CC BY
80
УДК 535.417
Ю.Ц. Батомункуев, Н.А. Тюшев СГГА, Новосибирск
ОСОБЕННОСТИ АХРОМАТИЗАЦИИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ
Показано, что метод двукратной дифракции позволяет существенно уменьшить хроматическую аберрацию положения дифракционной решетки. Экспериментально получено, что хроматическая аберрация положения в первом приближении линейно зависит от расстояния между решетками.
Ju.Ts. Batomunkuev, N.A. Tjushev SSGA, Novosibirsk
THE FEATURES OF ACHROMATIZATION OF THE DIFFRACTION GRATING
It is shown that the method of double diffraction allows to reduce essentially the chromatic aberration of diffraction grating. It is experimentally obtained that the chromatic aberration of position in first order linearly depends on distance between gratings.
Введение.
Известно, что дифракционная решетка обладает изображающими свойствами [1]. Но присущие всем типам дифракционных решеток значительные хроматические аберрации резко ограничивают практическое применение их в качестве оптических элементов, формирующих изображение [2]. В настоящее время ведутся работы по дифракционным и голограммным оптическим элементам для получения изображений в таких областях электромагнитного спектра, как дальний ультрафиолетовый и мягкий рентгеновский диапазоны, где из-за сильного поглощения и слабого преломления практически невозможно использование линзовых оптических элементов [3]. Поэтому возник интерес к обладающим слабым поглощением тонким дифракционным решеткам. Целью работы является изучение особенностей коррекции хроматической аберрации положения дифракционной решетки.
Получение изображения точечного источника света с помощью дифракционной решётки.
Известно, что при падении расходящегося пучка света на дифракционную решётку для определения углов дифракции (углов направлений главных максимумов интенсивности прошедшей волны) используется следующее условие [1]:
d(sin9-sin\|/) = mÀ, (1)
где А - период решётки, ср - угол дифракции, \|/ - угол падения световой волны на решётку, ш = ±1,2... порядок максимума, X - длина волны.
На рис. 1 изображен ход двух лучей от точечного источника Р через дифракционную решётку: луч 1 падает на дифракционную решётку по нормали (щ = 0), угол падения второго луча 2 определяется формулой:
, Ь
tgУl = —• а1
(2)
1 У луч 2
.'' ^1 =о 0 ь луч 1
... '
Г* решетка
Рис. 1. Схема формирования дифракционной решёткой мнимого изображения Р
При ь « а1 tgv|^ = біті »|/ = і|/
рад
В дальнейшем предполагается, что углы ф,і|/«1 . На рис. 1 ось Ох системы координат направлена перпендикулярно решётке, а ось Оу направлена в плоскости решётки перпендикулярно штрихам. Для первого луча, падающего нормально на дифракционную решётку, из формул (1), (2), получим в первом порядке дифракции:
. X
81Пф1+ =
СІ
(4)
Для второго луча условие главного максимума первого порядка дифракции: *шц>2+=- + — • (5)
1+Ъ_ (І дії
Продолжения в обратном направлении дифрагировавших лучей пересекаются в точке Р , являющейся мнимым изображением точечного источника Р. С учётом (3), уравнение прямой ОР :
У = 8П1ф1+-Х. (6)
*
Для прямой М^Р :
У = 8Шф2+ хч-Ь. (7)
Абсциссу х точки Р получим, приравняв правые части формул (6) и (7), с учетом выражений (4) и (5):
* X * Ь * ,
х =— х ч---------------------х ч-Ь
сі сі
Из (8) следует, что
х*=-а1. (9)
Ординату у* точки Р найдём, подставив значение х из (9) в формулу (6) и, учитывая (4), получим:
У* = ~а\ • ~ • (Ю)
а
Из формул (9) и (10) следует, что точка предмета и ее изображение в первом порядке дифракции находятся на одинаковом расстоянии от дифракционной решётки, и ордината изображения прямо пропорциональна длине волны, т.е. присутствует хроматическая аберрация.
Коррекция хроматической аберрации положения дифракционной решётки методом двукратной дифракции.
На рис. 2 изображена схема коррекции хроматической аберрации положения дифракционной решётки I, в которой дифрагировавшая на решётке I волна второй раз дифрагирует на другой решетке II. При этом по крайней мере в одном порядке дифракции, возможно существенное уменьшение хроматической аберрации положения.
