CC BY
20
Оригинальная статья / Original article
УДК 62.752; 621.534; 629.4.02
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-10-26
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ТРАНСПОРТНЫХ ПОДВЕСОК: НОВЫЕ ПОДХОДЫ
© А.И. Орленко1, А.Н. Трофимов2, Выонг Куанг Чык3
1Красноярский институт железнодорожного транспорта Иркутского государственного университета путей сообщения, Российская Федерация, 660028, г. Красноярск, ул. Ладо Кецховели 89. 2,3Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского 15.
РЕЗЮМЕ. Обеспечение надежности работы транспортных систем и их основных узлов связано с разработкой способов и средств оценки, контроля и управления динамическими состояниями механических колебательных систем. ЦЕЛЬ работы заключается в разработке метода построения математических моделей технических объектов, работающих в условиях вибрационного нагружения. МЕТОДЫ. Используются методы структурного математического моделирования, в рамках которого расчетной схеме в виде механической колебательной системы сопоставляется эквивалентная в динамическом отношении структурная схема системы автоматического управления. РЕЗУЛЬТАТЫ. Обоснованы возможности получения режимов динамического гашения колебаний одновременно по двум координатам. ВЫВОДЫ. Разработана технология построения структурных схем и передаточных функций. Применяются частотные методы анализа динамических свойств. Предложены новые подходы и показана специфика реализации режимов динамического гашения колебаний по нескольким степеням свободы. Расчеты основаны на методах численного моделирования. Работа представляет интерес для специалистов в области механики, машиностроения и динамики транспортных средств, вибротехники и мехатроники. Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, передаточные функции, динамические состояния, межпарциальные взаимодействия.
Формат цитирования: Орленко А.И., Трофимов А.Н., Выонг Куанг Чык. Особенности динамических взаимодействий элементов транспортных подвесок: новые подходы // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 9. С. 10-26. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-10-26
FEATURES OF TRANSPORT SUSPENSION ELEMENT DYNAMIC INTERACTIONS: NEW APPROACHES A.I. Orlenko, A.N. Trofimov, Q.T. Vuong
Krasnoyarsk Institute of Railway Transport of Irkutsk State Transport University, 89 Lado Ketskhoveli St., Krasnoyarsk 660028, Russian Federation. Irkutsk State Transport University, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russian Federation.
ABSTRACT. Provision of operation reliability of transport systems and their main nodes is associated with the development of methods and tools of assessment, monitoring and control of the dynamic states of mechanical oscillation systems. The PURPOSE of the work is to develop a method for constructing mathematical models of engineering objects operating under oscillation loading. METHODS. The research uses the methods of structural mathematical modeling where the design scheme in the form of a mechanical oscillatory system is compared with the dynamically equivalent structural diagram of the automatic control system. RESULTS. The possibilities of obtaining the modes of dynamic damping of oscillations simultaneously by two coordinates have been substantiated. CONCLUSIONS. A construction technology of structural diagrams and transfer functions is developed. Frequency methods are applied for the analysis of dynamic properties. New approaches are proposed and the implementation specifics of the modes of dynamic damping of oscillations is shown by several degrees of freedom. The calculations are based on numerical simulation methods. The work is of interest for the specialists in the field of mechanics, mechanical engineering and dynamics of vehicle, vi-bro-technology and mechatronics.
1
Орленко Алексей Иванович, кандидат технических наук, доцент, директор, e-mail: Orlenko_AI@krsk.irgups.ru Aleksei I. Orlenko, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Director, e-mail: Orlenko_AI@krsk.irgups.ru
2Трофимов Андрей Нарьевич, кандидат технических наук, доцент, директор инженерного центра, e-mail: andrretrofim73@mail.ru
Andrei N. Trofimov, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Director of the Engineering Center, e-mail: andrretrofim73@mail.ru
3Выонг Куанг Чык, аспирант, e-mail: trucvq1990@gmail.com Vuong Quang Truc, Postgraduate, e-mail: trucvq1990@gmail.com
©
Keywords: dynamic damping of oscillations, transfer functions, dynamic states, inter-partial interactions
For citation: Orlenko A.I., Trofimov A.N., Vuong Quang Truc. Features of transport suspension element dynamic interactions: new approaches. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 9, pp. 10-26. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-10-26
Введение
Обеспечение надежности и безопасности эксплуатации технических объектов и железнодорожного транспорта в частности относится к числу сложных комплексных проблем, решение которых отличается междисциплинарным взаимодействием научных направлений [1, 2]. Иерархия целей и задач исследований предполагает внимание к широкому спектру проблем, связанных с динамикой взаимодействия подвижного состава и верхнего строения пути [3-5]. Рассматривается детализация представлений об особенностях динамических связей, возникающих в совместных движениях агрегатов и узлов транспортных средств. Большое внимание в оценке динамических состояний в задачах динамики подвижного состава уделяется вибрационным процессам, которые проявляются в разнообразных формах и характерны для условий эксплуатации транспортных систем в процессе движения с повышенными скоростями и динамическими нагрузками. В особо тяжелых условиях интенсивного динамического нагруже-ния работают тяговые двигатели локомотивов и их узлы, системы рессорного подвешивания, сцепки экипажей и устройства токосъёма.
