Особенности метода инверсии для численного решения внешних краевых задач, связанных с электрическими полями в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.316.98: 22.193

А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова, Т.А. Потапенко

ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ИНВЕРСИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНЕШНИх КРАЕВых ЗАДАЧ,

связанных с электрическими полями в атмосфере

При математических методах исследования от стержня Франклина до различного типа элементов систем молниезащит определяются электрические поля (ЭП) с учетом условий грозовой активности в атмосфере.

Исследуемые задачи относятся к классу внешних краевых задач. Несмотря на разнообразие способов решения этих задач при численных методах моделирования бесконечной области используются два основных подхода: во-первых, введение области расчета достаточно больших размеров с возможностью некоторого исключения влияния краевых эффектов на результаты расчетов; во-вторых, искусственное ограничение расчетной области путем введения в постановку задачи экранов и других приемов на основе применения граничного условия типа ду/дп = 0. При этом общим недостатком является снижение точности (например, при введении экранов) и эффективности численных расчетов (например, при задании расчетной области достаточно больших размеров).

Применительно для расчета ЭП в задачах, связанных с исследованиями молниеприемни-ков стержневого типа систем молниезащит, используются методы конечных элементов (МКЭ) [1, 2], конечных разностей (МКР) [3, 4] и др. Среди развиваемых методов решения подобных задач необходимо отметить метод инверсии для полубезграничных сред (МИПБС) [4, 5], принятый за основу для численных расчетов в данной работе. При этом следует отметить, что МКР, в отличие от МКЭ, позволяет увеличить точность расчетов напряженности поля для различных типов угловых зон или стержней исследуемых объектов [5] с учетом применения алгоритма Брезенхэма.

Исследование [4] распределенной системы типа «плоскость-проводник» позволило выявить особенности краевого эффекта для заземленного стержня относительно облака, причем исследован идеальный вариант, в котором облако представлено в виде некоторого круга. Это связано

с тем, что за основу для схемы моделирования данной работы с применением МИПБС приняты соотношения размеров как в [3] с возможностью сравнительного анализа полученных результатов и с учетом того, что основные подходы работы известны специалистам [6].

В рамках статьи исследуются особенности модифицированного метода инверсии на примере определения электрического поля относительно заземленного стержневого молниеприемника и с учетом облака и его граничной поверхности.

Постановка задачи. Для исследования особенностей МИПБС относительно к распределенной системе типа «плоскость-проводник» применяется по аналогии с [4] схема моделирования, показанная на рис. 1. Схема включает стержень Г4 на плоскости Г в виде поверхности земли ^(х, у) и облако У(х, у) в виде плоскости Г6, находящейся в полубезграничной области относительно поверхности F(x,y). В силу симметрии изучаемого объекта исследуется только часть некоторой полусферической области.

ЭП определяется относительно проводящей плоскости Г со стержнем Г4 (их потенциал у принимается равным нулю) и с учетом краевого эффекта от граничной поверхности облака Г6, являющейся частью круга. Считаем, что исследу-

Рис 1. Схема моделирования молниеприемника стержневого типа

ется статическим режим с учетом возникновения в некоторый момент времени на Г6 потенциала, равного уг0. Эта постановка отличается от постановки задач [7, 8], в которых задается некоторое направление нисходящего стримера в воздухе, как правило, в виде проводника, причем в работе [7] не приводится конкретная математическая постановка задачи, а в [8] указывается, что моделирование поля потенциала осуществляется на основе уравнения Лапласа, но без указания граничных условий. Исходная постановка также отличается и от постановки задачи [3], в которой внешняя краевая задача сводится к внутренней путем задания граничных условий в исследуемой области в виде ду/дп = 0.

Поле распределения у подчиняется уравнению Лапласа, как в [4]:

д2ш д2ш д2ш

ТТ + + тт = 0; (х, У, г) е Дх, у, г). (1)

дх ду дг

Граничные условия задачи следующие:

• на границах Г1 и Г4

у(х, у, г) = 0, (х, у, г) е Гр (2)

• на границе Г^

у(о>) = 0; (3)

• на поверхностях симметрии области, т. е. на границах Г2, Г3

ду/дп = 0, (х, у, г) е Г2, Гз; (4)

• на границе Г6

уС^ ^ г) = уВ(р (х ^ г) е Г6

(5)

где Д(х, у, г) - исследуемая область, ограниченная Г1-Г4, Г6 и Г^; причем Г^ - условная граница на бесконечности; Г5 - внутренняя граница в Д(х, у, г) (искусственно введенная граница [4]).

