CC BY
12УДК 330.42
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ФИНАНСОВОЙ
МАТЕМАТИКЕ
АМАНТАЕВА ЗАРИНА, ЫСКАКОВА НАЗЕРКЕ, СЕЙСЕНБАЕВ АДИЛЬЖАН, АМАНГЕЛЬДЫ АНСАР
Студенты гуманитарно-экономического и естественно-математического Факультетов НАО «Университет имени Шакарима города Семей»
ОРАЗГАЛИЕВА АРАЙЛЫМ КАНАТОВНА
Научный руководитель - Доктор PhD, ассоциированный профессор, Семей, область Абай, Казахстан
Аннотация: в данной статье авторами анализируется теория вероятности как раздел математики, занимающийся анализом случайных событий и определением вероятности их наступления в экономических отношениях6 так как теория вероятности играет критически важную роль в экономике и финансах, предоставляя инструменты для анализа и управления неопределенностью, рисками и принятия обоснованных решений. Она играет центральную роль во многих научных и инженерных дисциплинах, позволяя предсказывать и анализировать явления, которые не могут быть описаны с абсолютной уверенностью.
Ключевые слова: теория вероятностей, случайный эксперимент, анализ случайных событий, управление неопределенностью, риск и принятие обоснованных решений, экономическая сфера, финансы, финансовая математика.
Введение. Как нам всем известно, теория вероятностей - это систематическое изучение результатов случайного эксперимента, такого как бросок кубика, или раздача в бридж из тщательно перетасованной колоды карт, или срок службы электрической лампочки, или минимальная и максимальная температура в городе в определенный день и т.д. Самым первым шагом в таком исследовании является визуализация всех возможных исходов рассматриваемого эксперимента, а затем осознание того, что фактический исход такого эксперимента заранее не предсказуем. Однако, исходя из характера эксперимента или из нашего опыта работы с прошлыми результатами эксперимента (если таковые имеются), мы можем назначить вероятности возможным исходам или их наборам.
Например, при броске сбалансированного шестигранного кубика возможными исходами являются 1, 2, 3, 4, 5, 6 каждому из которых мы можем присвоить вероятность (т.е.
при многих повторениях испытания мы ожидаем, что произойдет каждый из этих исходов — раз).
Экономическая область одна из распространенных областей применения теории вероятностей. Изучение, планирование, а также прогнозирование экономических процессов немыслимо без формирования экономико-математических моделей, которые опираются на теорию вероятностей.
Применение теории вероятностей в экономическом секторе дает возможность обнаруживать закономерности, которые применяются к массовым явлениям. Точно предсказать исход случайного события методы теории вероятностей не способны, но все же они могут предсказывать вероятный итог в ходе неоднократно повторяющихся явлений. Следовательно, использование математического аппарата теории вероятностей может скорректировать и спрогнозировать процесс производства [1, с. 28].
Результаты исследования. Теория вероятности представляет собой мощный инструмент для анализа и понимания мира вокруг нас, позволяя нам делать обоснованные
1
предположения и принимать решения в условиях неопределенности. Она находит применение в самых разнообразных областях, от статистики и финансов до инженерии и естественных наук, помогая специалистам разрабатывать стратегии, моделировать различные сценарии и анализировать данные для выявления закономерностей и тенденций. Изучение теории вероятности открывает двери к глубокому пониманию случайных процессов и является неотъемлемой частью современного научного и аналитического инструментария.
В теории вероятности используются такие основные понятия:
Случайное событие - событие, которое может произойти или не произойти в результате какого-либо эксперимента или наблюдения. Примерами случайных событий могут быть выпадение определенной стороны монеты, выбор случайной карты из колоды, или измерение температуры воздуха в определенный момент времени.
Вероятность - числовая мера, обычно выражаемая числом от 0 до 1, которая указывает на степень возможности наступления определенного случайного события [2, с. 11]. Вероятность 1 означает, что событие обязательно произойдет, а вероятность 0 - что событие произойти не может.
Независимые события - события, наступление одного из которых не влияет на вероятность наступления другого.
Зависимые события - события, наступление одного из которых влияет на вероятность наступления другого.
Условная вероятность - вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.
• Бросок монеты: При броске идеальной монеты вероятность выпадения орла или решки равна 1/2, так как существует два равновозможных исхода.
