Особенности движения мелющей загрузки в шаровой барабанной мельнице Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Ю.В. Лмитрак, Е.Е. Балахнина, 2003

УЛ К 621.926.5

Ю.В. Лмитрак, Е.Е. Балахнина

ОСОБЕННОСТИ ЛВИЖЕНИЯ МЕЛЮЩЕЙ ЗАГРУЗКИ В ШАРОВОЙ БАРАБАННОЙ МЕЛЬНИЦЕ

Анализ теоретических исследований движения мелющей загрузки в помольных камерах шаровых мельниц свидетельствует о наличии достаточно малого числа работ, посвященных изучению динамики мелющих тел во всем объеме помольной камеры, а также в отдельных ее частях. На наш взгляд это связано с ограниченными возможностями нахождения истинных значений различных коэффициентов (например, демпфирования при соударении шаров или трения при движении отдельных слоев загрузки), входящих в уравнения движения.

При этом, если методики определения коэффициентов трения и соответствующих сил трения между твердыми телами в легкодоступных для непосредственного измерения частях механизмов разработаны достаточно полно [1]-[8], то в замкнутом объеме, каким является помольная камера любой мельницы, определение реальных значений вышеуказанных величин представляет собой в настоящий момент сложную, а иногда неразрешимую задачу. Известны работы [10], [9], в которых авторы решают эту задачу, применяя косвенные методы расчета и анализа физических величин, входящих в дифференциальные уравнения движения мелющей загрузки, в результате чего математические модели, содержащие определенные подобным образом физические величины в целом правильно описывают существо процесса, но содержат при этом ряд неточностей, влияющих на достоверность значений параметров, полученных в результате решения уравнений движения загрузки.

Существующие на сегодняшний день математические модели движения шаровой загрузки в помольной камере шаровой мельницы имеют ряд допущений, снижающих практическую ценность получаемых результатов. К главным недостаткам данных моделей можно отнести представление загрузки или отдельных ее частей (например, малоподвижного ядра в работе [9] как единого (твердого) тела). В дальнейшем все математические преобразования осуществлялись исходя из такого представления. В связи с этим математическая модель, составленная автором в работе [9] описывает фрикционные колебания малоподвижного ядра мельницы, представленного сегментом постоянной массы и формы. Исходя из анализа данной математической модели можно предположить, что центральное малоподвижное ядро можно выполнить в виде цельнометаллического сегмента с определенной массой и размерами. При этом такой сегмент будет совершать колебания

Рис. 1. Расчетная схема движения мелющих тел в барабанной мельнице.

согласно зависимостям, полученным в работе [9].

Ясно, что подобная математическая модель достаточно точно описывает существо процессов, происходящих в помольной камере шаровой мельницы. Однако на наш взгляд имеется возможность найти более точные значения динамических параметров загрузки, представив центральное малоподвижное ядро в виде ряда шаров, между которыми находятся либо пустые промежутки, либо измельчаемый материал. При этом в любом случае шары могут двигаться друг относительно друга в процессе вращения помольной камеры, что, вообще говоря, в действительности и происходит. В этом мы видим принципиальное отличие данной расчетной схемы (рис. 1) от расчетной схемы, приведенной на рис. 4.12 работы [9].

Обозначим: ик1; ик2 - скорости К-го шара соответственно до и после удара о (К+1)-й шар; ук1; ук2 -скорости К-го шара соответственно до и после удара о (К-1)-й шар ;^-время прошедшее между ударами К-го шара о (К+1) -й шар и (К-1)-й шар, т.е. время движения К-го шара вниз после его удара о (К+1)-й шар; Ьк - расстояние между точками соударения К-го шара с (К-1)-м и (К+1)-м шарами (рис. 2). Будем описывать квазипериодические движения системы при условии, что к -й шар совершает за период движения по одному соударению с к — 1-м и к + 1-м шарами при 2 < к < п — 1. Первый шар в цепочке соударяется по одному разу со вторым шаром и поверхностью помольной камеры. Последний п -й шар совершает за период только одно соударение с п — 1-м шаром. На основе известных механических соотношений составим уравнения упругого удара, описывающие изменение скоростей К-го и (К-1)-го шаров:

и( К—1)1

X • К1 — «,

+ У К1 и( К—1)2 + У К 2

(К—1)1

) и( К—1)2 У К2

(1)

(2)

Рис. 2.К определению скоростей шара в цепочке

Период движения системы определяется следующим образом:

Т = (3)

а

где ш - частота соударения нижнего или верхнего шаров малоподвижного ядра с остальной частью загрузки.

