CC BY
45
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 004.92
А.В. Иващенко, Е.П. Знаменская*
СФГА, *НИУМГСУ
ОСОБЕННОСТИ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОСТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ДЕЗАРГА
Представлены основные свойства плоскостной конфигурации Дезарга, которые открывают возможность ее широкого применения в архитектурном и дизайн-проектировании сложных объемов, состоящих из ряда простых пересекающихся форм. Однако компьютерная реализация построений конфигурации Дезарга связана с определенными трудностями, вызванными тем, что на мониторе возможно только дискретное представление графической информации. Выделены и проанализированы те свойства конфигурации Дезарга, использование которых позволяет преодолеть эти трудности и решить проблему ограниченных возможностей мониторов при разработке сложных архитектурных форм с помощью компьютерной графики. Наряду с этим, использование выделенных свойств позволяет прогнозировать сложные эффекты восприятия архитектурных форм, например, разницу восприятия архитектурного объекта вблизи и издали с учетом перспективного искажения, они также являются основой для разработки алгоритма последовательности построений при проектировании.
Ключевые слова: конфигурация, проективная геометрия, компьютерная графика, отрезок, прямая, дизайн-проектирование.
Конфигурацию Дезарга [1—4] можно строить в различной последовательности, при этом существуют и разные подходы к ее восприятию. Наиболее традиционным и удобным для восприятия является тот, который определяет ее как состоящую из двух треугольников, связанных определенным соответствием трех лучей, исходящих из одной точки («центра проекции») и при этом инцидентных соответствующим вершинам треугольников, и прямой Дезарга, проходящей через точки пересечения соответствующих сторон треугольников [5—9]. Но это не единственное понимание состава конфигурации. Например, ее можно рассматривать как набор прямых, проходящих через пару взаимосвязанных определенным соотношением пятисторонников. Есть и другие варианты рассмотрения. Нужно заметить, что в рамках имеющегося подхода конфигурация допускает различные истолкования в силу внутренней симметрии. Так, например, если придерживаться традиционного определения, то возможны 10 вариантов истолкования, в которых каждая точка может служить «центром проекции», три несмежные с ней точки лежат на прямой Дезарга, а остальные шесть точек образуют два соответственных треугольника. В случае восприятия конфигурации как прямых, проходящих через два соответственных пятисторонника, возможны шесть вариантов истолкования и т.д. [10—14]. Разумеется, построение конфигурации невозможно без предварительного мысленного ее представления.
168
© Иващенко А.В., Знаменская Е.П., 2015
Для лучшего понимания алгоритма вариантов построения рассмотрим более подробно состав конфигурации Дезарга (плоскостной вариант).
Как известно из проективной геометрии, конфигурация Дезарга состоит из 10 точек и 10 прямых, определенным образом связанных отношениями инцидентности (рис.).
Эти отношения инцидентности удобно представить в виде табл. 1.
Табл. 1. Отношения инцидентности в плоскостном варианте конфигурации Дезарга
Точки Прямые
a b c d E f g h i j
A + + + - - - - - - -
B + - - + + - - - - -
C - + - + - + - - - -
D - - + - + + - - - -
E + - - - - - + + - -
F - + - - - - - + + -
G - - + - - - + - + -
H - - - + - - - + - +
I - - - - - + - - + +
J - - - - + - + - - +
Рассматривая плоскостную реализацию конфигурации Дезарга в афинном пространстве, можно ввести в рассмотрение следующие объекты: отрезки, треугольники, тройки коллинеарных точек (вырожденные треугольники), полные
четырехвершинники. Эти объекты не входят в описание конфигурации Дезар-га, однако они нужны для удобства программирования процедуры построения этой конфигурации, а также для лучшего представления ее геометрической структуры.
Отрезком назовем сочетание двух точек, инцидентных одной прямой (такие точки будем называть смежными). Например, отрезками являются сочетания АВ, АЕ (обе точки инцидентны прямой а), но не являются АН, АЗ (отсутствует прямая, инцидентная обеим точкам). Будем говорить, что отрезок принадлежит той прямой, которой инцидентны обе составляющие его точки.