• Выбор карты из колоды: Вероятность выбрать туза из стандартной колоды в 52 карты составляет 4/52 или 1/13, поскольку в колоде четыре туза [2, с. 38].
• Условная вероятность: Если из колоды была извлечена одна карта, и это туз, то вероятность того, что следующая карта также будет тузом, изменится, так как общее количество карт в колоде уменьшится, а количество тузов может также уменьшиться в зависимости от результатов первого выбора.
Теория вероятности является фундаментальным инструментом во множестве областей, начиная от чистой математики и заканчивая прикладными науками и повседневной жизнью. В каждой из этих сфер она используется для анализа, предсказания и управления случайными событиями или процессами. Давайте рассмотрим некоторые из ключевых областей применения теории вероятности.
Экономика имеет существенное количество экономических показателей, вычисление которых не требует точных значений, а предполагает наличие незначительных отклонений. Методы теории вероятностей применяются в тех отраслях, где допустима возможность создания и анализа вероятностных моделей действий или явлений. К примеру, это характеристики в сфере кредитования и страхования [12, с. 170].
В сфере страхования страховые компании используют теорию вероятности для расчета страховых премий, основываясь на вероятности наступления страхового случая. Методы теории вероятности позволяют оценить риски и разработать финансово устойчивые страховые продукты [3, с. 63].
В медицине вероятностные модели применяются для оценки эффективности лечения и риска развития заболеваний. Эпидемиологи используют модели распространения инфекций для прогнозирования развития эпидемий и планирования мер по их предотвращению.
В системе инженерии и науке о данных инженеры используют теорию вероятности для анализа надежности систем и компонентов, а также для управления рисками в проектах. В
Примеры:
23 О
науке о данных вероятностные методы применяются для обработки неопределенности в данных, машинного обучения и статистического анализа.
Касательно компьютерных наук, здесь алгоритмы, лежащие в основе многих технологий машинного обучения и искусственного интеллекта, часто основаны на принципах теории вероятности. От байесовских сетей до алгоритмов случайного поиска и оптимизации, вероятностные методы играют ключевую роль в разработке и улучшении алгоритмов.
В повседневной жизни люди, возможно даже не осознавая этого, используют принципы теории вероятности для принятия решений. Например, оценка рисков при переходе улицы в непредвиденном месте или принятие решений на основе погодного прогноза включают вероятностные соображения.
Теория вероятности является неотъемлемой частью академических исследований в различных областях науки. Она также занимает важное место в образовательных программах по математике, статистике и другим наукам, формируя основу для понимания и анализа случайных процессов и данных.
Как экономистам хотелось бы отметить, что теория вероятности играет критически важную роль в экономике и финансах, предоставляя инструменты для анализа и управления неопределенностью, рисками и принятия обоснованных решений. Она помогает экономистам и финансистам предсказывать будущие события, оценивать риски и оптимизировать стратегии для достижения лучших результатов в условиях неизвестности.
В финансовом мире управление риском является ключевым аспектом любой инвестиционной стратегии. Теория вероятности позволяет оценить риски потерь и предсказать вероятность различных финансовых исходов. Это основа для разработки моделей ценообразования активов, таких как модель оценки финансовых активов (CAPM) и модель Блэка-Шоулза [4, с. 153] для оценки опционов. Эти модели помогают инвесторам определить стоимость активов, учитывая риск и временную стоимость денег.
В экономике теория вероятности используется для создания эконометрических моделей, которые предсказывают будущее поведение рынков и экономические тенденции. С помощью статистических и вероятностных методов аналитики могут оценить, как различные факторы, такие как изменение процентных ставок, инфляция или политическая нестабильность, могут повлиять на экономические показатели. Эти модели используются как правительствами, так и частными компаниями для планирования и принятия взвешенных экономических решений.
Теория вероятности лежит в основе теории портфеля, которая занимается оптимизацией состава инвестиционного портфеля с целью максимизации ожидаемой доходности и минимизации риска. С помощью вероятностных моделей инвесторы могут анализировать распределение доходностей различных активов и их корреляцию для создания диверсифицированного портфеля, который устойчив к рыночным колебаниям.
