CC BY
3
УДК 519.22
А. А. Кудрявцев1 , Ю. Н. Недоливко2 , О. В. Шестаков3
ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ЕГО ПАРАМЕТРОВ*
В работе рассматривается новое дигамма-распределение, обобщающее распределения из гамма- и бета-классов. Обосновано представление дигамма-распределения как дробно-масштабной смеси гамма-распределений. Приводятся явные виды моментов и плотности рассматриваемого распределения. Описывается метод статистического оценивания неизвестных параметров, основанный на логарифмических кумулянтах. Приводится ряд численных примеров оценивания параметров концентрации по модельным выборкам.
Ключевые слова: дигамма-распределение, смешанные распределения, обобщенное гамма-распределение, обобщенное бета-распределение, преобразование Меллина.
1. Введение. Большую роль в прикладной теории вероятностей и математической статистике играют гамма- и бета-классы распределений, зарекомендовавшие себя удобными и эффективными инструментами при моделировании многих реальных процессов. Обобщенное гамма-распределение и обобщенное бета-распределение второго рода представляют собой довольно широкие классы, включающие распределения, обладающие такими полезными свойствами, как, например, безграничная делимость и устойчивость, что позволяет использовать распределения из этих классов в качестве асимптотических аппроксимаций в различных предельных теоремах. В статье рассматривается новое распределение, обобщающее перечисленные популярные классы.
В 1925 г. итальянский экономист Л. Аморозо в рамках изучения теории динамического равновесия рассмотрел [1] распределение, частный вид которого принято называть обобщенным гамма-распределением GG(v,p, 5), с плотностью
f(x) = W(p)-' p>0, ¿>0, ж>0. (1)
Данное распределение доказало свою состоятельность во многих прикладных задачах, использующих для моделирования непрерывные распределения с неограниченным неотрицательным носителем. Класс распределений (1) достаточно широк и кроме гамма-распределения Г(р, 5) = = GG(1,p, 5) включает экспоненциальное распределение; %2-распределение; распределение Эр-ланга; полунормальное распределение, или распределение максимума процесса броуновского движения; распределение Рэлея; распределение Максвелла-Больцмана; %-распределение; m-распределение Накатами; распределение Вильсона-Хильферти; распределение Вейбулла-Гнеденко и многие другие, включая масштабированные и обратные аналоги перечисленных.
В 1984 г. американский профессор Дж.Б. Макдональд предложил [2] в качестве обобщения известных распределений бета-типа, использующихся для моделирования доходности, рассматривать обобщенное бета-распределение второго рода GB2(v,p, q, 5) с плотностью
|VI (т/5)ир-1
/ЛУ^+З' "¿0, р>0, 9>0, ¿>0, ®>0. (2)
5B(p, q) (1 + (x/5) )p+q
1 Факультет BMK МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: aakudryavtsevQcs.msu.ru
2 Факультет ВМК МГУ, студ., mouse98Qmail.ru
3 Факультет ВМК МГУ, проф.; Федеральный исследовательский центр "Информатика и управление" Российской академии наук, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: oshestakovQcs.msu.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-07-00655); исследования проводились в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики.
Распределение (2), применяющееся прежде всего в эконометрике и регрессионном анализе, включает в качестве частных случаев распределение Барра, или распределение Сшнх Маддала: распределение Дагума; распределение Пирсона; распределение Парето; распределение Ломакса; F-распределение Фишера-Снедекора и др.
В работе [3] было предложено гамма-экспоненциальное распределение GE(r, v, p, q, 5), 0 ^ r < < 1, v = 0, p,q > 0 5 > 0, плотность которого при x > 0 задается соотношением
где Gea,e (x) — гамма-экспоненциальная функция [4]. Было показано [5], что данное распределение наследует многие свойства как представителей гамма-класа, так и представителей бета-класса распределений.
