CC BY
74
Особенности формирования величины рыночной стоимости недвижимости при логарифмически нормальном распределении цен *
М.Б. Ласкин директор ООО «Инвест-Строй», доцент, кандидат физико-математических наук (г. Санкт-Петербург) О.В. Русаков доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета, кандидат физико-математических наук (г. Санкт-Петербург) О.И. Джаксумбаева ассистент кафедры информационных систем в экономике Санкт-Петербургского государственного университета, кандидат экономических наук (г. Санкт-Петербург) А.А. Ивакина ведущий специалист службы внутреннего аудита и контроля рисков ОАО «Витабанк» (г. Санкт-Петербург)
Михаил Борисович Ласкин, laskinmb@yahoo.com
При определении рыночной стоимости объектов недвижимости с использованием сравнительного подхода возникают проблемы выбора объектов сравнения, формирования представительной выборки и, собственно, построения оценки рыночной стоимости. Основными трудностями являются доступ к электронным и достаточно обширным базам данных, их недостаточная информативность с точки зрения учета максимально возможного набора ценообразующих факторов и непосредственно статистическая обработка доступных данных. Как правило, в практике оценки выборки не являются представительными, содержат малое количество объектов сравнения. При этом, как справедливо отмечалось в работе [1], проверка статистических гипотез часто не проводится.
Мы используем стохастическую модель ценообразования на рынке жилой недвижимости, основанную на последовательных сравнениях цен. Процесс последовательных сравнений при стандартных предположениях 1 имеет единственный невырожденный предел по распределению для цены - закон логнормального распределения вероятностей. Соответствие эмпирических распределений цен логнормальному закону подтверждаем статистическими данными о рынке недвижимости города Санкт-Петербурга. Для проверки согласия эмпирических распределений теоретической модели в основном используем мощный и чувствительный статистический критерий Колмогорова-Смирнова. Опираясь на федеральный стандарт оценки «Цель оценки и виды стоимости (ФСО № 2)» (далее -ФСО № 2), мы делаем вывод о том, что рекомендуемая наиболее вероятная цена - это мода распределения, которая корректно и однозначно определяется в результате аппроксимации логнормальным законом. Поскольку у логнормального распределения среднее
* Результаты исследований по теме настоящей статьи докладывались на 2-й международной конференции
«Математика и компьютеры в науке и промышленности» (МСБ! 2015) 17-19 августа 2015 года (Мальта). 1 Предположения об однородности, независимости и равномерной малости коэффициентов сравнения двух близких объектов в последовательности сравнений.
превосходит наиболее вероятное значение - моду, оценки рыночной стоимости, опирающиеся на оценку математического ожидания, систематически завышены.
В ФСО № 2 прямо указано, что «При определении рыночной стоимости определяется наиболее вероятная цена, по которой объект оценки может быть отчужден на дату оценки на открытом рынке в условиях конкуренции, когда стороны сделки действуют разумно, располагая всей необходимой информацией, а на величине сделки не отражаются какие-либо чрезвычайные обстоятельства» (в новой редакции ФСО № 2, принятой в 2015 году, есть ссылка на определение рыночной стоимости, закрепленное в Законе № 135-Ф3). Аналогичные формулировки содержат и зарубежные стандарты оценки (см. [3-6]).
Мы рассматриваем формулировки стандартов оценки как основу для получения численного значения цены. Определения рыночной стоимости, указанные в стандартах, однозначно устанавливают наличие вероятностного фактора, заложенного в природу цены. То есть, цена - случайная величина, а рыночная стоимость - ее числовая характеристика (мода). Распределение вероятностей случайной величины полностью описывается функцией распределения (или плотностью, когда таковая существует). Из определения следует, что для построения оценки рыночной стоимости необходимо иметь теоретическое или эмпирическое распределение и на его основе вычислять наиболее вероятное значение. Стандартный подход в случае эмпирического распределения - построить гистограмму выборки, подобрать удовлетворительную с точки зрения какого-либо критерия кривую плотности распределения, найти точку максимума. В случае наличия стохастической модели теоретического распределения проверяется согласие данных с модельным распределением и в качестве наиболее вероятного значения берется оценка моды теоретического распределения. Подобные подходы обусловлены тем, что эмпирические распределения, задаваемые гистограммами, формально не унимодальны 2.
