CC BY
23УДК 532.54:537.7:541.13
ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЗАЦИИ СЛАБОПРОВОДЯЩИХ СРЕД ПРИ ТЕЧЕНИИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ, СТЕНКИ КОТОРОГО ОБЛАДАЮТ РАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
И. Л. Панкратьева
Образование нескомпенсированного объемного электрического заряда (электризация) при течении слабопроводящих жидкостей в плоских каналах обусловлено различием во взаимодействии со стенками канала положительно и отрицательно заряженных ионов, содержащихся в несущей жидкости в виде малых примесей электролитной природы. При теоретическом изучении электризации считается [1—3], что обе стенки канала одинаковы (симметричны) по своим электрохимическим свойствам. Однако на практике для снятия заряда жидкости применяют следующий перспективный способ: на выходном участке канала размещают дополнительный электрод со специальным покрытием, которое поглощает ионы, образующие заряд среды.
Для исследования особенностей развития процесса электризации, возникающих в случае электрохимически асимметричных стенок, рассмотрим модель жидкой слабопроводящей среды, содержащей малую примесь молекул электролита, диссоциирующего на два сорта ионов. Задача об электризации, постановка которой подробно описана в [3], состоит в решении двумерной системы уравнений (1) с граничными условиями (2) для безразмерных концентраций положительных щ и отрицательных щ ионов и электрического потенциала Р:
ЫЛХ) + Бе2 дх ду
д_
ду
дд
Бе2 Ре — (щ1Дх) + Бе2 — (щЩу) = ги - ап1п2, г = 1,2;
ПгЩх = щи, щЩу = sign(e¿)&¿n¿P - А — щ; (1)
д^р дР
2Бе2—т = -д, Е = - — , д = т-п2; ду2 ду
пгигу = А(0'1) - К\°'1)иг, Р = 0, у = 0,1; щ = 1, х = 0. (2)
Здесь Ьг, Ог, w, а, А(0,1), К-0'1 — безразмерные коэффициенты подвижности, диффузии, скорость ионизации, константа скорости рекомбинации и параметры поверхностных реакций на нижней (0) и верхней (1) стенках канала соответственно; х, у — продольная и поперечная безразмерные координаты. Течение жидкости считается ламинарным, при этом скорость жидкости и задается формулой Пуазейля.
При записи безразмерных величин в качестве характерных значений берутся параметры, соответствующие углеводородной среде с проводимостью ао = 10"8 См/м. Характерное значение коэффициента диффузии ионов Оо = 1,3 • 10"9 м2/с. Из этих двух величин вычисляется характерная квазинейтральная концентрация ионов на входе по. Для характерной скорости поверхностной рекомбинации ионов на основании экспериментов [4, 5] выбрано значение Ко = 5 • 10"5 м/с. Средняя характерная скорость жидкости ио = 0,1 м/с. Для электрических параметров при обезразмеривании используются тепловой потенциал Ро = кТ/е, напряженность поля Ео = Ро/Л, полный заряд сечения канала ^о = ещЬ, полный конвективный ток через сечение .1о = QоUо. Координаты х, у отнесены к высоте канала Л = 2 • 10"5 м, Т = 300 К.
В уравнение (1) входят два безразмерных параметра: число Дебая Бе = га/Л и число Пекле Ре =
иоЛ/Оо, где га = (екТ/(8пе2по)) ' , £ — диэлектрическая проницаемость среды.
Граничные условия (2) для концентраций ионов выражают баланс потоков заряженных частиц в перпендикулярном к стенкам направлении, обусловленных диффузией и дрейфом ионов в электрическом поле и поверхностными процессами образования и поглощения частиц. Различия в значениях параметров А?1, К(°'1) для положительных и отрицательных ионов с развитием электродиффузионного процесса вниз по потоку приводят к образованию заряженных слоев, толщина которых определяется в основном проводимостью жидкости. Из экспериментальных и теоретических работ известно, что всегда существует некоторое расстояние от входа Ь (называемое длиной релаксации), после которого поперечные распределения концентраций ионов перестают меняться, а суммарный объемный заряд поперечного слоя единичной ширины и длины Q и полный конвективный ток через сечение единичной ширины .] выходят на свои предельные значения насыщения. При этом возникает разность потенциалов между внешней границей
заряженного слоя и границей раздела, имеющая порядок теплового потенциала кТ/е [3]. Для моделирования асимметрии электрохимических свойств границ раздела значения параметров Л\ , К\ и Л\ ,
К\ на верхней и нижней стенках задаются различными.