Развитие теоретического базиса в решении задач динамики подвижного состава в значительной мере связано с развитием аналитического аппарата, ориентированного на исследования динамики механических колебательных систем, в том числе с большим числом степеней свободы, что приводит к развитию методов численного моделирования и созданию соответствующих программных средств. Вместе с тем многие вопросы, связанные с разработкой способов и средств управления динамическим состоянием объектов под действием периодических возмущений, даже в системах с ограниченным числом степеней свободы, еще далеко не раскрыты, в частности, это относится к задачам динамики объектов при одновременном действии нескольких возмущений.
В ряде работ рассматриваются возможные подходы к оценке и изменению динамических состояний на основе введения в структуры механических колебательных систем дополнительных связей, механизмов и устройств для преобразования движения [6, 7]. Большой вклад в развитие оригинальных подходов в динамике подвижного состава внесен учеными научной школы М.П. Пахомова [8, 9].
В предлагаемой статье раскрываются теоретические основы решения задач динамики объектов защиты, представленных механическими колебательными системами с двумя степенями свободы, ориентированные на детализированное рассмотрение режимов одновременного динамического гашения колебаний при совместном действии двух внешних возмущений.
Некоторые общие положения. Постановка задачи исследования
Многие технические объекты транспортных систем, если иметь в виду их расчетные схемы, могут быть представлены в виде механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Как правило, при построении расчетных схем учитываются возможности симметрии динамических свойств, при этом задача пространственных колебаний системы сводится к исследованию колебаний в плоскости. Задачи динамики транспортных систем достаточно разнообразны и связаны с рассмотрением различных динамических эффектов и проявлений форм связности движения отдельных элементов. Оценка, контроль и управление параметрами динамических состояний объектов под действием вибраций относятся к реше-
©
©
нию задач вибрационной защиты, имеющих свою специфику в поисках и разработке способов и технических средств, что нашло отражение в работах по прикладной теории колебаний [10, 11]. Особенности таких подходов связаны с необходимостью выделения объекта защиты и формированием представлений о виброзащитной системе и ее элементах, что в системе с несколькими степенями свободы может иметь несколько вариантов описания.
На рис. 1, а, b приведены варианты принципиальных схем технических объектов, отображаемых механическими колебательными структурами с двумя степенями свободы: на рис. 1, а - система цепного типа, а на рис. 1, b - ее модификация для работы в вертикальных направлениях колебаний. Отметим, что трансформация вида систем может быть достигнута выбором соответствующей системы координат. В качестве внешних возмущений могут рассматриваться сосредоточенные гармонические силы Qi, Q2, а также гармонические кинематические воздействия zi(t) и z2 (t) со стороны опорных поверхностей (I) и (II) (рис. 1). Рассматриваются малые колебания относительно положения статического равновесия. Предполагается, что силы сопротивления в системе являются малыми.
А а
0,,/чЛЛЛ/
/ ki
y 1
mx
и О
02
«Л WW
k
У2
m2
О и
HLK
WW ^
©
01
z
2
а
z
b
c
Рис. 1. Принципиальные схемы технических объектов в виде механических колебательных систем с двумя степенями свободы: а - цепная система общего вида; b - приведенная система;
c - система с объектом защиты в виде твердого тела Fig. 1. Principal diagrams of engineering objects in the form of mechanical oscillatory systems with two degrees of freedom: a - chain system of a general type; b - reduced system; c - system with the protection
object in the form of a solid
Математические модели рассматриваемых на рис. 1, а, Ь систем могут быть получены обычным способом на основе применения уравнения Лагранжа 2-го порядка. Такие математи-
©
ческие модели и приемы построения рассматриваются в работах [7, 11] и представляют собой в простейшем виде системы из двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. После преобразования Лапласа, при нулевых начальных условиях математические модели механических колебательных систем (МКС) в операторной форме принимают (для систем на рис. 1, а, Ь) следующий вид:
Шщ + Ц + Ь2)р2 + кх + к2] - у2(Ь2р2 + к2) = & + (Цр2 + (1)
у2[(ш2 + ¿2 + Ц)р2 + к2 + кз] - ух(Ь2р2 + к2) = 02 + (Цр2 + К)22, (2)
а для системы, представленной на рис. 1, с, соответственно:
y [(Ma2 + Jc2+l )p + К ]+У (Mab - Jc)p = Q+(Lp + К )z; (3)
y2[(Mb2 + Jc2 + L2)p2 + k2] + yi(Mab - Jc2)p2 = Q + (L2p2 + k2)z2. (4)
В математических моделях (1)-(4) принято, что m1, m2 - массоинерционные элементы МКС; k1, k2, k3 - коэффициенты жесткости упругих элементов; M - масса объекта защиты; J -момент инерции объекта защиты относительно центра тяжести (т. О на рис. 1, с); L1, L2, L3 -приведенные массы устройств для преобразования движения (винтовые несамотормозящиеся механизмы); a, b, c - геометрические параметры, определяющие положение центра тяжести твердого тела [7, 11].