В случае унимодальных распределений, таким образом, будет получена точечная оценка рыночной стоимости, на необходимость которой указывается в работе [7]. Точность такой оценки во многом будет определена объемом выборки. Интервальные оценки могут быть получены в терминах доверительных интервалов с учетом вида закона распределения. Используемые в оценке методы обработки статистического материала часто ориентированы на нормальное распределение и не всегда применимы к распределениям цен. Одной из особенностей нормального распределения являются его симметричность и равенство моды, математического ожидания и медианы. Между тем существуют теоретические основания и практические подтверждения того, что цены на однородные активы чаще всего не имеют нормального распределения.
Предположение о логнормальности распределений цен непосредственно вытекает из фундаментальной работы [8]. Этот подход отмечен, в частности, и в работе [9] с оговоркой о его сложности с точки зрения математического аппарата. Здесь следует отметить, что возможностей MS Excel (которыми пользуются и авторы работы [9]) недостаточно для статистических исследований. Для этого необходимо использовать специальные статистические пакеты, позволяющие быстро получать требуемые результаты, в том числе в целях оценки. Такие пакеты, например, использованы в работе исследователей центра Японской экономики и бизнеса Колумбийского университета (Нью-Йорк) [10], которые, исследуя статистические данные по Большому Токио, приходят к выводу о том, что при отсутствии сильных внешних возмущений цены подчиняются логарифмически нормальному закону распределения (объем использованных баз данных - 724 416 записей для кондоминиумов и 1 602 918 для отдельных домов). Также необходимо отметить работу итальян-
2 Так как мода гистограммы - это целый интервал, а не отдельно взятая точка.
ских исследователей экономического факультета Римского университета [11], которые, исследуя динамику цен во времени, устанавливают ее следование геометрическому броуновскому движению, из чего немедленно вытекает закон логарифмически нормального распределения цен.
В работе [12] нами доказано, что при достаточно простых и естественных предположениях процесс последовательных сравнений цен сходится по распределению к логарифмически нормальному распределению.
Определение логарифмически распределенной случайной величины
Мы говорим, что случайная величина X имеет логнормальное распределение, если она допускает следующее представление:
X = exp[p + cN(0,1)],
где j - математическое ожидание (нормального) распределения lnX;
exp(j) - медиана распределения X;
положительный параметр о > 0 - стандартное отклонение;
о2 - дисперсия нормального распределения lnX;
N(j,0) - обозначение (условное) как для нормального распределения со средним j, дисперсией о2, так и для соответствующей случайной величины.
Из модели логарифмически нормального распределения цен немедленно вытекает ряд существенных особенностей рыночной стоимости:
1) применение средних арифметических для оценки рыночной стоимости (моды) приводит к систематической ошибке оценки в сторону завышения. Поскольку среднее логнормального закона есть exp(j + 1/202), а мода равна exp(j - о2), отношение среднего к моде не зависит от j, всегда больше единицы и равно exp(3/2o2);
2) аналогично применение средних геометрических (оценка медианы) приводит к систематической ошибке в сторону завышения. Отношение медианы к моде не зависит от j, всегда больше единицы и равно exp(o2);
3) из свойств логнормального распределения следует, что при постоянном j с ростом о увеличивается разница между математическим ожиданием, медианой и модой. Таким образом, при постоянном j и растущем о среднее арифметическое (оценка математического ожидания exp(j + 1/2^)) растет, а рыночная стоимость (мода exp(j - о2)) уменьшается. В этом случае отслеживание средних значений может привести к неверным представлениям о состоянии рынка, так как по средним будет наблюдаться восходящий тренд, в то время как рыночная стоимость будет снижаться;
4) при логарифмически нормальном распределении рыночная стоимость не симметрична в том смысле, что вероятность отклонения от рыночной стоимости вниз и вверх неодинакова. Более того, вероятность отклонения вверх всегда выше, чем вероятность отклонения вниз. Используя распространенное для цены обозначение V и полагая, что V допускает представление X = exp[j + aN(0,1)], получаем, что вероятность попадания цены V в интервал от 0 до exp(j - о2) равна:
Р[0 < V < exp(j - о2)] = Ф(-о) < 1/2,
дополнительная вероятность попадания в интервал от exp(j - о2) до + ^ равна:
P[exp(j - о2) < V < +Н = 1 - Ф(-о) > 1/2,
где Ф - функция распределения стандартного нормального закона (функция Лапласа плюс 1/2).
