CC BY
51
УДК 620.179.14 + 004.4
ОСОБЕННОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСТЕРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
© 2014 А. И. Меркулов, А. Ю. Лавров, Д. С. Бурков
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)
В работе рассмотрены особенности моделирования кластера вихретоковых преобразователей с учётом их взаимного влияния. Показана необходимость учёта как суммарной напряжённости магнитных полей токовых элементов кластера вихретоковых преобразователей, так и результирующего сечения магнитных потоков каждого преобразователя, которое является конструктивно неограниченным.
Вихретоковый метод контроля, кластер электромагнитных преобразователей, численные методы расчёта электромагнитного поля.
Аналитические методы, известные в теории электромагнитного поля, позволяют проводить расчёты магнитных полей в некоторых частных случаях, при этом решение большинства практических задач связано с большими математическими трудностями и часто оказывается мало пригодным для инженерных целей [1]. Расчёт реальных систем методами теории поля обычно сводится к решению уравнений в частных производных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. Решение таких уравнений в большинстве случаев возможно только численными методами, реализация которых без применения ЭВМ практически невозможна [2].
Методы вихретокового контроля перемещений и геометрии объектов контроля (ОК), выполненных из проводящих материалов, основаны на изменении начальной индуктивности Ьн ортогональных накладных преобразователей (ПНо) в результате взаимодействия синфазных электромагнитных полей катушек ПНо и русла вихревых токов, наводимых на поверхности ОК. Величина Ьн определяется магнитным потоком Фпн, создаваемым током 1к проводниками в рабочем пространстве между преобразователем и ОК. При этом необходим учёт полевого взаимодействия нескольких ПНо, образующих кластер.
В большом классе задач моделирования электромагнитного взаимодействия вихретокового преобразователя и ОК можно принять допущение о квазистационарности электромагнитного поля в рабочем зазоре [3, 4]. Таким образом, поток Фтэ токовых элементов(ТЭ), образующих ПНо, в общем виде может быть определён как:
^ = (1)
где И = (Яд.,^) - напряжённость электромагнитного поля, создаваемого ТЭ в сечении 5м; ео - единичный вектор положительной нормали к 5м. Для ПНо сечение 5м конструктивно неограниченно, что требует дополнительного анализа функций пространственного распределения И в рабочем пространстве ПНо. Электромагнитное поле ПНо, имеющее трёхмерный характер функций пространственного распределения, удобно представить в виде элементарных трубок Ф, магнитного потока малого сечения Д5И = где АЬ - ширина, а Ак2 - высота магнитной трубки потока Фпн. Площадь сечения магнитного потока может быть вычислена как 5И = где ту, т- - количество трубок магнитного потока, учитываемых вдоль осей У и 2. В пределах малого сечения А5м в плоскости У2 напряжён-
ЯЦ
ность поля (я,еа) = Нх, поле считаем однородным и принимаем Их = const.
Разбиение Фтэ на элементарные трубки магнитного потока позволяет представить выражение (1) в виде суммы:
ГПу ГПг ГЦ.у
....... ^ ^ .7 (2)
где = t&S„ — магнитный поток
t-.y-й элементарной трубки. Размеры ПНо
Выражение (2) позволяет определить магнитный поток, создаваемый одиночным ТЭ. Кластер ПНо включает большое количество ТЭ (ихх%), расположенных в плоскости XY. Для учёта взаимного влияния ТЭ друг на друга представим магнитный поток /-го ТЭ в виде суммы магнитного потока Фсг создаваемого собственно 7-м ТЭ, и магнитных потоков
— ■ = ■ ' , создаваемых j-ми ТЭ и охватывающих i-й ТЭ:
При расчёте количества Шх трубок магнитных потоков ТЭ считаем, что магнитные трубки замыкаются на магнито-проводе длиной /м. Это позволяет ограничить сечение потока Фтэ. вдоль оси 2 координатой кг < (1п/2 — где |жк_.| -
координата /-го ТЭ вдоль оси X.