У‘ Ц к У2 М2 луч 2
Ф2. М3 луч 1
Р** ь
\ ¥1=0 0 1II о \
р а1 а2 решётка I решётка II
Рис. 2. Схема коррекции хроматической аберрации положения дифракционной
решётки
Рассмотрим подробнее схему коррекции хроматической аберрации положения решётки, представленную на рис. 2. Луч 1 из точечного источника света падает на решётку I перпендикулярно её поверхности, т. е. ^ = 0 , с учётом этого, из условия главного максимума (1) для т = 1 получим
8Шф1+=^. (11)
а
I
Из рис. 2 ясно, что угол падения луча 1 на решётку II 11/2 = Ф1+, с учётом (11) для угла дифракции луча 1 на решётке Пст = -1 из(1) получим:
• X . XX
81 Г) ф|_ =-Ь 81П 1|/ =-1— = 0 . (12)
(1 (1 (1
Для угла падения луча 2, попадающего на решётку I на расстоянии Ь от луча 1, имеем:
8Ш\|/ = — . (13)
а1
Таким образом, для угла дифракции луча 2 на решётке I с т = 1 из (1) с учётом (13) получим:
• ^ Ь
81Пф2+=- + —. (14)
а аг
I
Угол падения луча 2 на решётку II \|/2 = Ф2+, значит, учитывая (14) получим из (1) для угла дифракции с т = -1 луча 2 на решётке II:
• А, А ЬЛ Ь п Л
81Пф2_ =-- + (- + —) = — . (15)
а а а1 а1
❖ ❖
Точка Р является мнимым изображением точки Р и находится на пересечении продолжений лучей 1 и 2 в обратном направлении. Для нахождения координат х и у точки Р запишем уравнения этих прямых.
Для прямой М3 Р из рисунка 2 с учётом (11) имеем:
X
у = а28Н1ф1+ = а2— . (16)
а
Для прямой М2 Р из рис. 2 следует:
у = 8т2_-х + Ь + а2(8тф2+ -8тф2_). (17)
С учётом (14) и (15) уравнение (17) прямой М2 Р будет иметь вид:
у = — х + Ь + а2^. (18)
щ а
❖ ❖
Абсциссу точки Р найдём, приравняв правые части формул (16) и (18):
X ь ** х
3.0 — = —х + Ь + 3.0 —,
2 а а1 2 а
Откуда
х =-а|. (19)
Ордината точки Р очевидна из формулы (16), такой же результат получается при подстановке в формулу (18) значения х из формулы (19):
У** = а2^- (20)
а
Сравнивая формулу (20) с формулой (10) видим, что:
—— = —= к . (21)
у** а2
Таким образом, используя схему с двукратной дифракцией, изображённую на рис. 2, хроматическую аберрацию дифракционной решётки I при а2 < щ можно уменьшить в к раз. Понятно, что использование многократной дифракции, то есть применение дополнительных корректирующих решёток позволит еще более уменьшить хроматическую аберрацию. Еще одним из путей исправления хроматической аберрации является применение корректирующей решётки с переменным периодом.
Коррекция хроматической аберрации положения дифракционной решётки с помощью зеркала.
На рис. 3 изображена схема коррекции хроматической аберрации положения дифракционной решётки, в которой дифрагировавшая волна, формирующая изображение, отражается от зеркала и повторно направляется на дифракционную решётку. Световые волны дважды дифрагируют на одной решётке. Для того, чтобы мнимое изображение точечного источника можно было наблюдать, не заслоняя падающие от источника света лучи, решётка и зеркало развёрнуты на угол \)/1 относительно луча 1. В схеме, представленной на рис. 3, для малых углов расчёты коэффициента уменьшения хроматической аберрации к такие же, как и для предыдущей схемы на рис. 2, только в формуле (21) величина а2 равна удвоенному расстоянию между решеткой и зеркалом. При использовании вместо плоского зеркала цилиндрического или сферического зеркал, появляется еще один дополнительный параметр для коррекции хроматической аберрации решетки - радиус искривления зеркала.
Экспериментальные результаты измерения хроматической аберрации положения дифракционной решётки.
