Особенности гистерезиса пар сухого трения при круговых движениях вибратора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4(3), 2011

УДК 620.179.111

ОСОБЕННОСТИ ГИСТЕРЕЗИСА ПАР СУХОГО ТРЕНИЯ ПРИ КРУГОВЫХ ДВИЖЕНИЯХ ВИБРАТОРА

© 2011 Ю.К. Пономарев

Самарский государственный аэрокосмический университет, г. Самара

Поступила в редакцию 10.11.2011

Форма упругогистерезисных петель в элементах сухого трения является важной характеристикой, определяющей поведение динамических систем. В настоящее время разработано множество математических моделей, описывающих реальный гистерезис при одноосном нагружении пар трения. При этом большинство авторов, занимающихся вопросами виброзащиты, принимают как само собою разумеющуюся гипотезу о том, что при сложном пространственном деформировании упругих систем с сухим трением форма частных гистерезисов в проекциях на координатные оси остается при этом идентичной одноосному деформированию. Накопленный к настоящему времени экспериментальный материал опровергает эту гипотезу.

Для того, чтобы придать исследованию конкретность, рассмотрим показанную на рис. 1 конструкцию демпфера сухого трения, расположенного посередине ротора турбомашины [1, стр. 386]. Он состоит из дополнительного роликового подшипника, установленного на валу и опирающегося на фрикционный диск, укрепленный на неподвижном корпусе. Диски стянуты болтами с помощью пружин, создающих необходимое усилие затяжки. При возникновении опасных прогибов ротора диск смещается и силы трения препятствуют развитию колебаний. Рассмотрим процесс статического нагружения опоры постоянной по модулю силой P, при котором вибратор осуществляет плоское движение относительно основания с траекторией в виде окружности. Сила сопротивления демпфера Q будет направлена всегда против движения, т.е. по касательной к траектории, но в противоположную сторону к вектору Т . Пусть в произвольный момент движения вибратор сместился в точку М (рис. 2) с координатами

x = A-cos ф; y = A-sin ф. (1)

В этом положении внешняя сила P, численно равная силе сопротивления Q, спроецируется на оси координат в виде:

Px = - P-sin ф; Py = P-cos ф. (2)

Найдем зависимости между Px и х, а также между Py и у. Для этого сделаем следующие преобразования. Из (1) и (2) найдем: x/A = cos ф; y/A = sin ф; (3)

Px/P = - sin ф; Py /P = cos ф. (4)

Возведем левые и правые части выражений (3) и (4) в квадрат и сложим соответствующие части этих выражений:

Рис. 1. Конструкция демпфера сухого трения авиационного ГТД.

Рис. 2. Расчетная схема демпфера сухого трения.

x2/A2 + P2x / P2 = sin2 ф + cos2 ф = 1;(5) y2/A2 + P2y / P2 = sin2 ф + cos2 ф = 1.(6) Из выражений (5) и (6) получим:

Px = P ' 1 -

py=P J1 - A. (7)

Нетрудно видеть, что при сухом трении и круговых орбитах частные гистерезисы в проекциях на координатные оси представляют собой кривые в виде эллипсов с полуосями P = Q и A (рис. 3).

Известно, что площади эллипсов (7), численно равные рассеиваемой энергии, определяются в виде: Wx = Wy = ttA-P. (8)

1192

Механика и машиностроение

Таким образом полная рассеянная энергия в паре сухого трения демпфера (рис. 1) при круговых движениях вибратора будет равна:

Wo = Wx + Wy = 2 л-A-P. (9)

Рис. 3. Внешний вид гистерезисных кривых пары трения при круговых орбитах движения вибратора.

При одноосном нагружении демпфера сухого трения реализуется петля гистерезиса в форме прямоугольника (или, при наличии упругости, - параллелограмма). При тех же амплитудах силы и смещения P и A, что и в случае круговой орбиты, при одноосном нагружении получим рассеянную энергию W1 = 4PA. (10)

Значения рассеянных энергий при круговых орбитах и одноосном нагружении относятся как:

Wo / W1 = 2 tc-A-P/4A-P = л/2, (11)

т.е. рассеянная энергия при круговых орбитах движения вибратора в л/2 раза больше, чем при одноосном движении.

