CC BY
49
УДК 621.313.13-133.3:62-83
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ЗАМКНУТЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАТРОННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ С ШАГОВЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
Ю.С. Смирнов, А.В. Соколов
FEATURES OF DYNAMICS CLOSED ELECTRO-MECHATRONIC CONVERTERS WITH ELECTRIC STEP MOTORS
Yu.S. Smirnov, A.V. Sokolov
Представлен анализ устойчивости замкнутых электромехатронных преобразователей (ЭМТП) с шаговыми электродвигателями (ШЭД). Рассмотрены два варианта определения условий устойчивости нелинейной импульсной системы. Получена импульсная передаточная функция ЭМТП с учетом запаздывания в системе. Построение переходного процесса при детерминированных входных воздействиях в системе произведено численным методом по рекуррентной формуле.
Ключевые слова: устойчивость, нелинейная импульсная система, импульсная передаточная функция, рекуррентная формула, передаточный механизм.
The analysis of stability closed electro-mechatronic converters with electric step motors is presented. Two variants of definition of stability conditions of nonlinear pulse system are considered. Pulse transfer function electro-mechatronic converters taking into account delay in system is received. Transient construction at the determined entrance influences in system is made by a numerical method under the recurrent formula.
Keywords: stability, nonlinear pulse system, pulse transfer function, the recurrent formula, the transfer mechanism.
Анализ устойчивости
Общим для работы замкнутого и разомкнутого ЭМТП с ШЭД является то, что независимо от амплитуды входного импульса ШЭД отрабатывает единичное шаговое перемещение, что эквивалентно наличию в структурной схеме порогового элемента, обладающего релейной характеристикой. Логическая часть электронного коммутатора (ЭК) осуществляет импульсную фазовую модуляцию, преобразуя одноканальную последовательность импульсов малой мощности в многофазную систему напряжений, прикладываемых к обмоткам управления ШЭД. Ступенчатому характеру напряжений на обмотках ШЭД соответствует дискретное вращение электромагнитного поля, вследствие чего движение ротора состоит из элементарных угловых перемещений, совершаемых по неко-
торому закону. Электромехатронный преобразователь с ШЭД является системой с т + 1 степенями свободы: т - электрические и одна механическая.
Эквивалентная структурная схема замкнутого ЭМТП с ШЭД представлена на рис. 1.
Передаточная функция Wл(p) в ЭМТП включает в себя передаточные функции интеллектуального силового модуля (ИСМ) и цифрового преобразователя перемещений (ЦПП), которые в первом приближении можно считать безинерционными и характеризовать коэффициентом передачи. В большинстве случаев влияние динамики циклического ЦПП можно учесть звеном чистого запаздывания. Динамические свойства ЦПП следящего типа рассмотрены в [1]. В зависимости от соотношения динамических показателей ШЭД и остальных звеньев ЭМТП, которые определяются построением
Смирнов Юрий Сергеевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Приборостроение», Южно-Уральский государственный университет; Тел: (351)2679012.
Соколов Александр Васильевич - старший преподаватель кафедры «Автоматизация механосборочного производства», Южно-Уральский государственный университет; ialexsok@gmail.com
Smirnov Yury Sergeevich - PhD, professor of Instrument making Department of SUSU; Tel: (351)2679012.
Sokolov Alexander Vasilevich - senior teacher of Automation of machine-assembling manufacture Department of SUSU; ialexsok@gmail.com
ЭК и ЦПП, возможны два варианта определения условий устойчивости и возникновения периодических режимов в ЭМТП.
Первый вариант связан с применением в ЭМТП устройств, имеющих постоянные времени, значительно превышающие период управляющих импульсов ШЭД. Поэтому исследование устойчивости и условий возникновения периодических режимов может производиться путем перехода к эквивалентной релейной САУ без временного квантования. Это позволяет для анализа такой САУ воспользоваться известным методом гармонического баланса в его обычной форме.
В быстродействующих ЭМТП основным динамическим звеном является ШЭД. Анализ динамики такой САУ можно произвести на основе обобщенного метода гармонического баланса применительно к нелинейным импульсным системам.
Эквивалентная структурная схема ЭМТП для такого сочетания параметров представлена на рис. 2.
Рис. 2
Для анализа устойчивости определяем импульсную передаточную функцию разомкнутого ЭМТП, которая, как известно [2], представляет собой дискретное преобразование Лапласа импульсной переходной функции приведенной непрерывной части импульсной системы:
K* (, г) = D{со(я, г)} = X е~<ргю(я, г). (1)
п=0
Импульсную переходную функцию системы можно определить по известной передаточной функции, пользуясь теоремой разложения [2]:
s rv-1 ( 1 ^ -М
®(о=XI 1 а
=0 U=0 V (rv ^ l)! dPV -Ц-1
x
W (p)( - pv
' npvt
(2)
p=pv ц!
где W (р) = P (р)/[PQ (р)] .