Таким образом, тот факт, что зачастую сделки совершаются по цене выше цены, установленной при оценке рыночной стоимости, неудивителен. Это обусловлено асимметрией распределения цен и зависит только от а (среднеквадратического отклонения распределения логарифмов цен, которое следует рассматривать как характеристику волатильности рынка в текущий момент времени).
Из практики следует, что базы данных по недвижимости содержат неоднородные активы. В этом случае элементы для сравнения мы берем из подвыборок, сформированных по тому или иному принципу однородности. Для каждой такой выборки формируется соответствующее логнормальное распределение со своими параметрами ¡и, а2. При этом совокупное распределение формируется путем смешивания (о смеси распределений см. [13]) логнормальных распределений со смешивающими коэффициентами (весами), пропорциональными количеству единиц сравнения в выборке, сформированной по принципу однородности (например по районам, зонам ценовых предпочтений, типам домов, квартир и т. п.).
Определение смеси
Пусть имеется т функций распределения Р1, ..., Рт - «элементов смеси» и т неотрицательных чисел, называемых «весами», а1, ..., ат, сумма которых равна единице. Тогда функция Н, определенная посредством равенства Н(х) = а1Р1(х) + ... + атРт(х), х е Я, является функцией распределения, которое называется смесью распределений Р1, ..., Рт с соответствующими весами а1, ..., ат.
Если у распределений Р1, ..., Рт существуют плотности /1, ..., /т, то и у распределения Н существует плотность Л, равная Л(х) = а1/1(х) + ... + ап/т(х), х е Я.
Введем случайные величины Х1, ..., Хт, имеющие соответствующие функции распределения Р1, ... ,Рт, и так называемую «смешивающую» случайную величину V, принимающую значения 1, ..., т с соответствующими вероятностями а1, ..., ат (числа а по построению естественно трактуются как вероятности). Важно, чтобы случайная величина V не зависела от Х1, ..., Хт, при этом случайные величины Х1, ..., Хт могут быть произвольно взаимозависимыми. Тогда смесь реализуется по следующему алгоритму: реализуем сначала V, а затем Ху с тем номером, на который указала V. Полученную в результате такого алгоритма случайную величину обозначим У. Из формулы полной вероятности следует, что функция распределения У есть Н. Ничего не изменится, если рассматривать счетный набор весов. Говоря языком чистой математики, смесь распределений - это выпуклая аффинная комбинация распределений.
Для практических вычислений важно отметить, что смесь нормальных распределений после потенцирования превращается в смесь логнормальных распределений с теми же весами.
Суть приведенного далее утверждения в том, что если функция распределения случайной величины является смесью нормальных функций распределения, то функция распределения ее экспоненты является смесью логнормальных распределений, и наоборот.
Утверждение
А. Пусть функция распределения Н случайной величины У задается в виде Н(х) = а1Р1(х) + ... + атРт(х). Причем функции распределения Р1, ..., Рт являются функциями распределения нормального закона с соответствующими параметрами.
М(у,а2), I = 1, ..., т. Тогда случайная величина вхр(У) имеет функцию распределения вида:
а1С1 + ... + amGm,
где - функция распределения логнормального закона с параметрами: у - медиана; а2 - волатильность; I = 1, ..., т.