С учетом использования МИПБС считаем, что некоторая выделенная область Д'т(х, у, г), входящая в состав области Д(х, у, г), имеет форму некоторой части полусферы с радиусом Я0 и с границами Г1-Г6 (эта область может быть

представлена в виде куба, параллелепипеда и др., определяется видом области с исследуемым объектом, например [9]). Для реализации этого метода необходима дополнительная область Д*т(х, у, г), чтобы часть оставшейся области Д(х, у, г) между границами Г5 и Г^ отобразилась на эту дополнительную область. Следует отметить, что составные области Д'т(х, у, г) и Д'т(х, у, г) соприкасаются по внутренней поверхности Г5 в исходной области Б(х, у, г).

Особенности дискретной математической модели. Для краевой задачи с учетом уравнения (1) и граничных условий (2)—(5) уравнения в операторной форме для определения поля потенциала у в узлах (г, у, к) для дискретной области Д/х, у, г) имеют следующий вид:

Ьхх ^ук + Ьуу ^ук + Ь22 ^ук = 0

(х,, у у, гк) е Д ^ y, г) ;

Ьп ^ук = 0 (х,, у у, гк )

Уук = ^ (х, у у, гк ) е Г

е Г 2,гз;

(6)

V ук = 0 (х, у у, гк)

е Г1 ,Г4 ,

Здесь Ь = д2/дх2, Ь = д2/ду2, Ь = д2/дг2,

хх уу 22

Ьп = д2/дп2 - производные потенциала, которые представляются конечно-разностными аппроксимациями. Область Д(х, у, г), включающая Д'ы(х, у, г) и у, г), является дискретной

с регулярной прямоугольной сеткой. Для аппроксимации границ применяется алгоритм Брезенхэ-ма. При расчетах не учитывается диаметр стержня, т. к. он пренебрежимо мал по сравнению с размерами Д(х, у, г) и шагом по х, у и г (аналогично как в [3]).

Так как во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя, то во всех внутренних узлах области Д(х, у, г) потенциал у к рассчитывается с помощью численного метода, например, экстрапо-ляционного метода Либмана [10] по формулам:

V,,,,к =

У,+и ,к + Vi-lу ,к + V, у+1, к + V, у-1, к + V, у ,к+1 + V,, у, к-1 6

<„к - к +*«*-VО -1к),

(7)

(8)

где а - ускоряющий коэффициент (1 < а < 2);

,у,к

- значение в узле у ,, вычисленное на пред-

ыдущей итерации; у00.., - значение в узле у..., вычисленное в текущей итерации согласно (8); у0 , - новое значение.

На границах Г2, Г3 потенциал у к рассчитывается с учетом конечно-разностных аппроксимаций и вида условия симметрии (4). Модуль Е определяется как квадратный корень из суммы квадратов компонент вектора Е2, Е2, Е2.

4

б)

Рис. 2. Распределение поверхностей равных напряженностей поля с шагом АЕ*: а - для модели 1; б - модели 2

Согласно МИПБС

на

граничные узлы у к границе Г5 превращаются во внутренние узлы составной области Ппи(х, у, г) и В*т^(х, у, г), причем в узлах на границе области &т(х, у, г) расчет также ведется по формулам (7) и (8), а значения потенциалов в недостающих узлах берутся из дополнительной области В* т(х, у, г), и наоборот.

Результаты численных расчетов. Результаты расчетов представляются в безразмерном виде для у и расстояний I как уъ.* = у. / уВ0, Г = I. / к с учетом базовых значений потенциала уВ0 на Г6 и высоты h стержня Г4, а остальные определяются аналогично или через уъ* и V.. Для сравнения результатов с известными данными основные соотношения размеров приняты как в [3].

Исследуются два типа моделей по схеме как на рис. 1. Исходные условия следующие: считаем, что граница Г6 имеет радиус г*= 3 и находится на высоте Н* = 3, а высота Г4 равна к* = 1. Отличие заключается в том, что Г5 - внутренняя граница в Б(х, у, г) (искусственно введенная с учетом МИПБС) в первой модели находится на расстоянии 5* от границы Г5, а во второй модели 5* = 0.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Я,

Результаты расчетов напряженности поля Е* относительно Д(х, у) и У(х, у) для двух моделей показаны на рис. 2.

