Особенности моделирования гидродинамики рабочего процесса шестеренного насоса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ШЕСТЕРЕННОГО НАСОСА

© 2017 Л.В. Родионов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва

Статья поступила в редакцию 18.04.2017

В статье рассматривается моделирование рабочего процесса шестеренного насоса, позволяющее определять распределение полей скорости течения внутри насоса. Моделирование выполнялось с использованием программного обеспечения Solid Works, кода ANSYS CFX, оболочки Ansys Workbench, метода Эйлера-Лагранжа и модели турбулентности Ментера Shear Stress Transport. Ключевые слова: шестеренный насос, моделирование, изменение скоростей течения на входе и выходе насоса.

Результаты работы были получены с использованием средств гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых

(номер гранта МК-1098.2017.8).

Для моделирования рабочих процессов в шестеренных насосах существует три основных метода:

- метод Лагранжа [1], при котором по известному положению каждой выделенной движущейся частицы отслеживается ее положение в последующие моменты времени. Скорость движения сетки должна совпадать со скоростью потока жидкости. При этом конвективный член уравнения неразрывности обращается в ноль;

- метод Эйлера [2], где расчетная сеточная область неподвижна и отслеживается изменение во времени параметров движения частиц. Здесь рассматриваются не отдельные частицы среды, а отдельные точки пространства, через которые проходит множество частиц.

- метод Эйлера-Лагранжа является компромиссным вариантом первых двух методов [3]. В нем сетка является динамической, но движется отдельно от потока жидкости.

Отметим, что только третий метод корректно учитывает контакт шестерен. В то время как первые два метода применимы при наличии зазора в зацеплении шестерен, через который существуют утечки.

В работе W. Strasser [4] данный метод был использован для решения задачи смешения жидкостей. Автор этой статьи деформировал ячейки расчетной области и перестраивал ее на каждом временном шаге. Это потребовало значительных вычислительных ресурсов, но позволило уйти от необходимости использования строго структурированных сеток.

Родионов Леонид Валериевич, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматических систем энергетических установок. E-mail: rodionov@ssau.ru

О. Но^еаих и Я. СоШпа [5] использовали абсолютно иной подход к решению задачи описания течения жидкости в шестеренных насосах. Они использовали периодичность работы насоса, для чего построили 10 сеточных моделей расчетной области, соответствующих 10 различным положениям шестерен. Решение было выполнено за счет интерполяции результатов, полученных на предыдущих шагах, на каждый последующий временной шаг. Но при этом контакт между зубьями шестерен не учитывался и в модели всегда существовал зазор, что приводит к снижению точности расчета.

Разработанная в настоящей работе гидродинамическая модель основана на методе, схожем с представленном в работе [5]. В отличие от указанной работы данная модель сфокусирована на описании течения в запертом непроточном объеме.

Принятые допущения при разработке модели рабочих процессов:

- рабочая жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость;

- жидкость несжимаема;

- в первоначальный момент времени вращение шестерен отсутствует;

- силой тяжести можно пренебречь, как и силами, действующими на конструктивные элементы насоса.

Движение жидкости внутри насоса было описано с помощью уравнений Навье-Стокса.

Уравнение сохранения количества движения для каждой фазы смеси:

д(ГаРа) , д(ГаРаи')

+

= S„.

(1)

dt dx'

Уравнение сохранения количества движения:

d(PmU') +дФУи')

dt

dx'

dP д(Т) ' _

э7+PJ"g ' (2)

где га, и1, ра, £а - соответственно объёмная доля фазы а, компоненты скорости в декартовой системе координат, плотность компонента и источниковый член фазы а ; £ - ускорение свободного падения; р и ^т - плотность и динамическая вязкость смеси соответственно; т - тензор напряжений, соответствующий сдвиговым деформациям слоя жидкости, который из закона Стокса в данном случае примет вид:

ди' duJ + -

(3)

чдх] дх' J

Тензор напряжений определяет потери на трение, возникающие вследствие вязкости жидкости.