На рис. 1 а, б показана графическая иллюстрация к расчёту количества трубок магнитных потоков , учитываемых вдоль оси 2. Сечения £мг показаны в виде проекций на плоскость Х2. Дугами показаны трубки магнитных потоков среднего
= 0) и соседнего Фтэ(жк > 0) ТЭ. Из рис. 1,а видно, что наибольшее удаление от магнитопровода (Иг = /м/2) имеет средний ТЭ (хм = 0). Непрерывными линиями проекций Л показаны магнитные трубки Фи., соседних ТЭ, охватывающие
средний ТЭ. По аналогии, на рис. 1,б показаны 5м трубок магнитных потоков ТЭ, смещённого к краю магнитопровода (хм > 0).
Таким образом, количество трубок магнитного потока создаваемого 7-м ТЭ, равно:
а) б)
Рис. 1. Графическая иллюстрация к расчёту количества учитываемых вдоль оси Z трубок магнитного потока
(3)
где - координата /-го ТЭ; А/?- - высота
поперечного сечения А5м одиночной трубки магнитного потока. Количество т2ц трубок магнитного потока, создавав
мых у'-м ТЭ и охватывающих /-й ТЭ, зависит от взаимного расположения ТЭ и составляет:
ms = m
z4 ЙА,
где . - количество учитываемых магнитных трубок /-го ТЭ. ш трубок образуют часть собственного магнитного потока ^ /го ТЭ, количество трубок которого вычисляется по формуле (3). Из выражения (4)
видно, что поток
существует, если
::: С.
Вдоль оси У электромагнитное поле, создаваемое ТЭ, конструктивно неограниченно, что требует определения ширины Ь магнитного потока с учётом взаимодействия ТЭ кластера.
Известен метод зеркальных изображений, в котором проводящая среда мысленно заменяется проводником с током 1к = -/к', представляющим собой зеркальное отражение исходного проводника [5]. Поле проводника с током /к' симметрично полю исходного проводника. При этом для линии, образованной равноудалёнными от проводников точками, выполняется условие:
(5)
гс.
н.
(6)
Ы-1
проводник пространстве, проекция силовых линий поля на плоскость У7. расположена под углом <рп = 0 к нормали, проведённой к оси проводника (рис. 2). Будем использовать указанную концепцию взаимного влияния полей ТЭ, образующих дискретную токовую шину, для расчёта магнитных потоков соседних ПНо кластера, для которых в качестве условия определения положения границ сечений 5м магнитных потоков ТЭ принимаем следующее равенство, записанное по аналогии с (6):
1
я.
(7)
;= 1
где Нх' — напряжённости соседних ТЭ в точке, равноудалённой от них. Симметрия функций распределения напряжённостей Нх, Нх' в рабочем пространстве позволяет рассматривать электромагнитное взаимодействие соседних ТЭ как взаимное отражение электромагнитных полей. При этом поверхность, удовлетворяющая условию (5), рассматривается как граница сечений магнитных потоков соседних ТЭ.
Проводник £>ш создаёт в окру-
жающем пространстве плоскопараллельное электромагнитное поле, так что на границе ТЭ напряжённости силовых линий соседних трубок магнитных потоков равны между собой. Пользуясь принципом суперпозиции, для ТЭ расположенных справа и слева от к и (£+1) ТЭ, запишем:
При этом, в силу плоскопараллельного характера распределения поля в окружающем
где Пу - количество ПНо, образующих дискретную токовую шину; р — порядковый номер ПНо в кластере.
Расчёт углового <рп положения силовых линий электромагнитного поля дискретной шины Ьш с использованием условия (7) показывает, что проекции магнитных трубок, расположенных на границе ТЭ, отклоняются в сторону внешних ТЭ. Для упрощения расчёта 5м аппроксимируем проекции магнитных трубок прямыми линиями вида:
где = ук. + Ьм/ 2 - координата положения граничных силовых линий Нх при И- = 0, которая определяется конструктивным размером Ъм и координатой ТЭ в дискретной шине; <р„ — угловое положение граничной силовой линии в плоскости У2 относительно нормали к поверхности шины.
Аппроксимируя расчётное положение силовых линий Нх методом наименьших квадратов, получим:
где Шх - количество трубок магнитного потока, учитываемых вдоль оси Z. На рис. 2 показано положение и изменение размеров сечения 5м ТЭ в зависимости от его размещения в кластере.