Произведем кинематический анализ движения шаров, входящих в мелющую загрузку. (рис. 2).

К-й шар совершает сложное движение, вращаясь вместе с остальной частью загрузкой вокруг оси камеры (переносное движение), а также двигаясь относительно загрузки в промежутках между соударениями с (К+1)-м и (К-1)-м шарами (относительное движение).

Присвоим индексы “е” и “г” величинам, характеризующим соответственно переносное и относительное движение. Направления кинематических величин показаны на рис. 2.

Абсолютная скорость движения К-го шара до удара с (К+1) шаром:

и,, = V + и1 (4)

Учитывая, что V и и

e

получим:

UK 1 = UK 1 + Ve

лежат на одной прямой,

Аналогично:

U( K-1)1 U( K-1)1 + V e

u

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

Uk 1 = UK, - Ve (10)

Абсолютное ускорение К-го шара до удара о (К+1) - й шар:

(11)

(K-1)2

- u( K-1)2 - v.

Ur 2 = U'k 2 + Ve

а. 1 — g + a. + a. + a., + a., k

ku1 O k u, ku, ku1 ku1 ^x

где aeT -переносное касательное ускорение;

ku1

относительное касательное ускорение; переносное нормальное ускорение; относительное нормальное ускорение.

С = ее • R ,

где £е -угловое переносное ускорение шара.

е е

£ = Ш

но ше = const т.к. помольная камера вращается с постоянной угловой скоростью.

Отсюда £ = 0 и aeT = 0.

Между соударениями шары движутся в направлении прямой, соединяющей их центры, только в поле силы тяжести [16]. Тогда в относительном движении ШГ = const и ег, = ШГ = 0. Таким образом:

ku1

aen'

(12)

(13)

К, — Є ■ R — 0

(14)

Рис. 3. К определению ускорений шара в цепочке

С, = (® )2 • я

С = (и;,)2/ я

«I, = 2®х и,

= 2®е • и, • вт®;«;,)

Применяя известные правила механики и учитывая, что ®е ± , находим модуль направления век-

тора ускорения Кориолиса.

(19)

(15)

(16)

(17)

(18)

a kU1 - 2ф

и

Вектор a

k1 — к

—— СП

сонаправлен с векторами a. . и «

Модуль абсолютного ускорения «

Iiu1

можно най-

ти, выбрав оси координат, например, так, как показано на рис. 3.

Проецируя (2.11) на выбранные оси получаем:

«и —с,+ a::,+«и - g ■ sin в

<1=«u+«z - g ■cos в

, —%to2+a«)2

Величина абсолютного ускорения «

(20) (21) (22) не пред-

ставляет интереса с точки зрения анализа влияния движения шаров в малоподвижном ядре на его колебания. Намного важнее, как это будет показано ниже, знать величины, составляющие проекции абсолютного ускорения на координатные оси.

Аналогичным способом определяем остальные ускорения, изображенные на рис. 3.

Абсолютное ускорение К-го шара после удара о (К+1)-й шар:

(23)

(24)

(25)

«и 2 = g + «‘ы + «и

tn , rn

+ «,

+ «у

-se ■ R - о

-єг ■ r - о

г:

«

a

«гп — Uu 2

— Сте)2 • R

U 2)2

(2б)

(27)

R

— 2m x и

— U aku2

«U 2 — 2me ^ Uk 2

(28) (29)

Следует обратить внимание, что вектор противоположно направлен вектору . В связи с этим ускорение Кориолиса «кИ2 будет направлено противоположно вектору ак .

киї

Проецируя (23) на оси координат (рис. 3) получим:

х en.ru к "Л

«ки2 = « ки2 + «к,2 - «к.2 - 8 ^ ^П Р

аУ — ^

ku 2 ku 2

a

- «ku2 - g ^ COs ß

с«: 2)2+с«: 2)2

а1:, — Єе • R — О

Uvl

(30)

(31)

(32)

Абсолютное ускорение К-го шара до удара о (К-1)-й шар:

= 8 + С, + «Г, + С, + «V, (33)

кг1 о к., к., к., к.,

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Проецируя (33) на оси координат (рис. 3), получим:

(40) (41 )