Всего возможных пар точек из 10 по 2: С20 = = 45пар.
2 8!2!
Однако в конфигурации Дезарга содержится 30 отрезков, поскольку для каждой точки найдутся три несмежные точки, а всего таких пар несмежных точек в конфигурации — 15.
По отношению к выбранному отрезку все оставшиеся точки конфигурации Дезарга делятся на четыре категории:
точка, дважды инцидентная вершинам отрезка и принадлежащие прямой, содержащей отрезок (например, для отрезка АВ — это точка Е), такая точка дополняет отрезок до тройки коллинеарных точек;
точки, дважды инцидентные вершинам отрезка и не принадлежащая прямой, содержащей отрезок (для отрезка АВ — это точки С и D);
точки, инцидентные только одной вершине отрезка (для отрезка АВ — это точки Г, О, Н, З);
точка, не инцидентная ни одной вершине отрезка (для АВ — это точка I). Подобная классификация необходима при определении вариантов последовательности построения конфигурации.
Для алгоритмического описания [15, 16] структуры конфигурации Дезарга необходимо составить таблицу отрезков, однако поскольку отрезки однозначно идентифицируются парой своих вершин, приводить эту таблицу в явном виде нет необходимости [15, 17]. Следует только помнить, что сочетания АВ и ВА представляют один отрезок. На множестве отрезков можно рассмотреть отношение смежности. Так, смежными отрезками будем называть такие отрезки, у которых есть одна общая точка. Например, смежными являются отрезки АВ и АЕ (оба отрезка лежат на одной прямой). Смежными являются отрезки АВ и АС (общая точка А, но сами отрезки лежат на различных прямых). По отношению к заданному отрезку все остальные отрезки делятся на три категории: смежные с ним и принадлежащие одной прямой (для АВ — это АЕ); смежные с ним и не принадлежащие одной прямой (для АВ — это АС); несмежные с ним (для АВ — это CD).
Далее введем в рассмотрение треугольники. Треугольником (невырожденным) будем называть тройку попарно смежных отрезков, которые при этом принадлежат различным прямым. Эти отрезки будем называть сторонами треугольника, а точки отрезков — вершинами. Вырожденным треугольником является коллинеарная тройка точек, инцидентных одной прямой (например, треугольника А, В, Е).
По отношению к выбранному невырожденному треугольнику оставшиеся точки конфигурации Дезарга делятся на следующие категории:
точка, дополняющая треугольник до полного четырехвершинника (для треугольника ABC — это D);
три точки, пополняющие каждую сторону треугольника до коллинеарной тройки точек (для треугольника ABC — это точки E, F, H);
три точки, смежные, каждая из которых является смежной ровно одной точке, входящей в состав треугольника (для ABC — это G, I, J).
По отношению к выбранному невырожденному треугольнику все оставшиеся отрезки конфигурации Дезарга можно разделить на следующие категории:
отрезок, смежный с двумя сторонами треугольника и принадлежащий одной из прямых, инцидентной стороне треугольника (например, для треугольника ABC — это отрезок BE);
отрезок, смежный с двумя сторонами треугольника и не принадлежащий ни одной прямой, инцидентной сторонам треугольника (например, для треугольника ABC — это отрезок CD);
отрезок, не смежный ни с одной из сторон треугольника, но принадлежащий прямой, инцидентной одной из вершин, т.е. составляющий с одной из вершин заданного треугольника коллинеарную тройку точек (например, для треугольника ABC — это отрезок DJ);
отрезок, не смежный ни с одной из сторон треугольника и не образующий с его сторонами коллинеарной тройки точек (например, для треугольника ABC — это FG).
Следует отметить, что можно было бы вводить более тонкую классификацию отрезков по отношению к заданному треугольнику (например, по отношению к треугольнику ABC отрезки EH и FG находятся в несколько различном положении, хотя мы и отнесли их к одной категории), но целесообразней предварительно ввести в рассмотрение другие объекты, и рассматривать отношения между ними.
Представим описания всех 20 невырожденных треугольников, входящих в конфигурацию Дезарга, в виде табл. 2, которая необходима для построения таблицы смежности треугольников.