Традиционно важное место в задачах прикладной математической статистики занимает проблема оценивания неизвестных параметров распределения. Об актуальности статистического анализа распределений (1)-(3), их частных видов и смесей свидетельствует большое число публикаций на эту тему, например [6-20].
В статье рассматривается новый вид распределения, обобщающий распределения (1)-(3); приводятся его основные вероятностные характеристики; обсуждается метод статистического оценивания его неизвестных параметров.
2. Дигамма-распределение и его основные вероятностные характеристики.
Определение 1. Будем говорить, что случайная величина ( имеет дигамма-распределение DiG(r, v, p, q, 5) с характеристическим показателем r € К и параметрами формы v = 0, концен-p, q > 0 5 > 0
+ RgW>0 (4)
r(p)r(q) v v
Целесообразность рассмотрения данного нового вида распределения обусловливается следующим утверждением.
Теорема 1. Пусть ( ~ DiG(r,v,p,q,5). Тогда справедливо представление где независимые случайные величины X и ц соответственно имеют гамма-распределения Г(р, 1)
«r(q, 1).
Доказательство. Поскольку преобразование Меллина гамма-распределенной случайной величины имеет вид
сс
Mx{z) = Ixz dFx{x) = Г ^ + p+Re(z)>0, о
и для независимых случайных величин 5X1/v, ц-г/и справедливо [21]
MZ(z) = М&хi/v(z) -MM-r/v(z),
имеет место соотношение (5). Теорема доказана.
Замечание 1. Для случайных величин (, имеющих распределения (1)-(3), также справедливо общее представление (5). Причем если положить r = 0, правая часть соотношения (5) будет иметь распределение Аморозо GG(v, p, 5) [5], при r = 1 — распределение Макдональда GB2(v,p, q,5) [17], а при 0 < r < 1 — гамма-экспоненциальное распределение GE(r,v,p,q,5) [5]. Таким образом, дигамма-распределение обобщает перечисленные виды распределений.
Замечание 2. При т = 0 дигамма-распределение ОгС(т, и,р,д,5) совпадает с распределением частного двух независимых случайных величин, имеющих обобщенные гамма-распределения СС(и,р, 5) и ОО^/т,д, 1), а также с распределением произведения независимых случайных величин с распределениями СС(и,р, 5) и 00(-и/т,д, 1).
Непосредственно из определения дигамма-распределения следует вид моментов ( ~ ~ тС(т, и,р,д,5):
ЕС
к 5кГ(р + к/и)Г(д - тк/и) к тк
Г(р)Г(д)
р + - > 0, д-->0.
V V
(6)
Найдем представление плотности случайной величины Для этого рассмотрим Н-функцию Фокса [221
(аь А1),..., (ак,Ак) (Ъ1,Б1),..., (Ы, Б[)
1к1
1
П Г(Ъз + Б3 8)ЦГ(аз - А в)
3=1_3^1_
к I
ь П Г(аз + А,в) П Г(Ь,- - Б,в)
] =п+1 ]=т+1
-X 8 йв,
где 0 ^ т ^ I, 0 ^ п ^ к, А,1 ,Б,2 > 0, ]1 = 1,...,к, ]2 = 1,---,1- Везде далее в качестве контура Ь рассматривается область интегрирования (с - гж, с + гж), лежащая в
Vс = {х : р + Re(z)/v > 0, д - тRe(z)/v > 0}. Теорема 2. Пусть ( ~ ВгС(т^,р,д,5). Тогда £ при х > 0 имеет, плотность
(7)
-1
й9 (х) =
Г(р)Г(д)
11 Н11 х I
тт20 Н02 х I
11 Н11 х I
02 Н20 V х
(g,т/v) (р,1/v)
(р, 1/v), (д, -т/v) (р, -1/v)
(д, -т/v)
(р, -1/v), (g,т/v)
т > 0, V > 0,
т < 0, V > 0,
т > 0, V < 0,
т < 0, V < 0,
(8)
где д = (т, v,p,g,5).
Доказательство. Согласно [21] для точек непрерывности плотности распределения случайной величины ( справедлива формула
е+гТ
Ла(х) = —— Нт ( х х 1М.Лх)(1х, х > 0, 2пг т^ж у ц
е-гТ
где линия (с - гж, с + гж) лежит в области аналитичности (х). Поскольку [23] функция (х)
х > 0
е+гТ
{х) = / Г +1)г
тх\ /х\,
е- гТ
откуда по формуле обращения преобразования Меллина [22] следует утверждение теоремы.
т=0
т = 1 0 < т < 1
Замечание 4. Поскольку ( = ö [ß/X1/r) гГ\ при r > 1 распределения DiG(r,v,p,q,ö) и DiG(1/r, —v/r,q, p, ö) совпадают с GE(1/r, —v/r, q, p, ö).
Замечание 5. По аналогии с [23] плотность (8) может быть представлена при некоторых частных значениях параметров с помощью функции Мейера, функции Макдональда (модифицированной функции Бесселя третьего рода) и обобщенной гипергеометрической функции.
3. Метод оценивания неизвестных параметров дигамма-распределения. Далее понадобятся некоторые моментные характеристики дигамма-распределения (4). Введем в рассмотрение полигамма-функции
d dm+1 ф(г) = -\пТ(г), фт(г) = ^—ттЫТ(г), тп = 1,2,....
Непосредственно из определения 1 вытекает вид характеристической функции логарифма дигамма-распределейной случайной величины:
F,tinc SaT(p + ü/v)T(q-irtM
te -TV \-Tf \-' i G M>
r(p)r(q)
из которого, в свою очередь, следует, что кумулянты случайной величины ln ( имеют вид
dm
Фт-\(Р) + ( — r)m^m-l(q)
1 7 dym у=о V™ w
Основная проблема исследования дигамма-распределения заключается в представлении плотности (8) в терминах специальных функций (гамма- и бета-функций, гамма-экспоненциальной функции, Н-функции Фокса). Данный факт затрудняет исследование вероятностно-статистических свойств распределения при помощи классических методов, например, метода максимального правдоподобия. Кроме того, моменты (6) дигамма-распределения определены не при всех значениях параметров и представляют собой произведения немонотонных гамма-функций, аргументы которых зависят сразу от нескольких параметров, что существенно затрудняет не только применение метода моментов, но и интерпретацию каждого из параметров как характеристики среднего, разброса, асимметрии и т.п. Последнее нельзя считать недостатком рассматриваемого распределения, поскольку в реальной жизни на величину каждой исследуемой характеристики оказывает влияние множество факторов, имеющих различную природу.
Многие свойства дигамма-распределения, вытекающие из вида преобразования Меллина, наследуются у гамма-экспоненциального распределения. Ранее авторами был предложен [20] метод оценивания параметров г, V ъ 5 гамма-экспоненциального распределения в предположении, что параметры р и q известны и фиксированы. Такая постановка естественным образом возникает в случае применения дигамма-распределения или гамма-экспоненциального распределения для исследования масштабных смесей распределений максимума процесса броуновского движения, Рэлея, Максвелла-Больцмана, Фреше, Вейбулла-Гнеденко, Леви (с нулевым смещением) и некоторых других.
Введем обозначение для выборочных логарифмических моментов случайной величины (:
1 п
Ьт(Х) = - У^\птХг, (10)
п ^
г=1
где X = (Х1,..., Хп) — выборка го распределения
Заметим, что моменты случайной величины 1п ( представимы в виде [24]
Е 1пт С = БтЫд),...,Кт(д)), (11)
где Bm — полный (экспоненциальный) полином Белла, для которого справедлива рекуррентная формула
m
Bm+l(xl, ■■■ , Xm+\) = ^2/ Cm Bm-k(xl, ••• , xm-k )xk+b B0 = 1
k=0
Следовательно, для выборочных логарифмических кумулянтов дигамма-распределения справедливы соотношения
Ki(X) = Li(X), K2(X)= L2(X) - Ll(X), Кз(Х) = La(X) - 3L2(X)Li(X) + 2L?(X), K4(X) = L4(X) - 4L3(X)Li(X) - 3L2(X) + 12L2(X)L?(X) - 6Lf(X).
