, и характеристическое время 9. Известно, что и ^, и
9 расходятся при 8 ^ да в соответствии с простыми степенными законами:
£, = const • 8 -v и 9 = const • 8 -5.
Приводя зависимость Z(n, t, е) от 8 к этим характеристическим вели-
чинам, можно записать
n t
Z(n, t, e) = nxg(- -),
С 0
где функция g зависит только от двух параметров и чтобы выполнялся исходный закон подобия, показатель x должен быть равным - в / v.
Тепер ь все три показателя скейлинга связаны с тремя критическими показателями в, v, 5, характеризующими, как Z, £, и 9 изменяются в зависимости от 8 вблизи критической точки (8 << 1 ).
Качественный анализ предложенной модели распространения услуг позволяет оценить средню ю скорость распространения у слуг (и насыщения ими рынка) в зависимости от количества ЦУ на перколяционной решетке.
У — - в /v
Обозначим z - n - как характеристическое число элементов решетки уже полу чающих у слуги на достаточном у ровне. Тогда у равнение для Z можно записать в следу ющем виде
Z (n, t, е) ,n t .
—!---- = g(—,—).
С С, о
Из выше изложенного следует, что величина Z / Z остается неизменной, если n изменяется со временем t по закону
n = const ■ tv75 .
Следовательно, средняя скорость насыщения услугами изменяется со временем как t v75 - 1.
Критические параметр ы v и 5 определяю тся с помощью численного моделирования конкретной пер коляционной решетки. Интересно, что да н-ные критические показатели не зависят от ко нкретных деталей, только от размерности пространства вложения (для квадратной решетки равной дв ум) и от количества степеней свободы рассматриваемой переменной. В данном случае, когда рассматривается ситуация: произошло насыщение услугами до определенного у ровня или нет, можно говорить о двух степенях св ободы, что упрощает решение.
Кроме того, как отмечается в [3], что все критические показатели v, 5 и в не зависят от числа взаимодействующих соседних элементов. Что касается критических концентраций рс, то они бывают различными. Эти показатели, являясь универсальными, связаны выражением 2в + 5 = v d, где d -размерность пр остранства.
Приведем некоторые замечания для определения критических показ а-телей. Так, в определяется путем компьютерного моделирования, путем подсчета числа элементов, достигших необходимого уровня насыщения у слугами. То есть, это итеративная процедура чувствительная к ошибке выборки. И для двумерного случая равен 0,1389, а для трехмерного - 0,4 [4]. Параметр V, контролирующий характеристическую длину, связан выражением V / 5 с критическим параметром времени 5.
Внутреннее пространство реальных объектов, моделируемых перколя-ционной моделью, в своей структу ре содержат сильно н елинейные каналы распространения (или насыщения) нерегулярной ф ормы с переменной мо щ-ностью. Представляется, что при построении теоретических моделей перко-ляционных структур следует обратить внимание на такие параметры, как: связность, непрерывность, фазовое состояние структуры; размерность и регулярность моделируемой структу ры. Также необходимо учитывать мех а-низмы взаимодействия различных масштабных уровней как в пре делах одной структу рной единицы, так и между соседними единицами одной или различных фаз.
Моделируя сервисную структуру города можно сказать о ней следующее: в о - первых, структура многосвязная, так как сервисных потребностей у э лементов решетки достаточно много, во - вторых, это плотная структу ра, в моделируемой области рассматриваются все структу рные единицы в пр е-делах выделенной фазы. В - третьих, сферу услуг можно представить как заполняющую многофазную систему. В - четвертых, размерность является одной из основных характеристик внутренней структуры любого множества. В связи со сложностью реальных явлений распространения и насыщения сферы услуг города структура обладает мультифрактальностью, т.е. кластеры перколяционной решетки представляют собой совокупность подмножеств, проявляю щих свойства самоаф финности в широком диапазоне ма с-штабов с р азличными показателями; размерности множества объектов, с оставляющих моделируемую структуру, образуют непрерывный спектр, максимальное значение котор ого не превосходит р азмерности основного множества. В -пятых, хар актеризу я регулярность структу ры, важным я вляется понимание «хаоса» и «сложности», моделируя сферу услуг города, следует говорить о локально-регулярной структуре. Локальная регулярность прояв-
ляется в топологии, а хаотичность пр исутствует в предпринимательской деятельности.