В. Пусть распределение случайной величины ф представимо в виде смеси логнормаль-ных распределений с соответствующими параметрами:
у - медиана;
а2 - волатильность;
I = 1, ..., т.
Тогда распределение случайной величины У = ¡п(ф) является смесью с теми же весами нормальных распределений М(ура2), I = 1, ..., т.
Несложное доказательство этого утверждения приводится в работе [12].
Задача выделения из смеси распределений ее компонент относится к классу некорректных задач. Для решения таких задач часто используются факты и приемы, относящиеся к предметной области. В случае с недвижимостью - это разбиение общей выборки на естественные зоны, кластеры, районы, типы недвижимости, типы зданий и т. п.
Приведенное утверждение позволяет нам переходить от единичного нормального распределения к смеси нормальных распределений и в конечном итоге - к смеси логнор-мальных распределений для зон, кластеров, типов домов и других значимых ценообра-зующих факторов. В этом случае возможность учета тех или иных факторов зависит только от архитектуры баз данных, доступных для исследования. В использованной нами базе данных [14] пригодными для фильтрации (разделения смеси) являются такие факторы, как вид недвижимости, местоположение, тип дома. Содержащуюся в этой базе смесь удалось разделить на компоненты (элитная жилая недвижимость - вторичный рынок -масс-маркет, новое строительство жилой недвижимости - масс-маркет), хорошо описывающиеся логарифмически нормальным законом (приведены далее). Важно отметить, что, несмотря на то, что смесь логнормальных распределений не является логнормаль-ным распределением, когда множество совокупных значений параметров у и а2 имеет небольшой разброс, полученное в результате смешивания (теоретическое) распределение может остаться унимодальным (то есть иметь одну моду - одно значение с максимальной вероятностью).
В любом случае, когда значения у и а2в смешивающих распределениях имеют небольшой разброс и смешивающие распределения имеют веса примерно одинакового порядка, итоговое распределение имеет по меньшей мере хорошо выделяемый, узкий интервал «максимальной вероятности».
Рассмотрим пример.
Был изучен статистический материал:
• объявления о продажах объектов жилой недвижимости, опубликованные в базе [14];
• дата выборки - 27 апреля 2015 года;
• размерность цены - тысяча рублей за 1 квадратный метр (скидка на торг не учитывалась - мы считаем ее объектом, достойным самостоятельного исследования);
• общая выборка (объем 7 922 объекта) является смесью распределений недвижимости разных классов.
Разделение выборки на вторичный рынок и новое строительство (а внутри этих классов на элитный сектор и масс-маркет) позволило создать соответствующие выборки, хорошо приближающиеся логнормальным законом. Теоретические кривые получены методом максимального правдоподобия, затем использовался критерий согласия Колмогорова-Смирнова. При удовлетворении заданному значению p-value > 0,05 не отрицается гипотеза о логнормальности с параметрами j и о2 для распределения цены предложения 1 квадратного метра случайно выбранного объекта недвижимости.
После того как распределение прошло тест Колмогорова-Смирнова, наиболее вероятной ценой считается мода (как и предписывается определением рыночной стоимости) логнормального распределения exp(j - о2).
Все расчеты проведены в статистическом пакете R. На рисунках 1-4 представлены гистограммы эмпирической плотности распределения соответствующей случайной величины и кривые плотности логарифмически нормального распределения с параметрами, полученными методом максимума правдоподобия и обеспечивающими удовлетворительное значение теста Колмогорова-Смирнова (далее - КС-тест).
В таблице 1 приведены цифровые параметры логнормального закона распределения, результаты КС-теста, средние значения цен по выборкам и оценки рыночной стоимости недвижимости, полученные для каждой группы объектов.