Движение МКС, приведенных на рис. 1, а-с, описывается координатами y1, y2 в неподвижном базисе. Для описания движения объектов в виде твердого тела (см. рис. 1, с) может быть использована также система координат y0, ф, для которой имеются соответствующие соотношения с координатами y1, y2:
Уо = 0У1 + ^ Ф = c(У2 - УД У1 = Уо - ф У2 = Уо +
l2 li 1 (5)
a =—2—, b =—1—, c =-.
li +12' li +12' li +12
На основе математических моделей (1)-(4) могут быть построены математические модели в виде структурных схем (рис. 2) [7, 11, 12].
При построении структурных схем используется методика, описанная в работе [7] и основанная на предварительном преобразовании уравнений (1)-(4) по Лапласу при нулевых начальных условиях. При построении схем на рис. 2 принято: p = jш - комплексная переменная ] = >/-1 (знак <-> над переменной определяет ее как изображение по Лапласу).
Для структурных схем, представленных на рис. 2, характерным является то обстоятельство, что все они состоят из двух парциальных блоков; межпарциальные связи относятся к инерционно упругому виду. В общем случае входные воздействия приложены к обоим входам.
Структурная схема на рис. 2, с имеет парциальные блоки, которые реализуют разные виды движений (уо и ф), однако формально все структурные схемы относятся к одному типу.
Совокупная реакция системы на несколько возмущений может быть получена на основе применения принципа суперпозиции. Предварительные данные о динамических возможностях систем могут быть получены на основе определенных упрощений. Например, при , 01=02=б возможен учет соотношений между внешними воздействиями:
шт
О = О, & = а(2 или ^ = Рг, где а, в могут рассматриваться как постоянные коэффициенты
связности между однотипными внешними возмущениями. Известны конструктивно-технические формы связей, реализуемые в системах с помощью специальных технических средств [13, 14]. На такой же основе могут выстраиваться соотношения между силовыми и кинематическими возмущениями. Основой таких подходов является условие равенства частот всех возмущений и наличие устойчивых фазовых соотношений сигналов либо в фазе, либо в противофазе на 180°.
а
c
Рис. 2. Структурные схемы (структурные математические модели) механических колебательных систем: а - по рис. 1, а; b - по рис. 1, c в координатах y, y2;
c - по рис. 1, c в координатах y, ф
Fig. 2. Structural diagrams (structural mathematical models) of mechanical oscillatory systems: a - structural diagram of the system by fig. 1, a; b - structural diagram of the system by fig. 1, с
in the coordinates y, y; c - structural diagram of the system by fig. 1, с in the coordinates y0, ф
Задача исследования заключается в разработке метода построения соответствующих математических моделей для оценки возможностей реализации новых динамических эффектов, в том числе и режимов одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам.
Основы метода оценки динамических свойств системы
Используя технологию построения математических моделей, передаточные функции для системы, показанной на рис. 1, а, b, при кинематических возмущениях \ = z2 = z
Q = Q = о) запишем в виде:
w ^ =У1 = (Lp2 + K)[(m2 + L2 + DP2 + К + кз] + (Lp + K)(L2p2 + к2)
i z A(p) '
(6)
W(p) = y^= (L^P2 + kMmi + Li + L2)p2 + ki + k2] + (L1P2 + ki)( L2p2 + k2) (7)
z
Ao( P)
где
A(P) = \-(m~2 + L2 + L3)P2 + k2 + k3] ■ [(mi + Li+ L2)p2 + kx + k2\-(L2p2 + k2)2 -
(8)
характеристическое частотное уравнение системы (см. рис. 1. а, Ь).
Рассмотрение особенностей динамических свойств системы с двумя степенями свободы проводится на примере цепной структуры (см. рис. 1, а и 2, а) в качестве модельного примера. Структурные модели на режимы динамического гашения колебаний, если определяются частоты таких эффектов, могут быть найдены из условия обнуления числителей передаточных функций (6) и (7).
Принципиальная схема виброзащитной системы с упругими элементами и
устройствами для преобразования движения L1, L2, L3 приведена на рис. 1, Ь.
Система состоит из двух массоинерционных элементов m1 и m2, совершающих малые колебания у1 и у2 относительно положения статического равновесия. Внешние возмущения носят кинематический характер. Используя известные приемы построения структурных математических моделей для исходной МКС [7], можно получить систему уравнений в операторной форме:
yi[(m + Li+ L2)p2 + ki + k2\- y2(L2P2 + k2) = Zi(LiP2 + ki);
(9)
y2[(m2 + L2 + L)P2 + k2 + k3] - yi(L2P2 + k2) = Z2(LsP2 + k3)-
(10)
Передаточные функции системы при кинематическом гармоническом возмущении и условии г1 = г2 = г имеют вид (6) и (7).