Пара треугольников может иметь разную степень смежности: не иметь общих элементов; иметь общую сторону; иметь общую вершину; иметь две общие прямые, инцидентные сторонам. Чем сложнее объект, тем более разнообразны связи у него с другими объектами. На уровне рассмотрения точек было всего два состояния отношения: смежные и несмежные. На уровне рассмотрения отрезков таких отношений — уже три.
Будем называть два треугольника смежными по стороне, если у них есть общий отрезок. Например, треугольники ABC и ABD являются смежными по стороне, так как имеют общий отрезок AB. При этом два треугольника, попарно смежные по стороне третьему, обязательно смежные по стороне и между собой, хотя это отношение транзитивности не вытекает непосредственно из определения смежности по стороне треугольников, а является свойством конфигурации Дезарга.
Далее, будем называть два треугольника смежными по вершине, если у них имеется общая вершина и при этом они не смежные по стороне.
Что касается такого объекта, как тройка коллинеарных точек, то в пределах конфигурации Дезарга эта тройка представляет собой прямую. Между ними и другими объектами также имеются определенные отношения соответствия.
Табл. 2. Описания 20 невырожденных треугольников, входящих в конфигурацию Дезарга
Треугольники Отрезки
сц AE AC AF AD AG СЦ BC BH BD CH 8 CJ DG ¡3 > EG EH FH FG £ £ I 5 53
ABC + - + +
ABD + - - - + - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - -
AEF - + - + - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - -
AEG - + - - - + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - -
ACD - - + - + - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - -
AFG - - - + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - -
BEH + + +
BEJ - - - - - - + - - + - - - - - - - - + - - - - - - - -
BCD - - - - - - - + - + - - - + - - - - - - - - - - - - - -
BHJ - - - - - - - - + - + - - - - - - - - - - - - - - - -
CFH + + - - - - - - - - - + - - - - -
CFI - - - - - - - - - - - + - - + - - - - - - - - - + - - -
CHI - - - - - - - - - - - - + - + - - +
DGI + + -
DGJ + + - - - - - - - - + - -
DIJ + +
EFG - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - + - - + - - - -
EJH - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - + - - - - - -
FHI - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - + - - +
GIJ + + -
По отношению к заданной тройке коллинеарных точек все точки конфигурации Дезарга делятся на три категории: входящие в ее состав (ABE и т. A); смежные с двумя из входящих в ее состав (ABE и т. С); не смежные ни с одной из входящих в ее состав (ABE и т. I).
Табл. 3. Смежность треугольников (знаком ++ обозначена смежность по стороне, знаком + смежность по вершине)
Треугольники ABC ABD AEF AEG ACD AFG BEH BEJ BCD BHJ CFH CFI CHI DGI DGJ DIJ
ABC - ++ + + ++ + + + ++ + + + + - - -
ABD ++ - + + ++ + + + ++ + - - - + + +
AEF + + - ++ + ++ + + - - + + - - - -
AEG + + ++ - + ++ + + + + -
ACD ++ ++ + + - + - - ++ - + + + + + +
AFG + + ++ ++ + - - - - - + + - + + -
BEH + + + + - - - ++ + ++ + + - - -
BEJ + + + + - - ++ - + ++ - - - - + +
BCD ++ ++ - - ++ - + + - + + + + + + +
BHJ + + - - - ++ ++ + + + - + +
CFH + - + - + + + - + + - ++ ++ - - -
CFI + - + - + + - - + ++ - ++ + - +
CHI + - - - + - + - + + ++ ++ - + - +
DGI - + - + + + - - + - - + + - ++ ++
DGJ - + - + + + - + + + - - - ++ - ++
DIJ - + - - + - - + + + - + + ++ ++ -
EFG - - ++ ++ - ++ + + - - + + - + + -
EJH - - + + - - ++ ++ - ++ + + - + +
FHI - - + - - + + - - + ++ ++ ++ + - +
GIJ - - - + - + - + - + - + + ++ ++ ++
По отношению к заданной тройке коллинеарных точек все отрезки конфигурации Дезарга делятся на следующие категории:
входящие в ее состав, т.е. обе точки отрезка принадлежат этой тройке;
одна точка отрезка принадлежит тройке (ABE и BD);
обе точки отрезка не принадлежат тройке, но обе смежные с одной или двумя ее точками;
одна из точек отрезка не принадлежит тройке и не смежная с ее точками (ABE и IJ).