Таблица 1
Численные результаты обработки данных для рисунков 1-4
Параметр Вторичный рынок Новое строительство
элита (рис. 1) масс-маркет (рис. 2) элита (рис. 3) масс-маркет (рис. 4)
Параметры логнормального закона распределения j 5,6699 4,6411 5,6926 4,563
о 0,3375 0,2698 0,3212 0,281
Результат КС-теста D 0,0475 0,0293 0,0896 0,0281
p-value 0,9989 0,1196 0,7023 0,0781
Оценка рыночной стоимости 1 кв. м, ехр(у - о2), тыс. р. 258,792 96,375 267,579 88,592
Среднее значение цены по выборке, тыс. р./кв. м 306,807 107,813 312,123 101,818
i
ш ^
к
I 0,004 ц
ш ч ш
0,000
400
| рыночная стоимость
600 800 цена, тыс. р./кв. м
Рис. 1. Вторичный рынок (элита)
рыночная стоимость
300 400
цена, тыс. р./кв. м
Рис. 2. Вторичный рынок (масс-маркет)
0,000
400
| рыночная стоимость
600 800 цена, тыс. р./кв. м
Рис. 3. Новое строительство (элита)
h ш
8 ^ 0,02-
I к
I— S
О I
Рис. 4. Новое строительство (масс-маркет)
Полученные выборки также удается разделить на компоненты, хорошо приближающиеся логарифмически нормальным законом распределения. Сектор элиты (или премиум-класса) по районам и типам домов не разделялся. Сектор масс-маркета разделен по административным районам (как для нового строительства, так и для вторичного рынка) и
типам домов (только на вторичном рынке). С целью экономии места результаты сведены в таблицы 2-4 (в столбцах «отклонение» имеется в виду отклонение (в процентах) средних по выборке от рыночной стоимости).
Таблица 2
Новое строительство (масс-маркет)
Район V a Среднее Мода Отклонение, % p-value
Адмиралтейский 4,8000 0,2600 142,646 113,568 25,6 0,24
Василеостровский 4,6000 0,2500 101,597 93,457 8,7 0,12
Выборгский 4,4200 0,2180 88,664 79,240 11,9 0,11
Калининский 4,4619 0,1400 87,673 84,973 3,2 0,13
Кировский 4,6562 0,0753 105,526 104,640 0,8 0,45
Колпинский 4,2008 0,2900 68,200 61,355 11,2 0,57
Кронштадтский 4,3369 0,0810 76,712 75,969 1,0 0,39
Московский 4,7700 0,2200 131,045 112,348 16,6 0,48
Невский 4,4217 0,2299 86,284 78,951 9,3 0,08
Петроградский 4,9900 0,1600 155,572 143,223 8,6 0,11
Приморский 4,7000 0,3220 118,250 99,118 19,3 0,84
Пушкинский 4,3265 0,2491 78,182 71,126 9,9 0,16
Центральный 5,2180 0,3506 196,478 163,219 20,4 0,08
Красногвардейский 4,7500 0,3200 116,717 104,334 11,9 0,07
Красносельский 4,5500 0,1560 95,840 92,357 3,8 0,16
Курортный 4,4624 0,0982 87,108 85,863 1,4 0,65
Петродворцовый 4,1457 0,0471 63,235 63,025 0,3 0,62
Фрунзенский 4,5643 0,0600 96,389 95,648 0,8 0,75
Таблица Вторичный рынок (масс-маркет)
Район V a Среднее Мода Отклонение, % p-value
Адмиралтейский 4,6973 0,2865 114,838 101,005 14 0,10
Василеостровский 4,8141 0,2478 127,223 115,897 10 0,62
Выборгский 4,6420 0,1858 105,471 100,235 5 0,17
Калининский 4,6397 0,1604 104,898 100,883 4 0,60
Кировский 4,5889 0,1303 99,226 96,733 3 0,99
Колпинский 4,3177 0,1588 75,962 73,148 4 0,96
Кронштадтский Нет данных
Окончание таблицы 3
Московский 4,7448 0,1922 117,183 110,811 6 0,34
Невский 4,5739 0,1634 98,228 94,369 4 0,54
Петроградский 4,8607 0,3230 136,166 116,329 17 0,92
Приморский 4,6456 0,2062 106,381 99,794 7 0,96
Пушкинский 4,5407 0,2869 97,971 86,350 13 0,58
Центральный 4,8602 0,3336 137,172 115,460 19 0,09
Красногвардейский 4,5665 0,2079 98,438 92,133 7 0,47
Красносельский 4,4995 0,1749 91,342 87,262 5 0,61