Отметим, что при построении передаточных функций системы учитывается одновременная передача воздействий на оба входа системы. Парциальные частоты системы определяются выражениями:
о kл + k->
n2 = —i—2— m+l+L2
(11)
О ko + k
Щ =—2—3— m+l2+L3
(12)
В рассматриваемой МКС (см. рис. 1, Ь) возможно возникновение режимов динамического гашения колебаний по двум координатам, что определяется возможностями обнуления числителей передаточных функций (6), (7). Для координаты у можно записать следующее
уравнение для нахождения частот динамического гашения колебаний при кинематическом возмущении г1 = г2 = г:
Lm+LL2+LL+LL)+p2[ A (k + К) + +К (m+L+L)+KL + LL ]+К (L + К)+LK - о.
(13)
В свою очередь по координате у соответствующее уравнение принимает вид:
p\L3(m + L + L2) + LL2] + p2^ + K2) +
+K (m + L + A)+KL+ LL ]+К (К + k)+KL = 0.
(14)
Далее рассматриваются возможности изменения динамических состояний системы путем изменения соотношений между значениями и 1г. В данном случае полагается, что = а-^1, где а является коэффициентом связности между двумя внешними воздействиями по входам в парциальные системы. С учетом того, что
а -
L L
(15)
передаточные функции по координате у и у2 принимают вид:
=У\ = (АР2 + А1 )[(Ш2 + А +а1Л ) Р2 + А2 + А3] + {а1- 1 Р2 + АХА Р2 + Р . (16)
1 2 4 (Р) '
щ p)=е -
z
У2_ (aLjP2 + Кз)[(т + L + L2)p2 + К + к2] + (Lp + К)(L2P2 + ¿2)
4 (P)
(17)
где характеристическое уравнение системы определяется как
4 (р) = [(т+а+«А) р2+А+А ] ■ [(т+А + А) Р2+к+А ] ~ (АР2+А )2- (18)
Введение коэффициента связности а между параметрами 1\ и изменяет системы (3), (4), а стало быть, и значения частот динамического гашения колебаний, определяемых уравнениями (13) и (14). При этом изменяется характеристическое частотное уравнение (18), то есть изменяются соответствующим образом частоты собственных колебаний. С учетом коэффициента связности а составим, используя выражения (16) и (17), уравнения для определе-
2 2
ния частот динамического гашения ю1дан и щтн:
p4[L (m+А+aL) + aL2L ]+p2[L (k+К) +
+К(m + L + aL) + kL2 + ak2L ] + К(k + К) + kk - 0.
(19)
p4[aLj (m + L + А) + LL ] + p 2[aLl (К + А ) + К (m + L + А)+KL + LL ]+К (К + k) + KL - о.
(20)
Для определения частот собственных колебаний аналогичным образом из (18) получим уравнение
pA[(m2 + L2 + aLx )(m + L + L2) - L2] + p2[(m2 + L2 + aLx )(k + k2) + (m + L + L2 )(k2 + k ) - 2L2k2 ] + k (k2 + k ) + kk = 0.
(21)
Из решения (21) могут быть найдены значения частот собственных колебаний
ю
1 со б
и
ш
2со6 при различных значениях а. Рассматриваются только те области изменения параметров системы, которые дают вещественные значения частот, поскольку частота колебаний является положительной величиной. Парциальные частоты системы определяются выражениями:
о kл ^ k
щ = 12
m+L+L2
о k0 ^ k
n\ = 23
m + L2 + aL1
(22) (23)
Построение частотных диаграмм
При построении частотных диаграмм были приняты следующие параметры механической системы (рис. 1, а): т1 = 10 кг; т2 = 10 кг; к1 = 500 Н/м; к2 = 1000 Н/м; к3 = 1500 Н/м; 11 = 10 кг; 12 = 10 кг.
На рис. 3 приведены графики собственных частот со1т5(а), а>2соб(а), которые определяются через характеристическое уравнение (18), что обозначено на рис. 3 точечными линиями (....)■ Графики парциальных частот г%{а), п2(а) представлены штрих-пунктирными линиями (----), сплошной линией (—) обозначены зависимости со?яш(а), а штриховой линией (---) - зависимости са2яш(а), определяемые выражениями (19), (20) соответственно.
ю3(а)
1/сек2
\ % \ 4 \ I
\ X»(«) / ч
и? (a)
" 2 W CO L.(°0 \ .....
........................?'
O)
Рис. 3. Частотная диаграмма режимов динамических взаимодействий (L1, L3 = aL1) Fig. 3. Frequency diagram of dynamic interaction modes (L1, L3 = aL1)
В точках (1) и (2) (см. рис. 3) одновременно пересекаются два графика, отражающие зависимости с(а) и ю2дан (а), что соответствует случаю одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам. В т. (1) характерным является то обстоятельство,
2
шт
что происходит это при одновременном совпадении с частотой собственных колебаний системы а£об. Однако это не исключает возможности движения элементов в некоторой близости
к режиму динамического гашения колебаний и к резонансу. При этом возможна ситуация, когда система приобретает вид системы с одной степенью свободы, поскольку частота динамического гашения становится равной частоте собственных колебаний и выражение для передаточной функции упрощается, что будет рассмотрено далее.