В определении стоимости деривативов производные финансовые инструменты (деривативы) также анализируются с использованием теории вероятности. Модели, такие как Блэка-Шоулза и Биномиальная модель [5, с. 148], позволяют оценить стоимость опционов и других производных инструментов, основываясь на вероятности различных будущих сценариев. Эти расчеты критически важны для управления рисками и стратегического планирования в инвестиционных и хеджирующих операциях.
Вероятностные методы также применяются для оценки кредитного риска. Модели кредитного скоринга используют статистические данные для предсказания вероятности дефолта заемщика. Это позволяет банкам и кредитным организациям эффективно управлять рисками при выдаче кредитов [6].
В каждой из этих сфер теория вероятности обеспечивает инструменты для работы с неопределенностью и случайностью, что позволяет принимать более обоснованные и информированные решения.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
Теория вероятности является основополагающим элементом финансовой математики, предоставляя инструменты для моделирования и анализа финансовых рынков, оценки рисков и оптимизации портфелей. Эта область исследования способствует разработке стратегий для принятия обоснованных инвестиционных решений в условиях неопределенности.
В финансовой математике широко используются стохастические (или случайные) процессы для моделирования изменений цен на активы и другие финансовые показатели. Примером стохастического процесса является геометрическое броуновское движение, которое лежит в основе модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.
Модель Блэка-Шоулза использует теорию вероятности для определения теоретической стоимости европейских опционов на покупку или продажу, не предполагая возможность досрочного исполнения. Она демонстрирует, как цена опциона зависит от времени до исполнения, волатильности базового актива и безрисковой процентной ставки [4, с. 159].
В экономической системе Гарри Марковиц разработал теорию портфеля на основе вероятностных методов, позволяющую инвесторам оптимизировать соотношение риска и доходности своих инвестиций. Это достигается за счет диверсификации - распределения инвестиций между активами, чьи цены не идеально коррелируют друг с другом.
Рассмотрим примером метод Байеса в финансовой математике. Метод Байеса играет важную роль в финансовой математике, особенно в контексте прогнозирования и принятия решений на основе статистических данных. Вот как он может применяться:
1. Прогнозирование цен активов: Метод Байеса может использоваться для прогнозирования будущих цен акций, облигаций, валют и других финансовых инструментов. При этом учитываются текущие и исторические данные, а также дополнительная информация, такая как новости, события на рынке и т. д.
2. Оценка риска и волатильности: Байесовские методы могут быть использованы для оценки риска инвестиций и волатильности финансовых инструментов. Это помогает инвесторам принимать обоснованные решения о том, какие риски они готовы принять.
3. Портфельное управление: Методы Байеса могут быть применены для оптимизации портфеля инвестиций. Анализируя данные о доходности и риске различных активов, можно определить оптимальное распределение активов в портфеле для достижения заданных целей.
4. Кредитный скоринг и оценка кредитоспособности: В финансовой сфере методы Байеса могут использоваться для оценки кредитоспособности заемщиков и прогнозирования вероятности невозврата кредита.
5. Финансовое моделирование: Байесовские методы могут быть включены в финансовые модели для учета неопределенности и изменчивости в данных, что делает модели более точными и реалистичными [7].
В целом, метод Байеса предоставляет инструменты для анализа данных и принятия решений в условиях неопределенности, что особенно важно в финансовой сфере, где риски и изменчивость играют ключевую роль (таблица 1):
Таблица 1 - Пример использования метода Байеса в предположении и переоценивании активов и торговли
День Априорное распределение Новости Обьем торговли
1/03/2024 [90, 110] Без событий 500
2/03/2024 [90, 110] Положительн ые новости 600
3/03/2024 [95, 115] Положительн ые новости 550
4/03/2024 [110, 120] Отрицательны е новости 450
5/03/2024 [95, 115] Без событий 700
В этой таблице мы начинаем с априорного распределения вероятностей для цен акций на следующий день от $90 до $110. Затем мы обновляем это распределение на основе новостей о компании и объема торгов за каждый день с использованием метода Байеса.
Расчет Волатильности: Волатильность, ключевой компонент в моделировании финансовых рынков, часто рассчитывается с использованием исторических данных о ценах активов. Стандартное отклонение ценовых изменений актива может служить мерой волатильности и использоваться для оценки риска [8].
Определение Риска Кредитного Дефолта: С помощью вероятностных моделей кредитные рейтинговые агентства оценивают вероятность дефолта заемщика. Модели оценки дефолта, такие как модель Merton, используют структуру баланса компании и рыночные данные для расчета вероятности невыполнения кредитных обязательств.
