CC BY
12
работай метод сужающихся областей, который позволяет получить единственное решение для самого общего случая. Метод предполагает последовательное сужение области работоспособности до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Суть метода сводится к следующему.
На первом этапе известными методами [2] определяется граница области С, состоящая из конечного числа гиперповерхностей ф., каждую из которых можно с заданной погрешностью описать
уравнениями ф.(X) = 0 , где ф (X) = 7/тах - (X)
О^ и определяют требуемое множество ее гранич-
ных точек.
Далее формируются уравнения ф(1) , опи-
сывающие область о(1) [1].
На основе использования логических Я-функций
[1, 2] и полученных уравнений ф1
записывается
j max
J v
одно уравнение, которое с заданной методической погрешностью аналитически описывает допусковую
область на первом шаге поиска:
или
Ф, (X) = Fj (X) - Y J ,
функции ограничения в
системе неравенств (1). Для этой цели удобно воспользоваться методами планирования эксперимента [2]. В пространстве И.п внутренних параметров вводится метрика 1, являющаяся функцией координат двух любых точек этого пространства, например точек А и В. Если одна из точек, например точка А, является граничной точкой области О, а точка В находится внутри этой области и ее координаты характеризуют состояние АЭП в рассматриваемый момент времени, то данная метрика будет определять запас работоспособности x электропривода и служить критерием сужения исходной
области О(0) с целью определения координат оптимальной точки. Далее производится сужение области О(0) по критерию / = Х • С этой целью изменяют
критерий на величину А/ , т.е. /^ = /+ а/ , получают аналитическое описание границы области
р ) _ 0>5 (02(L+n)-1 +ф20я+и) |02(L+n)-1 ф2(т+и) |) ; . ..о? = 0,5(g(-1 +ф« -U1); ...g¡(1) =ф(1)
Затем, аналогичным образом, определяется до-пусковая область и процесс сужения
исходной области G(0) циклически повторяется до получения оптимального решения при N = 1 •
Момент прекращения процесса поиска определяется при таких значениях внутренних параметров,
при которых область G^ в соответствии с заданной погрешностью выродится в точку. Значения параметров ^^ в этой точке определяют оптимальную (максимальную) величину критерия 1, которому соответствует условие N =1•
Заключение. Рассмотренный подход к решению задачи оптимального параметрического синтеза систем управления автоматизированных электроприводов постоянного тока позволяет учесть все функциональные требования, предъявляемые к электроприводам, и обеспечивает максимально возможный в заданных условиях запас работоспособности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саушев А. В. Параметрический синтез электротехнических устройств и систем / А. В. Саушев. — СПб.: ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2013. — 315 с.
2. Саушев А. В. Области работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев. — СПб.: Политехника, 2013. — 412 с.
3. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем объектов водного транспорта / А. В. Саушев. — СПб.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2014. — 215 с.
4. Саушев А. В. Проектирование электротехнических систем / А. В. Саушев, Е. В. Бова, И. В. Белоусов - СПб.: ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова, 2015. - 168 с.
5. Анисимов А. А. Формирование критерия оптимальности в задачах синтеза регуляторов состояния электромеханических систем / А. А. Анисимов, С. В. Тарарыктн // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - №10 - С. 36 - 41.
6. Саушев А. В. К проблеме синтеза целевой функции параметрической оптимизации сложных технических систем / А. В. Саушев // Надежность и качество сложных технических систем. — 2015. — № 3(11). — С. 3-9.
7. Юрков Н. К. Риски отказов сложных технических систем / Н. К. Юрков // Надежность и качество сложных технических систем. — 2014. — № 1(5). — С. 18-24.
8. Саушев А. В. Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2014. - С. 120 - 123.