Метод нахождения оценок неизвестных параметров дигамма-распределения основан на решении следующей системы уравнений для логарифмических кумулянтов:
Km (g) = Km(X), m = 1, 2,...,
где g = (r, v,p, q, ö).
Далее речь пойдет о применении описанного метода для оценивания параметров концентрации в предположении, что характеристический показатель и параметры формы и масштаба дигамма-распределения фиксированы.
4. Оценивание параметров концентрации дигамма-распределения. Трудность применения рассматриваемого метода, основанного на приравнивании теоретических логарифмических кумулянтов их выборочным аналогам, заключается в том, что параметры концентрации входят в уравнения как аргументы полигамма-функций.
Существует множество работ, касающихся исследования полигамма-функций. В качестве примера можно привести статьи [25-27], в которых даются оценки полигамма-функций и обратных полигамма-функций при помощи элементарных функций, дзета-функций Римана и Гурвица и чисел Бернулли, а также исследуются свойства монотонности ассоциированных с полигамма-функциями выражений. Однако польза полученных результатов для теоретического статистического оценивания аргументов полигамма-функций пока не столь очевидна.
Вопрос об эффективных аналитических методах обращения полигамма-функций, таким образом, представляет собой актуальную и, судя по всему, нерешенную задачу. Однако ввиду строгой монотонности и непрерывности полигамма-функций очевидна возможность их численного обращения.
В качестве примера применения известных результатов, касающихся оценивания полигамма-функций, для получения оценок неизвестных параметров дигамма-распределения приведем следующее утверждение.
Л е м м а. Для m = 1, 2,... справедливо неравенство
2т-1 v2mn2m(g) (pq)2m pq2m + q(rp)2m ^ ^
2 (2т -2)! ' q2m + (rp)2m q2m + (гр)2т Ш ^ '
где логарифмические кумулянты дигамма-распределения Km(g) определены, в (9).
Доказательство леммы основано на применении неравенства [25]
(k -1)! k! , 1,k+l l(k). . (k -1)! k! , 1 n Jü ¿djü Jü Jü
к выражению для логарифмических кумулянтов (9).
Из леммы следует, что для почти всех элементарных исходов начиная с некоторого объема выборки n справедливо неравенство
2т — 1 и2тК2т(Х) (pq)2m pq2m + q(rp)2m ^ 1
2 (2m-2)! ' q2m + [rp)2m q2m + [rp)2m Ш ^ '
где К2т (X) — выборочный логарифмический кумулянт.
Численный анализ модельных выборок из дигамма-распределения показывает, что неравенство (13) дает хорошие состоятельные интервальные оценки только для одного неизвестного параметра концентрации при остальных четырех фиксированных параметрах. В случае, когда оба параметра концентрации неизвестны, неравенство (13) задает слишком сложную фигуру в двумерном пространстве, чтобы использовать его для практического применения. Однако это неравенство может быть полезно для отыскания начального приближения при использовании численных методов оценки параметров.
5. Метод Ньютона оценивания параметров концентрации. В данном разделе описывается численный метод нахождения оценок параметров концентрации р ид при фиксированном характеристическом показателе г и параметрах формы V и масштаба 5 дигамма-распределения ОгС(д), д = (г, v,p,q,5).
Рассмотрим систему из двух уравнений, основанных на логарифмических кумулянтах:
Кт(д) = Кт(Х), т = 2, 3. Данная система эквивалентна системе
¡1 (д) = Фг(р) + г2фг(д) - V2К2(Х) = 0,
ш = Ф2(р) - г3ф2(д) - V3Кз(х) = о.