Моделирование Рыночных Рисков: Для оценки рыночных рисков и определения необходимого уровня капитала финансовые учреждения используют модели VaR (Value at Risk - стоимостной риск) и CVaR (Conditional Value at Risk - условный стоимостной риск), основанные на вероятностных распределениях [9].
Теперь остановимся на фактах:
- Использование в квантовом финансировании: Теория вероятности лежит в основе квантового финансирования, где математические и статистические методы применяются для оценки финансовых инструментов и управления рисками.
- Развитие компьютерных технологий: Расчеты, связанные с теорией вероятности в финансах, стали более доступными и точными благодаря развитию вычислительной техники и алгоритмов [10].
- Признание научного сообщества: Методы, основанные на теории вероятности, принесли их создателям Нобелевские премии в области экономики, подчеркивая их вклад в развитие финансовой науки.
Теория вероятности в финансовой математике представляет собой мощный инструмент для моделирования и анализа финансовых рынков, оценки рисков и разработки эффективных инвестиционных стратегий. Ее применение позволяет глубже понять природу и поведение финансовых инструментов и рынков, а также улучшить процессы принятия решений в условиях неопределенности.
Теория вероятности, являясь одним из фундаментальных разделов математики, играет решающую роль в анализе и понимании случайных процессов, которые присущи многим аспектам современной жизни, особенно в области финансов. Её принципы и методы находят широкое применение в финансовой математике, где неопределенность и риск являются ключевыми элементами любых исследований и операций [11].
Выводы. Таким образом, применение теории вероятности в финансовой математике позволяет моделировать поведение финансовых рынков, анализировать риски и разрабатывать стратегии для минимизации потерь и максимизации доходов. От моделей ценообразования опционов, таких как модель Блэка-Шоулза, до теории портфеля и оценки риска кредитного дефолта - все эти аспекты финансов опираются на вероятностные модели для своего анализа и понимания.
Стохастические процессы, статистические распределения и концепции условной вероятности являются лишь некоторыми из инструментов, заимствованных из теории вероятности, которые нашли свое применение в финансовой математике. Они обеспечивают
механизмы для описания динамики цен на активы, расчета вероятности дефолтов и оценки волатильности рынка.
Значение теории вероятности в финансах не ограничивается только квантитативным анализом и моделированием. Оно простирается до разработки философии управления риском, которая лежит в основе всех финансовых решений и стратегий. Понимание и принятие во внимание вероятностной природы финансовых рынков позволяет инвесторам и аналитикам лучше оценивать риски и принимать обоснованные решения, опираясь на математический анализ и статистическое моделирование.
В заключении авторами определены, что теория вероятности и ее применение в финансовой математике представляют собой ключевые компоненты современной экономической науки и финансового анализа. Они обеспечивают научную основу для понимания и управления финансовыми рисками, а также для разработки стратегий инвестирования и финансового планирования. Эти знания и инструменты способствуют усовершенствованию финансовых систем и повышению эффективности экономических процессов в условиях неопределенности и переменчивости рынка.
1. Игнатьева, Д. С. Теория вероятностей и ее применение в области экономики / Д. С. Игнатьева, И. А. Филиппова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2022. — № 22 (417). — С. 176-178. — URL: https://moluch.ru/archive/417/92069/ (дата обращения: 16.03.2024).
2. Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability. Pearson.
3. Hull, J. C. (2017). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson.
4. Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer.
5. Duffy, D. J. (2006). Finite Difference Methods in Financial Engineering: A Partial Differential Equation Approach. Wiley.
6. Bjork, T. (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press.
7. Luenberger, D. G. (2013). Investment Science. Oxford University Press.
8. Poon, S.-H. (2003). A Practical Guide to Forecasting Financial Market Volatility. Wiley.
9. Wilmott, P. (2007). Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. Wiley.
10. Black, F., and Scholes, M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." Journal of Political Economy, 81(3), 637-654.
11. Merton, R. C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing." Bell Journal of Economics and Management Science, No. 4, 141-183.
12. Цыплакова О. Н., Салпагарова Ф. А. А., Богданова А. А. Экономико-математическое моделирование в исследовании объектов // Современные наукоемкие технологии. 2019. № 6-3. С. 170-171.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:
