Особенности моделирования физических систем на основе подхода MvStudium Текст научной статьи по специальности «Математика»

ситет, но разве материальные условия преподавателя сравнимы с материальными условиями сотрудника нашей корпорации?..". Найти спонсоров в нашей стране, на "наших" предприятиях INTEL, MOTOROLLA, SUN успеха не имели. Правда, нижегородское отделение фирмы INTEL выделило нам однажды деньги на организацию специальной секции "Использование компьютерных технологий в образовании". Спасибо, INTEL!

Тезис четвертый. Пропагандировать компьютерное моделирование нужно прежде всего среди студентов.

Интерес к моделированию, особенно к проектированию на базе моделирования, растёт во всём мире. Фактически только сейчас созрели условия для действительно широкого применения моделирования на производстве. Однако на предприятиях как среди руководителей, так и

среди исполнителей ещё господствует мнение, что проектировать можно по старинке, не прибегая к моделированию. Сегодняшние студенты уже подготовлены к использованию компьютерных технологий, они их не боятся в отличие от современных инженеров, и надо любыми средствами помогать им. На нашей конференции мы организовали специальную секцию для студентов и аспирантов "Компьютерное моделирование" и конкурс студенческих работ. На мой взгляд, это самая интересная секция нашей конференции.

Вместо заключения. Благодарю редакцию журнала НТВ за интерес к нашей конференции и предоставленную возможность опубликовать несколько докладов последней юбилейной конференции. Для публикации были отобраны доклады как "взрослые", так и "детские", студенческие.

УДК 519.7

Ю.Б. Колесов

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОДХОДА МУ$ТийШМ

Компонентное моделирование физических систем обладает рядом особенностей, обусловленных наличием в них ненаправленных связей [1]. Основная проблема моделирования с ненаправленными связями заключается в невозможности покомпонентного анализа систем уравнений. Поэтому анализ и преобразование к вычислимой форме можно проводить только для совокупной системы уравнений всей модели в целом. Подход MvStudium к описанию непрерывной составляющей поведения физических систем практически совпадает с подходом языка Modélica [2]. Однако для описания гибридных систем в MvStudium используется расширение диаграммы состояний UML — карта поведения, которая позволяет описывать дискретные составляющие поведения более удобным и стандартным способом. Используемые элементы языка UML и отличия карты пове-

дения от диаграммы состояний подробно рассмотрены в [3]. Отметим, что использование карт поведения в моделях физических систем приводит к необходимости проведения анализа и преобразования уравнений на стадии выполнения модели (Runtime-анализ), в то время как подход Modélica предполагает выполнение этих действий на этапе компиляции. Задача Runtime-анализа была успешно решена, что позволило, например, использовать систему моделирования MvStudium 6 для разработки моделей физических систем, работающих в режиме реального времени в тренажерах.

Рассмотрим подход MvStudium на примере моделей нескольких характерных физических систем — механических и электрических. Эти примеры намеренно взяты из описания языка Modélica, чтобы показать сходство и различие подходов.

Модель системы управления вентилятором

Вентилятор в нашей модели представляет совокупность пропеллера Р, электродвигателя постоянного тока Mи блока управления С (рис. 1).

Управляющее воздействие U и сигнал датчика угловой скорости ю можно с уверенностью считать направленными внешними переменными — входом и выходом соответственно. Если блок управления имеет резерв мощности, то управляющее напряжение V также можно считать направленным от блока управления к электромотору и полагать, что электродвигатель не влияет на блок управления. Но вот соединение электродвигателя и вентилятора через жесткий вал никак нельзя описать с помощью направленных связей: пропеллер влияет на электродвигатель, а электродвигатель влияет на пропеллер. Поэтому будем полагать, что электродвигатель и пропеллер имеют внешние переменные F типа Flange (фланец) со стереотипом "коннектор" с компонентами Phi и Т, которые имеют стереотипы "контакт" и "поток" соответственно. type Flange is -- фланец connector contact Phi: Angle; flow Т: Torque; end connector;