Сформулированная задача решается численно методом конечных разностей по неявной схеме по продольной координате с использованием итераций в поперечном направлении при линеаризации нелинейных слагаемых в уравнениях и граничных условиях. Неявная схема и итерационная процедура дают возможность преодолеть трудности, связанные с разрывным условием на границе. С целью сокращения параметров задачи свойства переноса положительных и отрицательных ионов принимаются одинаковыми и в приведенных ниже расчетах полагается Ь = Б = 1.
Для анализа влияния асимметрии электродов на процесс электризации рассмотрим случай, когда на нижней стенке реагируют только отрицательные ионы, а на верхней — только положительные. В качестве конкретного примера запишем безразмерные условия на стенках в следующем виде:
у = 0: щигу = 0, пэ^у = 0,1 - 15щ; у = 1: щЩу = 10п1 - 0,3, П2^2у = 0.
В данной записи величины скоростей рекомбинации ионов обоих знаков взяты несколько превышающими экспериментальные оценки [4, 5], а для поверхностной ионизации выбраны значения, при которых равновесные концентрации реагирующих на поверхности ионов значительно меньше их концентрации на входе в канал: У = 0, П2т = 0,0067; у = 1, п^ = 0,03. Вследствие этого с развитием течения вниз по потоку условия (3) достаточно сильно возмущают концентрации ионов.
Приведенные ниже результаты расчетов получены для реагирующей в объеме среды, когда примесь представляет собой слабый электролит (параметры w, а отличны от нуля). На рис. 1 представлены распределения концентраций ионов щ (кривая 1) и П2 (кривая 2) и плотности объемного заряда ц (кривая 3) в одном из поперечных сечений канала на расстоянии от входа, превышающем длину релаксации Ь. Видно, что вблизи стенок образуются слои с объемным зарядом противоположного знака, причем каждый из них занимает примерно треть ширины канала. Анализ показывает, что по всей длине канала объемный электрохимический процесс не находится в равновесии, причем даже в области, где заряд сечения и конвективный ток уже достигли значений насыщения. Отметим, что это характерно только для условий электрохимически асимметричных стенок.
На рис. 2 показаны распределения потенциала Е (кривая 1) и напряженности поля Е (кривая 2) в том же поперечном сечении. Потенциал в области течения изменяет знак, а распределение поля имеет асимметричную трапециеобразную форму, причем на обеих стенках поле отрицательно.
Развитие процесса электризации вниз по течению происходит так же, как и в случае симметричных стенок [3]. Заряд и ток на некотором расстоянии от входа вниз по потоку выходят на свои предельные значения: электризация достигает состояния насыщения. Анализ показывает, что асимметрия стенок существенно влияет на длину релаксации и на величины заряда сечения и тока. Выбранное соотношение (3) между равновесными концентрациями положительных и отрицательных ионов на поверхности определяет положительные знаки полного заряда поперечного сечения канала и полного конвективного тока через сечение, несмотря на наличие отрицательно заряженного слоя у верхней стенки канала.
Из рис. 1, 2 видно, что каждая из заряженных компонент в перпендикулярном к течению направлении находится под действием противоположно направленных сил — кулоновских от индуци-
(3)
Рис. 1. Распределения поперек канала концентраций ионов щ (кривая 1), П2 (кривая 2) и плотности заряда ц для несимметричных стенок (кривая 3) и ц ■ 0,1 для симметричных (кривая 4)
Рис. 2. Распределения поперек канала потенциала Е (кривая 1) и напряженности поля Е (кривая 2) для несимметричных стенок
У = 0: niUiy = 0, n2U2y = 0,1 - 15n2;
У = 1, X Xg : n1U1y = 0. , n2U2y = - 0,1 + 15n2;
У= 1, X ^ X g : niUiy = - 0,3 + 10ni, n2U2y = 0.