—є; • r — о — Сте)2 • R

«7, —

Uvl

С:",)2

R

а,:., — 2mе x v

rk

"Uvl

«uv, — «:,+ aun, - «kv, - g • sin ß

«,, — «,,

Uvl Uvl

a

g•cos ß

—V с«:,)2+к,)2

(42)

Абсолютное ускорение К-го шара после удара о (К-1)-й шар:

(43)

(44)

(45)

(46)

«kvi — g + aU:2 + «"2 + «к: 2 + «kV 2

«::2 —єе • r—0

«: 2 —є; • r—0

__en /__e \ 2 r%

a:v2 — Cm ) •R : 2)2 R 2m

a' —

«UV? k: 2

e x <2

«k, — 2me • :'

a

(47)

(48)

„ (49)

к. 2 к 2 4 '

Проецируя (43) на оси координат (рис. 3), получим:

(50)

(51)

(52)

«L — «en2 + «^ + «42 - g • sinß

kv 2 У

:«Г2 + «7:2 - g • cos ß

«kv 2 — V С«: 2)2 + С«У 2)2

«i:-1) ui — єе • r—0

en

Абсолютное ускорение (К-1)-го шара до удара о К-й шар:

— — . —ет , —1и , —;и , —к /С*3\

«(к-,) и, = 8 + «(к-,) и, + «(к-,) и, + «(к-,)., + «(к-,) и, (53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

«- „ , — Є • R — 0

ul k

с k -l) u

с k-1) ul

«in-i)ui — Сте)2 • R

a

Ск-1)н1

Uu - i)i) R

«':-i)ui — 2me x U

С к-1)1

l"

ч к-1)u1

— 2m • u

r

С к-1)1

Проецируя (53) на оси координат (рис. 3) получим:

g • sin в (60) (61) (62)

ax — «en + arn - «: -

МСи-1)ui иси-i)ui ~гиси-1)иі ис:-1)ui

ve; r; Л

асУи 1) , — «си,) , - «си,) , - g • cosß

С k-1)u1 С k-1) ul С k-1) ul О Г~

і Л/ Cа(k-1)ui) + С«ік-1)ui)

(к-,) и,

Абсолютное ускорение (К-1)-го шара после удара о К-й шар:

(63)

(64)

(65)

(66)

2 g + ас к-1) u2 + aск—ï)u2 + aсk—1)u2 + « Ck—1)м2

«¡UU2 — єе • R — 0

a(n-i)U2 —є; • R — 0

a

С:-і) м 2

a

—m )2 • r

(Uсrk-1)2 )2

с k - l) u 2

R

k

С"-1)u2 k

a; — 2m, x u'

С к-1)2

«Си-iu — 2me • Uсrk-1)1

(б7)

(бВ)

(6Q)

Проецируя (63) на оси координат (рис. 3) получим:

«X — «en + a'

Ск-1)м 2 С k-1) u2 1 С k-1) u2

- «си-і)u2 - g •sin ß

ve; гт ґь

« к-і)u2 — «(k-l)u2 - «(k-l)u2 - g • cosß

(70)

(71)

(72)

«(к-,)и2 л] («(к-,)и2 ) + («(к-,)и2)

Между соударениями К-й шар движется вдоль оси У с ускорением «у .Так как массы и размеры

шаров одинаковы, то относительные скорости К-го шара до и после удара будут равны.

Ик, = .к2 - «ки, • (Т - 1 к )

.к, = ик2 + «ки! • {к

Из (73) и (74) получаем:

r Г

v - V

к 2 kl

u'l - uk2 + «kul • СТ - 2tk )

(73)

(74)

(7З)

Аналогично для абсолютных скоростей К-го шара

справедливы следующие равенства:

Uki — VU 2

a

У

■СТ - tk )

V:i — Uu2 + «U •t:

(76)

(77)

rn

V.2 - V.1 — u*1 - U2 + <1 ■ (T - 2t. )

(78)

Выражение для «. найдем из (21); подставляя

числить, используя выражения для скоростей К-го шара до и после удара.

8 • сое Р• Єк

« ' и « находим:

KU1 KU\

(85)

2

«

— -g ■ cos в

(79)

Знак (-) в (79) говорит о том, что ускорение «.

направлено против скорости ик1 . Следовательно,

скорость шара до удара о последующий шар всегда меньше скорости шара после удара его о предыдущий шар.