В этом определении типа и далее в модели мы будем использовать так называемые "разли-

Рис. 1. Компоненты вентилятора

чимые" типы, которые получаются из базового типа просто переименованием, отражающим прикладной смысл (система MvStudium не обрабатывает указания единиц измерения). type Angle is double; -- угол (рад) type Torque is double; -- момент (н*м) type Voltage is double; -- напряжение (в) type Current is double; -- ток (а) type AngularVelocity is double; -- угловая скорость (рад/с)

Тогда составной объект класса "CFan" будет иметь структуру, показанную на рис. 2. Блок управления С реализован просто как стандартный идеальный усилитель (экземпляр класса SysLib.CGain), электродвигатель M является экземпляром декларированного в проекте класса DCMotor, а пропеллер Р - экземпляром декларированного в проекте класса Propeller.

Поведение электродвигателя задается системой уравнений

9 MvStudium 6.0 - [G:\MVS_S0urce_6\Test56\FanCS\FanCS.mvb] - [Класс ■ [CFan]] |_ ЮЦХ!

Рис. 2. Структура класса CFan

Рис. 3. Модель системы управления вентилятором

Jm

d 2F.Phi

dt2

= kl ■ Ia + F.T;

La ddIa = V - k 2 dF Phi - Ra ■ Ia. dt dt

А поведение вентилятора - системой уравнений

Jp

d2F.Phi

dt2

= F.T - kp

dF.Phi;

dt

Omega =

dF.Phi

dt

Модель системы управления вентилятором представлена на рис. 3. Она включает в себя объект управления Fan — экземпляр класса CFan, простейший пропорциональный регулятор CU - экземпляр класса PRegulator и генератор синусоидального тестового сигнала Gen — экземпляр стандартного класса SysLib. CSineGenerator.

Запустив визуальную модель, откроем окно текущей совокупной системы уравнений и посмотрим, какую систему уравнений автоматически построил анализатор для этой модели (рис. 4).

¡¡¡¡¿Текущая совокупная система уравнений [_ ||ГН||Х|

N Объект Уравнение ^ск.перем.

Дифференциальные уравнения

1 Fan.M T" - '-О Fan.M.F.Phi

2 Fan.M - F.PКГ; at Fan.Omega

Э Fan.M día т ,

Формулы

4 Gen ¥ = Amplitude- s¡n[ 21 pi- pg^pj +In[tiaiPha5eJ; Gen .V

5 CU e = Xp-X; CU.e

6 CU U = KB - e; CU.U

7 Fan Fan.M.F.T = -Fan.P.F.T; Fan.M.F.T Fan.C.Y

3 Fan.С Y = К- X;

Алгебраические уравнения

9 Fan.M Ira- F.Phi" = kl- Ia+F.T; Fan.M.F.Phi"

10 Fan.M La- la' = V-k2- F.Phi'-Ra- la; Fan.M.Iar

11 Fan.P Jp- F.Phi" = F.T-kp- F.Phj'f Fan.P. F.T

Эквивалентные переменные

12 CU.U = Fan.U = Fan.C.X

13 Fan.Omega = CU.X = Fan.P.Omega = Fan.M.F.Phi' = Fan.P.F.Phi'

14 Fan.M.F.Phi" = Fan.P.F.Phi"

15 Gen.Y = ClT.Xp

1Í Fan.C.Y - Fan.M.V

17 Fan.M.F.Phi = Fan.P.F.Phi

Рис. 4. Совокупная система уравнений модели

Пакет стандартных компонентов для моделей электрических схем

Создадим пакет "Electricity", в котором определим стандартные компоненты для моделирования простейших электрических цепей: источник переменного напряжения, резистор, "земля", конденсатор, индуктивность, диод. Определим тип Current для токов, тип Voltage для напряжений и тип Pin для 'ножек" электрических компонентов:

type Voltage is double; -- напряжение (в) type Current is double; -- ток (а) type Pin is — "ножка" элемента connector contact V: Voltage; flow I: Current; end connector;