УДК 629.113-83
Чапаев В.С., Волков С.В., Мартяшин А.А,
ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЛИНЕЙНОМ АСИНХРОННОМ ДВИГАТЕЛЕ С УПРАВЛЯЮЩИМ СЛОЕМ
Рассматриваются основные математические соотношения, позволяющие исследовать распределение магнитных потоков в линейном асинхронном двигателе с управляющим слоем. Осуществлен переход от уравнений Максвелла к вариационному методу конечных элементов. Полученные математические соотношения позволяют смоделировать линейный асинхронный привод, а также получить картину магнитного поля в нем, позволяющую оценить эффективность магнитного экранирования поля индуктора. Ключевые слова:
уравнения Максвелла, линейный асинхронный двигатель с управляющим слоем, вариационный метод конечных элементов.
Введение
Для нахождения распределения магнитных потоков в элементах конструкции линейного асинхронного двигателя с управляющим слоем [1-6]: индукторе, вторичном элементе, слое управления, необходимо решить уравнения Максвелла для заданной области. Так как исследуемая область обладает сложной конфигурацией, которую к тому же желательно менять, то для этого наиболее подходит численный метод.
Основная часть
Уравнения Максвелла имеют вид:
-dB rotE = -
dt
rotH = J, divB = 0, divD = p,
где E - напряженность электрического поля;
B - индукция магнитного поля; t - время; H -напряженность магнитного поля; J - плотность
153
тока проводимости; О - вектор электрического смещения; р - объемная плотность заряда.
Кроме того, необходимо учесть уравнения, описывающие свойства материалов:
В =ца Н, О =еа Е,
здесь ¡ла - абсолютная магнитная проницаемостъ вещества; £а - абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества.
Векторный магнитный потенциал А связан с вектором магнитной индукции: В= УА •
Для двумерного случая векторы I и А имеют только одну z-составляющую. Поэтому в векторной форме имеем:
Ы = ы7,
В = 1ВХ + }В
А = к А
у
С учетом вышеприведенных соотношений:
Ух — В = У х — Ух А = I. М М
э В =УА в двумерном случае имеет вид:
В =
1 3 к
д д д
дх ду дz
0 0 А
В = В + ]ВУ = I—+]—.
ду дх
Вх =
Подставив
дА д
3) в
В = -
дА
дх
получаем:
ёе1
дх
1А
М дУ
]
ду 1 дА
к
д_
&
' м дх
= Ы.
Поэтому, записав интеграл относительно искомых значений потенциалов в узлах конечных элементов, на которые разбивается область расчета, и определив минимум этого выражения, можно найти распределение магнитного поля в этом объеме.
Для случая стационарного МП минимизируемый функционал имеет вид [7]:
В
^ =
II
V _ 0
ШВ - ЫА
dV.
Справедливость утверждения того, что минимум функционала можно использовать для описания энергетического функционала системы, следует из уравнения Эйлера:
д/__дА\ 1__д/ л
дА дх I дАх \ ду I дАу
= 0. (4)
V у
где £ - подынтегральная функция функционала:
^ =
| /dV.
V
Производная подынтегральной функции выражения ) :
гв л
/
дА
д_
дА
ШВ - ЫВ
о
= - ы. (5)
Ах = ^ = - Ву.
х дх у А =—=В
Ау = ду = Вх .
Из этого следует:
(В А
/ = _ А
дА дВ
' о
Преобразовав, получим:
HdB - ЫА
дВ дВ.,
-В + Ву2 К
,-н АА (в 2 + В 2 1
дВ
д/ -нВ*- =
дАх В М
= -Ну . (6)
Кроме того, возможно получить:
д/ д/ д/ дв
дА дв дВ дВ Нх' (7)
Подставим (5)
у
получается:
Запишем уравнения для z - компоненты:
д 1 дА д 1 дА _ дх м дх ду м ду
В результате получено уравнение Пуассона для магнитного векторного потенциала (двумерный случай), решение которого позволяет найти распределение магнитного поля в заданной области.
В вариационном методе конечных элементов распределение магнитного поля определяется через нахождение минимума выражения энергии поля в замкнутом объеме. Система в устойчивом (равновесном) состоянии подчиняется физическому принципу минимума энергии: в замкнутой области магнитное поле имеет такую конфигурацию, при которой энергия этого поля минимальна.
Математическое запись для энергии - интеграл по объему от выражения для МП:
-Ы 4(- Ну)+т- (Нх)=0
дх у ду Запишем иначе:
Ух Н = Ы
Таким образом, условие минимума интеграла и является решаемым уравнением.
В случае переменного магнитного поля имеем:
1 _ дА _
Ух — Ух А =-а-+ Ы (/),
М дt
где Ф - удельная электрическая проводимость.
Минимизируемый функционал для двумерного случая имеет вид:
^ =
В
Л М
1. Bdв+^ .дА - Ы(?)
М 2 д1
N |_ 0
С где N - площадь исследуемой области.
I ЕмпdV " Ш1П . Заключение
Полученные аналитические выражения позволяют составить систему алгебраических уравнений для численного решения поставленной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чапаев В.С. Исследования линейного асинхронного двигателя с управляющим слоем. /Чапаев В.С., Волков С.В.// Надежность и качество. : Труды международного симпозиума: в 2-х т. / Под ред.Н.К. Юркова. - Пенза: ИИЦ ПензГУ, 2008. - 2 т. - с. 135-136.
2. Чапаев В.С. Рациональная конструкция линейного асинхронного двигателя с управляющим слоем. /Чапаев В.С., Волков С.В., Медведик Ю.Т.// Надежность и качество: труды Международного симпозиума: в 2-х т./ Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: ИИЦ ПензГУ, -2009.- 2т.- стр. 130-131.
и
в
3. Чапаев В.С. Проблемы технической реализации линейного асинхронного двигателя с управляющим слоем. / Чапаев В.С., Волков С.В., Медведик Ю.Т.// Надежность и качество. : Труды международного симпозиума: в 2-х т. / Под ред.Н.К. Юркова. - Пенза: ИИЦ ПензГУ, 2010. - 2 т. - с. 128-130.
4. Чапаев В.С. Классификация вариантов конструкций линейного асинхронного двигателя с управляющим слоем. / Чапаев В.С., Волков С.В., Голобоков С.В.// Надежность и качество. : Труды международного симпозиума: в 2-х т. / Под ред.Н.К. Юркова. - Пенза: Изд- во ПГУ, 2012 - 2т., стр.157.
5. Чапаев В.С., Волков С.В., Волков Д.С. Математическое моделирование линейного асинхронного двигателя со сплошным управляющим слоем. // Надежность и качество. : Труды международного симпозиума: в 2-х т. / Под ред.Н.К. Юркова. - Пенза: Изд- во ПГУ, 2014 - 1 т., стр. 230-231.
6. Чапаев В.С., Волков С.В., Волков Д.С. Математическое моделирование линейного асинхронного двигателя с дискретным управляющим слоем. // Надежность и качество. : Труды международного симпозиума: в 2-х т. / Под ред.Н.К. Юркова. - Пенза: Изд- во ПГУ, 2013 - 1 т., стр. 226-227.
7. Кудин В.Н., Кузовкин ВА. Численные методы расчета электрических и магнитных полей./ Ред. Е.М. Федорова. - М.: МЭИ, 1986. - 80 с.
УДК 620
Голушко Д.А., Лысенко А.В., Трусов В.А., Бростилов С.А., Пивкин А.В,
ФГБОУ ВО «Пензенский госуниверситет», Пенза, Россия
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ОБЪЕКТА ВНЕШНИХ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА КОНСТРУКЦИИ БОРТОВЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ
Для исследования влияния деформационной составляющей на частотные свойства объекта было проведено компьютерное моделирование одномерного объекта. Разработана программа для проведения анализа амплитудно-частотных характеристик стержневых элементов на основе хорошо известных методов математического моделирования. Предложен интерфейс программы имитационного моделирования амплитудно-частотных характеристик стержневых конструкций бортовых радиоэлектронных средств.
Ключевые слова:
радиоэлектронные средства, механические воздействия, амплитудно-частотная характеристика, программное обеспечение.