Курортный 4,3732 0,2455 81,696 74,662 9 0,67
Петродворцовый 4,3854 0,1225 80,881 79,075 2 0,98
Фрунзенский 4,5962 0,1311 99,982 97,421 3 0,63
Таблица 4
Вторичный рынок по типам домов
Типы домов И а Среднее Мода Отклонение, % р-уаШе
Хрущевки 4,5086 0,1470 91,798 88,851 3 0,88
Брежневки 4,4791 0,1499 89,143 86,196 3 0,82
Панельные дома 4,5275 0,2040 94,459 88,755 6 0,43
Блочные дома 4,5610 0,2255 98,095 90,937 8 0,63
Серии 4,5654 0,1507 97,157 93,940 3 0,46
Старый фонд 4,7200 0,3200 132,719 101,251 31 0,15
Кирпичные дома 4,6300 0,2300 110,020 97,232 13 0,33
Старый фонд с капитальным ремонтом 4,9200 0,4512 157,075 111,769 41 0,08
Сталинские дома 4,7300 0,2700 125,518 105,330 19 0,89
Индивидуальные проекты 4,7864 0,4461 132,861 98,241 35 0,85
Монолитные дома 4,6800 0,3000 117,401 98,494 19 0,32
Реконструкция 5,4886 0,5634 281,481 176,122 60 0,87
Возможно дальнейшее разбиение смесей, однако в изучавшейся базе данных не содержится более обширный набор ценообразующих факторов. В то же время имеющиеся в базе факторы (вид недвижимости, место, тип дома) являются наиболее значимыми, что достаточно для определенного круга аналитических исследований.
Для целей оценки могут быть разработаны дополнительно принципы работы с малыми выборками, кроме того, могут использоваться традиционные методы (например метод парных сравнений), но уже внутри сформированной выборки.
Выводы
1. Рыночная стоимость является числовой характеристикой закона распределения цен.
2. Определенная как мода, рыночная стоимость требует построения закона распределения и нахождения точки максимума плотности распределения.
3. При логарифмически нормальном распределении рыночная стоимость не может быть оценена средними.
4. Многовершинность плотности распределения свидетельствует о наличии неоднородных активов в выборке. Такая выборка является смесью и нуждается в дальнейшем разделении.
5. При логарифмически нормальном распределении уклонение цены от рыночной стоимости в большую сторону всегда вероятнее, чем в меньшую.
6. При логарифмически нормальном распределении могут возникать ситуации, когда среднее по выборке растет, а рыночная стоимость падает.
Авторы выражают признательность редакционной коллегии журнала «Большой Каталог Недвижимости» (г. Санкт-Петербург) и президенту ассоциации риелторов Санкт-Петербурга и Ленинградской области Ф.В. Дьячкову, предоставившим электронную базу журнала, которая была использована для опубликованных в настоящей статье примеров.
ЛИТЕРАТУРА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Грибовский С. В. Математические методы оценки стоимости недвижимого имущества : учебное пособие / С. В. Грибовский, С. А. Сивец. М. : Финансы и Статистика, 2008.
2. Федеральный стандарт оценки «Цель оценки и виды стоимости (ФСО № 2)» : приказ Министерства экономического развития и торговли Российской Федерации от 20 июля 2007 года № 255.
3. European Valuation Standards 2012 / The European Group of Valuers' Associations, Brussels, 2012. URL: http://www.tegova.org/en/p4fe1fcee0b1db (дата обращения: 2 августа 2015 года).
4. International Valuation Standards 2013. Framework and Requirements / International Valuation Standard Council, London, 2013. URL: http://www.ivsc.org/sites/default/files/IVS%20 2013%20without%20guidance (дата обращения: 2 августа 2015 года).