Для случая, когда имеется один нулевой корень,
С0о = P(0)|Q(0); CVo = Р(р )/)pv ]. (3)
Вычисление коэффициентов С'щ довольно
трудоемко. Импульсная переходная функция ю(/) и переходная функция звена ^(/) связаны между собой соотношением ю(/) = dhldt.____________________
Импульсная переходная функция ЭМТП в данном случае будет переходной характеристикой ШЭД, которому соответствует переходная функция колебательного звена с запаздыванием, равным 4ап, поскольку входные импульсы ЭК можно считать дельта-импульсами. Для получения Б-преобразо-вания решетчатой функции с запаздыванием воспользуемся теоремой сдвига [2].
Переходная функция колебательного звена h () = 1 - ^т х
cos
Vi1?
t +
Vi1?
sin
Vi1?
(4)
Без учета запаздывания это и есть импульсная переходная функция приведенной непрерывной части ЭМТП:
( .. \
«(t) = 1
cos «t +
sin «t
(5)
где «
Vi1?
Введем новую независимую переменную -безразмерное время Т = t|Ty , тогда
( „ \
«
(t ) = 1 - e-? TTvlT
cos «t +
sin « t
(6)
где « = «Tv
Обозначим ?Ty / T = п, тогда смещенная решетчатая функция
«[п, є] = 1[п, є]-
f \
-Пи
cos «п +
V1-?
sin «п
(7)
Воспользуемся теоремами смещения и линейности и определим импульсную передаточную функцию комплекса без учета запаздывания:
*, ч eq e2q cos юе- eqe~n cos ю(1 -e) -ne
K (e)=-^ —=------------------------e~n -
e2q - 2eqe п cos «+ e 2n
e2q sin «є + eqe п sin «(1 -є) ?
-пє
(8)
e2q - 2eqe п cos «+є 2п ^ -?2
Чтобы получить импульсную передаточную функцию с учетом запаздывания, воспользуемся теоремой сдвига [2]. Если є < 0, то введем в рассмотрение решетчатую функцию вида ю(^-1, 1+є), тогда согласно теореме
D{«[п-1,1 + є]} = e~qF* (, 1 + є).
Особенности динамики замкнутых электромехатронных преобразователей с шаговыми электродвигателями
Выразим запаздывание через безразмерное время о = ^ап I Ту и воспользуемся теоремой запаздывания [2]. Импульсная передаточная функция ЭМТП (см. рис. 2) с учетом запаздывания будет иметь вид
K * (q, е) =
e2q cos we
eqe n cos w(1
>2q - 2eqe~n cos w+ e“2n
£ eq sin w(1 -g) + e n sin wa _n(1-a+
e-ne-
(9)
^1 -^2 e2q -2eqe n cos w+ e 2n
Учет влияния запаздывания важен при анализе устойчивости ЭМТП, она снижается с ростом запаздывания. Для анализа влияния запаздывания на устойчивость определяется импульсная передаточная функция замкнутого ЭМТП и по характеристическому полиному, с учетом критерия устойчивости Гурвица применительно к импульсным системам, определяется зависимость граничного коэффициента усиления системы как функция относительного запаздывания. По характеру эта зависимость является падающей, что указывает на ухудшение устойчивости системы с увеличением запаздывания [3].
Поскольку система является нелинейной, то необходимо определить условия отсутствия периодических режимов. Для этой цели используется метод Л.С. Гольдфарба, развитый в работах Я.З. Цыпкина и Ю.М. Коршунова применительно к нелинейным импульсным системам. Для получения условий отсутствия периодических режимов строятся их возможные границы. Упрощение анализа достигается использованием известного критерия абсолютной устойчивости САУ.
Построение переходного процесса
Для построения переходного процесса в системе удобно воспользоваться численным методом. В нелинейных непрерывных системах он обычно обеспечивает лишь приближенные решения, а для импульсных нелинейных систем во многих случаях дает точные решения. Для этого выводят рекуррентную формулу [3].
Преобразуем структуру ЭМТП к виду, показанному на рис. 3.
Пользуясь обозначениями координат на нем, можно записать следующее уравнение:
Р (д)-X (д ) = К * (д )£ Ф [х (п)] е. (10)
п=0
Так как информация в Б-преобразовании функции времени при е = 0 содержится только в моменты времени t = пТу , то, следовательно, дан-
ное уравнение содержит неизвестную величину ошибки при t = пТу, где Ту - период выборки информации, а п - номер управляющего импульса. Поскольку импульсная передаточная функция представляет собой Б-преобразование импульсной переходной функции приведенной непрерывной части, ее можно разложить в ряд по степеням:
К * (д ) = D (ш[ п,0]} = В0 + &е -д +
+&2е~24 + -, (11)
где £к - ординаты импульсной переходной функции при t = К .
Аналогично входную функцию, равную нулю при отрицательных значениях времени, также можно разложить в степенной ряд:
Р (д) = Р0 + ре"д + Р2 е"2 д + Р3е_3д + - (12)
Неизвестную функцию ошибки также представим степенным рядом:
X (д) = Х0 + X 1е~д + Х2 е“2 д + Х3 е ~3д +..., (13)
где Х^ - величина ошибки при t = К .