Эксперимент выполнялся в соответствии со схемой, изображённой на рис. 1. Точечный источник света (точка Р на рис. 1) моделировался щелью, освещавшейся ртутной лампой. Действительное изображение точки Р фиксировалось на матрице цифрового фотоаппарата, поставленного за дифракционной решёткой.
Период решётки с1 = 4-10_6м, размеры решётки: ширина 76 мм, высота 68 мм. Расстояние от щели до решётки а1 = 1 м.
Рис. 3. Схема коррекции хроматической аберрации положения дифракционной
решётки с помощью зеркала
*
Экспериментальные значения ординаты изображения у измерялись при помощи стальной линейки установленной в плоскости щели и прикреплённой к
*
щели магнитом. Расчётные значения Урасч вычислялись по формуле (10).
Результаты расчётов и измерений хроматической аберрации положения дифракционной решетки для спектра ртути приведены в таблице.
Таблица
Цвет фиолетовый синий голубой зелёный жёлтый жёлтый
X, нм 404,70 435,83 491,60 546,97 576,90 579,06
* у расч, мм 104 112 127 141 148 149
* у , мм ^ эксп’ 101 108.5 123,5 137 144,5 145,5
Как видно из таблицы, расхождение расчётных и экспериментальных
*
значений у около двух процентов. Хроматическая аберрация положения для длин волн 579,06 нм и 404,70 нм:
^ ^ ^
Лу =Уж-Уф=44,5мм- (22)
Экспериментальные результаты по коррекции хроматической аберрации дифракционной решётки.
Эксперимент выполнялся в соответствии со схемой, изображённой на рис. 2. Расстояние от светящейся щели до первой решётки было а1 = 1 м. Расстояние между решётками а2 менялось. При этом, для расстояния между решетками а2 = 115 мм значение коэффициента уменьшения хроматической аберрации оценивается по формуле (21) к1= 1000/115 ~ 9. Измеренное значение
остаточной хроматической аберрации положения Ауг = 3 мм (рис. 4). Следовательно, с учётом (22), значение коэффициента уменьшения хроматической аберрации:
*
Ду 44 5
к1опыт=-Лг = -^-15±3. (23)
Ду1 3
Для расстояния а2 = 230 мм значение коэффициента уменьшения хроматической аберрации оценивается как к2 ~ 1000/230 = 4,4. Измеренное
значение ширины наблюдаемого спектра ртути Ду2 =6,5 мм (рис. 5). Откуда, с учётом (22), экспериментальное значение коэффициента уменьшения хроматической аберрации:
Ду 44 5
к2опыг=-4г = -^-«7±1. (24)
Ду2 6,5
Рис. 4. Изображение светящейся щели с остаточной хроматической аберрацией (а2= 115 мм)
Рис. 5. Изображение светящейся щели с остаточной хроматической аберрацией (а2 = 230 мм)
Получаем, что при увеличении в два раза расстояния между решетками примерно во столько же раз возрастает хроматической аберрации увеличения, что соответствует формуле (21).
Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать вывод о возможности существенной коррекции хроматической аберрации положения дифракционной решётки методом двукратной дифракции. Визуально в выполненных опытах скорректированные изображения светящейся щели выглядят практически белыми. Теоретически и экспериментально получено, что хроматическая аберрация положения в первом приближении линейно зависит от расстояния между решетками. Отмечается, что остаточная хроматическая аберрация дифракционной решетки может быть исправлена многократной дифракцией.
Авторы выражают благодарность профессору Тюшеву А.Н. за поддержку работы и критические замечания.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пейсахсон, И.В. Оптика спектральных приборов.- Машиностроение, 1970. - 272 с.
2. Батомункуев, Ю.Ц. Применение метода многократной дифракции в оптических устройствах / Ю.Ц. Батомункуев // Матер. научного конгресса 'ТЕО-Сибирь-2005" - Новосибирск, 2005.- С.140-142.
3. Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Казин С.В., Степанов С.А. Фокусирующие объективы апохроматы на основе синтезированных голограмм // Сб. трудов 7 междун. конфер. «ГОЛОЭКСПО-2010».- Москва, 2010. - С. 16-23.
© Ю.Ц. Батомункуев, Н.А. Тюшев, 2011