Все перечисленные элементы кроме "земли" — двухполюсники. Введем абстрактный класс ОпеРоП, который используем затем как родительский для остальных классов. Абстрактный класс не может иметь экземпляров. Определим две внешние переменные — положительную и отрицательную "ножки" "р" и "п", а также две внутренние переменные — ток через элемент I и падение напряжения на элементе V (рис. 5).

Уравнения в этом классе соответствуют уравнениям двухполюсника: V = р^-п^ I = р.1 п.1+р.1 = 0

Класс Резистор является производным от класса ОпеРоП и наследует его переменные, структуру и уравнения (рис. 6). Для задания собственного поведения резистора вводится

MvStudium 6.0 - [E:\MoflenM\Electricity\ElecMcity.mvb] - [Класс [OnePort]] -"Ю

-1 Проект Редактировать Сервис Вид Модель Окна Помощь -Ifflxl

г BLM..n^ A ¿ â & Ш Ы là l> 00 i ffl

M

в- _

Inductor

■ I Mods!

■ -J OnePort -■■> Resistor

VsourceAC Типы

■ 1 type Current ii ■■:! ' type Pin is con ■■:! ' type Voltage is Константы проек

роек ~

Л]

■ id OnePort •Параметры Él О Внешние переменные

□ n: Pin := {V=>üjl=;

□ р: Pin := -ÍV=>0jI=; □ • ® Внутренние переменнь

® I: Current := 0; — Тс ® V: Voltage := Gj — П H Константы ГЗ Функции и процедуры [=) Комментарий

Lj_i 2Í

Д. É fe -ti ¿¡Sl^^^fe.

Уравнения Интерфейс

Рис. 5. Интерфейс абстрактного класса OnePort

Рис. 6. Производный класс Resistor

параметр R (величина омического сопротивления) и дополнительное уравнение — закон Ома (рис. 6).

Обращаем внимание, что в данном случае уравнения доопределены, а не переопределены, и в случае изменения уравнений в классе OnePort изменятся и унаследованные уравнения в производном классе. Аналогичным образом определяются производные классы Capacitor и Inductor. Для конденсатора вводится параметр С - ёмкость конденсатора и доопределяется уравне-

ние конденсатора (рис. 7). Для индуктивности соответственно вводится параметр L - величина индуктивности и доопределяется уравнение индуктивности (рис. 8).

Наиболее интересным потомком класса One-Port видится идеальный диод — производный класс IdealDiod. Идеальный диод пропускает ток только в одном направлении — от положительной "ножки" к отрицательной. Поэтому класс IdealDiod должен быть гибридным с двумя состояниями, соответствующими открытому и закрытому диоду (рис. 9).

Рис. 7. Производный класс Capacitor

Рис. 8. Производный класс Inductor

Рис. 9. Карта поведения идеального диода

Рис. 10. Локальный непрерывный класс УравнОткрДиода

0! Му51:ис1шт 6.0 - [Е:\Модели\Е1ес1мс№у\Е1ес1:мс№у.туЬ] - [Локал

на) Проект Редактировать Сервис Вид Модель Окна Помощь ¡? Л

-;□;- йув^ ш [> оо ¡а

л

Е

Классь + Са[ + СлГО

□ -Н Ие ©

©

ЙИ Мо<

14

УравнЗакрДиода

& Параметры @ Переменные □ Константы Ц Функции и процедуры Щ) Комментарий

В ф Система уравнений

♦ У = р.У-п.У;

♦ Ж

♦ п.1+р.1 = 0; 1 = 0;

Искомые переменные

Искомые переменные мог

В

J

±1

Ура&г:^: 1ия

м

Рис. 11. Локальный непрерывный класс УравнЗакрДиода

Однако родительский класс (суперкласс) OnePort является непрерывным. Класс IdealDiod наследует интерфейс и переменные родительского класса и переопределяет стереотип класса на "гибридный". Уравнения родительского класса автоматически наследуются непрерывными локальными классами УравнОткрДиода (рис. 10) и УравнЗакрДиода (рис. 11).