При подстановке степенных рядов в исходное уравнение получим
2q
+ ...
= (0 + ( ■д + £2 е~2д + -) (Ф [X 0 ] +
+ Ф [Х1 ]е~д + Ф [Х2 ]е_2д + -). (14)
Чтобы удовлетворялось это уравнение, коэффициенты при соответствующих степенях ед должны быть равны:
Р - X 0 = £ 0 Ф [ X 0 ];
Р -X, = £0Ф[X1] + йФ[X0];
Р - X2 = £0Ф [X2 ] + &Ф [X ] + £2Ф [X0 ] (15)
Fk - Xk = X SnФ [Xk-,
n=0
(16)
Поскольку £0 = 0, то, очевидно:
X 0 = Р0;
X = р - &Ф [X0 ];
X 2 = Р -&Ф [X1 ]-£ 2 Ф [X0 ];
Xk = Р - I £пФ [к-п ], £0 = 0.
п=0
Поскольку коэффициенты £к сходятся к постоянному значению, придется брать большое число слагаемых для получения достаточно точного результата. Чтобы избежать этого, произведем вычитание двух последовательных ошибок. В этом случае получим следующий вид выражений, определяющих ошибки:
q
e
X = Xo - ЙФ[ Xo ]+F - F0;
X = X! + F2 -F -g^[X ] - ( -gl) Ф[Xo ];
^+1 = Xk + ^к+1 рк £1Ф [^^к] ( (2 £1) ФXk -1.
Таким образом, переходный процесс в замкнутом ЭМТП при детерминированных входных воздействиях можно рассчитать по рекуррентной формуле [3]:
Xk+l = X, + Рк+1 - Р - £ апФ [Xk-п ]. (18)
п=0
При ее выводе полагалось, что импульсная переходная функция в момент времени t = 0 имеет нулевое значение, а коэффициенты - а0 = £1; а1 = £2 - & ; ак = Як+1 - Як- В этом случае коэффициенты ак при увеличении к будут стремиться к нулю. Коэффициенты £к можно либо вычислить путем деления числителя импульсной передаточной функции на ее знаменатель, либо взять ординаты импульсной переходной функции приведенной непрерывной части САУ в моменты времени / = кТу прихода управляющих импульсов на вход ЭМТП с ШЭД.
Построение переходного процесса в ЭМТП с ШЭД позволяет наглядно продемонстрировать основной недостаток пошагового управления, заключающийся в колебательном характере движения ротора и, соответственно, ИСМ. Находящиеся близко расчетные и экспериментальные значения параметров движения позволяют произвести оценку динамических показателей и ресурса ЭМТП с учетом оптимизации передаточного отношения ИСМ. Наименьшим ресурсом обладает ИСМ, имеющий износ поверхностей зацепления, т. е. редуктор.
Расчеты и экспериментальные исследования показали, что ЭМТП с ШЭД имеет области частот управления, при которых нагрузки на элементы ИСМ возрастают, что приводит к повышенному износу элементов редуктора. Кардинальным сред-
ством устранения этого фактора является переход к минишаговому управлению. Наибольший эффект достигается при использовании минишагово-го управления в сочетании с самокоммутацией, что делает реальным создание безредукторного ЭМТП [4].
Это следует учитывать при проектировании ЭМТП с продолжительным сроком службы и переходить к безредукторным ЭМТП, которые за рубежом именуются Direct Drive (DD) [5], или Super Drive (SD).
При замыкании контура местной обратной связи (МОС) динамические свойства ЭМТП изменяются по сравнению с его динамическими свойствами при пошаговом управлении. Исполнительный электродвигатель при этом приобретает свойства вентильного электродвигателя (ВЭД), динамика которого требует отдельного рассмотрения.
Литература
1. Домрачев, В.Г. Схемотехника цифровых преобразователей перемещений: справ. пособие /
B.Г. Домрачев, В.Р. Матвеевский, Ю. С. Смирнов. -М.: Энергоатомиздат, 1987. - 392 с.
2. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин. - М.: Физматгиз, 1963. -968 с.
3. Макаров, В.В. Некоторые вопросы анализа замкнутых систем автоматического управления с шаговыми электрическими двигателями / В.В. Макаров, Б.Л. Маринин, Ю. С. Смирнов // Электромеханические системы управления. - Л.: Наука, 1971. -
C. 3-11.
4. Smirnov, Y.S. Common Dateware of Robotics Mechatronic Converters Proc. of the Third ISMCR ’93 / Y.S. Smirnov. - ITALY, Torino, 1993.
5. Балковой, А.П. Прецизионный электропривод с вентильными двигателями / А.П. Балковой, В.К. Цаценкин. - М.: Издательский дом МЭИ, 2010. - 328 с.
Поступила в редакцию 16 января 2012 г