рованного зарядом электрического поля и градиентов парциального давления ионов. В случае симметричных стенок это обстоятельство объясняет выход параметров на насыщение, при котором устанавливается равенство диффузионных и дрейфовых потоков ионов; при этом поверхностные процессы становятся равновесными и не дают вклада в баланс потоков [3].
Однако при неодинаковых условиях на стенках в течениях слабого электролита (ш, а = 0) в состоянии насыщения имеется интересная особенность: поверхностные электрохимические процессы, как и объемные, не находятся в равновесии. Существуют конечный поток отрицательных ионов через нижнюю стенку и равный ему по величине поток положительных ионов через верхнюю стенку, а объемный источник ионов (ш — аи\П2) отличен от нуля во всем поперечном сечении. Это объясняется тем, что при наличии ненулевого объемного источника заряженных частиц в установлении баланса потоков ионов в поперечном направлении участвуют кроме дрейфовых и диффузионных потоки ионов, генерируемые поверхностными процессами. В рассматриваемом варианте параметров плотность тока на стенке за счет объемного источника всего лишь на порядок меньше средней плотности конвективного тока вдоль канала, определяемой делением значения полного тока через сечение единичной ширины на площадь этого сечения.
Для моделирования упоминавшихся выше устройств нейтрализации заряда рассмотрим случай составной верхней стенки канала, когда на некотором заданном расстоянии от входа х = х8 (х8 > Ь/Н) скачком меняются ее поверхностные свойства. Пусть при этом для х < х3 свойства верхней стенки те же, что и у нижней. Расчеты проведем для конкретного примера, используя такие же параметры, что и в (3):
(4)
Представляет важный практический интерес длина релаксации, на которой происходит установление новых предельных значений параметров после изменения свойств верхней стенки. Распределения вдоль канала безразмерных значений полного заряда сечения Q и полного конвективного тока .] показаны на рис. 3. Изменение свойств верхней стенки происходит при х8 = 3000. Участки I кривых отражают развитие процесса электризации в канале с одинаковыми стенками, участки II — с разными. При одинаковых условиях на стенках длина релаксации параметров от значений на входе в канал, отнесенная к высоте канала, равна Ь^ ~ 2340. Из рис. 3 видно, что после изменения в соответствии с (4) свойств верхней стенки происходит достаточно быстрое уменьшение значений заряда и тока; при этом новое предельное состояние достигается на значительно более коротком, чем при входе, расстоянии Ье ~ 270. Резкое падение полного заряда и тока не означает электрической нейтрализации заряженных слоев. Об этом свидетельствует рис. 1, где представлены распределения плотности объемного заряда ц в двух поперечных сечениях, расположенных в областях насыщения при х < х3 (кривая 4) и при х > х3 (кривая 3). Видно, что слой положительного заряда у верхней стенки сменился после изменения ее свойств на слой отрицательного заряда, а положительный заряд нижней стенки уменьшился. При этом уменьшился суммарный заряд сечения и соответственно упал конвективный вынос неском-пенсированного электрического заряда из канала.
Автор приносит благодарность профессору В.А. Полянскому за ценные обсуждения. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 07-01-00026.
Рис. 3. Распределения вдоль канала полного заряда сечения Q (кривая 1) и полного конвективного тока J (кривая 2) в случае одинаковых стенок (участки I кривых) и после изменения свойств верхней стенки (участки II кривых)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Черный Л. Т. Электрогидродинамические модели и методы расчета электризации органических жидкостей при течении по трубам // Докл. АН СССР. 1983. 271, № 3. 573-577.
2. Touchard G. Flow electrification of liquids // J. Electrostatics. 2001. 51-52. 440-447.
3. Панкратьева И.Л., Полянский В.А. Электризация слабопроводящих жидкостей вблизи стенки // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2006. № 2. 3-16.