В настоящее время существует различное программное обеспечение по моделированию внешних механических воздействий на конструкции бортовых радиоэлектронных средств [1-4]. Наиболее распространенными являются:
Программы «Balka» и «Beam» для расчета одно-пролетных статически определимых и многопролетных статически неопределимых 1D балок (стержней) Евгения Токарева [5]. Крайнее обновление на данный момент - сентябрь 2011 года.
Программа «Полюс» компании MechCadSofware [6]. «Полюс» позволяет проводить анализ статически определимых и неопределимых плоских конструкций. Строит эпюры продольных и поперечных усилий, крутящих моментов, перемещений узлов.
Конечно-элементное моделирование (например, ANSYS). При этом с относительной легкостью можно получить численное решение практически любой стержневой системы, но вот обрабатывать полученные результаты - весьма сложно. Кроме того, стоимость конечно-элементных программ очень высока.
Подводя итог анализа существующих программ моделирования воздействия внешних нагрузок на статические и динамические параметры стержней и стержневых конструкций можно сказать, что все они ориентированы на проведение расчетов для строительных сооружений и мало пригодны для проведения расчетов в области электроники [7-11]. Кроме того, наиболее функциональные программы не бесплатны.
Основным недостатком является построение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) конструкции на основе результатов модального анализа, проводимого на различных частотах, что во-первых очень долго, а во-вторых есть возможность пропуска той или иной резонансной частоты [9,1215]. Поэтому принято решение разработать простую программу для проведения анализа АЧХ стержневых элементов на основе хорошо известных методов математического моделирования.
Для определения амплитуд, механических напряжений в элементах стержневых конструкций в процессе эксплуатации рассмотрим уравнение их движения при вынужденных колебаниях. Изгибные колебания в стержне, описываются однородным уравнением:
г,Тд4ш Гд2ш
EJ—- + pS—т = 0
J дх* dt2
(1)
где - смещение точек стержня перпендику-
лярно упругой оси; Е - модуль Юнга; J - момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; р - плотность материала: 5 - площадь поперечного сечения стержня.
Обозначая изгибную жесткость стержня как С$ = Е], учтём потери энергии при колебаниях в виде диссипативной силы, пропорциональной скорости деформации и в правую часть добавим внешнюю силу Е(х,Ь), возбуждающую колебания и приложенную в точках крепления. Тогда уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня запишется в виде:
„ д4ш д „ д4ш „ д2ш „, ч
с^+^т;;;+Р5—2 = 1!(х^ (2)
где п - коэффициент вязкости материала.
В соответствии с методом конечных разностей заменим сплошной стержень совокупностью дискретных элементов с шагом разбиения по оси х, равным Ъх. Массу каждого дискретного элемента сосредоточим в его центре - узле, лежащем на оси х; силы взаимодействия между дискретными элементами заменяем упругими связями между узлами. Получим геометрическую дискретную модель стержня, состоящую из п узлов, соединенных упругими связями.
Заменив первую производную по времени в левой части (2) её разностным аналогом, и полагая, что
= запишем его в виде:
дх4
С5Ь(со)( + 1 [С5Ь(со)( - С5Ь(со)(-т] = -рБ^ ,(3
где - шаг дискретизации по времени, а сила Е(х,Ь) учитывается в начальных условиях.
Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены (3), получим:
д2ш ' dt2'
Учитывая, что вторая производная от перемещения по времени есть ускорение аузла, запишем
в виде а = ■
заменив вторую производную
по времени разностным аналогом, получим: —т2а = ^xCt + т) — 2^xCt) + ы— т)
Преобразуем
к виду явного разностного
уравнения:
—т2а + 2^xC0 — ыx(t — т) = ыx(t + т)
которое, будучи дополнено граничными и начальными условиями, образует явную разностную схему, которая в сочетании с геометрической моделью дает расчетную модель стержня, достаточно просто реализуемую на ПК.
Структурный состав программы позволяет пользователю ввести данные необходимые для проведения расчетов, просмотреть результаты и сохранить их в файл.
Основная программа должна содержит перечень всех используемых модулей и несколько исполняемых операторов, обеспечивающих создание нужных окон и связь программы с Windows. Работоспособность программы обеспечивается кодом, содержа-