Предполагается, что источник массы £>а возникает из межфазного переноса и таким образом удовлетворяет условию:

I Sla = 0 ■

(4)

а=1

Также накладывается условие, что фазы смеси заполняют весь рассматриваемый объём смеси:

N

I Га = 1 . (5)

а=1

Уравнение полной энергии системы:

^ +V(,-U-KJ = dt dt

(6)

= У(( УТ) + У(и ■ х) + и ■ Бм + ,

где Иш - полная энтальпия:

° 1 2

К* = ь+2 и , (7)

где Ь = /(Т,р) - статическая энтальпия; X -теплопроводность; Т- температура; - поток энергии.

Компонент V (и ■ х) в уравнении (6) выражает работу под действием внешних сил - работу сил вязкости, и отражает внутренний нагрев из-за наличия вязкости. Компонент и ■ 8М выражает работу под действие внешнего источника количества движения.

Начальное условие задается выражением:

при Ь ^ 0, V = 0, где V - скорость потока. Граничные условия:

- на неподвижных стенках элементов конструкции - V = 0;

- на подвижных стенках шестерен - V = Уш , где Vш - скорость вращения на периферийных диаметрах шестерен;

- на входной границе насоса - Р = Рвх;

- на выходной границе насоса - Р = Рвых. Граничные условия для температуры:

- на входе в насос, Т=Твх;

- на выходе из насоса, Т=Твых;

- на поверхностях шестерен изменение температуры равно нулю.

Поток жидкости является турбулентным. Поэтому, движение жидкости и параметры переноса описываются не только тремя уравнениями сохранения, но еще и двумя дополнительными уравнениями для кинетической энергии турбулентных пульсаций и для описания диссипации кинетической энергии.

При этом производилось сравнение различных моделей турбулентности: k — s , k — со и модели Ментера Shear Stress Transport (SST) [6]. Исходя из результатов этого сравнения, в качестве основной была выбрана SST модель, использующая автоматическую функцию стенки. Данная модель базируется на двух уравнениях: уравнениях для кинетической энергии турбулентности к и её частоты с . При этом в пристеночной области течения используется к — с модель турбулентности, во внешнем потоке используется к — s модель. Здесь S - это диссипация кинетической энергии. Уравнение для определения кинетической энергии турбулентности и её частоты имеют вид: dk

= V- ((v + akvT)Vk)+Pk -fi*wk; (8)

dt

iW = V- ((v + aavT)Vw) + YPk -d Vt (9)

- pco2 + (1 - Fl) ( Vk) - ( Vw), a

k

где VT =— - турбулентная вязкость; Pk - член, с

отвечающий за генерацию вихрей; F1 - функция, при помощи которой происходит переключение между k — с и k — s моделями.

Константы, входящие в уравнения (8) и (9), приведены в табл. 1.

Моделируемый поток является нестационарным, вязким, турбулентным, и многофазным. В этом случае рабочая жидкость представляет собой смесь основной компоненты рабочей жидкости (масло) и паров воздуха, растворенных в нем.

Наиболее распространённым подходом для учёта неравновесных явлений (кавитации) является введение в уравнения переноса источнико-вых слагаемых, регулирующих межфазный мас-сообмен. Большинство этих моделей базируются на уравнении Релея-Плессета [7], которое описывает рост и схлопывание одиночного пузырька в ближнем поле распределения давления.

В предлагаемой модели используется модель кавитации, представленная в работе [8] также, основанная на уравнении Релея-Плессета. Уравнение Релея-Плессета описывает динамику парового пузырька в жидкости и имеет вид:

Таблица 1. Модельные коэффициенты для ББТ модели турбулентности

Параметр Значение Параметр Значение

/Г 0,09 Я 0,09

Л 0,055 Рг 0,0928

а1 0,25 Г Р Оо)к 2 р* 4Р*

0,85 а к 2 1,0

0,5 0,81

Яв

л2 Я

Л2

ж

+ -

2а Р-Р

Яв

(10)

1В Рт

где ЯБ - радиус газового пузырька. Примем начальный радиус пузырька равным #в=10-6 м; ст -коэффициент поверхностного натяжения между основной компонентой и её парами; Ру - давление внутри газового пузырька. При этом считается, что оно равно давлению насыщенного пара РП.