Из анализа результатов распределения поверхностей равных напряженностей поля следует, что на стержне Г4 и в окрестностях края границы Г6 наблюдается существенно неоднородное ЭП. Для оценки этих относительных величин рассмотрим результаты расчетов, показанные на рис. 3, причем кривые 1 и 2 - это характеристики уъ* = Х(Н*) (рис. 3 а) и Е* = Х(Н*) (рис. 3 б), представляющие зависимости в вертикальных плоскостях относительно поверхности Д(х, у): по оси стержня и на расстоянии Sk1* = 3, т. е. на границе облака У(х, у).

Из анализа зависимостей Е* = ХН*) (см. рис. 3 б, кривые 1 и 2) следует, что модули мак-

Т-г *

симальной напряженности поля Ет находятся как на стержне Г4, так и на краю облака У(х, у), причем Ет* на расстоянии Sk1* = 3 больше, чем на стержне по его оси.

Рассмотрим результаты распределения относительных величин уъ* = Х(Н*) (рис. 4 а) и Е* = Х(Н*) (рис. 4 б), показанные на рис. 4, причем кривые 1-4 - это характеристики, представляю-

б)

Е 100

80

60

40

20

0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Я,

Рис. 3. Характеристики уъ* = Х(Н*) (а) и Е = Х(Н*) (б) в вертикальной плоскости: 1 - по оси стержня; 2 - на расстоянии Sк* = 3

а)

б)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Н

30 25 20 15 10 5 0

4 3

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Н

Рис. 4. Характеристики уь* = /(Н*) (а) и Е = /(Н*) (б) для различных Бк:

1 - по оси схемы (Б = 0); 2 - Б* = 3; 3 - Б* = 1,5; 4 - Б* = 2

щие зависимости в вертикальных плоскостях относительно поверхности Е(х, у): по оси (Б = 0) и на расстоянии Бк1* = 3, а также в промежуточных точках от оси Бк2* = 1,5 и Бк3* = 2. Следует отметить, что кривые 1 и 2 Е* = /(Н*) (см. рис. 4 б), в отличие от рис. 3 б, представлены только в окрестностях точек Бк0 = 0 и Бк1* = 3, чтобы отразить особенности изменения напряженности в промежуточных точках как на Е(х, у), так и на облаке.

Анализ зависимостей Е* = /Н*) на рис. 4 б показывает, что напряженность поля Е* по поверхности F(x, у) под облаком максимальна вблизи заземленного стержня и убывает к точке Б*, а напряженность поля Е* по поверхности У(х, у), наоборот, на облаке, непосредственно под стержнем, минимальная, причем приблизительно на порядок меньше, чем Е^ у края облака У(х, у).

Результаты расчетов для моделей 1 и 2 (см. рис. 2) с учетом распределения относительных величин у* = /(Н*) (рис. 5 а) и Е* = /(Н*) (рис. 5 б), показаны на рис. 5, причем кривые 1 и 2 - это характеристики, представляющие зависи-

мости в вертикальных плоскостях относительно поверхности Е(х, у) на расстоянии Бк* = 3 для моделей 1 и 2.

Анализ зависимостей на рис. 5 показывает, что область 0'т(х, у, z) с внутренней границей Г5 в методе МИПБС должна быть больше, чем максимальный размер исследуемого объекта, находящегося в этой области, т. к. при совпадении с границей Г5 наблюдается существенное завышение результатов расчета. В исследуемом случае установлено, что граница облака У(х,у) должна быть на расстоянии не менее чем 5*/2 от границы Г

Сравнение результатов расчета проводилось с [3] в вертикальной плоскости на расстоянии Б1 = 3,2 м и до высоты Н1 = 13 м по распределению поля у и представлено в [4]. Сравнительный анализ показал, что отличия в расчетах в целом составляют менее 0,5 %.

Анализ исследования трехмерных ЭП относительно заземленного стержневого молниепри-емника и с учетом граничной поверхности облака на основе модифицированного метода инверсии

б)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

И

'300 250 200 150 100 50

0......