Если заменить в формуле (1) параметр р через at, то выражение (1) примет вид

x = A-cos at;y = A • sin at. (12)

Продифференцировав выражения (12) по t, получим: x = -A • a • sin at;y = A • a- cos at. (13)

Умножив и разделив выражения (13) на Aa и учтя (2) с заменой р на at, получим

РХ=[Р/(А • со)]- х ;РУ=[Р/(А • со)]- у . (14)

Если учесть, что модули сил Р и Q равны друг другу, из (14) получим

Qx = Px = h x; Qy = Py = h y, (15)

где коэффициент h равен

h=Q/(Aa) (16)

и имеет размерность [Н-сек/м].

Если параллельно с силой трения имеется упругая линейная пружина с восстанавливающей силой, направленной к центру траектории, то суммарная сила сопротивления такой системы будет определяться в виде

Rx = (h x + cx); (17)

Ry = (h y + cy). (18)

В результате, используя принцип Даламбера для массы т, движущейся под действием силы Р0 по круговой орбите (рис. 4, а), получим систему уравнений движения в виде (на рис. 4 |^| = Q)

тх +йх + cx = P0cos at; (19) т y + h y + cy = P0 sin at. (20)

Данный результат очень важен для авиационной и ракетно-космической техники (АиРКТ) по ряду соображений.

Поскольку огромное число деталей и узлов АиРКТ подвержены пространственным воздействиям от вращающихся неуравновешенных роторов, имеет смысл рассматривать не одноосные, а связные колебания этих объектов с круговыми, или близкими к круговым траекториями движения.

Рис. 4. Схема пространственной виброзащитной системы с демпфером сухого трения (а) и ее упруго демпфирующие

характеристики при круговых траекториях движения массы (б).

В этом случае, трудоемкость решения динамических задач, как это не парадоксально, существенно упрощается, так как гистерезисные кривые систем конструкционного демпфирования практически совпадают с гистерезисом упруго-вязких систем, для которых решения известны и изучены [2].

При динамическом исследовании упругодемпферных систем и сравнении динамических характеристик со статическими необходимо убеждаться в соответствии сравниваемых траекторий движения вибраторов. Если, к примеру, испытания гистерезиса упругодемпферных опор трубопроводов были проведены в статике, при одноосном нагружении, а затем использовались при расчете колебаний трубопровода, то эти расчеты годятся для сравнения только при одноосном возбуждении системы "трубопровод - опоры". В большинстве случаев трубопроводы, закрепленные на тонкостенных оболочках корпусов ДЛА подвержены связным колебаниям по замкнутым траекториям. Измерения колебаний с помощью однонаправленных датчиков представляют собой лишь часть информации о поведении трубопровода в динамике и не согласуются с расчетом. Все дело в том, что зачастую сравниваются несрав-ни-мые данные.

Систему уравнений (19) - (20) можно записать и в другом виде:

1193

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4(3), 2011

mx + cx ± T.

my + cy ± T.

1 -

x

A

1 -

У_

A2

P0 cosat; (21) P0 sin at; (22)

или в комплексной форме [3] с использованием коэффициента демпфирования ym

mx + (1 + iym )cx = P0 cos at; (23)

my + (1 + ifm)cy = Po sin at; (24)

где i = V-1, а коэффициент демпфирования ym (см. рис. 4, б)

2nT

Ym

W

cA

T

= —. (25)

cA

2n 2n

Из формулы (25) следует, что при постоянной жесткости упругой подвески для сухого трения коэффициент демпфирования зависит от амплитуды, поэтому, если пользоваться выведенным в [4, 7] выражением для определения коэффициента виброизоляции (динамического коэффициента) в виде

A 1

Р = — = I 2 2 2 , (26)

У^ V( 1 -a2)2+(Ym )2

следует учесть, что сама амплитуда колебаний зависит от частоты, а коэффициент демпфирования Ym - от амплитуды, поэтому выражение (26) представляет собой нелинейное трансцедентное уравнение, которое необходимо решать численным методом.

Для случая, когда внешняя нагрузка Р0 > Q, получим амплитудно-частотную характеристику, показанную на рис. 5.

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика демпфера сухого трения с разными значениями относительной силы трения:

1 - t = Q/Po = 0,2; 2 - t = 0,4; 3 - t = 0,6;

4 - t = 0,8; 5 - t = 0,9

Для случая малых возбуждающих нагрузок, когда силы трения Т>Р0 задача усложняется тем, что демпфер начинает работать в области так называемой зоны предварительных смещений [5].