Наконец, класс Ground задаёт объект с одной внешней переменной типа Pin, в которой напряжение постоянно равно нулю: p.V = 0

Модель простой электрической цепи

Воспользуемся созданными компонентами для создания модели электрической цепи переменного тока. Выберем тип проекта "блок-схема" и импортируем пакет Electricity. Далее из компонентов этого пакета соберем структурную схему, показанную на рис. 12. Связи между коннекторами изображаются жирной линией. Отметим, что заземление должно присутствовать обязательно, в противном случае совокупная система уравнений будет иметь бесконечно много решений.

Запустим визуальную модель. Анализатор уравнений по уравнениям компонентов и уравнениям связей сформирует совокупную систему уравнений и приведет ее к виду, пригодному для численного решения. В данном случае модель чисто непрерывная, и потому совокупная система уравнений в ходе вычислительного эксперимента изменяться не будет. Рассмотрим полученную систему уравнений подробнее (в таком виде она сохраняется в файл):

**** Дифференциальные уравнения ****

1 L1 d(I)/dt = I'; L1.p.I

2 C1 d(V)/dt = V'; C1.V **** Алгебраические уравнения ****

3 AC V= p.V-n.V; AC.n.V

4 R2 V = p.V-n.V; R2.p.V

5 C1 V = p.V-n.V; C1.p.V

6 R1 R*I = V; R1.I

7 L1 L*I' = V; L1.I'

8 R2 R*I = V; R2.V

9 C1 C*V' = I; C1.V' **** Формулы ****

10 R1 n.I = -p.I; R1.n.I

11 L1 n.I = -p.I; L1.n.I

Рис. 12. Модель простой электрической цепи

12 model Cl.p.I = -R1.n.I-L1.p.I; Cl.p.I

13 model R2.p.I = -Ll.n.I; R2.p.I

14 model AC.n.I = -R1.p.I; AC.n.I

15 R2 n.I = -p.I; R2.n.I

16 C1 n.I = -p.I; C1.n.I

17 AC p.I = -n.I; AC.p.I

18 model G.p.I = -AC.p.I-C1.n.I-R2.n.I; G.p.I

19 L1 V = p.V-n.V; L1.V

20 R1 V = p.V-n.V; R1.V

21 AC V = VA*sin(2*pi*F*time); AC.V

**** Эквивалентные переменные ****

22 AC.n.V = R1.p.V

23 R1.n.V = L1.p.V = C1.p.V

24 L1.n.V = R2.p.V

25 AC.p.V = G.p.V = C1.n.V = R2.n.V

26 AC.p.I = AC.I

27 R1.p.I = R1.I

28 L1.p.I = L1.I

29 R2.p.I = R2.I

30 C1.p.I = C1.I **** Константы ****

31 Gp.V = 0; G.p.V

В левом столбце таблицы указан контекст уравнения (объект, которому оно принадлежит), в среднем — само уравнение, в правом — искомая переменная. В контексте объекта "model" находятся уравнения связей. Система уравнений оптимизирована: равенства константам вынесены из системы, уравнения контактов заменены эквивалентностью переменных, уравнения потоков разрешены символьно относительно искомой переменной.

Модель выпрямителя

Аналогичным образом соберём схему выпрямителя (рис. 13).

Эта модель является гибридной, и совокупная система уравнений будет формироваться заново всякий раз при изменении состояния в карте поведения диода (рис. 14).