При моделировании кавитационных процессов зачастую пренебрегают выражениями второго порядка и коэффициентом поверхностного натяжения в уравнении (10). При этом оно редуцируется до вида:

& \

2 Р-Р

Рп

(11)

Величина изменения массы одиночного пузырька вычисляется из выражения:

ёшв

■4яЯВру

2 Р„-Р

Ру

(12)

Если в единице объёма несколько пузырьков ЫБ, объёмная доля пара будет выражаться через уравнение:

ъ = Увмв = -П Мв, (13)

тогда, величина полного переноса массы между фазами вследствие кавитации, приходящаяся на единицу объёма имеет вид:

^=

к

к,

Ъгмиа(1 - гу) Ру

яв

2 Р -Р

--у—, если Р < Ру

3 Рк

Ъгу Ру

яв ^ ^ Рк

2 Р -Р

--у—.если Р > Ру

3 у

(14)

где Р - эмпирический настроечный коэффициент, который в случае описания процессов парообразования равен руар=47, а в случае описания процессов конденсации - Рсо^=0,088; Г

ыис

объёмная доля центра парообразования, равная

гыис = 5 • 10 -4.

Данная модель хорошо работает как для описания конденсации пара, так и для про-

цессов парообразования. Однако в ней есть существенное допущение, базирующееся на предположении о том, что кавитационные пузырьки не контактируют друг с другом. Данное предположение физично только на ранней стадии кавитации. С ростом объёмной доли пара, плотность центра парообразования должна соответственно падать.

Описанные выше уравнения и их назначения представлены на рис. 1. В совокупности они и образуют гидродинамическую модель шестеренного насоса.

Задача рассматривалась в трехмерной постановке, т.к. питающий и напорный трубопроводы соосны осям вращения шестерен, что приводит к дополнительной закрутке как на входе в насосе, так и на его выходе. Составленные уравнения решались с помощью коммерческого кода ЛЫБУБ СРХ [9]. Последовательность решения задачи приведена на рис. 2.

Для решения задачи было построено 18 сеточных моделей, каждая последующая получалась путем поворота предыдущей модели на 1 градус. Начало системы координат при построении геометрической модели расчетной области совпадало с серединой отрезка, соединяющего центры шестерен.

Расчетная область представлена на рис. 3. Исследовалась лишь область канала, напрямую соединяющего вход и выход насоса.

Для наглядности и удобства решения использовалась оболочка AnsysWorkbench, позволяющая связывать несколько проектов в общий.

На рис. 4 представлена созданная сеточная модель, состоящая из 2 млн. ячеек. Ячейки имеют форму треугольных призм. Для разрешения пограничного слоя использовались призматические элементы, построенные вдоль твердых стенок шестерен.

Для разрешения пограничного слоя на границе твёрдого и жидкого тел, были построены пристеночные слои (в случае неструктурированных сеток для этого использовались призматическая сетка). Расчёт толщины первой ячейки проводился в следующей последовательности:

- определение числа Рейнольдса:

Рис. 1. Графоаналитическое представление гидродинамической модели

SolidWorks

Геометрические модели расчетных областей

Ansys Workbench

• Построение сеточных моделей

• Задание граничных условий

• Задание начальных условий решения

• Задание параметров решения

• Решение системы уравнений

• Анализ решения

Рис. 2. Процесс создания математической модели исследования запертого объема

Рис. 3. Внешний вид расчетной области

Рис. 4. Сеточная модель

Яе =

р ■ и ■ Б

ц

(15)

С, =

0,078

7 Яв1 /4 '

(16)

иt=.

р

(18)

где Б - характерный размер сечения в различных сечениях проточной части насоса.