Если не учитывать податливость контакта, т.е. считать жесткость самого демпфера бесконечной, масса объекта как бы заклинивается в демпфере и его перемещение равно нулю.

На самом деле, даже если демпфер сухого трения «закрыт», в нем есть взаимные перемещения и на этих премещениях происходит рассеивание энергии колебаний. Форма петель гистерезиса при этом остается эллипсной, хотя параметры петли подсчитываются по более сложным формулам с учетом эффекта предварительных смещений [6]

Q = Q0-signP

1-2-ехр< -к- s + 11

[ У +,у0 • sign s JJ

(27)

где скорость Л движения вибратора по траектории подсчитывается по формулам:

s = —; ds = Jdx2 + dy2 dt y

предельная сила трения

Q = f • N , f - коэффициент трения, k - коэффици-

ент пропорциональности, зависящий от состояния поверхности трения и материала, а s0 - координата начальной точки при движении по траектории [6].

Далее в работе рассмотрен случай, когда движение вибратора демпфера осуществляется по эллипсу (рис. 6) с координатами

x = а-cos фц y = b-sin фь (1)

а сила сопртивления состоит из упругой составляющей Рупр, направленной вдоль вектора d, и силы трения Q, направленной вдоль касательной г в сторону, противоположную относительному смещению вибратора, причем

Pa6o = k - Х” ’ Pady= k - У” • (27)

В этом случае

P =-Q• cosa + к• an • cosn•ф; Py = Q• sina + к• bn • sinn-ф.

Выражения (27) и (28) в параметрическом виде определяют семейство гистерезисных петель в проекциях на координатные оси.

На рис. 7 показано семейство упругогистерезисных петель в безразмерном виде (Px/Q) в зависимости от относительного смещения (x/a) и соотношения полуосей эллипса (b/а) для случая п = 1.

Рис. 6. Схема сил и перемещений при движении вибратора контактной пары по эллипсной траектории под действием центральной возвращающей силы и силы сопротивления трения

1194

Механика и машиностроение

Из рисунка видно, что при b/a=1 Х-гистерезис имеет эллипсоидную форму, при b/a=0, - форму параллелограмма. При этом все семейство петель повернуто на угол (, равный арктангенсу коэффициента к в выражениях (27) и (28).

При n = 3 гистерезис имеет нелинейный характер (рис. 8). При этом форма гистерезисных кривых деформируется в соответствии со степенью нелинейности n восстанавливающей силы Рупр х (или Рупрy).

Кроме рассмотренных случаев, в работе исследованы формы гистерезиса для ряда других вариантов движения пары.

Так, например, в случае циклического движения вибратора контактной пары по квадратичной параболе (рис. 9), формы безразмерных гистерезисных кривых в проекциях на координатные оси имеют весьма причудливый вид, зависящий от степени нелинейности восстанавливающей силы и амплитуды циклического перемещения, рис. 10.

Исследовано также влияние других форм траекторий движения вибратора в парах трения на характер гистерезисных кривых [6].

Рис. 7. Эволюция гистерезиса в паре трения с линейной восстанавливающей силой.

Рис. 8. Эволюция гистерезиса в паре трения с нелинейной (n=3) восстанавливающей силой

Рис. 9. Схема циклического движения вибратора пары трения по параболе.

Рис. 10. Формы гистерезисных кривых пары трения при циклическом перемещении вибратора по квадратичной параболе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Г.С.Скубачевский. Авиационные газотурбинные двигатели. М.: Машиностроение, - 1969. - 544 с.

2.Э. Камке. Справочник по обыкновенным диффре-нциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

3. Сорокин .С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., Госстройиз-дат,1960. -196 с.

4. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических

колебаний: Учебное пособие.- 2-е изд., перераб.-М.: Наука. Главное издательство физико-

математической литературы, 1980.- 272 с.

5. Верховский А.В. Явление предварительного смещения при трогании несмазанных поверхностей с места. М.: Журнал прикладной физики, № 3, 1926 г.

6. Чегодаев Д.Е., Пономарев Ю.К. Демпфирование. - Самара: Изд-во СГАУ, 1997. - 334 с.

7. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Государственное изд-во физико-математичес-кой литературы, 1960. -196 с.

FEATURES OF THE HYSTERESIS OF PAIRS THE DRY FRICTION AT VIBRATOR CIRCULAR MOTIONS

© 2011 Ponomarev Ju. K.

The Samara State Aerospace University , Samara

1195