Рассмотрим второй вариант этой модели. Выделим собственно выпрямитель в отдельный компонент-четырехполюсник (рис. 15). Тогда всю электрическую цепь можно будет представить как совокупность источника переменного напряжения, выпрямителя и нагрузки (рис. 16).

Рис. 13. Схема выпрямителя

Рис. 14. Вычислительный эксперимент с моделью выпрямителя

Рис. 15. Выпрямитель как отдельный компонент

Рис. 16. Компонентная схема источник - выпрямитель - нагрузка

В системе моделирования MvStudium 6 впервые практически реализован подход к компонентному моделированию физических систем, сочетающий сильные стороны языков Modélica и UML. Найдены технические решения, позволяющие выполнять Runtime-анализ совокупных

систем уравнений (до нескольких тысяч уравнений) достаточно быстро, чтобы обеспечить работу моделей в реальном времени. Были созданы компонентные модели промышленных электрических, механических и гидравлических систем.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. СПб.: БХВ. 2006. 224 с.

2. Modelica® - A Unified Object-Oriented Language for Physical Systems Modeling. Language Specification. Version 3.0. (www.modelica.org).

3. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Объектно-ориентированный подход. СПб.: БХВ. 2006. 192 с.

УДК 621.01-52+621.865.8

В.Г. Хомченко, Е.С. Гебель, Е.В. Солонин

оптимизационным синтез рычажного МЕХАНИЗМА IV класса с выстоем

Общее при проектировании машин и механизмов заключается в том, что для заданной математической модели требуется подобрать значения варьируемых параметров, обеспечивающие получение экстремальных величин одного или нескольких критериев качества. Таким образом, приходится иметь дело с задачами многопараметрической и многокритериальной оптимизации.

Среди численных методов поиска оптимальных решений не существует универсального. Поэтому наиболее привлекательными становятся методы исследования, которые при наличии адекватной математической модели требуют минимума априорной информации о решаемой задаче, более того, позволяют по ходу решения получать такую информацию легко и просто. К таковым относится метод Монте-Карло и его модификации [1]. В основе использования метода Монте-Карло и его модификаций лежат принципы случайного поиска решения задачи, что и делает такой подход универсальным. Но платой за универсальность является определенная "слепота", и это приводит к громадным объемам вычислений даже для современных вычислительных машин, тем более что имеет место рост размерности решаемых задач (растет число фазовых координат и число конструктивных (оптимизируемых) параметров, число критериев качества, характеризующих систему).

В значительной степени эту потребность реализует метод ЛП-поиска [2], который был применен для решения задачи оптимального проектирования рычажных механизмов IV класса с приближенным выстоем выходного звена по заданной циклограмме, используемых в различных отраслях промышленности.

Механизмы IV класса благодаря своим кинематическим особенностям обладают большими потенциальными возможностями обеспечения повышенной точности выстоя выходного звена по сравнению, например, с восьмизвенными механизмами II класса с таким же числом звеньев.

Рассматриваемый механизм (см. рисунок) проектируется при условии обеспечения на интервале выстоя наилучшего равномерного приближения функции положения выходного звена механизма к заданной функции положения рабочего органа.

Важное условие синтеза плоского рычажного механизма IV класса с выстоем по заданной циклограмме - требуемая точность выстоя выходного звена [3]. В качестве параметра, характеризующего кинематическую погрешность выстоя и точностные свойства многозвенного шарнирного механизма в целом, чаще используют угол малого размаха выходного звена механизма на интервале выстоя у1. Однако этот критерий не отражает в полной мере точностных свойств рычажных механизмов, поскольку его значение можно уменьшать простым увеличением линейного параметра. Математически строгий и универсальный критерий - относительное перемещение характерной точки выходного звена за интервал выстоя

1 = >/2 • с

(1)

Кинематическая схема шарнирного механизма IV класса

В качестве свободных параметров рассматриваются одиннадцать параметров, назначенных на этапе кинематического синтеза механизма IV