В этой классификации также можно было бы углубиться в более тонкие различия, но пока ограничимся этими.
Две различные тройки коллинеарных точек могут либо иметь одну общую точку (ABE и ACF), либо не иметь (ABE и HIJ).
Между треугольниками и тройками коллинеарных точек возможны следующие отношения:
треугольник и тройка имеют общий отрезок (тройка ABE и треугольник ABC);
треугольник и тройка имеют общую точку (тройка ABE и треугольник BCD);
треугольник и тройка не имеют общих элементов (тройка ABE и тр. DGI).
Далее рассмотрим понятие полного четырехвершинника в пределах конфигурации Дезарга, которым назовем четверку треугольников, попарно смежных по стороне между собой. Разумеется, это определение отличается от обще-
принятого в проективной геометрии, однако в рамках конфигурации Дезарга оно определяет в точности полный четырехвершинник (конфигурацию из 4 точек и 6 прямых).
В пределах конфигурации Дезарга существуют ровно пять полных четы-рехвершинников: ABCD, AEFG, BEHJ, CFHI и DGIJ, при этом можно заметить, что между любыми двумя из них существует ровно одна общая точка. Ни общих отрезков, ни тем более общих треугольников у различных полных четы-рехвершинников нет. Таким образом, можно было бы считать их относительно независимыми объектами, однако у них есть общие тройки коллинеарных точек, причем не одна, а целых три. Так, например, полные четырехвершинники ABCD и DGIJ имеют одну общую точку D и три тройки коллинеарных точек: BDJ, CDI, ADJ.
По отношению к полному четырехвершиннику в пределах конфигурации Дезарга все точки делятся на две категории: входящие в состав этого полного четырехвершинника и не входящие в него. При этом каждая из не входящих точек дополняет какой-либо его отрезок до тройки коллинеарных точек.
Полный четырехвершинник и отрезки конфигурации Дезарга имеют три варианта отношений:
отрезки, входящие в состав полного четырехвершинника (ABCD и AB); отрезки, не входящие в состав полного четырехвершинника и имеющие совпадающую точку с одной из точек четырехвершинника (ABCD и DG);
отрезки, не входящие в состав полного четырехвершинника и не имеющие совпадающих с ним точек (ABCD и EG).
Полный четырехвершинник и треугольник имеют три варианта отношений:
входящие в состав полного четырехвершинника (четырехвершинник ABCD и треугольник ABC);
не входящие в состав полного четырехвершинника и имеющие одну общую с ним точку (ABCD и DGI);
не входящие в состав полного четырехвершинника и не имеющие общих с ним точек (ABCD и EFG).
Полный четырехвершинник и тройка коллинеарных точек имеют два варианта отношений:
имеющие общий отрезок (полный четырехвершинник ABCD и тройка ADG);
не имеющие общего отрезка и общих точек (четырехвершинник ABCD и тройка HIJ).
Вывод. Выделенные и проанализированные свойства конфигурации Де-зарга являются основой для разработки алгоритма последовательности построений, делающих возможным ее использование в архитектурном и дизайн-проектировании с помощью компьютерной графики [18—21].
Библиографический список
1. Исаева М.А., Мартынюк A.B., Матвеев O.A., Птицына И.В. Введение в действительную проективную геометрию. М. : Изд-во МГОУ, 2010. 138 с.
2. Вольберг O.A. Основные идеи проективной геометрии. 4 изд. M. : URSS, 2009. 192 с. (Науку всем! — Шедевры научно-популярной литературы)
3. Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В. Элементы проективной геометрии. М. : Изд-во МГОУ, 2010. 134 с.