В т. (2) пересечение соответствует режиму одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам. Вместе с тем в т. (2) происходит пересечение двух графиков - п2(а) и п2(а), что определяет ряд соотношений между параметрами системы:
к^ ^ к^ ^ к^ т + Ц + Ь2 ш2 + Ь2 + аЦ '
а=(к2 + кзЖ + Ц) + 14к3 - К) - т2(к1 + К) Цк + к2) '
При заданных выше значениях параметров системы получим, что а = 3. Более подробно особенности состояний системы с помощью частотной диаграммы рассмотрены в работе [15].
Графики амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) в т. (2), соответственно при значении а = 3, отражающие возможности одновременного обнуления координат у и у, приведены на рис. 4.
А («й)
Рис. 4. Графики зависимостей -^(ю) и -^(ю) при условиях
z z
одновременного гашения колебаний y и y (a = 3)
Fig. 4. Dependency graphs of У(ю) and У2(ю) under conditions
z z
of simultaneous damping of oscillations y and y (a = 3)
Каждая из АЧХ ^(а) и ^(ю) имеет в общем случае по две частоты динамического
г ^
гашения колебаний (соответственно точки (2), (3) по координате у1 и точки (2), (4) по координате у2). Одновременное динамическое гашение по двум координатам происходит только на частоте ш12дин (т. (2) на оси абсцисс).
Построим графики АЧХ при параметрах, определенных в т. (1) (в данном случае при значении а = 2,6), как показано на рис. 5.
Л j ух/ z
0 4 5 s
1/сек
Рис. 5. Графики зависимостей ^(ю) и (ю) при одновременном совпадении ю^ (а)
У2
и ю(а) с частотами собственных колебаний системы
Ш2соб (а)
(а = 2,6)
Fig. 5. Dependency graphs of ^(ro) and y2(ro) at the simultaneous coincidence of ro^ (a)
z z
and ro(a ) with frequencies of system eigen oscillations ro2co6 (a) (a = 2.6)
У 2
В рассматриваемом случае для каждой координаты у1 и у2 существует только одна частота динамического гашения колебаний (точки одновременного пересечения оси абсцисс в т. (3') и т. (4') не имеется).
В этом случае, как было упомянуто выше, система упрощается и теряет одну степень свободы. Движение по координате у обнуляется в т. (3'). Что касается движения по координате у2, то оно обнуляется на частоте, соответствующей т. (4'). При увеличении частоты оба графика стремятся к некоторым пределам в форме синфазных колебаний.
Особенности динамических свойств при нулевой упругости межпарциальных связей
2 соб
Построим диаграммы зависимостей а12дин(а), а22дин(а), пЦа), п22(а), а12соб(а) и (а), как показано на рис. 6, при следующих параметрах модели: т1 = 10 кг, т2 = 10 кг; к1
= 500 Н/м; кз = 1500 Н/м; L = 10 кг; L2 = 10 кг и k2 = 0.
Рис. 6. Частотная диаграмма режимов динамических взаимодействий (L1, L3 = aL1) Fig. 6. Frequency diagram of dynamic interaction modes (L1, L3 = aL1)
В точках (1) и (2) пересекаются два графика - ш2дан (а) и ш ^ (а), что формально соответствует случаям одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам. В т. (2) характерным является то обстоятельство, что это происходит при одновременном совпадении с частотой собственных колебаний системы ш2соб. Такой режим, как было показано выше, физически реализуется, и система на этой частоте обладает свойствами системы с одной степенью свободы (а = 9). В т. (1) пересечение соответствует режиму одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам - у1 и у2, при этом а = 3. Отметим, что частота динамического гашения (кривая caf^a)) существенно зависит от значения а. При
а ^ м кривая ш2дан(а) стремится к пределу а = ш2дин = k + . В свою очередь, при а ^ м,
L1 + L2
графики ш2соб(а), с22соб(а) и ш2_(а) стремятся к пределу а2 =—k] + k2—. При заданных
m + l + ь2
значениях получим а1 = 25 рад/с и а2 = 16,667 рад/с (см. рис. 6).
Построим графики АЧХ для параметров системы, определенных пересечениями графиков (рис. 6) в т. (1), когда а = 3. Вид АЧХ определяется возможностями одновременного обнуления координат y и y на одной частоте. На рис. 7 показаны графики АЧХ ^(ш) и
z
у2(ш), которые одновременно пересекают ось абсцисс на одной и той же частоте, соответ-
z
ствующей т. (1) на рис. 6.
Каждая из АЧХ ^(ш) и у2(ш) имеет в общем случае по две частоты динамического
z z
гашения: для координаты y1 - точки (1) и (3); для координаты y2 - точки (1) и (4). Но одновременное динамическое гашение колебаний по двум координатам происходит только на частоте Ш12дин в т. (1) на оси абсцисс в третьем частотном диапазоне (ш2соб ^ м) (см. рис. 7).
m
Во втором диапазоне частот от ш1соб до ш2соб график ^(ю) пересекает ось абсцисс
г
еще раз в т. (3), что определяет частоту динамического гашения только по координате у1. В
первом диапазоне частот от 0 до ш1соб график ^(ю) пересекает ось абсцисс также в т. (4),
г
что соответствует частоте динамического гашения колебаний только по координате у2.