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №4
63
4. Прибылов В.Н. Экспериментальное исследование тока электризации диэлектрических жидкостей в цилиндрической трубке // Коллоид. журн. 1996. 58, № 4. 524-527.
5. Paillat T., Moreau E, Touchard G. Space charge density at the wall in the case of heptane flowing through an insulating pipe //J. Electrostatics. 2001. 53. 171-182.
Поступила в редакцию 14.02.2007
УДК 53.072
КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА ЗРИТЕЛЬНОГО СЛЕЖЕНИЯ ПРИ НИСТАГМЕ
О. Ю. Штефанова, А. Г. Якушев
В обычной жизни мы никогда не задумываемся о важной роли взаимодействия движений глаз и головы. Согласованность этих движений позволяет нам достаточно четко видеть окружающий мир, например, во время ходьбы, несмотря на возникающие при этом колебания тела и головы. От качественного взаимодействия зрительной и вестибулярной систем во многом зависят двигательные адаптационные возможности человека в условиях современной окружающей среды. Поскольку глаз человека способен поворачиваться лишь на относительно небольшие углы, стабилизация взора при наблюдении за движущимися объектами или, наоборот, при интенсивных движениях головы осуществляется с помощью нистагменных движений глаз.
Каждый из нас испытывает оптокинетический нистагм при наблюдении за перемещающимися в поле зрения предметами. Когда едущий в поезде человек смотрит в окно, его глаза плавно сопровождают меняющийся за окном пейзаж, а затем взгляд скачкообразно перемещается на новую точку фиксации. Вестибулярный нистагм может возникать спонтанно, естественным образом в условиях движения и вызываться искусственно. Примером искусственно вызванного вестибулярного нистагма является вращательный нистагм, возникающий в результате вращения испытуемого или совершения испытуемым вращательных движений головой.
Нистагм представляет собой серию непроизвольных ритмических содружественных движений глаз, состоящих из двух фаз — медленного компенсаторного отклонения глаз в одном направлении и сменяющего его быстрого возвратного скачка в исходную позицию.
Во время медленной фазы происходит восприятие визуальной обстановки, во время быстрой фазы (саккады) зрение подавляется. Таким образом, при нистагме восприятие окружающей среды может происходить только кусочно, на отдельных интервалах времени. Кроме того, во время каждой новой медленной фазы взор оказывается направленным в новую точку.
Рассмотрим оптокинетический вестибулоцервикальный нистагм, возникающий при активных поворотах головы и открытых глазах. Введем неподвижную систему координат, связанную с телом человека, и подвижную систему координат, связанную с головой человека. Будем считать нулевым угловым положением головы в неподвижной системе координат положение, когда голова человека не повернута относительно тела. В качестве нулевого углового положения глаза в подвижной системе выберем положение, когда глаз смотрит прямо. Положительное направление соответствует вращению вправо. Пусть человек совершает повороты головой вокруг вертикальной оси по закону ©s = ©S (t), записанному в неподвижной системе координат. Тогда положение зрительной мишени, на которой должен быть фиксирован взор в течение i-й медленной фазы, в подвижной системе определим соотношением
©R(t) = -©S(t) + ©S(ti) + ©ER(ti), t e (ti; Ti), (1)
где ©s(ti) и ©ER(ti) — соответственно угловое положение головы и глаза относительно головы в момент ti окончания (i — 1)-й саккады, Ti — окончание i-й медленной фазы.
Известно [1], что для четкого видения образ мишени должен отклоняться не более чем на 2° от центра фовеа (fovea) и перемещаться с угловой скоростью не более 4°/с. Поэтому будем считать, что мишень видна в данный момент отчетливо, если одновременно выполнены два условия: |©R(t) — ©ER(t)| < ©* и I©R(t) — ©ER(t)| ^ ©*, на угловую величину промаха взора и на скорость ретинального скольжения, где ©* = 2°, © * = 4°/с. Часть i-й медленной фазы, в течение которой эти условия выполнены, обозначим Ti.