Математическое моделирование процесса пер коляции тесно связано со способом реализации слу чайного физического процесса распространения и насыщения услу гами узлов или элементов р ешетки. Но прежде необходимо сделать ряд ремарок. С физической точки зрения процесс распространения различных услуг следу ет понимать как процесс « инвазивной перколяции» , как наиболее общий слу чай, представляющий собой взаимодействие дву х «несмешивающихся» или не замещающих друг друга сфер услуг. Например, образование и жилищно - коммунальное хозяйство. Что в свою очередь, также порождает и мультифрактальность. Одним из существенных упрощений присутствующих в большинстве моделей является её «ненаправленный» характер . В данной модели предлагается также исклю чить направленность или градиентность для первого приближения, потому что требует построения специального направленного перколяционного кластера.
Одной из первых задач, возникаю щих при моделировании перколяц ионного процесса, является задача выделения подмножества узлов, непр е-рывным обр азом связанных с заданным узлом решетки (или с их некоторой совокупностью). По мнению авторов [1], основные проблемы возникают в недоступности части узлов при рассмотрении для данной реализации распределения вероятности доли достижимых узлов. Основная идея алгоритма для решения поставленной задачи состоит в следую щем. С реди возмо жных достижимых у злов формиру ется некоторое начальное множество. Для ка ж-дого из начальных узлов стр оитс я множество соседних (периметр множес т-ва) и те из у злов, которые являю тся достижимыми и не принадлежат к др у-гому множеству, присоединяются к начальному . После чего выполняется построение периметра для нового « начального множества» и процесс повт о-ряется до исчер пания свободных у злов или достижения какой -то заданной точки, допустим - истощения источника.
К более сложным задачам относится задача анализа структуры кластера, которая подразумевает выделение мертвых концов кластера, предста в-ляющих собой подмножества узлов, соединенных с остовом только одной связью. Следую щий э лемент анализа - э то выделение полного пер иметра кластера, реализация этого базируется на его определении. Затем - выделе-
ние внешнего периметра перколяционного кластера, что существенно сложнее и основывается на идее разделения узлов, принадлежащих полному п е-риметру кластера. Для анализа скелета перколяционного кластера необходимо объединение алгоритма повтор ной маркировки [1 ] и некоторых идей метода динамического программирования Р. Беллмана [3]. Применительно к задаче ф ормир ования и анализа сервисного кластера принцип оптимальн ости в рекурсивной постановке гласит: часть кратчайшего пути от любой его точки до начала является кратчайшим путем, заканчивающимся в э той то ч-ке. Использование только ч то изложенного при построении перколяционн ого кластера позволяет выделить структу ру его скелета, если на каждой ит е-рации сохранить: а) расстояние от каждой достижимой точки теку щего п е-риметра кластера до его начала; б) ссылку на предыду щий у зел кластера, для которого данная точка является достижимой.
Анализ предложенной модели позволяет сделать следующие выводы и замечания. Некоторые затруднения вызывает определение кластера. Известно, что масса кластера перколяционной решетки зависит от линейного размер а решетки. Кроме того, размер решетки оказывает влияние и на процесс перколяции (просачивания). Кластера, простирающегося на всю решетку, как правило, не может существовать, э то полностью согласуется с логикой предоставления услу г, например, образовательные у слуги в топологическом плане не покр ывают полностью всю решетку (город), есть э лементы, кот о-рым данный вид услуг неинтересен, либо они сталкиваются с э тими услу г а-ми опосредованно. Анализ источников [4, 5] показал, что кластер обладает ф рактальной структу рой и ф рактальной размерностью, так как все виды у с-лу г в той или иной степени необходимы элементам решетки. И как подче р-кивается, фрактальная размер ность кластера перколяционной р ешетки вел и-чина переменная, что позволяет контролировать в модели достижение по рога насыщения услугами п-ным кластером. Также важно заметить, что, используя алгоритм для анализа структур ы кластер а, на первом э тапе необх о-димым бу дет ф ормировать кластер для каждого вида услу г и описывать их взаимодействие. Рассуждения о ф рактальности с ервисного кластера основ ы-ваются на следующих замечаниях: фрактальная размерность кластера служит количественной мерой заполнения кластером пространства и не опис ы-вает форму кластера; ф рактальные кластеры имею т плотность, уб ываю щую
с у величением расстояния от начала. Сказанное хорошо согласу ется с пр и-родой распространения услу г в рамках города.