N1 Ъ, ' z
(ЙХсоб/^ / / I/ т (
/ /
0 5 T.(4)' 'Л-(З) 6 X 3 э
0)12д1Г
0 1/сек
Рис. 7. Графики зависимостей ^(ю) и ^(ю)
z z
при условиях одновременного гашения колебаний y и У2 (а = 3)
Fig. 7. Dependency graphs of У (ю) and У2 (ю)
z z
under conditions of simultaneous damping of oscillations y and y2 (а = 3)
œ
2дин
Построим графики АЧХ, соответствующие условиям пересечения графиков ю^ (а) и (а) в т. (2) на рис. 6, что определяется значением а = 9 (рис. 8).
и И2дин'
(а)
с частотами собственных колебаний системы
1 соб (
(а = 9)
2 М)
(а)
ZL(") ^(œ) œr la) œ; la
Fig. 8. Dependency graphs of z and z at the simultaneous coincidence of lg™v ' and rguH
with the frequencies of system eigen oscillations œ2m6 (a) (a = 9)
В этом случае для каждой координаты у и у в отдельности существует только одна частота динамического гашения - пересечения графиков и оси абсцисс в т. (3') и т. (4').
Возможности изменения форм амплитудно-частотных характеристик
На рис. 9 представлена последовательность частотных диаграмм при различных значениях параметров систем, на которых отображены характерные точки пересечения графиков зависимостей ш^ (а) и ш^ (а), определяющих возможности возникновения режимов одновременного динамического гашения колебаний, что отмечено на частотных диаграммах (точки (1), (2) на рис. 9). Частотные диаграммы построены при различных значениях параметров систем.
Z
Л /: "* z
[j
0 coi«>6
JJ : ft i /г
Cölcoö \ Z У *.4 С02соб / 1.(3)
s 1 2 ^A r.(2) 4
:7
b
a
__^ Л T\ C02c Ъ. 6 / Z
\ T.(4) ..........J ..................
0 ---^P)' Г 1.(3)
4(га)
J % : * \ / л
COlc об \ 1.(4) . V
0 1 / / i.(i) 1 1.(3)
\
°'1/сек
ir(«>
;
C01co6 ^^ У2
о в if \ZL If z т.(З') 5
4(«>
J
C0lco6 \ Уг z \
0 & ^_______— z '' т.(З') 0
1Усек
d
Рис 9. Варианты построения частотных диаграмм и амплитудно-частотных характеристик при следующих параметрах системы: а - вариант с параметрами: m1 = 10 кг; m2 = 10 кг; k1 = 50 кН/м; k2 = 100 кН/м; k3 = 150 кН/м; L1 = 10 кг; L2 = 10 кг; b - вариант с параметрами: m1 = 30 кг; m2 = 10 кг; k1 = 500 Н/м; k2 = 1000 Н/м; k3 = 1500 Н/м; L1 = 10 кг; L2 = 10 кг; с - вариант с параметрами: m1 = 30 кг; m2 = 10 кг; k1 = 500 Н/м; k2 = 1000 Н/м; k3 = 1500 Н/м; L1 = 5 кг; L2 = 0; d - вариант с параметрами: m1 = 30 кг; m2 = 10 кг; k1 = 500 Н/м; k2 = 1000 Н/м; k3 = 1500 Н/м; L1 = 3 кг; L2 = 0 Fig. 9. Construction variants of frequency diagrams and amplitude-frequency characteristics under the following
parameters of the system: а - variant with the parameters: m1 = 10 kg; m2 = 10 kg; k1 = 50 кЫ/m; k2 = 100 кЫ/m; k3 = 150 кЫ/m; L1 = 10 kg; L2 = 10 kg; b - variant with the parameters: mi = 30 kg; m2 = 10 kg; k1 = 500 Ы/m; k2 = 1000 Ы/m; k3 = 1500 Ы/m; L1 = 10 kg; L2 = 10 kg; c - variant with the parameters: m1 = 30 kg; m2 = 10 kg; k1 = 500 Ы/m; k2 = 1000 Ы/m; k3 = 1500 Ы/m; L1 = 5 kg; L2 = 0; d - variant with the parameters: m1 = 30 kg; m2 = 10 kg; k1 = 500 Ы/m; k2 = 1000 Ы/m;
k3 = 1500 Ы/m; L1 = 3 kg; L2 = 0
c
Кроме того, по каждому из вариантов, представленному на рис. 9, приведены амплитудно-частотные характеристики, построенные отдельно для точек пересечения - точек (1), (2). Особого внимания заслуживают фрагменты АЧХ во втором частотном диапазоне (между ш1соб и ш2соб), где АЧХ по координате у может приобретать до двух режимов динамического гашения. Вместе с тем режим динамического гашения колебаний одновременно по двум координатам может возникать не только во втором (ш1соб - ш2соб), но и в третьем диапазоне частот (ш2соб - м), что показано на рис. 9, 6.