мм 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5
1 ______ _<f4-l ^JpM, / /
1 /
/ f i
/ /
М <1 / / /
I 1 1 / bm= 12 D MM;
i 6M = 12 MM; L = 50 MM:
С = 80 MM;
0.0 cp 12.0 пр 24.0 кр
bjl
36.0 ДП 48.0 ВШ Ьы
Ун мм
Рис. 2. Изменение ширины сечения магнитного потока ТЭ ПНо кластера
С учётом суммирования трубок магнитного потока для г-го ТЭ получим:
Ln..-Un
У "¡1
v = Z ZXч-
tJ = ltv = l " j = l Гг = 1 t,, = l.
где Фс
' f^fu
магнитный поток 4,у-й эле
ментарной трубки, создаваемый 7-м ТЭ; Р.. - магнитный поток у'-го ТЭ, охватывающий 7-й ТЭ; = т2 7 - ш2 у - порядковый номер трубки магнитного потока у-го ТЭ, начиная с которой л охватывает 7-й ТЭ. Каждый преобразователь дискретной токовой шины включает Пх ТЭ, поэтому магнитный поток ПНо вычисля-
ется как:
XX
-3
1/Т1у тп.х ту
I II*'
-1 L -:
L TjT.
Полученное выражение позволяет вычислить начальную индуктивность ПНо как
Выражение (8) показывает, что Ьн зависит не только от суммарного значения напряжённости Нх возбуждающего элек-
тромагнитного поля, но и от величины сечения SM ПНо.
Разработанный алгоритм расчёта Ьн кластера ПНо условно можно разбить на две части: а) расчёт углового (рм положения границ сечений £м; б) собственно вычисление начальной индуктивности Ьн ПНо. В качестве исходных данных вводятся геометрические параметры кластера: ширина Ьш и длина /к, а также количество Пх, Пу ТЭ вдоль осей системы координат.
Алгоритм определения положения граничной линии И включает в себя расчёт суммарных значений тангенциальной составляющей напряжённости поля в начальной точке у.о и точке ys = у.о + Ay.s (точки a и Ь). Выбор малого шага Ау. позволяет для расчёта координаты у. использовать линейное приближение в виде:
to ,
ys = » -I-
(н*-Ь ;' =1
-■1 = 1* — Е' = 1 *
где Нх - текущее линейное приближение функций изменения напряжённости магнитного поля вдоль ТЭ, для вычисления которой воспользуемся выражением:
Д Н
м
1 х х "е—р+1 х
Нх =
ы
где
ля'
дн
= Н
■'¡=1
н^-ЕУ
0>) _ уР
А
гг (а)
изме-
: —р 41 г—р+1
нения тангенциальных составляющих напряжённости полей, создаваемых ТЭ дискретной шины, расположенными справа и слева от точки у.0. Для вычисления последующих приближений у.^ используем метод дихотомии, переопределяя точки (а) и (Ь) по правилу: 1) Ь^-а'$; 2) Ь' - соответствует координате у. текущего приближения. При этом Ау. « Ау./2. Условие
(7) представим в виде выражения
образом, общее количество итераций, необходимых для расчёта, составляет:
Расчёт Ьн Пно кластера включает вычисление магнитных потоков создаваемых г-м ТЭ ПНо
Фг. =
№
.Д5,
■II
и магнитного потока, создаваемого соседними ТЭ
ту]
(9)
Ф,
= ^ ^ £ (11)
которое используем в качестве критерия завершения итераций. Здесь а - малое положительное число, при достижении которого считаем выполненным условие (9). Количество итераций, необходимых для определения координаты у. , зависит от выбора величины а и составляет log2 1/а[6]. Предварительный расчёт углового положения граничных линий сечений магнитных потоков Пно кластера показал, что наибольшая погрешность аппроксимации силовой линии Н не превышает 6,7-10-4 А/м, поэтому выбираем а= 10-5. При этом для расчёта координаты у. требуется не более 17 итераций. Для опреде-
—*
ления положения силовой линии Н расчёт повторяется Шх раз. Цикл завершается при обходе всех Иххиу ТЭ Пно кластера. Таким
и охватывающего г-й ТЭ. Суммируя магнитные потоки Фо1, Фмг для каждого ТЭ ПНо, определяем начальную индуктивность преобразователя:
Сравнение выражений (10), (11) и (12) показывает, что магнитный поток Фмг значительно превышает Фсг и определяет величину результирующего магнитного потока ПНо.