5. Royal Institution of Chartered Surveyors Valuation Professional Standard 2014 / RICS, 2014. URL: http://www.rics.org/ru/knowledge/professional-guidance/redbook
6. Uniform Standards of Professional Appraisal Practice, 2014-2015 edition / Appraisal Institute, 2014. URL: http://www.uspap.org (дата обращения: 2 августа 2015 года).
7. Грибовский С. В. Диапазон рыночной стоимости как наиболее вероятной цены сделки: необходимость и возможные способы ее оценки // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2012. № 10.
8. Black F. The pricing of options and corporative liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. № 3.
9. Sayce S. Real Estate Appraisal. From Value to Worth / S. Sayce, J. Smith, R. Cooper, P. Venmore-Rowland. Wiley-Blackwell Publishing, 2006.
10. Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. On the Evolution of the House Price Distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business, Working Paper Series, No 296, May 2011. URL: http:/academicommons.columbia.edu/item/ac:135362
11. Ciurlia P., Gheno A. A model for pricing real estate derivatives with stochastic interest rates // Mathematical and Computer Modelling. 2009. No 50.
12. Русаков О. В. Стохастическая модель ценообразования на рынке недвижимости: формирование логнормальной генеральной совокупности / О. В. Русаков, М. Б. Ласкин, О. И. Джаксумбаева // Вестник УМО. 2015. № 5.
13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. : Мир, 1967. Т. II.
14. Большой каталог недвижимости. 2015. № 14/0344.
15. Rusakov O. V., Jaksumbaeva O. I., Ivakina A. A, Laskin M. B. Pricing in the Real Estate Market as a stochastic limit. Lognormal approximation. 2nd international conference on mathematics and computers in sciences and industry. Slima, Malta, 17-19 august 2015 (MCSI 2015) // DOI
10.1109/MCSI. 2015. 48, publication year 2015, pages 235-239, IEEE Conference Publication.
* * *
УВАЖАЕМЫЕ ГОСПОДА! В феврале началась продажа первого тома
(части 1 и 2) «Справочник оценщика недвижимости - 2016» - «Производственно-складская недвижимость и сходные типы объектов» под редакцией Льва Абрамовича Лейфера, изданного ООО «Информ-оценка» (г. Нижний Новгород)!
В течение 2016 года выйдут в свет 4-е тома книги «Справочник оценщика недвижимости - 2016». Четырехтомник является актуализированным и существенно расширенным изданием справочников, изданных в течение 2011-2014 годов. Тематика томов следующая:
• том I (части 1 и 2) «Производственно-складская недвижимость и сходные типы объектов»;
• том II «Офисно-торговая недвижимость и сходные типы объектов»;
• том III «Жилая недвижимость»;
• том IV «Земельные участки».
В новом издании приведены корректировки по новым элементам сравнения, в частности, включены корректирующие коэффициенты, отражающие состав арендной ставки и некоторые инфраструктурные характеристики объектов. Увеличено количество городов, о которых представлены данные, материал Справочника «привязан» к требованиям новых федеральных стандартов оценки.
Важным новшеством анкетирования экспертов, проводившегося в 2015 году, является сбор информации об удельных ценах предложений и удельных арендных ставках на типовые объекты городской недвижимости. Полученные данные были использованы не только для определения диапазонов цен по типам недвижимости в конкретных городах, но и для установления зависимостей цен (арендных ставок) от численности населения и среднего уровня заработной платы в них.
При работе над новым изданием расширен круг экспертов - помимо оценщиков в опросе приняли участие представители банковских структур. Мнения последних отражают позиции кредитных организаций, что важно для оценщиков, выполняющих оценку залогового обеспечения.
Заявки на покупку Справочника можно скачать на сайте http://inform-ocenka.ru Заполненные заявки следует присылать по адресу inform@pcfko.ru Консультации по вопросам: приобретения Справочника - Фролова Наталья, тел. +7 903 846 36 63 применения материала Справочника - Крайникова Татьяна, тел. +7 952 76 36 766