Физический процесс распространения услу г моделиру ется с помощью следу ющей процеду ры:
1. О пр еделить геометрию моделируемой области, её характеристики и граничные у словия, ф ормирование регуляр ной перколяционной реше тки у злов, тесно связанной с топологией иссл еду емой области.
2. Выбрать начальное приближение значений пропускной способности у слуг и фор мир ование у злов обеспечивающих пропу скную спосо б-ность услуг.
3. Процесс распространения услуг, которое возможно только по у злам перколяционной решетки, непоср едственно св язанным с источником услуг. Обсуждение источников услуг приводится ниже. По завершении роста перколяционного кластера в пер вом пр иближении фиксируется структура кластера, отражающая модель распространения одного вида или некотор ого набора у слу г.
4. С у четом связности определяется э фф ективное значение проп у-скной способности услуг и дру гие характеристики получе нной структу ры.
Из-за неопределенности выбора начального приближе ния на базе второго и третьего этапа строится итерационный процесс с коррекцией начальных условий.
Различные причины, препятству ющие распространению услу г, позв о-ляют говорить о нелинейном процессе. Математическая ф ормализация э того явления приводит к испол ьзованию нелинейных автономных дифф ер енци-альных уравнений [2]. В нелинейных дифференциальных уравнениях завязываю тся следу ющие переменные: стоимость у слуг, доход потр ебителей, стохастичность пре дпринимательской активности и другие.
В ызывает пр отиворечие ис пользование прямоугольной решетки, которая очевидна для планир овки города, с её относительно невысокой точн остью по сравнению с точностью перколяционной решетки треугольного в ида. Для построения решетки р еальных объектов можно использовать и з-вестные пакеты разбиения, которые применяются в конечно -р азностном анализе.
Особое внимание следу ет обратить на многоаспектность сф еры услу г,
что обуславливает обязательное разделение и раздельное рассмотрение и с-точника распространения каждого вида услуг и потребителей этих услуг. Важная характеристика источника распространения услуг - мощность - моделируется чер ез такие понятия, как р адиу с-вектор центра масс кластера, радиу с циркуляции, которые э квивалентны таким показателям деятельности предприятий сферы услу г как: производственная мощность, пропускная
способность, среднее число клиентов и так далее. Так как потр ебителям н е-обходим весь спектр основных предоставляемых у слу г, то приходится гов о-рить о некотором пр еделе или пороге насыщения, который связан с плат е-жеспособностью потребителей, с той долей дохода, которая тратится на у слуги. То есть здесь мы сталкиваемся со сложной структурой с более чем одним показателем скейлинга. Кроме того, структура перколяционного кластера хар актеризуется спектром показателей , однозначно определяю щих положение элемента, принадлежащего некоторому множеству: топологическая размерность, размерность Хаусдорфа - Безиковича, которая нецелочисленная и строго больше топологической размерности; размерность Мин-ковского, с близкими свойствами к размерности Хаусдорфа - Безиковича, инф ормационная р азмерность и т. д.
Для характеристики му льтиф рактала города можно использовать два подхода: геометрический подход - для характеристик структу р гор ода: микрорайоны, транспортная сеть, а теория и нф ормации позволяет характеризовать различные потоки и просачивания.
Таким обр азом, можно сделать следу ющие выводы:
- пер коляционная теория и фр актальный анализ может и спользоваться для адекватного описания и прогнозирования ра спространения сф ер ы у слу г города;
- методология расчета р азмерности указанных мультифракталов п о-зволит оценивать степень самоорганизации сложных систем, тенденции ра з-вития и правильно дозир овать у пр авляющие возде йствия в виде инвестиций и законодательных актов;
- модель позволит эф фективно трансформ ировать госу дар ственные и муниципальные программы развития применительно к отдельным отраслям у слуг с учетом привлечения бизнеса.
С писок использованных источников:
1. Москалев П.В., Шитов В.В. Математическое моделирование пористых структур. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 120 с.
2. Милованов В.П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 264 с.
3. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учебное пособие. Изд. 4 - е, испр. - М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 152 с.
4. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 254 с.
5. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с.