Таким образом, при компьютерном моделировании характеристик ПНо необходимо учитывать как суммарные Их полей ТЭ каждого ПНо, так и результирующее сечение магнитных потоков ПНо, которое является конструктивно неограниченным.
1. Меркулов А. И., Лавров А. Ю., Халиуллина И. Р. Влияние фазовых сдвигов на топологию полей матричных преобразователей. // Актуальные проблемы радиоэлектроники и телекоммуникаций: материалы Всероссийской НТК 25-27 мая 2010 г., г. Самара / Под ред. М. Н. Пиганова. Самара: Изд-во СГАУ, 2010. С. 46-47.
2. Курбатов А. П., Аринчин С. А. Численный расчёт электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.
еский список
3. Веников В. А., Веников Г. В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам энергетики). М.: Высш. шк., 1984. 439 с.
4. Краевые характеристики в задачах электродинамики / Кравченко А. Н.; Отв. редактор Шидловский О. К.; АН УССР, Ин-т электродинамики. Киев.: Наук. думка, 1989. 224 с.
5. Тозони О. В., Майергойз И. Д. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. 352 с.
6. Aho A., Hopcroft J., Ullman J. The rithms. Addison-Wesley, Reading, MA. Design and Analysis of Computer Algo- 1974.
Меркулов Алексей Иванович,
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры электротехники, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: [email protected]. Область научных интересов: электромагнитный неразрушающий контроль.
Лавров Андрей Юрьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники, Самарский государственный аэрокосмический университет
;ия об авторах
имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: [email protected]. Область научных интересов: электромагнитный неразрушающий контроль.
Бурков Дмитрий Сергеевич, студент, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: [email protected]. Область научных интересов: электромагнитный неразру-шающий контроль.
FEATURES COMPUTER SIMULATION CLUSTER CHARACTIRISTICS ELECTROMAGNETIC
CONVERTERS
© 2014 A.I. Merkulov, A.Yu. Lavrov, D.S. Burkov Samara State Aerospace University, Samara, Russia Federation
The paper discusses the features of the cluster modeling of eddy current probes, taking into account their mutual influence. The necessity of taking into account both the total intensity of the magnetic fields of the current cluster members eddy current probes, and the resulting cross-section of the magnetic fluxes of each transducer, which is structurally unrestricted.
Eddy current inspection method, cluster electromagnetic transducers, numerical methods dy calculation of the electromagnetic field.
References
1. Merkulov A.I, Lavrov A., Khaliul- 3. Venikov V.A., Venikov G.V. Simi-lina I.R. Influence of phase shifts on the field larity Theory and simulation (as applied to topology matrix inverter. / / Actual problems the problems of energy). M.: Higher. wk., of electronics and telecommunications: Ma- 1984. 439 p.
terials of All-Russian STC 25-27 May 2010, 4. Boundary characteristics in the probSamara / Ed. M.N Piganova. Samara State lems of electrodynamics / Kravchenko, AN; Aerospace University Publ, 2010. P. 46- Ans. Editor Shidlovskii OK; Ukrainian 47.(In Russ.) Academy of Sciences, Institute of electrody-
2. Kurbatov A.P, Arinchin S.A. Nu- namics. Key s.: Science. Dumka, 1989. 224p. merical calculation of electromagnetic fields. 5. Tosoni O.V. Mayergoyz I. D. Calculation - Energoatomizdat, 1984. 168 p. of three-dimensional electromagnetic fields.
Kiev: Technology, 1974. 352 p. rithms. Addison-Wesley, Reading, MA.
6. Aho A., Hopcroft J., Ullman J. The 1974. Design and Analysis of Computer Algo-
About the authors
Merkulov Alexei Ivanovich, Doctor of Sciences (Engineering), Professor, Professor of the Department of Electrical Engineering. E-mail: [email protected]. Area of research: the electromagnetic non-destructive testing.
Lavrov Andrew Yurevich, Candidate of Sciences (Engineering), Assistant professor of the Department of Electrical En-
gineering. E-mail: an-
[email protected]. Area of research: the electromagnetic non-destructive testing. Burkov Dmitry Sergeevich, student. Email: [email protected]. Area of research: the electromagnetic non-destructive testing.
