Особенности динамического возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

Особенности динамического возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний Р.Р. Кадыров, А.А. Ляпин

Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону

Задачи расчета поверхностных сооружений при динамических воздействиях внутренними источниками колебаний связаны с проблемами сейсмостойкого строительства, возведением зданий в зонах, близких к линиям метрополитена мелкого и среднего заложения. При этом основные особенности такого воздействия связаны как со спектральным составом возбуждения, так и строением неоднородного грунта. Во многих случаях грунт можно моделировать слоисто-неоднородной упругой или вязкоупругой средой.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача возбуждения гармонических колебаний внутренним источником, заглубленным в слоисто-неоднородную полуплоскость.

Пусть область, занимаемая линейно -упругой средой представляет собой многослойную полуплоскость О (Рис. 1).

В = Д и В2 и ...и

= (х > 0; у е(— го,+го)}- полуплоскость;

Ву = (х е (—Ху,—Ху—0; у е(— »,+»)} Ху = ]^; -Ъй слой 0=2,...,Я);

I = 2

Физические свойства

Рис. 1 описываются

среды описываются плотностью р у и скоростями распространения поперечных и продольных волн: ,УР^.

Условия стыковки разнородных сред считаются жесткими с требованием непрерывности векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела.

В точке с координатами r0 = {x0, у0} действует сосредоточенный источник гармонических с частотой ш колебаний:

P5(x - х0 )б(у - у0 )• exp (- ia t)

2. Построение решения

Решение поставленной задачи соответствует построению матрицы фундаментальных решений точечного источника, реализация которого осуществляется с помощью принципа суперпозиции.

В основе данного построения решения для многослойной среды лежит вывод определяющих соотношений для одного слоя с заданными на его гранях векторами напряжений.

Пусть в локальной системе координат для j -го слоя: (x, у): X е (о, hj ), у е (- ад) амплитудные функции перемещений при действии

сосредоточенного в г0 источника имеют вид:

U(ro,r) = U') (ro,r),U2) (ro, r)}= Uj (ro> г),иУj (ro>r)}

Функции U(j (Г0, Г) удовлетворяют уравнениям движения Ляме [1]

л

(Xj + 2цj)graddiv U - цj rotrot U = -pjш U,

X j и ц j - постоянные Ляме: Vpj =

X j + 2ц j

—---------— , Vc ,■ =

S j

p j j

Vj_

P j

Согласно предлагаемому методу данные функции будем разыскивать в виде

(з> ах > а,2 > а,ъ >

ик = ик + ик + ик .

(При аналогичном рассмотрении полуплоскости считаем и(/Д) = 0 ).

Здесь слагаемые ик,п)(х, у), п = 1,2 данного представления являются решениями уравнений Ламе для однородной полуплоскости с удовлетворением граничных условий:

ах = г °Д)(°,у) = цу х0Д)(у), х ху = г °,2)(^у ,у) = цу х0,2)(у).

Вектор перемещений и( ',’1)( х, у) представим в виде интеграла Фурье через трансформанты вектора напряжений Х( ',’1)( у):

и Д) (х, у) = — | Р Д) (х, а) • Х°'Д) (а)е—/ауйа. (1)

Контур Г определен принципом предельного поглощения: обходит положительные полюса подынтегральной функции снизу, отрицательные - сверху, а на остальной части

совпадает с вещественной осью. Элементы матрицы Р( ] 1 имеют вид:

^/•1)(х,а) = а^1 {-<2 вц + 2а 2еу 2 }. ^2‘1)(х>а) = -^а(- 2а]1а]2е]1 +^2 ] }.

Ля Ля

Р(1 •1)(x•а) = ^{-<^1 + 2а71ау2еу2 }. Р^ ^ а) = а-1 {^а Ч'1 — Ф] 2 }

Ля лЯ

2 4 —^-1г X

Ля =—4аала> 2 + ^-. ек = е 7 .

с, 2 2 2 2 2 г\2 г\ ® ^ ®

< ] =а +а ] 2; акк =а - е кк; е 1 = —; е к 2 =—.

У Р] у У

V ■, V] - скорости распространения волн в соответствующей среде.

Аналогично формуле (1) определяются перемещения для полуплоскости X < к] через функции Х( ] ,2)(а), где для элементов Р,^ ( х, а) справедливы соотношения:

P^m]•2)(х,а) = (—1)8пт — х,а). п,т = 1,2. 8пт- символ Кронекера.

Определяя напряженное состояние слоя в виде суммы соответствующих решений для двух полуплоскостей, получим:

со1 (а х, х ху }(]Д)( х, у) = ^1 | W (]Д)( х, а) • Х(]Д)(а)е ~1Щ> йа. (2)

где

Ж// Д)(x•а) = -1- < е]1 — 4а ]1а ] 2а 2б]2 }. Ж12 Д)(ха) = 2гаа]2<7 {е]1 — е] 2 }.

Л я Л я

Ж2(1 Д) (ха) = 2гаа1<] {е]1 — е]2 }. Ж22 1 (^а) = {- 4а]1а]2аЧ'1 + <4е]2 }.

Л я Л я

Для второй группы слагаемых найдем:

Щ(т-2) (х а) = (—1)8 пт +1 (к] — х, а).