Заключение
Механические колебательные системы с двумя степенями свободы широко используются как расчетные схемы в задачах динамики машин, транспортных устройств и других технических объектов. Обычно в составе таких систем типовыми элементами расчетных схем являются массоинерционные элементы в виде твердых тел и упругие звенья (пружины). При наличии сил сопротивления в расчетные схемы вводятся демпферы вязкого трения. Вместе с тем набор типовых элементов может быть расширен введением устройств для преобразования движения, которые в рамках структурного математического моделирования интерпретируются как звенья с передаточной функцией дифференцирующего звена второго порядка.
Предлагается метод построения математических моделей механических колебательных систем с такими устройствами, которые технически могут быть реализованы на основе различных механизмов, вводимых в колебательные структуры как дополнительные связи.
1. Показано, что механические колебательные системы имеют отличия в эффектах действия внешних сил (силового или кинематического типа), что отражается на структуре передаточных функций и проявляется особенностями динамических свойств, зависящих от частоты внешних гармонических воздействий.
2. Существенное значение для формирования динамических свойств системы имеют эффекты одновременного действия внешних возмущений по всем входам в парциальные системы. Показано, что учет действия совместных сил (при определенных условиях) проявляется в изменениях приведенных динамических жесткостей системы, возникновении дополнительных режимов динамического гашения, а также в эффектах одновременного динамического гашения колебаний по двум координатам.
3. Обобщено понятие динамического гашения колебаний, которое связано с представлениями о возможностях обнуления числителей передаточных функций. Такие частоты определяют режимы динамического гашения колебаний и могут не совпадать с парциальными частотами системы.
4. Развит метод построения частотных диаграмм, позволяющих получать детализированную информацию о зависимостях между частотами собственных колебаний, парциальными частотами и частотами динамического гашения колебаний.
5. Введено понятие о коэффициенте связности приведенных масс устройств для преобразования движения, что позволяет находить частоты динамического гашения одновременно по двум координатам.
6. Предложен метод определения частот динамического гашения; показано, что введение дополнительных устройств или связей, представляемых в виде коэффициента связности приведенных масс, в физическом смысле соответствует установлению дополнительных связей между внешними воздействиями. При этом предполагается, что внешние силы имеют одну частоту и действуют синфазно.
7. Выявлены новые динамические эффекты, которые отображают режимы возможной нестабильности взаимных движений элементов, что может происходить в ситуациях, когда режим динамического гашения колебаний приближается к частотам, близким к частотам собственных колебаний.
©
8. Учет связности движения позволяет объяснить существенные изменения в формах амплитудно-частотных характеристик, которые могут появляться в системах с двумя степенями свободы при введении дополнительных связей при сохранении числа степеней свободы системы.
Библиографический список
1. Богданов В.М. Обеспечение устойчивой работы системы колесо - рельс на отечественных и зарубежных дорогах // Вестник ВНИИЖТ. 2010. № 2. С. 10-14.
2. Турне Х. Решения, улучшающие взаимодействие экипажа и пути. Ч. 2 в кн.: Обобщение передового опыта тяжеловесного движения: вопросы взаимодействия колеса и рельса; пер. с англ. М.: Интекст, 2002. С. 1-58. [Электронный ресурс]. URL: http://static.scbist.com/scb/uploaded/1_zaharov_s_m_bogdanov_v_m_pod_redakciey_obobshenie_peredovogo.pdf (15.07.2017).
3. Коган А.Я. Аналитическая оценка уровня вибраций пути под проходящими поездами, сформированными из однотипных экипажей // Вестник ВНИИЖТ. 2013. № 3. С. 3-10.
4. Коган А.Я., Никитин Д.А., Полещук И.В. Колебания пути при высоких скоростях движения экипажей и ударном взаимодействии колеса и рельса. М.: Интекст, 2007. 166 с.
5. Орленко А.И., Петров М.Н., Терегулов О.А. Комплексная диагностика тягового электродвигателя электровоза. Красноярск: Изд-во КрИЖТ ИрГУПС, 2016. 218 с.
6. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland: Springer, 2016. 708 p.
7. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.
8. Галиев И.И., Николаев В.А., Нехаев В.А. Совершенствование рессорного подвешивания подвижного состава // Железнодорожный транспорт. 2015. № 11. С. 59-61.
9. Галиев И.И., Нехаев В.А., Николаев В.А., Хоменко А.П. Основные направления исследований, выполненных научной школой профессора М.П. Пахомова // Технологическое обеспечение ремонта и повышение динамических качеств железнодорожного подвижного состава: материалы III Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием; в 3 ч. (Омск, 10-11 ноября 2011 г.). Омск, 2011. Ч. II. С. 155-172.
10. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1980. 276 с.
11. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.
12. Ким П.Д. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М.: Физматлит, 2003. 288 с.
13. Елисеев С.В., Артюнин А.И., Выонг К.Ч. Кинематическое возмущение в механических колебательных системах: связность воздействий и ее влияние на динамические свойства // Вестник Самарского государственного университета путей сообщения. 2017. № 1 (35). С. 12-21.