Пусть дк = (г, v,pk,ди,5) и ^(д) = (¡г(д), /2(д))т. Тогда классическая формула для итерационного приближения решения системы уравнений имеет вид
(рк+г, дк+1)т = (Рк, дк)Т - з-1 (дк)F(дк), к = о, 1,...,
где для обратной матрицы Якоби справедливо
Г1Ы= (9ШдШ _дШдЩ_у1(
{9) V 9р дд дд др ) I -ЁШ. Щи
_ <9/1 (й)
др др
1 ( -г3фз (д) -г2ф2 (д)
Г3ф2 (р)Фз(д)+ г2ф2(д)фз (р) V -Фз(р) Ф2 (р)
Начальное приближение (ро,до)Т выбирается при помощи неравенства (13).
Таблица иллюстрирует применение описанного выше численного метода для получения оценок р(Х) и д(Х) параметров концентрации р и д по модельным выборкам объема п из дигамма-распределения ВгС(д), д = (г, v,p,q, 5).
Примеры оценок параметров р и д модельного распределения 01С(дг)
п д\ #2 дз #4
р{Х) й{х) р{Х) й{х) р{Х) ?Р0 р{Х) й{х)
105 2.5284 1.6762 3.3310 0.6983 0.5037 1.8723 0.8257 2.7136
5 • 105 2.4887 1.6988 3.6799 0.6991 0.5016 1.8858 0.7854 2.8636
106 2.4983 1.6983 3.4696 0.6984 0.5009 1.8961 0.8044 2.7905
5 • 106 2.5002 1.6997 3.4874 0.6999 0.5006 1.9006 0.7998 2.8016
Здесь дг = (0.7,1.4,2.5,1.7,1.5), д2 = (1.8, -0.5,3.5,0.7, 2.3) дз = (-1.9,2.3,0.5,1.9,0.7) д4 = = (-2.5, -1.7, 0.8, 2.8,1.0).
6. Заключение. В работе представлено новое дигамма-распределение, обобщающее известные популярные распределения из гамма- и бета-классов. Приведены основные вероятностные характеристики дигамма-распределения. Описан метод нахождения оценок неизвестных параметров распределения, основанный на логарифмических кумулянтах. Приведены примеры численного нахождения оценок параметров дигамма-распределения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Amoroso L. Ricerche intorno alia curva dei redditi // Ann. Mat. Pura Appl. 1925. 21. P. 123-159.
2. McDonald J. B. Some generalized functions for the size distribution of income // Econometrica. 1984. 52. N 3. P. 647-665.
3. Кудрявцев А. А. О представлении гамма-экспоненциального и обобщенного отрицательного биномиального распределений // Информатика и ее применения. 2019. 13. № 4. С. 78-82.
4. Кудрявцев А. А., Титова А. И. Гамма-экспоненциальная функция в байесовских моделях массового обслуживания // Информатика и ее применения. 2017. 11. № 4. С. 104-108.
5. Воронцов М. О., Кудрявцев А. А., Шестаков О. В. Некоторые вероятностно-статистические свойства гамма-экспоненциального распределения // Системы и средства информатики. 2021. 31. № 3. С. 18-35.
6. G а о G., О u у a n g К., L u о Y., Liang S., Zhou S. Scheme of parameter estimation for generalized gamma distribution and its application to ship detection in SAR images // IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 2017. 55. N 3. P. 1812-1832.
7. Zhou Y., Z h и H. Image segmentation using a trimmed likelihood estimator in the asymmetric mixture model based on generalized gamma and Gaussian distributions // Math. Probl. Eng. 2018. 2018. Art. ID 3468967.