- определение коэффициента внутреннего трения в пограничном слое:

- исходя из необходимого значения у+ из вы ражения

У+р*.

Ур =

Uт

(19)

- определение касательного напряжения на стенках:

= | С, р ■и2 ; (17)

- определение скорости, касательной к стенке:

- определяется толщина первого слоя ур. В действительности всегда присутствует контакт между шестернями, но при проведении численного моделирования они всегда разъединены на величину наименьшего в модели элемента.

Дискретизация описанных уравнений проводилась за счет применения метода конечных объемов.

w

Для каждой физической величины в каждом дискретном объеме решается балансовое уравнение для каждой переменной:

d dt

— I p(bdV +

hi Р( - vg )-"dS =

dV

= \тфЧф-р{у - vg)ndS +\^dV, (20)

dV

где - прирост площади поверхности г во время Д1.

Результаты расчета представлены в виде профилей скорости (рис. 5).

Разработанный метод позволяет определить колебания массового расхода на входе и выходе шестеренного насоса. Эти колебания могут быть использованы в механической и акустической моделях для расчета механи-

Рис. 5. Поле скоростей в среднем сечении рабочей камеры насоса

где V - объем ячейки; йУ - граница ячейки; плотность жидкости; V - скорость жидкости; V - скорость сетки в пределах границы йУ; Тф - коэффициент диффузии параметра; Стф -источниковый член.

После пространственной дискретизации приведенное выше уравнение примет вид:

а ^ 3

:i ( ^о )+Z Pf ( - ^ ^ =

dt]

(21)

i=1

При этом соответствующие дифференциалы находятся из выражений:

± ( ф 8 )= ^ у -(рсА^ у .(22)

Отметим, что при использовании динамических сеток, описанный метод нахождения изменения параметров является единственно возможным. При этом:

^с Г = ^Со +1 ; (23)

I=1

ческих нагрузок и излучаемого шума и тем самым решать задачи по совершенствованию конструкций насосов внешнего зацепления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 2004.

3. Arbitrary Lagrangian - Eulerianmethods. In: Estein E, Borst RD, Hugues TJR, editors. Encyclopedia of computational mechanics /J. Donea, A. Huerta, J-P. Ponthot, A. Rodriguez-Ferran. Wiley. 2004. Vol. 1.

4. Strasser, W. CFD Investigation of gear pump mixing using deforming/Agglomerating mesh // J FluidsEng. - 2007. Vol. 129(4). Pp. 476-84.

5. Houzeaux G., R. Codina A finite element method for the solution of rotary pumps // ComputFluids. 2007. Vol. 36. Pp. 667-679.

6. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA Journal. Vol. 32. No. 8 (1994). Pp. 1598-1605.

7. Plesset M.S. The Dynamic sofcavitation bubbles / /J. Appl. Mechanics. 1949. Pp. 277-282.

8. Multi-phase CFD Analysis of Natural and Ventilated Cavitation about Submerged Bodies / R.F Kunz, D.A

Boger, T.S. Chyczewski, D.R. Stinebring, H.J. Gibeling 9. Versteeg H.K., Malalasekera W. An Introduction to // Proc. 3rd ASME/JSME Joint Fluid Engineering Computational Fluid Dynamics // The Finite Volume

Conference, 1999. Paper FEDSM99-7364. Method. Longman, 1995.

THE MODELING OF THE EXTERNAL GEAR PUMP HYDRODYNAMICS

© 2017 L.V. Rodionov

Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov

The article devoted to the simulation of the gear pump working process, which allows to determine the distribution of flow velocity fields inside the pump. The simulation was performed using the Solid Works software, the ANSYS CFX code, the Ansys Workbench shell, the Euler-Lagrange method, and the Menter Shear Stress Transport turbulence model.

Keywords: gear pump, simulation, change in flow velocities at the inlet and outlet of the pump.

Leonid Rodionov, Candidate of Technics, Associate Professor at the Power Plant Automatic Systems Department. E-mail: rodionov@ssau.ru