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

*

Н

Рис. 5. Характеристики у/ = /Н/) (а) и Е = /Н/) (б) в вертикальной плоскости на расстоянии Бк1* = 3 от оси стержня:

1 - для модели 1; 2 - для модели 2

показал, что имеется возможность определять напряженность поля в некоторой области и выявлять различные краевые эффекты. Например, установлено, что модули максимальной напряженности поля Ет* находятся как на стержне молниеприем-

¥""» * /—' Г"» * Г"» *

ника Е , , так и на краю облака Е „ , причем Е „

т1 7 А т2 7 А т2

больше, чем на стержне по его оси.

Показано, что распределение напряженности поля Е* по поверхности земли под облаком убывает к периферии, а распределение напряженности поля Е* по поверхности облака, наоборот, существенно возрастает к периферии. При этом

следует заметить, что полученные выводы определяются соотношениями размеров исследуемой системы и соответствующими допущениями при расчетах.

В результате исследований установлено, что в выделяемой области Вт(х, у, г) с некоторой внутренней границей Г5 с учетом применения МИПБС при определении влияния краевых эффектов исследуемого объекта (например, У(х,у)) он не должен соприкасаться с внутренней границей Г5, т. к. это приводит к завышению результатов расчета по Г5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. D'Alessandro, F. Electric field modelling of structures under thunderstorm conditions [Текст] / F. D'Alessandro, J.R. Gumley // Proc. of the 24th International Conf. on Lightning Protection. -Birmingham, Britain, 1998. -Р. 457-462.

2. Ait-Amar, S. A 3-D numerical model of negative lightning leader interception. Applications to the collection volume construction [Текст] / S. Ait-Amar, G. Berger // Proc. of the 27th International Conf. on Lightning Protection. -Avignon, France, 2004. -Р. 357-362.

3. Резинкина, М.М. Расчет трехмерных электрических полей в системах, содержащих тонкие проволоки [Текст] / М.М. Резинкина // Электричество. -2005. -№ 1. -С. 44-49.

4. Потапенко, А.Н. Метод инверсии для численного расчета распределенных систем типа «плоскость-проводник» [Текст] / А.Н. Потапенко, Е.А. Ка-нунникова, Т.А. Потапенко // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2011. -№ 5. -С. 53-57.

5. Потапенко, А.Н. Численное моделирование электрических полей в системах «электрод - поверхность земли» для элементов молниезащит [Текст] / А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова, М.И. Дыльков //

Изв. вузов. Проблемы энергетики. -2008. -№ 11-12. -С. 72-78.

6. Rezinkina, M.M. Software for determinantion of 3D electrical fields distribution in the vicinity of special installations ans systems with lightning rods during thunderstorm [Текст] / M.M. Rezinkina // Proc. of the 24th International Conf. on Lightning Protection. -Birmingham, Britain, 1998. -Р. 924-928.

7. D'Alessandro, F. A 'Collection Volume Method' for the placement of air terminals for the protection of structures against lightning [Текст] / F. D'Alessandro, J.R. Gumley // J. of Electrostatics. -2001. -№ 50. -Р. 279-302.

8. Ait-Amar, S. Attractive Radius of Elevated Building [Текст] / S. Ait-Amar, G. Berger // Proc. of the 28th International Conf. on Lightning Protection. -Kanasawa, Japan, 2006. -Р. 602-607.

9. Потапенко, А.Н. Исследование распределенных элементов систем молниезащит на основе вычислительных экспериментов [Текст] / А.Н. Потапенко, А.И. Штифанов, Т.А. Потапенко // Изв. Самарского научного центра РАН. -2010. -Т 12. -№ 4 (3). -С. 591-595.

10. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране [Текст] / Д. Мак-Кракен, У Дорн. -М.: Мир, 1977. -584 с.

УДК 519.711.3

В.И. Антонов, А.И. Загайнов, Ву ван Куанг

ДИНАМИЧЕСКИМ ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА

В настоящей статье рассматриваются проблемы нелинейного исследования хаотических временных рядов вариабельности сердечного ритма (ВСР) - временных интервалов между последо-

вательными нормальными QRS-комплексами электрокардиограммы (норма-норма или ЫЫ-интервалов). Благодаря рекомендациям научных сообществ США, Европы [3], Японии, Китая и