14. Harris С.М., Piersol A.G. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002. 1457 p.
15. De Silva C. W. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.
References
1. Bogdanov V.M. Ensuring stable operation of wheel - rail system on domestic and foreign railways. Vestnik VNIIZhT [Vestnik of the Railway Research Institute]. 2010, no. 2, pp. 10-14. (In Russian)
2. Turne H. Resheniya, uluchshayushchie vzaimodeistvie ekipazha i puti. Chast' 2 v knige: Obobshhenie peredovogo opyta tjazhelovesnogo dvizhenija: voprosy vzaimodejstvija kolesa i rel'sa [Solutions to improve vehicle and railway track interaction: Solutions to improve vehicle and railway track interaction. Part 2 in the book: Guidelines to best practices for heavy haul railway operations: wheel and rail interface issues]. Moscow: Intekst Publ., 2002, 408 р. Available at: http://static.scbist.com/scb/uploaded/1_zaharov_s_m_bogdanov_v_m_pod_redakciey_obobshenie_peredovogo.pdf (accessed 15 July 2017).
3. Kogan A.Ya. Analytical estimation of railway track vibrations' level under passing trains formed of single-type vehicles. Vestnik VNIIZhT [Vestnik of the Railway Research Institute]. 2013, no. 3, pp. 3-10. (In Russian)
4. Kogan A.Ya., Nikitin D.A., Polishuk I.V. Kolebaniya puti pri vysokikh skorostyakh dvizheniya ekipazhei i udarnom vzaimodeistvii kolesa i rel'sa [Railway track oscillation at high speeds of vehicles and shock interaction of wheels and rails]. Moscow: Intekst Publ., 2007, 166 p. (In Russian)
5. Orlenko A.I., Petrov M.N., Teregulov O.A. Kompleksnaya diagnostika tyagovogo elektrodvigatelya elektrovoza [Complex diagnostics of electric locomotive traction electric motor]. Krasnoyarsk: Krasnoyarsk Institute of Railway Transport Irkutsk State Transport University Publ., 2016, 218 p. (In Russian)
6. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland: Springer, 2016, 708 p.
©
7. Eliseev S.V., Reznik Ju.N., Homenko A.P., Zasjadko A.A. Dinamicheskij sintez v obobshhennyh zadachah vibrozash-hity i vibroizoljacii tehnicheskih objektov [Dynamic synthesis in the generalized problems of vibration protection and vibration isolation of technical objects]. Irkutsk: Irkutsk State University Publ., 2008, 523 р. (In Russian)
8. Galiev I.I., V.A. Nikolaev, V.A. Nekhaev Improving spring suspension of the rolling stock. Zheleznodorozhnyj transport [Railway Transport]. 2015, no. 11, pp. 59-61. (In Russian)
9. Galiev I.I., Nehaev V.A., Nikolaev V.A., Homenko A.P. Osnovnye napravlenija issledovanij, vypolnennyh nauchnoj shkoloj professora M.P. Pahomova [The main directions of researches carried out by the Professor M.P. Pakhomov's scientific school]. Materialy III Vseros. nauchno-tehnicheskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem "Tehnolog-icheskoe obes-pechenie remonta i povyshenie dinamicheskih kachestv zheleznodorozhnogo podvizhnogo sostava"; in three parts [Materials of III All-Russia scientific and technical conference with international participation "Technological provision of repair and improvement of dynamic qualities of railway rolling stock", Omsk, 10-11 November 2011]. Omsk, 2011, part II, pp. 155-172. (In Russian)
10. Frolov K.V., Furman F.A. Prikladnaja teorija vibrozashhitnyh system [Applied theory of vibration protection systems]. Moscow: Mechanical engineering Publ., 1980, 276 р. (In Russian)
11. Eliseev S.V., Artjunin A.I. Prikladnaja teorija kolebanij v zadachah dinamiki linejnyh mehanicheskih system [Applied theory of oscillations in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2016. 459 р. (In Russian)
12. Kim P.D. Teorija avtomaticheskogo upravlenija. Tom 1. Linejnye sistemy [Theory of automatic control. Linear systems]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2003, 288 р. (In Russian)
13. Eliseev S.V., Artyunin A.I., Vuong Q.T. Kinematical perturbation in mechanical oscillating systems: connectivity of impacts and its influence on dynamic properties. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta putej soobshhenija [Bulletin of the Samara State University of Railway Transport]. 2017, no. (1), pp. 12 - 21. (In Russian)
14. Harris С.М., Piersol A.G. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002, 1457 p.
15. De Silva C. W. Vibration. Fundamentals and Practice / Clarence W. de Silva. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.
Критерии авторства
Орленко А.И., Трофимов А.Н., Выонг Куанг Чык заявляют о равном участии в получении и оформлении результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Orlenko A.I., Trofimov A.N., Vuong Quang Truc declare equal participation in obtaining and formalization of results and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 29.06.2017 г. The article was received 29 June 2017
©
научных scientific