8. I r i a r t e Y. A., Va r e 1 a H., Gómez H. J., Gómez H. W. A gamma-type distribution with applications // Symmetry. 2020. 12. N 5. Art. ID 870.
9. Liu S., G и i W. Estimating the parameters of the two-parameter Rayleigh distribution based on adaptive type II progressive hybrid censored data with competing risks // Mathematics. 2020. 8. N 10. Art. ID 1783.
10. Rivera PA., В a r r a n с о - С h a m о г г о I., Gallardo D.I., Gómez H. W. Scale mixture of Rayleigh distribution // Mathematics. 2020. 8. N 10. Art. ID 1842.
11. Barranco-Chamorro I., Iriarte Y.A., Gómez Y.M., Astorga J.M., Gómez H.W. A generalized Rayleigh family of distributions based on the modified slash model // Symmetry. 2021. 13. Art. ID 1226.
12. Combes C., Ng H.K. T. On parameter estimation for Amoroso family of distributions / / Math. Сотр. Sim. 2022. 191. P. 309-327.
13. L ó p e z - R o d r í g и e z F., G a г с í a-S a n z - С a 1 с e d o J., Moral-García F.J., García-Conde A.J. Statistical study of rainfall control: the Dagum distribution and applicability to the southwest of Spain // Water. 2019. 11. Art. ID 453.
14. Hassan N.J., Mahdi Hadad J., Ha wad Nasar A. Bayesian shrinkage estimator of Burr XII distribution // Int. J. Math. Sci. 2020. 2020. Art. ID 7953098.
15. В ant an R. A.R., Elgarhy M., Chesneau C., Jamal F. Estimation of entropy for inverse Lomax distribution under multiple censored data // Entropy. 2020. 22. N 6. Art. ID 601.
16. Shi X., Shi Y. Inference for inverse power Lomax distribution with progressive first-failure censoring // Entropy. 2021. 23. N 9. Art. ID 1099.
17. S a r a b i a J. M., Jordá V., Prieto F., Guillen M. Multivariate classes of GB2 distributions with applications // Mathematics. 2021. 9. N 1. Art. ID 72.
18. Кудрявцев А. А., Шестаков О.В. Метод логарифмических моментов для оценивания параметров гамма-экспоненциального распределения // Информатика и ее применения. 2020. 14. № 3. С. 49-54.
19. Kudryavtsev A., Shestakov О. Asymptotically normal estimators for the parameters of the gamma-exponential distribution // Mathematics. 2021. 9. N3. Art. ID 273.
20. Кудрявцев А. А., Шестаков О. В., Шоргин С. Я. Метод оценивания параметров изгиба, формы и масштаба гамма-экспоненциального распределения // Информатика и ее применения. 2021. 15. № 3. С. 57-62.
21. G а 1 a m b о s J., S i m о n е 11 i I. Products of Random Variables: Applications to Problems of Physics and to Arithmetical Functions. New York, NY: Marcel Dekker, Inc., 2004.
22. Прудников А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., М а р и ч е в О. И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. М.: Физматлит, 2003.
23. Арутюнов Е. Н., Кудрявцев А. А., Недоливко Ю.Н. Вероятностные характеристики индекса баланса факторов, имеющих обобщенные гамма-распределения // Информатика и ее применения. 2021. 15. № 1. С. 65-71.
24. Kendall М. G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vol. I. London, GB: Griffin, 1969.
25. Guo B.-.V. Qi F., Zhao J.-L., Luo Q.-M. Sharp inequalities for polygamma functions //Math. Slovaca. 2015. 65. N 1. P. 103-120.
26. Batir N. Inequalities for the inverses of the polygamma functions // Arch. Math. 2018. 110. P. 581-589.
27. M a t e j i с k a L. Short remarks on complete monotonicity of some functions // Mathematics. 2020. 8. N 4. Art. ID 537.
Поступила в редакцию 01.02.22 Одобрена после рецензирования 02.03.22 Принята к публикации 02.03.22