4. Цахариас М. Введение в проективную геометрию / пер. с нем. 2-е. изд. М. : URSS, 2010. 90 с. (Физико-математическое наследие: математика (геометрия))
5. Смирнов С.А. Проективная геометрия. М. : Недра, 1976. 176 с.
6. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. 8-е изд. М. : Просвещение, 1969. 368 с.
7. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. 2-е изд., испр. и доп. М. : Высш. шк., 1963. 343 с.
8. Горшкова Л.С., Паньженский В.Н., Марина Е.В. Проективная геометрия. М. : URSS, 2007. 168 c.
9. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии / пер. с англ. Е.Б. Шабат ; под ред. И.М. Яглома. М. : Мир, 1970. 160 с.
10. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики / пер. с англ. ; под ред. И.М. Яглома. 2-е изд., испр. М. : URSS, Либроком, 2010. 408 с. (Физико-математическое наследие: математика (геометрия))
11. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М. : Иностранная литература, 1955. 400 с.
12. Берже М. Геометрия : в 2-х т. / пер. с фр. М. : Мир, 1984. Т. 1. 560 с. ; Т. 2. 368 с.
13. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / пер. с нем. М. ; Л. : ОНТИ НКТП, 1936. 305 с.
14. Юнг. Дж.В. Проективная геометрия / пер. с англ. под ред. проф. В.Ф. Кагана. М. : Иностранная литература, 1949. 184 с.
15. Скиена С. Алгоритмы. Руководство по разработке. 2-е изд. / пер. с англ. СПб. : БХВ-Петербург, 2013. 720 с.
16. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия / пер. с англ. Г.П. Бабенко, Г.П. Воскресенского ; под ред. К.И. Бабенко. М. : Мир, 1982. 304 С.
17. Препарата Ф., ШеймосМ. Вычислительная геометрия: Введение / пер. с англ. М. : Мир, 1989. 478 с.
18. Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Конфигурация Дезарга в архитектурном и дизайн-проектировании // Вестник МГСУ 2014. № 9. С. 154—160.
19. Гамаюнов В.Н. Проективография. Геометрические основы художественного конструирования для аспирантов, слушателей ФПК студентов художественно-графического факультета. М. : МГПИ им. В.И. Ленина, 1976. 25 с.
20. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонса // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 226—229.
21. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Автоматизация получения проективографи-ческих чертежей тел Джонса // Вестник МГСУ 2014. № 6. С. 179—183.
Поступила в редакцию в мае 2015 г.
Об авторах: Иващенко Андрей Викторович — кандидат технических наук, дизайнер, Союз дизайнеров Москвы, Столичная финансово-гуманитарная академия (СФГА), 109383, г. Москва, ул. Шоссейная, д. 90/17, ivashchenko_a@inbox.ru;
Знаменская Елена Павловна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.
Для цитирования: Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Особенности компьютерной реализации построения плоскостной конфигурации Дезарга // Вестник МГСУ 2015. № 9. С. 168—177 .
A.V. Ivashchenko, E.P. Znamenskaya
FEATURES OF COMPUTER IMPLEMENTATION OF CONSTRUCTING PLANAR DESARGUES CONFIGURATION
The authors present the main properties of the planar configuration of Desargues, which open the possibility of its widespread use in architectural design and the design of complex volumes, consisting of a series of simple overlapping forms. However, the computer implementation of Desargues configuration construction is associated with certain difficulties caused by the fact that the monitor can only discretely represent the graphical information. In this article we identified and analyzed the properties of Desargues configuration, the use of which allows overcoming these difficulties and solving the problem of the limited capacity of monitors in the development of complex architectural forms with the help of computer graphics. Along with this, the use of the allocated properties allows predicting complex effects of the perception of architectural forms, for example, the difference of perception of architectural objects near and afar with account for perspective distortion, and they are also the basis for the development of the algorithm of construction sequence during design.
Key words: configuration, projective geometry, computer graphics, cut, straight, design engineering.