С учетом (2.79) имеем:

ч g •C0S в (T - tk )2 hk = uJT - tk)-5------------Г-2--------k±- (86)

Время tk между соударениями К-го шара при

его движении от (К-1)-го шара найдем, прировняв выражения (85) и (86):

^ • t. + = Vk2(T - tk) - ^С0в (T - tk)2 (87)

U.1 — V. 2 - g ^ COSp (T - t. ) V.1 — U2 + g ^ C0S P- t.

(80)

(81)

2

Отметим, что:

2

V.2 - V.1 — U.1 - U 2 + g ^ СОв (T - 2t. ) (82)

Преобразуем выражение (2.1) следующим образом:

V.2 - V. 1 — U(.-1)1 - U(.-1)2

(83)

U2 — R ^ U.1 (88)

Подставляя (80) в (87) с учетом (88), получаем:

(R■ V.2 - R■ g■ cosP(T - tt))■ tt + g■C0sP2(T - ^)2 — V.2(T - tt) g ■cos p■(T -^)2

Сравнивая (2.82) и (2.83) получаем:

2

u

- U — U - U + g ■ COS P- (T - 2t ) (84) После соответствующих преобразований время tk оп

Анализ выражений (82), (83), (84) позволяют сделать вывод о том, что разница между скоростями до и после удара всех шаров друг о друга в наклонном столбике для данной системы является строго определенной постоянной величиной, зависящей от параметров состояния самой системы.

Расстояние Ьк между точками соударений К-го

шара с (К-1)-м шаром, т.е. длину свободного пробега К-го шара вычислим исходя из следующих соображений. Так как пути, пройденные (К-1)-м шаром вверх и вниз одинаковы, то величину Ь можно вы-

k

ределяется путем решения квадратного уравнения:

(R • g • cosв + g • cosр) • t2k + (vk2 - g • cos^ T - (89)

R • g • cos в T + R • Vk 2) • tk + g ^ С0в T 2 - Vk 2 • T = 0

Представленные выше выражения целиком описывают движение каждого шара в цепочке мелющей загрузки. Причем, впервые для каждого шара удалось оценить его кинематические характеристики до и после удара. Это, в свою очередь, позволило учесть влияние предыдущих соударений на формирование динамического портрета системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Крагельскпп И.В., Гитис Н.В.

Фрикционные автоколебания.-

Наука,1987.-183с.

2.Пенлеве П. Лекции о трении. -М.:ГИТТЛ, 1964.-316с.

3.Андронов А.А., Витт А.А., Хай-кин С.Э. Теория колебаний. -М. : Наука, 1981.-568с.

4.Марюта А.Н. Теория моделирования колебаний рабочих органов механизмов и ее приложения. -Днепропетровск: Издательство ДГУ, 1991. -176с.

Ъ.Хитрик В.Э, Шмаков В.А. Исследование закономерностей трения скольжения в нестационарных режимах движения.// Вибромеханика, 1978. №2(32) -с. 97-106.

6. Гринман И. Г., Бен баев А. Б. Контроль и регулирование процессов

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

дробления и грохочения руд. -Алма-Ата: Наука, 1977.-127с.

7.Сиденко П.М. Измельчение в химической промышленности. -М.:Химия, 1977.-364с.

8.Бартенев ГМ, Лаврентьев В.В. Трение и износ полимеров. -Л.: Химия, 1972.-240с.

9.Марюта А.Н. Фрикционные колебания в механических системах. -М.: Недра, 1993.-240с.

10.Крюков Д.Г. Усовершенствование размольного оборудования горнообогатительных предприятий. -М.: Недра,1966.-174с.

11.Корбинский А.Е., Тывес Л.И. Квазиупругая характеристика виброударных систем. -Инж. Ж. МТТ, 1966, №5.

12.Нагаев Р.Ф. Правильные импульсные движения в одномерной системе. -ПММ, 1967, т.31, вып.2.

13.Нагаев Р.Ф. Правильные импульсные движения в поле сил тяжести. -Сборник «Механика машин», М.: Наука, 1968, вып. 17-18.

14.Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями: динамика и устойчивость. -М.: Наука, 1964.

15. Тывес Л.И. Анализ динамики и устойчивости периодических режимов движения многомассовых виброударных систем. -Машиноведение, 1966, №1.

16.Кобринский А.А. Динамика одномерных систем шариков, движущихся с периодическими соударениями. -М.: Механика твердого тела, №5. 1968.-с.36-42.

Дмитрак Юрий Витальевич- профессор, Московский государственный горный университет. Балахнина Евгения Евгеньевна - аспирантка, Московский государственный горный университет.