(],3)

Соответственно функции и к определяют перемещения в однородной плоскости с параметрами рассматриваемого слоя от действия сосредоточенного источника колебаний р(г0) = {Р1(х0. Уо). Р2(х0. Уо)} в виде набора цилиндрических волн [2] и

соответствуют компонентам матрицы и* (Го, г):

2

ик],3)(хо^ уо^ху) = Хик/,3)(х0^уо^х у) Р1(хо^ уо); к =1,2.

I=1

С помощью формул переразложения [3] они могут быть записаны в преобразованном по Фурье виде:

ии’Ъ) (хо ^ уо ^ха) = Ру ик1,3) ] = |им,3) (хо ^ уо ^х у)ехР(гау)йх

ик/,3) (хо ^ уо ^х у) = Ра^ы^] = ^ \иы,3) (хо ^ уо ^х а)ехР(—га у)йх

, К=1,2,

где

и^Ч хо^ уо^ x•а) = А/

— а/1Е^ + а Е-0 / а

/2 / а / 2 ].

и1(2,3)(хо,уо,х,а) = и~2] 3)(хо,уо,х,а) = гаА/ Е -х — Е -2]б1§п(х — хо)

и/2^,3)( хо, уо, х, а) = А]

— а]2 Е -2 + а Е ■, / а

-1/ а л I

'Л'

Е]к = ехР(—а ]к|хо — х|X к =1,2 А] = еХр^ауо)

2е

] 2

Аналогично для фундаментальных решений по напряжениям получим:

2

ТкП,3) (хо ^ уо ^ х у) = XТкП]3) (хо ^ уо ^х у) Р1(хо ^ уо); к^п =1,2.

I=1

Или в преобразованиях Фурье:

Тш,3)( хо^ уо^ х а) = А]

^■Ел — 2а 2 Ел 2 х — хо),

г'аА,

Тп^хо^ уо^ха) = [?]Е]1 — 2а]1а]2Е]2 ].

а

Т\и)( хо^ уо^ха) =

]1 гаА ,■

а

] 2

?ала/2Е]1 — ?5Е]2 I,

].

(хо, уо, х, а) = А] — 2а 2 Е]Л + <; 2Ел 2 ]^щп( х — хо)

212 (хо,

Т^12г23) (хо, уо, х, а) = А] — л;/Е]1 + 2а 2 Ел 2 ]^щп( х — хо),

Л2 = 2а 2 + ^- е2 ^ ]

/(/3) гаА,

Т222 )(хо^уо^ха) = _

]1

а

/

? у Е]1 +а ] 2

2

е

] 2

е21

а

\Л

] 2

а

]1

Е

] 2

/У

Введенные трансформанты Фурье функций напряжений Х( ] ,к )(а) представлений (1), (2)

являются неизвестными и должны быть определены из условий стыковки разнородных составляющих слоистой полуплоскости между собой. Удовлетворяя равенствам компонент векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела сред в преобразованиях Фурье, получим систему линейных алгебраических уравнений с 4 ^ + 2 неизвестными:

А(а) • Х(а) = В(а),

где Х(а) - общий вектор неизвестных напряжений для многослойной структуры.

—о

2

Полученные таким образом фундаментальные решения обладают важным свойством отсутствия напряжений на дневной поверхности х = хN •

3. Анализ численных результатов

В качестве иллюстрации характера поведения построенных фундаментальных решений исследованы зависимости компонент вектора перемещений и тензора напряжений от положения источника, точки наблюдения и свойств слоев полуплоскости.

На рис. 2 показано поведение нормальных вертикальных напряжений ах в зависимости от положения источника колебаний в фиксированной точки наблюдения (с координатами (-5; 0,5)). Положение источника определяется выражением х0 е [—15,10],

У0 = 0. По анализу графика видно, что в точке наблюдения развиваются интенсивные колебания, при положении источника внутри слоя пониженной жесткости, имеющие немонотонный характер. Максимальное значение данных напряжений превышает уровень напряжений при возбуждении среды с поверхности более чем в 10 раз.

Рис. 2

X

-15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00

Рис. 3

На рис. 3 представлены горизонтальные перемещения Uy, в случае возбужения

среды внутренним источником колебаний, расположенном на глубине х0=5 в полуплоскости. При движении точки наблюдения от поверхности среды X = -15 в глубь х=10. Мягкая прослойка, положение которой определяется диапазоном х е [—13,—9] приводит к экранированию горизонтальных смещений выше нее. В самой же прослойке наблюдаются осциллирующие на глубине колебания, соизмеримые с колебаниями вблизи источника, которые имеют более плавный характер, по отношению к точке наблюдения.

Имеющие общие закономерности, особенности поведения напряжения состояния среды, наблюдается так же в случае наличия более жесткой прослойки, а также в сочетании жесткая - мягкая прослойка. Таким образом, структура слоистой конструкции существ образом влияет на характер волновых полей, генерируемых внутренним источником колебанием, при наблюдении, как на поверхности области, так и внутри нее.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. -872 с.

2. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984.

3. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.

-Т.1. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -930 с.,

-Т.2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. -886 с.