References
1. Isaeva M.A., Martynyuk A.N., Matveev O.A., Ptitsyna I.V. Vvedenie v deystvitel'nuyu proektivnuyu geometriyu [Introduction to the Real Projective Geometry]. Moscow, MGOu Publ., 2010, 138 p. (In Russian)
2. Vol'berg O.A. Osnovnye idei proektivnoy geometrii [Basic Ideas of Projective Geometry]. 4th edition. Moscow, URSS Publ., 2009, 192 p. (Nauku vsem! — Shedevry nauchno-populyarnoy literatury [Science to Everyone! — Masterpieces of Popular Scientific Literature]) (In Russian)
3. Martynyuk A.N., Matveev O.A., Ptitsyna I.V. Elementy proektivnoy geometrii [Elements of Projective Geometry]. Moscow, MGOU Publ., 2010, 134 p. (In Russian)
4. Zacharias M. Vvedenie v proektivnuyu geometriyu [Introduction into Projective Geometry]. Transl. from German. Moscow, URSs Publ., 2010, 90 p. (Fiziko-matematicheskoe nasledie: matematika (geometriya) [Physical and Mathematical Heritage: Mathematics (Geometry)]) (In Russian)
5. Smirnov S.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, Nedra Publ., 1976, 176 p. (In Russian)
6. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. 8th edition. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1969, 368 p. (In Russian)
7. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. 2nd edition, revised. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963, 343 p. (In Russian)
8. Gorshkova L.S., Pan'zhenskiy V.N., Marina E.V. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, URSS Publ., 2007, 168 p. (In Russian)
9. Hartshorne R. Foundations of Projective Geometry. Ishi Press, 2009, 190 p.
10. Busemann H., Kelly P.J. Projective Geometry and Projective Metrics. 2005, Dover Publications, 352 p.
11. Baer R. Linear Algebra and Projective Geometry. 2005, Dover Publications, 336 p.
12. Berger M. Geometriya : v 2-kh tomakh [Geometry : in 2 Volumes]. Transl. from French. Moscow, Mir Publ., 1984, vol. 1, 560 s. ; T. 2. 368 s. (In Russian)
13. Hilbert D., Cohn-Vossen S. Anschauliche Geometrie. Springer; Auflage: 2. Aufl. 1996, 364 p.
14. Young. J.W., Oswald V. Projective geometry. Boston Ginn, 1918, 370 p.
15. Skiena S. Algoritmy. The Algorithm Design Manual. Springer; 2nd ed. 2008 edition, 730 p.
16. Faux I.D., Pratt M.J. Computational Geometry for Design and Manufacture. Chichester, West Sussex, John Willey & sons, 1979, 331 p.
17. Preparata F.P., Shamos M. Computational Geometry. An Introduction. 1985, Springer-Verlag New York, 398 p. DOI: http://dx.doi.org/ 10.1007/978-1-4612-1098-6.
18. Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Konfiguratsiya Dezarga v arkhitekturnom i dizayn-proektirovanii [Configuration of Desargue in Architectural and Design Engineering]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 154—160. (In Russian)
19. Gamayunov V.N. Proektivografiya. Geometricheskie osnovy khudozhestvennogo konstruirovaniya dlya aspirantov slushateley FPK i studentov khuzhozhestvenno-grafichesk-ogo fakul'teta [Projectography. Geometric Foundations of Artistic Design for Postgraduate Students of FPK and Students of Artistic-Graphical Department]. Moscow, MGPI im. V.I. Leni-na, 1976, 25 p. (In Russian)
20. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhonsona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226—229. (In Russian)
21. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Avtomatizatsiya polucheniya proektivogra-ficheskikh chertezhey tel Dzhonsona [Automatic Receipt of Projective Geometry Drawings of Johnson Bodies]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 179—183. (In Russian)
About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, designer, Union of Moscow Designers, Capital Academy of Finance and Humanities (SFGA), 90/17 Shosseynaya str., Moscow, 109383, Russian Federation; ivashchenko_a@ inbox.ru;
Znamenskaya Elena Pavlovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor , Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.
For citation: Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Osobennosti komp'yuternoy realizat-sii postroeniya ploskostnoy konfiguratsii Dezarga [Features of Computer Implementation of Constructing Planar Desargues Configuration]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 9, pp. 168—177. (In Russian)
